Законы сохранения в механике

С учетом соотношения (2.6) произведение erdr равно:

.

Следовательно, А = f(r)dr. Работа этой силы на произвольном пути от точки 1 до точки 2 равна:

. (13.10)

Полученное выражение зависит только от вида функции f(r) и от значений r1 и r2, и никак не зависит от формы траектории движения и поэтому является потенциальным.

Рассмотрим гравитационное взаимодействие двух материальных точек М и т. По закону всемирного тяготения сила взаимодействия по модулю равна:

.

Если рассматривать силу, действующую на точку т, то можно сказать, что гравитационное силовое поле, создаваемое материальной точкой М, действует на точку т с силой F.

Другими словами, материальная точка М создает поле центральных сил с силовым центром в точке М.

Поместим начало отсчета в точку М.

Тогда в векторном виде сила гравитации, действующая на точку т, примет следующий вид:

. (13.11)

При перемещении точки т из r1 в точку r2 силы гравитации совершат работу:

. (13.12)

Сравнивая полученное выражение с (13.6), получим, что потенциальная энергия частицы т в гравитационном поле точки М равна:

. (13.13)

При большом удалении точек друг от друга (), сила их гравитационного взаимодействия стремится к нулю, и, следовательно, должна стремиться к нулю и потенциальная энергия. Поэтому в данном случае константу С можно положить равной нулю.

Выражение (13.13) является точным для расчета потенциальной энергии частицы т в гравитационном поле точки М. Выражение (13.8) является приближенным расчетным соотношением для вычисления потенциальной энергии частицы в гравитационном поле. Покажем это.

. (13.14)

Если h<<RЗемли, то это выражение переходит в (13.8).

Таким образом, если все перемещения происходят вблизи поверхности Земли, то можно пользоваться выражением (13.8), если нет - то надо использовать более точное выражение (13.14).

Если в силовом потенциальном поле находится система невзаимодействующих между собою материальных точек, то потенциальная энергия такой системы в этом силовом поле будет равна сумме потенциальных энергий каждой точки в отдельности: Uсист = Ui

Если частицы системы взаимодействуют между собой, то для того чтобы найти потенциальную энергию всей системы, нужно к потенциальной энергии частиц во внешнем силовом поле добавить потенциальную энергию их взаимодействия.

1.5 Потенциальная энергия взаимодействующих частиц

Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц. Обозначим силу, с которой вторая частица действует на первую, символом F12, а силу, с которой первая частица действует на вторую, символом F21 (см. рис. 14.1). По третьему закону Ньютона F12 = -F21. Эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей частицы. Поэтому силу F12 можно представить в виде: F12 = F12e12.

В некоторой инерциальной системе отсчета положение первой частицы определяется радиус-вектором r1 , а второй - r2.

При элементарном смещении частиц от заданного положения силы взаимодействия совершат работу A, равную:

F12dr1 + F21dr2 = F12(dr1 - dr2) = -F12d(r2 - r1) = -F12dr12 =-F12dr12

Следовательно, dA = -F12dr12 = -dUвз

Выражение F12dr12 можно рассматривать как приращение некоторой функции Uвз(r). Эта функция и представляет собой потенциальную энергию взаимодействия, которая зависит только от взаимного расположения частиц. Вид этой функции можно найти, зная силу F12 взаимодействия частиц. Тогда

(Uвз)2 - (Uвз)1 = -.

Распространим полученный результат на систему, состоящую из N частиц.

Для системы, состоящей N из частиц, потенциальная энергия взаимодействия слагается из потенциальных энергий частиц, взятых попарно:

Uвз= .

В этом выражении первое слагаемое - сумма потенциальных энергий взаимодействия первой частицы с остальными, второе слагаемое - сумма потенциальных энергий взаимодействия второй частицы с остальными, кроме первой, третье слагаемое - сумма потенциальных энергий взаимодействия третьей частицы с остальными, кроме первой и второй и т.д. Так как (Uik) = (Uki), энергию взаимодействия можно представить в виде:

. (14.1)

В этой сумме индексы i и k пробегают значения от 1 до N, причем ik. Коэффициент 1/2 связан с тем, что энергия каждой пары учитывается дважды, как (Uik) и как (Uki).

Пример

Вычислить потенциальную энергию взаимодействия трех зарядов q1, q2 и q3, которые расположены в вершинах правильного треугольника со стороной а.

Решение

Потенциальная энергия взаимодействия будет равна (14.1):

Uвз = 1/2 (U12 + U13 + U21 + U23 + U32 + U31) = (U12 + U13 + U23), так как (Uik) = (Uki).

Сила взаимодействия между зарядами qi и qk определяется законом Кулона:

Эта сила, так же как и сила гравитации, убывает обратно квадрату расстояния между частицами. Следовательно (см. вывод (13.13)), потенциальная энергия двух взаимодействующих зарядов будет равна:

.

Окончательно получим:

Uвз =k/a (q1q2 + q1q3 + q2q3).

Очевидно, что энергия взаимодействия зависит только от взаимного расположения частиц системы или, как говорят, от ее конфигурации. При отделении одной части системы от другой, нарушается ее конфигурация. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия не является аддитивной величиной, т.е. потенциальная энергия взаимодействия всей системы не равна потенциальной энергии взаимодействия отдельных частей системы. Поэтому эту энергию взаимодействия системы выделили в отдельный вид потенциальной энергии.

1.6 Связь между потенциальной энергией материальной точки и силой, действующей на нее со стороны потенциального поля

До сих пор мы находили выражения для потенциальной энергии данного силового поля. Поставим обратную задачу: определить вид силового поля по заданному выражению для потенциальной энергии частицы в данном силовом поле.

Пусть F - сила, действующая на материальную точку со стороны потенциального поля. Тогда работа этой силы при перемещении точки ее приложения dr будет равна убыли потенциальной энергии.

Fdr = -dU. (15.1)

В координатном виде уравнение (15.1) запишется в виде:

Fxdx + Fydy +Fzdz = -dU. (15.2)

Допустим, что смещение происходит вдоль только одной координатной оси, например, X. Тогда

Fxdx = -(dU)y,z и, следовательно,

Fx=.

Индексы y, z означают, что при дифференцировании по x координаты y и z должны оставаться постоянными. Величины, получающиеся при таком дифференцировании, называются частными производными функции U. Они обозначаются символом , в отличие от символа d, применяемого при дифференцировании функции одного независимого аргумента.

Аналогичные рассуждения справедливы и для проекций силы F на остальные две оси Y и Z. Таким образом,

Fx=, Fy=, Fz=. (15.3)

Если функция U(x,y,z) известна, то нахождение компонент силы F потенциального поля сводится к вычислению частных производных по координатам.

Выражения (15.3) можно объединить в одну векторную формулу:

. (15.4)

Вектор, определяемый соотношением

называется градиентом скаляра U и обозначается gradU. Наряду с обозначением gradU, применяется также обозначение U. («набла») означает символический вектор или оператор

. (15.5)

и называется оператором Гамильтона или оператором набла. Таким образом, U формально может рассматриваться как произведение символического вектора на скаляр U. Оператор Гамильтона будет широко использоваться в дальнейшем и, особенно в электричестве и магнетизме.

Физический смысл градиента скалярной функции состоит в том, что он показывает направление наибольшего возрастания этой функции в пространстве. Таким образом, вектор силы, взятый со знаком минус, показывает направление наибольшего возрастания потенциальной энергии частицы в этом силовом поле.

Выражение (15.4) позволяет по заданной функции для потенциальной энергии определить вид силового поля.

Мы в самом начале ввели ограничение - рассматривали только стационарные поля, то есть поля, не зависящие от времени.

В общем случае силовое поле может зависеть от времени. Но если условие (13.4) выполняется для любого момента времени, то такие силы будут называться потенциальными.

Таким образом, поле консервативных сил является частным случаем потенциального поля. Поле называется потенциальным, если оно описывается с помощью функции U(x,y,z,t), градиент (15.4) которой определяет силу в каждой точке поля в любой момент времени.

Мы ограничились рассмотрением только стационарных полей. В этом случае потенциальные силы эквивалентны консервативным.

1.7 Закон сохранения энергии

Запишем теорему об приращении кинетической энергии (13.3) и при этом разобьем работу всех сил на три части.

- работу консервативных сил Ак;

- работу неконсервативных сил Анк;

- работу внутренних сил взаимодействия Авз.

Авсех сил = Ак + Анк + Авз = (Екин)кон - (Екин)нач = Екин. (16.1)

Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии материальных точек во внешнем потенциальном поле, т.е.

Ак = -U.

Работа внутренних сил взаимодействия равна убыли потенциальной энергии взаимодействия материальных точек, т.е.

Авз = -Uвз.

Тогда выражение (16.1) можно переписать в виде:

Екин + U + Uвз = Анк или

(Eкин + U +Uвз) = Анк. (16.2)

Eкин+ U +Uвз = Еполн

называется полной механической энергией системы материальных точек.

Если в системе отсутствуют неконсервативные силы, и, как следствие Анк = 0, то полная механическая энергия системы сохраняется, т.е.

Eкин+ U +Uвз =const. (16.3)

Таким образом, мы пришли к заключению, которое и выражает закон сохранения механической энергии:

Полная механическая энергия системы материальных точек, на которые действуют только консервативные силы, сохраняется.

В качестве примеров рассмотрим частные случаи.

1. Материальная точка

1а. Изолированная (свободная) частица

Внешние и внутренние силы равны нулю (Fвнешн = Fвнутр= 0). Следовательно, U = Uвз= 0, и Екин=0.

Таким образом, кинетическая энергия частицы не меняется (Екин = const). Если частица не распадается и не излучает (т = const), то ее скорость остается постоянной.

1б. Частица движется в потенциальном, стационарном поле сил

Из условия следует, что нет неконсервативных сил и сил взаимодействия с другими частицами. Следовательно:

Екин + U = const.

1в. Частица движется в потенциальном, стационарном поле сил и на нее действуют диссипативные силы сопротивления движению

Из (16.2) имеем:

(Eкин + U) = Адисс.сил.

2. Система материальных точек

2а. Абсолютно твердое тело движется в потенциальном, стационарном поле сил и на него действуют диссипативные силы сопротивления движению

Частицы твердого тела взаимодействуют между собой, но по условию нет взаимного перемещения этих точек. Отсюда следует, что энергия взаимодействия всех материальных точек не изменяется (Uвз=0). Тогда для абсолютно твердого тела можно записать:

(Eкин + U) = Адисс.сил.

2б. Внешних полей нет, и частицы взаимодействуют только между собой. (Например, изолированная система электрических зарядов).

В этом случае закон сохранения энергии запишется в следующем виде: (Eкин +Uвз) =0, где Eкин - суммарная кинетическая энергия всех материальных точек, а

Uвз=

суммарная энергия взаимодействия всех частиц системы.

1.8 Условия равновесия механической системы

Рассмотрим материальную точку, потенциальная энергия которой зависит только от пространственных координат. Например, шарик движется в вертикальной плоскости вдоль жесткой изогнутой гладкой проволоки (рис.17.1).

Тогда график зависимости потенциальной энергии шарика в гравитационном поле (13.8) от координаты x будет повторять профиль изогнутой проволоки. Поскольку сила реакции поверхности проволоки всегда перпендикулярна скорости движения шарика, то работу эта сила не совершает. Если пренебречь силами трения, то закон сохранения энергии для шарика можно записать в виде:

(Eкин + Uпот) = const. (17.1)

Условие экстремума данной функции требуют равенства нулю производных в этих точках, т.е. , Это равнозначно тому, что в этих точках Fx = 0 (см. 15.3). Следовательно, если в этих точках шарик покоится, то он будет находиться в равновесии. Таких точек на графике две - x0у и x0н. Эти точки отличаются тем, что в первой точке шарик будет находиться в устойчивом равновесии, а во второй - нет. Силы, возникающие при небольшом смещении шарика из положения устойчивого равновесия, стремятся вернуть шарик в исходное положение. При неустойчивом равновесии аналогичные силы стремятся вывести шарик еще дальше от положения равновесия. Из 15.3 следует, что направление x-составляющей силы можно определить по знаку производной:

.

Например, справа от точки x0у производная U(x) положительная (потенциальная энергия растет) и, следовательно, проекция Fx отрицательная, а это значит, что составляющая силы Fx действует противоположно направлению оси, т.е. стремится вернуть шарик в точку x0у. Следовательно, положение шарика в точке x0у будет устойчивым. Аналогично можно показать, что положение шарика в точке x0н будет неустойчивым.

Анализируя приведенный график зависимости U(x), можно сделать еще несколько заключений.

Если полная энергия шарика равна U0, то его движение может происходить только в областях либо x1 < x <x2 , либо x >x3.

Для того чтобы шарик мог попасть в область x <x1 ему необходимо иметь потенциальную энергию, превышающую его полную энергию, и поэтому шарик не может покинуть область x1 < x <x2, и такое движение называется финитным.

Говорят, что шарик находится в потенциальной яме, а величина U1 -U2 называется глубиной потенциальной ямы. Если, находясь на дне потенциальной ямы (точка x0у), шарик будет иметь энергию, превышающую ее глубину, то шарик сможет покинуть эту яму, если нет, то он будет совершать финитное движение.

Если внутри потенциальной ямы шарик уже имеет некоторую энергию U0, то разница между максимальной потенциальной энергией и его полной энергией U1 - U0 называется высотой потенциального барьера, через который шарик не может проникнуть, имея данный запас полной энергии.

В области x >x3 шарик может удалиться от точки x3 сколь угодно далеко вправо, и такое движение называется инфинитным.

1.9 Закон сохранения импульса

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек.

В общем случае в некоторой инерциальной системе отсчета каждая материальная i-ая точка обладает некоторым импульсом pi. Пусть материальные точки взаимодействуют между собой и кроме внутренних сил взаимодействия fik на i-ую точку действуют какие-то внешние силы, равнодействующую которых мы обозначим через Fi. Внешними силами называются силы со стороны тел, не включенных в рассматриваемую систему.

Запишем для каждой точки второй закон Ньютона в виде (12.2).

(18.1)

Сложим левые и правые части этих уравнений. Сумма всех внутренних сил равна нулю, так как по третьему закону Ньютона fik = -fki. Поэтому:

или . (18.2)

В этом выражении - импульс системы материальных точек (см.12.3), а - сумма всех внешних сил, действующих на рассматриваемую систему.