Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Розрахунок усталених режимів та надійності систем електропостачання.

Робота містить 00 листів пояснюючої записки, 00 малюнків, 00 схем, 00 таблиць.

Мета роботи - розрахувати усталений режим системи електропостачання різними методами та порівняти їх за такими критеріями як точність, швидкість сходимості, кількість ітерацій, простота у використанні, можливість розрахунку на ЕВМ, а саме простота алгоритму, невисокі вимоги до швидкості процесора та об`єму оперативної пам`яті. Визначити надійність системи електропостачання, переконатись у тому, що надійність розгалуженої системи електропостачання може бути вищою ніж надійність окремих її елементів.

Розрахувати усталений режим для заданої ділянки мережі, тобто визначити напруги у вузлах приєднання навантажень, струми віток, потужності на початку і наприкінці кожної вітки і сумарні втрати потужності в мережі. Задачу варто розв'язати методом вузлових напруг. Напруги слід визначити методами Гаусса, Гаусса-Зейделя, Ньютона. Для структурної схеми надійності визначити показники надійності системи на виході: частоту відмов, середній час відновлення, середній час безвідмовної роботи, імовірність відмов за рік, коефіцієнти готовності К _Г = р _ср і змушеного простою К _В = q _ср (середні імовірності працездатного й відмовного станів системи). Визначити максимальну потужність трансформаторної підстанції потрібну для живлення електроприйомників, з урахуванням того що навантаження є довільними величинами з кореляційними зв`язками.

Ключові слова: МАТРИЦЯ УЗЛОВИХ ПРОВОДИМОСТЕЙ, РІВНЯННЯ УЗЛОВИХ НАПРУГ, СТРУКТУРНА СХЕМА НАДІЙНОСТІ, КОРЕЛЯЦІЙНИЙ ЗВ`ЯЗОК.

Зміст

Реферат

Зміст

Вступ

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Висновки

Списик літератури

Вступ

Дисципліна "Математичні задачі енергетики" є проміжною між курсами загальної і прикладної математики та теоретичних основ електротехніки з однієї сторони й дисциплінами спеціалізації з іншої.

Мета вивчення дисципліни - зв'язати зазначені загальнотеоретичні дисципліни із практичними їхніми застосуваннями у роботі фахівця й одержати конкретний математичний апарат для досліджень систем електропостачання. Зміст дисципліни орієнтований на найбільш характерні задачі аналізу систем електропостачання: розрахунки усталених режимів, кількісну оцінку надійності енергетичних об'єктів і систем, прогнозування попиту потужності й енергії у системі й окремих споживачах, розрахунок електричних навантажень. Розглядаються методи й алгоритми, велика частина з яких реалізується у вигляді програм для комп'ютерів.

Вивчення даної дисципліни вимагає відповідної підготовки студентів із математики і теоретичних основ електротехніки. З математики особливо важливі розділи матричної алгебри, алгебри комплексних чисел, методів рішення систем алгебраїчних рівнянь, основ теорії ймовірностей і математичної статистики. З курсу теоретичних основ електротехніки в першу чергу необхідні знання по основах теорії кіл.

У курсовій роботі розв'язуються задачі з основних розділів дисципліни:

- математичні основи методів аналізу усталених режимів електроенергетичних систем (завдання 1);

- кількісна оцінка надійності складних структур (завдання 2);

- розрахунки характеристик режиму з використанням моделі систем випадкових величин (завдання 3).

Зміст зазначених завдань орієнтовано на обчислення за допомогою найпростіших розрахункових засобів і тільки в окремих випадках потрібно застосування комп'ютера.

Завдання 1

Від центра живлення А (вузол 4) по замкнутій мережі, схема заміщення якої приведена на малюнку 1, одержують електроенергію підстанції, що підключаються до вузлів 1, 2, 3. Напруга центра живлення U₄, опори ділянок мережі Z_j, j = 1...5 і розрахункові навантаження підстанцій S_i, i = 1, 2, 3 представлені у таблиці 1.

Потрібно розрахувати усталений режим для заданої ділянки мережі, тобто визначити напруги у вузлах приєднання навантажень, струми віток, потужності на початку і наприкінці кожної вітки і сумарні втрати потужності в мережі. Задачу варто розв'язати методом вузлових напруг.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Мал.1

Таблиця1

UA, кВ	Z1, Ом	Z2, Ом	Z3, Ом	Z4, Ом	Z5, Ом	S1, МВА	S2, МВА	S3, МВА
230	20	31	28	17	15	60	20	72

_Z1 = 50 _S1 = 50

_Z2 = 48 _S2 = 48

_Z3 = 64 _S3 = 64

_Z4 = 30

_Z5 = 70

Вимагається розрахувати сталий режим для заданої ділянки сіті, тобто визначити напруги в точках приєднання навантажень, струми в гілках, потужності на початку і наприкінці кожної гілки і сумарні втрати потужності в сіті. Задачу слід вирішити методом вузлових напруг. Напруги у вузлах потрібно визначити трьома способами:

- Сформувати систему нелінійних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів при невідомих дійсних і мнимих складових напруг і розв'язати її двома способами:

- лінеаризувати систему рівнянь на кожному кроці ітераційного процесу (зовнішня ітерація) і використувати для розв'язку лінеаризованих рівнянь алгоритм Гаусса зі зворотним ходом (виконати два кроки зовнішньої ітерації, а потім розв'язати рівняння за допомогою програми GAUSS );

- використати алгоритм Гаусса-Зейделя для розв'язку систем нелінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою програм Excel та ZEIDEL.

- Сформувати систему трансцендентних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей при невідомих модулях і фазах напруг вузлів U_k, _k і вирішити її методом Ньютона-Рафсона (виконати один крок ітераційного процесу, а потім застосувати програму NYUTON). Попередньо через трудомісткість обчислення елементів матриці похідних варто перетворити схему заміщення: рознести навантаження вузла 3 у сусідні вузли і скласти послідовні й паралельні вітки.

Формування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів.

Система нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів у матричному виді:

(1)

Yy- комплексна матриця вузлових провідностей порядку n=3

Uу - матриця-стовпець невідомих міжфазних напруг вузлів;

J(Uу) - матриця-стовпець нелінійних джерел струмів, залежних від напруг;

Yб - матриця-стовпець взаємних провідностей між балансуючим і іншими вузлами;

Uб - міжфазна напруга базисного вузла, що співпадає з балансуючим.

Uб=U_б=U₄ ; _б = 0.

Складаємо діагональну матрицю опорів віток схеми Zв і знайходимо обернену їй матрицю Zв^-1, тобто матрицю провідностей віток Yв.

Знаходимо матрицю вузлових провідностей Yу:

.

При збігу базисного і балансуючого вузлів матриця Yу симетрична щодо головної діагоналі, кожен її діагональний елемент дорівнює сумі провідностей віток, зв'язаних з к-м вузлом, а кожен недіагональний елемент дорівнює узятій зі знаком мінус сумі провідностей віток, що з'єднують i-й і j-й вузли схеми.

(2)

Підставимо в (1) згідно (2), а також і , де - матриці стовпці дійсних і мнимих складових напруг вузлів і джерел струмів.

. (3)

Система рівнянь (3) у розгорнутому виді:

=

Чи у виді системи алгебраїчних рівнянь, враховуючи, що для к-го вузла дійсна й мнима складові джерел струму визначаються виразами:

Останнє важливо тому що за умовами завдання мені відомі лише потужності у вузлах системи електропостачання, а у рівняння вузлових потенціалів у формі балансу струмів потрібно підставляти активні та реактивні складові струмів у вузлах.

Одержуємо:

(4)

Підставляємо в (4) значення активних і реактивних складових провідностей, активних і реактивних потужностей вузлів, що розраховуються по вихідним даним завдання за формулами: ,

Складаю направлений граф:

Мал. 2

Складаю першу матрицю з'єдрань (першу матрицю інціденцій) за таким принципом: якщо гілка направленого входить у вузол, то записую у матрицю -1, якщо гілка виходить з вузла, то записую у матрицю 1, якщо гілка не торкається данного вузла, то записую у матрицю 0.

Перша метриця з'єдрань:

Транспонована матриця з'єдрань:

Складаю діагональну матрицю опорів віток схеми:

Знаходжу опори віток:

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Матриця опорів віток має такий вигляд:

Знаходжу обернену їй матрицю тобто матрицю вузлових провідностей Yb:

Вираховую провідності віток та складаю матрицю вузлових провідностей:

Також можна вирахувати матрицю вузлових провідностей за формулою

Знаходжу матрицю вузлових провідностей Yy за формулою

Розділяю матрицю вузлових провідностей на дві матриці, активних та реактивних провідностей по формулі :

Також вище приведена матриця вузлових провідностей може бути складена без виконання операцій множення зазначених матриць безпосередньо за схемою заміщення мережі з урахуванням провідностей її віток. При збігу базисного і балансуючого вузлів матриця Yу симетрична щодо головної діагоналі, кожен її діагональний елемент дорівнює сумі провідностей віток, зв'язаних з к-м вузлом, а кожен недіагональний елементдорівнює узятій зі знаком мінус сумі провідностей віток, що з'єднують i-й і j-й вузли схеми. У матриці вузлових провідностей Yу для даних умов усі діагональні елементи і додатні, а недіагональні , - від'ємні. При розрахунках елементів матриці вузлових провідностей не слід робити занадто грубих округлень, зберігаючи для значень g і b до п`яти значущих цифр. Таким чином можна не складати першу матрицю, не проводити перетворення та розрахунки, не застосовувати складний математичний апарат, не використовувати обчислювальну техніку, а головне заощадити час.

Розраховую матрицю - стовбець Y_kb взаємних провідностей віток між балансуючим і іншими вузлами та розділяю на матриці активних G_kb і реактивних B_kb складових:

Далі я знаходжу значення активних і реактивних складових потужностей вузлів, що розраховуються по вхідним даним завдання (повні потужності у вузлах схеми заміщення) за формулами ,

Далі складаю систему рівнянь, яка приведена у матричному вигляді:

Розв'язую системи нелінійних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів з використанням методу Гаусса на кожному кроці ітераційного процесу (зовнішньої ітерації). Розв'язок системи рівнянь (4) здійснюється в наступному порядку:

Спочатку задаюся початковим наближенням невідомих напруг вузлів на нульовому кроці зовнішньої ітерації. За рекомендаціями приймаю активні складові вузлових напруг рівними напрузі на балансуючому вузлі , а реактивні складові приймаю рівними нулю. Підставляю ці складові напруг у праві частини рівнянь (4) і обчислюю числові значення правих частин. Тоді рівняння вузлових напруг перетворюються в систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Вирішую систему лінеаризованих рівнянь методом Гаусса зі зворотним ходом. У результаті виконання кроків прямого ходу виключаю послідовно з другого і наступного рівнянь систйми (4) із третього і наступного рівнянь і т.д. поки не приведу систему (4) до еквівалентної системи з верхньою трикутною матрицею коефіцієнтів:

(5)

Із системи (5) послідовно визначаю значення невідомих (зворотний хід). Тут індекс у дужках указує номер кроку зовнішньої ітерації - перше наближення складових напруг вузлів.

Переходжу до другого кроку зовнішньої ітерації, тобто визначаю праві частини системи (4) при значеннях складових вузлових напруг, рівних їхнім першим наближенням.

Вирішуючи систему лінеаризованих рівнянь, з тією ж матрицею , знаходимо друге наближення складових напруг . Використовую програму для ПК розв'язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса (D:\STUDENT\MAT_ZAD\LIN_UR), або програмою Mathcad.. Такі кроки зовнішньої ітерації продовжуються доти, поки процес не зійдеться (із заданою точністю за напругою ). У курсовій роботі я обмежуюся двома кроками. Значення напруг у вузлах із заданою точністю (=0,001кВ). Також скористуюся програмою GAUSS (D:\STUDENT\MAT_ZAD\GAUSS).

Результати обчислення наведені нижче:

Таблиця 2

Z1,Ом,гр	20	75	Z1алг Ом	5,176402	19,31851	Y1алг	0,012941	0,048296
Z2,Ом,гр	18	70	Z2алг Ом	6,15638	16,91446	Y2алг	0,019001	0,052205
Z3,Ом,гр	22	64	Z3алг Ом	9,644184	19,77346	Y3алг	0,019926	0,040854
Z4,Ом,гр	24	60	Z4алг Ом	12,00002	20,7846	Y4алг	0,020833	0,036084
Z5,Ом,гр	30	55	Z5алг Ом	17,20731	24,57455	Y5алг	0,019119	0,027305

іскладові матриці вузлових провідностей.

Таблиця 3

	0,0319	-0,0190	0,0000		0,1005	-0,0522	0,0000
Gу	-0,0190	0,0580	-0,0191	Bу	-0,0522	0,1204	-0,0273
	0,0000	-0,0191	0,0400		0,0000	-0,0273	0,0634

іскладові провідності віток від базисного вузла до кожного

Таблиця 4

	-0,01294		-0,0483
gkb	-0,01993	bkb	-0,04085
	-0,02083		-0,03608

Активні та реактивні складові потужностей у вузлах

Таблиця 5

	70	20		-65,7785		-23,9414
Sy,МВА, гр	42	24	Py,МВт	-38,3689	Qy,Мвар	-17,0829
	82	30		-71,0141		-41

Метод Гаусса

Перша ітерація

Матриця коефіциентів та права частина лінеаризованої системи рівнянь

Таблиця 6

0,1005	-0,0522	0,0000	0,0319	-0,0190	0,0000	2,6904
-0,0522	0,1204	-0,0273	-0,0190	0,0580	-0,0191	4,4162
0,0000	-0,0273	0,0634	0,0000	-0,0191	0,0400	4,4829
0,0319	-0,0190	0,0000	-0,1005	0,0522	0,0000	-11,0041
-0,0190	0,0580	-0,0191	0,0522	-0,1204	0,0273	-9,3222
0,0000	-0,0191	0,0400	0,0000	0,0273	-0,0634	-8,1211

Таблиця 7

Прямий ход

0,1005	-0,0522	0,0000	0,0319	-0,0190	0,0000	2,6904
-0,0522	0,1204	-0,0273	-0,0190	0,0580	-0,0191	4,4162
0,0000	-0,0273	0,0634	0,0000	-0,0191	0,0400	4,4829
0,0319	-0,0190	0,0000	-0,1005	0,0522	0,0000	-11,0041
-0,0190	0,0580	-0,0191	0,0522	-0,1204	0,0273	-9,3222
0,0000	-0,0191	0,0400	0,0000	0,0273	-0,0634	-8,1211
1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	23,9245
0,0000	1,0000	-0,2269	-0,1579	0,4823	-0,1588	36,6899
0,0000	0,0000	0,0572	-0,0043	-0,0060	0,0356	5,4847
0,0000	0,0000	-0,0043	-0,1035	0,0614	-0,0030	-10,3069
0,0000	0,0000	-0,0060	0,0614	-0,1484	0,0365	-11,4519
0,0000	0,0000	0,0356	-0,0030	0,0365	-0,0664	-7,4197
1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	23,9245
0,0000	1,0000	-0,2928	-0,0258	0,5167	-0,2050	58,9653
0,0000	0,0000	1,0000	-0,0754	-0,1041	0,6227	95,8951
0,0000	0,0000	0,0000	-0,1038	0,0609	-0,0003	-9,8935
0,0000	0,0000	0,0000	0,0609	-0,1490	0,0402	-10,8812
0,0000	0,0000	0,0000	-0,0003	0,0402	-0,0886	-10,8350
1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	23,9245
0,0000	1,0000	-0,2928	-0,0258	0,5167	-0,2050	58,9653
0,0000	0,0000	1,0000	-0,0127	-0,0905	0,6202	104,4198
0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	-0,5868	0,0032	95,2898
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	-0,1132	0,0400	-16,6863
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0400	-0,0886	-10,8032
1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	23,9245
0,0000	1,0000	-0,2928	-0,0258	0,5167	-0,2050	58,9653
0,0000	0,0000	1,0000	-0,0127	-0,0905	0,6202	104,4198
0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	-0,5367	0,0005	103,3957
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	-0,3536	147,3638
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	-0,0744	-16,7029
1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	23,9245
0,0000	1,0000	-0,2928	-0,0258	0,5167	-0,2050	58,9653
0,0000	0,0000	1,0000	-0,0127	-0,0905	0,6202	104,4198
0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	-0,5367	0,0005	103,3957
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	-0,3536	147,3638
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	224,3572

Зворотній ход метода Гаусса

З шостого шагу ітерації видно, що , із цього рівняння знаходжу U₃^'

На п`ятому шагу ітерації маю , підставляю у це рівняння вже відому напругу U₃^', після нескладних алгебраїчних перетворень одержую рівняння з однією невідомою , із цього рівняння знаходжу U₂^' . Таким чином розраховую усі інші невідомі. Як результат маю:

U₃^'=224,3572

U₂^'=226,6894

U₁^'=224,9435

U₃^''=-11,3465

U₂^''=-9,66414

U₁^''=-9,73015

Значення напруг у вузлах, знайдені на нульовому кроці зовнішньої ітерації, я підставляю як початкові наближення невідомих напруг вузлів на першому кроці зовнішньої ітерації. Матриця коефіциентів залишається без змін, адже опори віток не змінилися, а праву частину лінеаризованої системи рівнянь перераховую. Далі дію згідно алгоритму, як і на нульовій ітерації.

Метод Гаусса

Друга ітерація

Матриця коефіциентів та права частина лінеаризованої системи рівнянь

Таблиця 8

0,1005	-0,0522	0,0000	0,0319	-0,0190	0,0000	2,6892
-0,0522	0,1204	-0,0273	-0,0190	0,0580	-0,0191	4,4172
0,0000	-0,0273	0,0634	0,0000	-0,0191	0,0400	4,4852
0,0319	-0,0190	0,0000	-0,1005	0,0522	0,0000	-10,9893
-0,0190	0,0580	-0,0191	0,0522	-0,1204	0,0273	-9,3141
0,0000	-0,0191	0,0400	0,0000	0,0273	-0,0634	-8,1012

Таблиця 9

Прямий ход

1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	26,7702
0,0000	0,0932	-0,0273	-0,0024	0,0482	-0,0191	5,8137
0,0000	-0,0273	0,0634	0,0000	-0,0191	0,0400	4,4829
0,0000	-0,0024	0,0000	-0,1107	0,0582	0,0000	-11,8591
0,0000	0,0482	-0,0191	0,0582	-0,1240	0,0273	-8,8135
0,0000	-0,0191	0,0400	0,0000	0,0273	-0,0634	-8,1012
1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	26,7702
0,0000	1,0000	-0,2928	-0,0258	0,5167	-0,2050	62,3475
0,0000	0,0000	0,0554	-0,0007	-0,0050	0,0344	6,1853
0,0000	0,0000	-0,0007	-0,1107	0,0595	-0,0005	-11,7090
0,0000	0,0000	-0,0050	0,0595	-0,1488	0,0372	-11,8172
0,0000	0,0000	0,0344	-0,0005	0,0372	-0,0673	-6,9091
1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	26,7702
0,0000	1,0000	-0,2928	-0,0258	0,5167	-0,2050	62,3475
0,0000	0,0000	1,0000	-0,0127	-0,0905	0,6202	111,6609
0,0000	0,0000	0,0000	-0,1107	0,0594	-0,0001	-11,6302
0,0000	0,0000	0,0000	0,0594	-0,1493	0,0403	-11,2576
0,0000	0,0000	0,0000	-0,0001	0,0403	-0,0886	-10,7451
1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	26,7702
0,0000	1,0000	-0,2928	-0,0258	0,5167	-0,2050	62,3475
0,0000	0,0000	1,0000	-0,0127	-0,0905	0,6202	111,6609
0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	-0,5367	0,0005	105,0370
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	-0,1174	0,0403	-17,4994
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0403	-0,0886	-10,7392
1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	26,7702
0,0000	1,0000	-0,2928	-0,0258	0,5167	-0,2050	62,3475
0,0000	0,0000	1,0000	-0,0127	-0,0905	0,6202	111,6609
0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	-0,5367	0,0005	105,0370
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	-0,3429	149,0477
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	-0,0748	-16,7400
1,0000	-0,5194	0,0000	0,3178	-0,1891	0,0000	26,7702
0,0000	1,0000	-0,2928	-0,0258	0,5167	-0,2050	62,3475
0,0000	0,0000	1,0000	-0,0127	-0,0905	0,6202	111,6609
0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	-0,5367	0,0005	105,0370
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	-0,3429	149,0477
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	1,0000	223,7701

Зворотній ход:

U₃^'=225,7701

U₂^'=225,7821

U₁^'=226,0982

U₃^''=-3,80872

U₂^''=-3,6965

U₁^''=-4,32313

Розв'язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів методом Гаусса-Зейделя

Для розв'язку системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг (4) методом Гаусса-Зейделя приводимо її до вигляду, зручного для ітераційного процесу. Для цього розв'язуємо перше рівняння системи (4) відносно , друге - відносно і т.д. У результаті одержуємо систему рівнянь (6), для к-го кроку ітерацій, еквівалентну (4).

Порядок ітераційного розрахунку

Задаюся початковим (нульовим) наближенням невідомих (на нульовому кроці ітерацій):

.

Значення і , i=1,2,3 підставляю в праву частину першого рівняння системи (6) і визначаю перше наближення невідомого

При обчисленні невідомого в праву частину другого рівняння системи (6) підставляю значення невідомого , обчислене на першому кроці, і нульові наближення інших невідомих і т.д. При обчисленні невідомого в праву частину третього рівняння системи (6) підставляю значення невідомих , і нульові наближення інших невідомих і т.д., аж до обчислення , коли в праву частину шостого рівняння системи (6) підставляю складові напруг, обчислені на першому кроці, за винятком , для якого підставляється нульове наближення .

Аналогічною підстановкою отриманих на першому кроці значень складових напруг у праву частину першого рівняння системи (6) знаходиться наступне наближення і т.д. до досягнення необхідної точності.

Таким чином, на кожному к-му кроці ітераційного процесу для обчислення i-го невідомого використовуються значення невідомих, обчислених як на попередньому k-1 кроці, так і на даному - к-му.

За таких умов ітераційний процес збігається швидше. Це дозволяє значно скоротити кількість ітерацій.

Перша ітерація методом Гаусса-Зейделя має такий вигляд:

Загалом весь ітерационний процес у мене зійшовся за 18 ітерацій. Це набагато більше ніж у методі Гаусса, але при рішенні методом Гаусса я проводив більш складні розрахунки, котрі потребують більше часу, а в разі розрахунку на ЕВМ ускладнюється алгоритм, як наслідок маю більш високі вимоги до швидкості процесора та об`єму оперативної пам`яті. Я проводив розрахунок за допомогою програми, складеної у Excel, результати розрахунку приведені у таблиці 8, та перевірив отримані результати значення напруг у вузлах із розрахованими задопомогою програми ZEIDEL (D:|STUDENT\MAT_ZAD\ZEIDEL).

Таблиця 8

Рішення системи нелінійних рівняннь вузлових напруг методом Гаусса - Зейделя

	Рішення сістеми нелінійних рівнянь узлових напруг методом Гаусса - Зейделя
Номер шага итер.	U1", кВ	U2", кВ	U3", кВ	U1', кВ	U2', кВ	U3', кВ
0	0,0000	0,0000	0,0000	230,0000	230,0000	230,0000
1	-2,8457	-2,6202	-3,7603	228,5201	228,5083	224,8867
2	-4,0234	-4,3123	-1,7197	227,6692	226,0106	225,5843
3	-5,1089	-3,1493	-2,4312	225,7888	226,1982	224,8596
4	-3,8896	-3,2867	-1,9814	226,3056	225,9274	225,0681
5	-4,1762	-3,0649	-2,1014	226,0309	226,0274	224,9688
6	-3,9568	-3,1044	-2,0257	226,1614	225,9959	225,0152
7	-4,0242	-3,0734	-2,0512	226,1175	226,0171	224,9989
8	-3,9904	-3,0842	-2,0391	226,1416	226,0114	225,0074
9	-4,0046	-3,0797	-2,0443	226,1332	226,0149	225,0043
10	-3,9990	-3,0819	-2,0422	226,1372	226,0137	225,0058
11	-4,0016	-3,0811	-2,0432	226,1356	226,0142	225,0052
12	-4,0006	-3,0815	-2,0428	226,1363	226,0140	225,0054
13	-4,0011	-3,0814	-2,0430	226,1360	226,0141	225,0053
14	-4,0009	-3,0815	-2,0429	226,1361	226,0140	225,0053
15	-4,0009	-3,0814	-2,0429	226,1360	226,0141	225,0053
16	-4,0009	-3,0814	-2,0429	226,1361	226,0141	225,0053
17	-4,0009	-3,0814	-2,0429	226,1361	226,0141	225,0053

Розв'язок системи нелінійних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей методом Ньютона

Розв'язок системи трансцендентних рівнянь методом Ньютона передбачає ітераційний процес, на кожному р-м кроці якого, р=1,2…вирішується щодо поправок до шуканих невідомих лінеаризована система рівнянь. У системі ліворуч знаходиться квадратна матриця перших похідних функцій небалансів потужностей у вузлах по модулях і фазам невідомих напруг U_1, U₂ (матриця Якобі). Розв'язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса дозволяє одержати нові (уточнені) значення шуканих невідомих по формулах. Ітераційний процес продовжується доти, поки небаланси (нев'язки) у не стануть менше необхідної точності , у даному випадку = 0,01 МВт, Мвар.

Перед формуванням системи рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей варто перетворюю схему заміщення, приведену в завданні, звівши її до схеми із двома незалежними вузлами (Мал. 3)

Мал. 3

Розношу навантаження вузла 3 у вузли 2 і 4

Розраховую значення потужності навантаження у вузлі 2:

Складаю послідовно вітки 4 і 5:

Провідність еквівалентної вітки 4-5:

Результуюча провідність між вузлами 2 і 4.

Система нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей, записана у виразах для небалансів потужностей у вузлах, має вигляд:

;

.

Якщо в якості невідомих при розв'язку рівнянь використовуються модулі й фази напруг у вузлах , то після вираження через і , k=1…n, підстановки в активних і реактивних складових провідностей вузлів, активних і реактивних потужностей у вузлах, напруги базисного вузла і прирівняння нулю окремо дійсних і мнимих частин комплексів, одержуємо систему трансцендентних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей. Для к-го вузла, рівняння вузлових напруг, записане у виді функцій небалансів активних і реактивних потужностей у вузлі, має вигляд:

де

Для формування системи рівнянь необхідно за схемою заміщення мал.3 розрахувати елементи матриць активних і реактивних складових вузлових провідностей.

Розраховані чисельні значення елементів матриць Gу і Bу,См, значення активних Р,МВт і реактивних Q, Мвар потужностей у вузлах, напругу базисного вузла U_3, кВ слід підставити в систему.

У системи рівнянь усі провідності варто підставляти зі знаком плюс, усі потужності навантажень у вузлах , як і раніше, зі знаком мінус.

Розраховую значення потужності навантаження у вузлі 2:

Складаю послідовно вітки 4 і 5:

Провідність еквівалентної вітки 4-5:

Результуюча провідність між вузлами 2 і 4:

Система нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей, записана у виразах для небалансів потужностей у вузлах, має вигляд:

;

.

Якщо в якості невідомих при розв'язку рівнянь використовуються модулі й фази напруг у вузлах , то після вираження через і , k=1…n, підстановки в активних і реактивних складових провідностей вузлів, активних і реактивних потужностей у вузлах, напруги базисного вузла і прирівняння нулю окремо дійсних і мнимих частин комплексів, одержуємо систему трансцендентних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей. Для к-го вузла, рівняння вузлових напруг, записане у виді функцій небалансів активних і реактивних потужностей у вузлі, має вигляд:

де

Для формування системи рівнянь необхідно за схемою заміщення мал.3 розрахувати елементи матриць активних і реактивних складових вузлових провідностей.

Розраховані чисельні значення елементів матриць Gу і Bу,См, значення активних Р,МВт і реактивних Q, Мвар потужностей у вузлах, напругу базисного вузла U_3, кВ слід підставити в систему.

У системи рівнянь усі провідності варто підставляти зі знаком плюс, усі потужності навантажень у вузлах , як і раніше, зі знаком мінус.

Розраховую матрицю вузлових провідностей Yy

Для схеми заміщення, представленої на рис. 3, система рівнянь має наступний вигляд:

Небаланси напруг:

Перевіремо, чи небаланси (нев'язки) не менше необхідної точності .

Вище приведені рівняння будуть виконуватися у тому випадку, коли в них підставити дійсні значення напруг у вузлах схеми. На нульовому кроку ітерації задаюсь напругами, котрі дорівнюють напрузі у балансуючому вузлі Uб=115кВ. Іноді, коли ітераційний процес не збігається, то рекомендовано провести одну-дві ітерації методом Гаусса-Зейделя, а після отримані таким чином наближені значення вузлових напруг підставляти на нульову ітерацію метода Ньютона. Ураховуючи опір гілок схеми, напруга в узлах не буде співпадати з напругою балансуючого вузла, тому рівняння не будуть виконуватись, тобто їх права частина не буде дорівнювати 0. Такі праві частини називаються небалансами. Зная небаланси напруг та вирахувавши матрицю Якобі:

Елементи якої знаходяться за формулами:

Матриця Якобі:

Знаючи елементи матриці Якобі та небаланси, можна вирахувати поправки:

Розраховую поправки:

Уточнюю напруги:

Повторюю ітераційний процес поки небаланси (нев'язки) не стануть менше необхідної точності . Результати розрахунків наведені у таблиці 9.

Таблиця9

№	U1		U2		fp1	fp2	fq1	fq2
0	230	0	230	0	-65,78	-61,08	-23,94	-29,14
1	226,37	-0,018	226,3	0,0147	-0,018	-0,0147	-3,634	-3,696
2	226,2711	-0,01836	226,212	-0,014965	-0,0003187	-0,0002277	-0,0094958	-0,00918

Розрахунок струмів і потужностей віток.

Розрахунок струмів віток слід почати після попереднього нанесення на схему заміщення мережі прийнятих позитивних напрямків для струмів (потоків потужності) і значень комплексів вузлових напруг, представлених через дійсні і мнимі складові після їх уточнення в результаті розрахунку режиму на комп'ютері.

Матриця-стовпець фазних струмів може бути знайдена як

.

Тут - діагональна матриця провідностей віток; - матриця-стовпець напруг віток. У зв'язку з відсутністю у вітках ЕРС напруга на i-ій вітці може бути знайдена через міжфазні напруги на початку і наприкінці даної вітки i:

Тоді струм i-ої вітки за законом Ома дорівнює:

.

Якщо представити провідність вітки через активну і реактивну складові, а напруги і струми через дійсні й мнимі частини, то одержимо:

прирівнявши окремо дійсні і мнимі частини, маємо:

Тут усі і для вихідних даних курсової роботи додатні.

Знайдений струморозподіл необхідно нанести на схему мережі, попередньо уточнивши вузлові струми, і перевірити баланси струмів у вузлах.

Потужності трьох фаз на початку S_{N i} і наприкінці S_{К i} вітки i, якщо за позитивний напрямок струмів і потоків потужності прийняти напрямок від вузла N до вузла K, рівні:

Прирівнявши дійсні і мнимі частини, одержуємо вирази для активних P_{N i,} P_{K i} і реактивних Q_{N i,} Q_{K i} потужностей на початку й кінці кожної вітки:

Отриманий у результаті обчислень знак P чи Q показує, чи збігається фактичний напрямок потоків потужності із прийнятим. Знайдений потокорозподіл необхідно нанести на схему мережі і перевірити баланси потужностей у вузлах.

Утрати потужності в активному й індуктивному опорах вітки i рівні різниці потоків потужності на початку і наприкінці вітки:

Сумарні втрати потужності можна визначити, підсумувавши втрати потужності у всіх вітках:

Результати розрахунку усталеного режиму представимо в схемі заміщення мережі.

Вхідні данні:

Струми у вітках (дійсні й мнимі частини):

Активні P_{N i,} P_{K i} і реактивні Q_{N i,} Q_{K i} потужності на початку й кінці кожної вітки:

Утрати потужності в активному й індуктивному опорах:

Сумарні втрати потужності:

мережа струм напруга потужність

Завдання 2

Для структурної схеми надійності, приведеної на мал.5, визначити показники надійності системи на виході: частоту відмов, середній час відновлення, середній час безвідмовної роботи, імовірність відмов за рік, коефіцієнти готовності К _Г = р _ср і змушеного простою К _В = q _ср (середні імовірності працездатного й відмовного станів системи). Показники надійності елементів системи - частоти відмов _i і середні часи відновлення Т _{В i} приведені в таблиці 10. Відмови елементів розглядаються як незалежні події. Випадкова величина - наробіток на відмову підкоряється експоненціальному закону розподілу ймовірностей.

Мал. 5

Таблиця 10

№ елемента	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
, рік-1	0,34	0,26	0,28	0,25	0,25	0,15	0,18	0,12	0,1	0,02	0,014	0,014
Т ВО,год	14	9	10	8	8	7	11	10	8	40	70	70

При послідовному з'єднанні елементів:

, 1/рік ;

, год. ;

Тут - середній час відновлення i-го елемента системи, виражений у роках.

При паралельному з'єднанні двох елементів:

, годин ;

, 1/рік

При паралельному з'єднанні n елементів:

1/рік.

Для трьох паралельно з'єднаних елементів з (18) одержуємо:

, год.

1/рік.

Перевіряється, чи може надійність системи бути визначена по надійності її мінімальних перетинів, тобто чи виконується нерівність:

тут - середній час безвідмовної роботи найменш надійного елемента, виражений у годинах.

Матриця зв'язків вершин і ребер графа:

Таблиця 11

A	1,2,3
B	1,7,6
C	2,7,5
D	3,5,9
E	6,10,11
F	9,10,12

Масив підграфів, послідовним приєднанням до кожного (N=k-1) під графу вершин які зв'язані з однією із вершин даного під графа:

Таблиця 12

N1	A	A
N2	A	AB,AC,AD
N3	AB	ABE,ABC
	AC	ACD
	AD	ADF
N4	ABC	ABCD
	ABE	ABEF
	ACD	ACDF
	ADF	ADFE
N5	ABCD	ABCDF
	ABEF	ABEFD
	ACDF	ACDFE
	ADFE
N6	ABCDF	ABCDFE
	ABEFD
	ACDFE

Для кожного підграфа знаходяться перетини. Для цього по матриці зв'язків вершини - ребра виписуються всі ребра які зв'язані з вершинами даного підграфа. Ребра, які входять в об'єднання ребер даного підграфа парну кількість разів - викреслюються. Ребра, які залишилися виписуються - вони і утворюють перетин даного підграфа.Із сукупності отриманих перетинів вибираються мінімальні перетини. Для цього всі перетини представляються у порядку зростання числа елементів і уточняється чи немає в перетинах з більшим числом елементів - перетинів з меншим числом елементів.

Таблиця 13

N-підграфи	N=1	N=2			N=3
Вершини N-підграфів	A	AB	AC	AD	ABE	ABC	ACD	ADF
Ребра	1,2,3	1,2,3 1,7,6	1,2,3 2,7,5	1,2,3 3,5,9	1,2,3 1,7,6 6,10,11	1,2,3 1,7,6 2,7,5	1,2,3 2,7,5 3,5,9	1,2,3 3,5,9 4,10,12
Перетини	1,2,3	2,3,7,6	1,3,5,7	1,2,5,9	2,3,7,10,11	3,6,5	1,7,9	1,2,5,10,12
Мінімальні перетини	1,2,3					3,6,5	1,7,9

N-підграфи	N=4				N=5			N=6
Вершини N-підграфів	ABEF	ABCD	ACDF	ADFE	ABCDF	ACDFE	ABEFD	ABCDFE
Ребра	1,2,3 1,7,6 6,10,11 9,10,12	1,2,3 1,7,6 2,7,5 3,5,9	1,2,3 2,7,5 3,5,9 9,10,12	1,2,3 3,5,9 9,10,12 6,10,11	1,2,3 1,7,6 2,7,5 3,5,9 9,10,12	1,2,3 2,5,7 3,5,9 9,10,12 6,10,11	1,2,3 1,7,6 6,10,11 9,10,12 3,5,9	1,2,3 1,7,6 2,7,5 3,5,9, 9,10,16 6,10,11
Перетини	2,3,7,11,9,12	6,9	1,7,10,12	1,2,5,12,6,11	6,10,12	1,12,6,11	2,7,11,12,5	12,11
Мінімальні перетини		6,9			6,10,12			12,11

Мал. 8

, годин;

, 1/рік.

, годин;

,1/рік.

, год.

1/рік.

, год.

1/рік.

, год.

1/рік.

, год.

1/рік.

Частота відмов:

год^-1

Середній час відновлення системи:

год

років

Коефіцієнт змушеного простою К _В = q _ср:

Коефіцієнт готовності К _Г = р _ср:

Середній час безвідмовної роботи:

років

Імовірність відмови системи за рік ( t= 1 рік ) :

Завдання 3

Від трансформаторної підстанції на промисловому підприємстві одержують електроенергію чотири ділянки цеху. Закони розподілу випадкових величин - навантажень ділянок нормальні з параметрами m₁…m₄,₁…₄.

Кореляційний зв'язок між випадковими величинами (навантаженнями ділянок) характеризується матрицею коефіцієнтів кореляції .

Потрібно:

- Визначити максимальні активні потужності ділянок, імовірність перевищення яких .

- Визначити максимальну активну потужність трансформаторної підстанції, імовірність перевищення якої , врахувавши, що закон розподілу потужності підстанції також нормальний.

- Порівняти максимальну потужність підстанції із сумою максимальних потужностей ділянок. Як зміниться співвідношення між цими потужностями, якщо вважати, що кореляційний зв'язок між навантаженнями ділянок відсутній?

- Визначити ймовірність перебування значень активної потужності в заданому інтервалі потужностей.

Вихідні дані до завдання №3

Таблиця 14

№ варіанта	т1, кВт	m2, кВт	m3, кВт	m4, кВт	1, кВт	2, кВт	3, кВт	4, кВт	№ матриці		Інтервал Р, кВт
20	3400	3000	3500	3200	330	300	315	290	2	0,0062	1500-13300

Матриці коефіцієнтів кореляції:

Мал. 10

Максимальна активна потужність трансформаторної підстанції, імовірність перевищення якої , враховуючи, що закон розподілу потужності підстанції нормальний:

Імовірність події (А):

Тоді імовірність перевищення:

Якщо випадкова величина Х підчиняється нормальному закону розподілення імовірності:

- це число находимо по стандартним нормальним таблицям.

- де

Згідно таблиць нормальної стандартної функції розподілення імовірності можна знайти

Максимальна активна потужність трансформаторної підстанції складається з суми максимальних активних потужностей навантажень ділянок. У випадку коли усі електроприймачі увімкнені максимальна потужність буде знаходитися як алгебраїчна сума потужностей навантажень ділянок. Але на практиці не всі електроприймачі увімкнені одночасно, тому дійсна максимальна потужність трансформаторної підстанції буде відрізнятися від алгебраїчна сума потужностей навантажень ділянок, цей нюанс ураховується у розрахунках як імовірність того, скільки електроприймачів увімкнено у даний момент, або як закон розподілу потужності підстанції. Закон розподілу навантаження між електроприймачами залежить від багатьох факторів: технологічного процесу, доби року, часу суток. Залежить розподіл потужності між електроприймачами від кореляційного зв'язоку між навантаженнями ділянок та визначається матрицею коефіцієнтів кореляції .

По першому закону Кірхгофа:

кВт

Коефіцієнт кореляції:

Дисперсія:

Дисперсія:

кВт

кВт

Без врахування кореляційних зв'язків:

кВт

кВт

Визначення максимальних активних потужностей ділянок, імовірність перевищення яких :

кВт

кВт

кВт

кВт

По першому закону Кірхгофа максимальна потужність трансформаторної підстанції:

кВт

Імовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал:

Висновки

В курсовій роботі ми розрахували усталений режим у сеті, надійність системи електропостачання, примінив теорію імовірності для знаходження показників надійності системи, а також для знаходження потужності трансформаторної підстанції.

В першому завданні, при розрахунку напруги у вузлах схеми заміщення можна сказати, що метод Гауса зі зворотнім ходом досить простий та надійний, але потребує складних розрахунків, сходиться за дві-три ітерації; метод Гауса-Зейделя досить простий, сходоться поступово (приблизно 20 ітерацій), ізюминка методу полягає у тому, що на даному кроці ітераційного процесу підставляється частина невідомих, котрі були уточнені на цій же ітерації на попередніх шагах; метод Ньютона найбільш точний, бистро сходиться, але коли ітераційний процес не збігається, то рекомендовано провести одну-дві ітерації методом Гаусса-Зейделя, а після отримані таким чином наближені значення вузлових напруг підставляти на нульову ітерацію метода Ньютона, дуже громіздкі обчислення.

В другому завданні, де розраховуємо показники надійності системи, очевидно що надійність системи електропостачання досить велика, значною часткою це обумовлено тим, що у розгалуженій системі при виходу з ладу одного чи декількох елементів їх навантаження беруть на себе інші і система загалом залишається роботоспособною.

В третьому завданні розраховуємо потужність трансформаторної підстанції і її окремих ділянок, максимальна активна потужність трансформаторної підстанції складається з суми максимальних активних потужностей навантажень ділянок, також залежить від імовірністі того, скільки електроприймачів увімкнено у даний момент, або який закон розподілу потужності підстанції. Закон розподілу навантаження між електроприймачами залежить від багатьох факторів: технологічного процесу, доби року, часу суток. Залежність розподілу потужності між електроприймачами проявляється через кореляційний зв'язок між навантаженнями ділянок та визначається матрицею коефіцієнтів кореляції.

Список літератури

1. Идельчик В.И. Электрические системы и сети. М.: Энергоатомиздат, 1989. 542 с.

2. Надежность систем электроснабжения /В.В.Зорин и др. К.: Вища шк., 1984. 192 с.

3. Невольніченко В.М., Бесараб А.Н. Методичні вказівки та завдання до курсової роботи з дисципліни «Математичні задачі енергетики». Одеса., ОНПУ., 2004. 31 с.

4. Перхач В.С. Математичні задачі електроенергетики. Л.: Вища шк., 1989. 464 с.

5. Расчеты и анализ режимов работы сетей /Под ред. В.А.Веникова. М.: Энергия, 1974. 336 с.

6. Электроэнергетические системы в примерах и иллюстрациях /Под ред. В.А.Веникова. М.: Энергоиздат, 1983. 504 с.

Размещено на Allbest.ru