Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Двовимірні задачі магнітопружності для багатозв'язних середовищ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В різноманітних галузях сучасної промисловості і техніки через технічні та економічні переваги широко використовуються конструкції з елементами з п'єзомагнітних або магнітострикційних матеріалів. Ці елементи з різних технічних міркувань можуть мати отвори та включення, а з технологічних або експлуатаційних причин - також тріщини. В процесі експлуатації під впливом зовнішніх силових та магнітних полів у таких елементах конструкцій виникають високі концентрації напружень та внутрішньої енергії, що можуть привести до їх руйнування. У зв'язку з цим виникає потреба в разробці достатньо надійних методів дослідження магнітопружного стану тіл з отворами, тріщинами і включеннями, розв'язанні на їх основі важливих практичних задач. Вирішенню деяких проблем у цій області і присвячена дана дисертаційна робота.

Метою дисертації є вивчення впливу фізико-механічних властивостей матеріалів, геометричних розмірів тіл, отворів, тріщин і включень, їх кількості, взаємного розташування та комбінації на значення основних характеристик (напружень і переміщень, індукції, напруженості та потенціалу магнітного поля) магнітопружного стану (МПС), густини внутрішньої енергії і коефіцієнтів інтенсивності напружень, індукції та напруженості (КІНІН), встановлення закономірностей їх якісних і кількісних змін. Для досягнення цієї мети необхідно було

· розробити методи розв'язання двовимірної задачі магнітопружності для багатозв'язного тіла, півпростору та шару;

· з використанням цих методів отримати теоретичні розв'язки конкретних задач з їх алгоритмізацією;

· розробити комплекси програм для чисельної реалізації алгоритмізованих розв'язків;

· провести чисельні дослідження з метою встановлення закономірностей зміни МПС розглянутих багатозв'язних тіл при дії механічних сил і магнітних полів.

Об'єктом дослідження є магнітопружний стан тіл з отворами, тріщинами та включеннями при дії силових і магнітних полів, в залежності від геометричних характеристик та фізико-механічних властивостей матеріалів.

Предметом дослідження є розробка методів визначення магнітопружного та енергетичного станів тіл з різноманітними фізико-механічними властивостями матеріалів, з урахуванням наявності в них довільно розташованих отворів, тріщин і включень у випадку механічних та магнітних впливів.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі використано і розвинено низку підходів. Зокрема, отримано основні співвідношення двовимірної задачі магнітопружності для п'єзомагнітних тіл, введено узагальнені комплексні потенціали магнітопружності, знайдено через них вирази основних характеристик МПС, одержано граничні умови для визначення комплексних потенціалів, загальні вирази цих функцій для випадків тіла, півпростору та шару з отворами і тріщинами; показано ефективність використання комплексних потенціалів при розв'язанні задач та обґрунтовано вірогідність отриманих результатів. Розроблено чисельно-аналітичний метод визначення комплексних потенціалів для тіла, півпростору та шару з отворами, тріщинами і включеннями при довільній їх кількості, комбінації та розташуванні. Метод ґрунтується на використанні конформних відображень, виділенні логарифмічних особливостей комплексних потенціалів та сингулярностей їх похідних у кінцях тріщин, які представлено «вузькими» еліпсами, задоволенні граничним умовам методами інтегралів типу Коші та найменших квадратів, зведенні розглянутих задач до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих сталих, що входять до комплексних потенціалів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження зв'язані з фундаментальною науково-дослідною роботою, що фінансувалась Міністерством освіти і науки України: «Розробка методів дослідження напруженого стану однорідних і кусочно-однорідних тіл з концентраторами напружень при дії силових, температурних, електричних полів та їх застосування» (№держреєстрації 0101U005377, 2004-2006 рр. на підставі рішення науково-експертної ради). Частина результатів дисертації використана в звітах по зазначеній НДР.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що

· отримано основні співвідношення двовимірної задачі магнітопружності для п'єзомагнітних тіл;

· введено та досліджено узагальнені комплексні потенціали двовимірної задачі магнітопружності для п'єзомагнітних тіл з отворами, тріщинами і включеннями, що дозволяють визначати основні характеристики МПС, КІНІН та густину внутрішньої енергії;

· розроблено чисельно-аналітичний метод дослідження МПС тіла з отворами, тріщинами і включеннями, який ґрунтується на використанні конформних відображень, розвинень функцій в ряди Лорана та за поліномами Фабера, виділенні особливостей комплексних потенціалів та сингулярностей їх похідних у кінцях тріщин та включень, застосуванні дискретного методу найменших квадратів;

· розроблено підхід до розв'язання задач магнітопружності для півпростору з внутрішніми отворами та тріщинами, який ґрунтується на використанні інтегралів типу Коші для отримання загальних виразів комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничним умовам на плоскій границі та наближено - на поверхнях отворів і тріщин;

· розроблено методику розв'язання задач для півпростору і шару, яка ґрунтується на наближеному задоволенні граничним умовам на всіх границях тіл та дозволяє розв'язувати задачі не лише у випадку внутрішніх отворів і тріщин, але й коли останні перетинають плоскі границі зазначених тіл;

· розв'язано низку нових двовимірних (плоских) задач магнітопружності для тіла, півпростору та шару (пластинки, півплощини і смуги) з отворами, тріщинами і включеннями при дії силових та магнітних полів;

· встановлено нові магнітомеханічні закономірності впливу фізико-механічних властивостей матеріалів тіл і включень, геометричних розмірів отворів, тріщин та включень, їх кількості, взаємного розташування відносно один одного і зовнішніх границь на значення основних характеристик МПС, КІНІН та густини внутрішньої енергії.

Вірогідність отриманих результатів і висновків роботи забезпечується строгістю постановки задач і використанням строгих математичних методів; високим ступенем точності задоволення граничним умовам, що перевіряються у численних точках границь; вірогідність результатів, отриманих при наближеному задоволенні граничним умовам на плоских границях півпростору та шару, забезпечується узгодженням (з достатньо високим ступенем точності) цих результатів з аналогічними, одержаними при точному задоволенні умовам на плоскій границі.

Практичне значення отриманих результатів полягає у можливості використання розроблених методик розв'язання задач і програмних засобів для їх чисельної реалізації при розрахунках, пов'язаних з проектуванням і визначенням робочих параметрів елементів конструкцій з п'єзомагнітних матеріалів з отворами та включеннями; в отриманні результатів чисельних розрахунків, які дозволяють оцінювати взаємовплив отворів, тріщин і включень, їх кількості, комбінації, розташування відносно один одного та зовнішніх границь тіла, а також вплив фізико-механічних властивостей матеріалів тіл і включень на значення основних характеристик МПС, КІНІН та густини внутрішньої енергії.

Апробація результатів роботи. Основні положення роботи були повідомлені та обговорені на низці наукових конференцій та семінарів, у тому числі на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Донецького національного університету в 2004-2006 рр., III і IV Міжнародних наукових конференціях «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла» (м. Донецьк, 2005 р., 2006 р.), VII Міжнародній науковій конференції «Математичні проблеми механіки неоднорідних структур» (м. Львів, 2006 р.), XXIII Southeastern Conference on Theoretical and Applied Mechanics (Mayaguez, Puerto Rico, 2006), VII World Congress on Computational Mechanics (Los Angeles, California, USA, 2006).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на об'єднаному науковому семінарі з механіки суцільних середовищ кафедр теорії пружності й обчислювальної математики, прикладної механіки і комп'ютерних технологій Донецького національного університету, науковому семінарі відділу теорії фізико-механічних полів Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом професора О.Р. Гачкевича (м. Львів), науковому семінарі кафедри механіки суцільних середовищ Київського національного університету ім. Тараса Шевченка під керівництвом професора Л.В. Мольченка (м. Київ), науковому семінарі відділу механіки повзучості Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України під керівництвом професора В.П. Голуба (м. Київ). Цикл наукових робіт за темою дисертації разом з роботами Г.І. Баєвої у 2007 р. відзначено премією НАН України для молодих вчених по відділенню «Механіка».

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковано у 13 наукових роботах [1-13], з них 7 - статті в наукових журналах, затверджених ВАК України фаховими виданнями [1-3, 8, 9, 11, 12], 6 тез і матеріалів наукових конференцій [4-7, 10, 13].

Основні результати роботи отримані автором самостійно. В роботах [1, 2, 4, 5, 7-11] співавтору С.О. Калоєрову належить участь у постановці задач, виборі методу дослідження та обговоренні отриманих результатів. У роботах [6, 7, 9, 12] співавторам Г.І. Баєвій [6, 12] і О.В. Авдюшиній [7, 9] належить участь у проведенні чисельних досліджень та обговоренні одержаних результатів.

Особисто автору належать такі включені до дисертаційної роботи і публікацій наукові результати:

- отримання основних співвідношень двовимірної задачі магнітопружності, введення та дослідження узагальнених комплексних потенціалів для тіл з отворами, тріщинами і включеннями, отримання виразів основних характеристик МПС через комплексні потенціали, граничних умов для визначення потенціалів [1, 2];

- розробка чисельно-аналітичної методики дослідження МПС тіла з отворами, тріщинами і включеннями, що ґрунтується на використанні методів конформних відображень, розвинень функцій в ряди Лорана та за поліномами Фабера, застосуванні методу найменших квадратів [1-3, 5, 8, 11];

- розробка підходів розв'язання задач для півпростору з отворами і тріщинами при точному або наближеному задоволенні умовам на плоскій границі, поширення цих підходів на багатозв'язний шар [6, 7, 9, 12];

- побудова теоретичних розв'язків низки практично важливих задач з їх алгоритмізацією;

- розробка комплексів програм для чисельної реалізації алгоритмізованих розв'язків;

- проведення чисельних досліджень магнітопружного стану різних багатозв'язних тіл (пластинок), півпростору та шару (півплощини і смуги) з виявленням нових магнітомеханічних закономірностей [1-3, 5-9, 11, 12].

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, п'яти розділів, висновку, списку використаної літератури, який містить 276 джерел, і двох додатків. У роботі 50 таблиць та 21 рисунок. Загальний об'єм дисертації складає 242 сторінки, з яких 24 сторінки займає список літератури, 77 сторінок - додатки.

Основний зміст роботи

магнітний двовимірний програма

У вступі обґрунтовано актуальність теми; сформульовано мету роботи та основні наукові результати, що виносяться на захист; зазначений зв'язок роботи з науковими програмами, планами; охарактеризовані наукова новизна, практичне значення отриманих результатів і особистий внесок автора в спільні публікації.

У першому розділі викладено огляд літературних джерел за темою дисертації та суміжним темам. Висвітлено формування та розвиток фізичних представлень і математичних моделей магнетизму та магнітопружності, механіки руйнування магнітопружних тіл, етапи розробки методів розв'язання задач магнітопружності, їх застосування щодо розв'язання конкретних задач. Наведено огляд розв'язків задач з визначення МПС різних тіл. Аналізом охоплено більше 270 робіт вітчизняних і закордонних авторів. Відзначено провідну роль у розвитку теорії та її застосування щодо розв'язання фундаментальних теоретичних і практичних задач робіт З.С. Аграновича, В.М. Александрова, С.О. Амбарцумяна, К.П. Бєлова, Я.Й. Бурака, О.Р. Гачкевича, В.Т. Грінченка, О.М. Гузя, О.А. Ільюшіна, С.О. Калоєрова, А.О. Камінського, В.Г. Карнаухова, Г.С. Кіта, О.С. Космодаміанського, В.Д. Кубенка, Б.О. Кудрявцева, С.Г. Лехницького, Р.М. Мартиняка, Б.П. Маслова, Ф.Г. Махорта, Л.В. Мольченка, Н.Ф. Морозова, В.І. Моссаковського, Н.І. Мусхелішвілі, В. Новацького, В.В. Панасюка, В.З Партона, Ю.М. Подільчука, Я.С. Підсригача, Г.Я. Попова, В.Л. Рвачова, М.П. Саврука, Л.І. Сєдова, В.І. Сторожева, Г.Т. Сулима, Р.Ф. Терлецького, А.Ф. Улітка, Л.А. Фільштинського, І.Ю. Хоми, Л.П. Хорошуна, В.П. Шевченка, Ю.М. Шевченка, М.О. Шульги, J.B. Alblas, W.F. Brown, A. Eringen, Y. Ersoy, E. Kiral, G. Maugin, F.C. Moon, Y.-H. Pao, G. Paria, Y. Shindo, G.C. Sih, H.F. Tiersten, R.A. Toupin, C.-S. Yeh та багатьох інших вітчизняних і закордонних вчених. За допомогою аналізу літературних джерел виявлено області теорії та практики, які внаслідок наявності математичних труднощів до сих пір залишалися мало дослідженими. Встановлено, що на цей час розроблено фізичні та математичні основи магнітопружності, загальні методи розв'язання задач, наведено розв'язки низки задач з дослідження МПС тіл у випадку однозв'язних областей. Для п'єзомагнітних тіл з отворами, тріщинами і включеннями загальних методів розв'язання задач не розроблено, не отримано розв'язків конкретних задач і не проведено досліджень їх МПС, хоч у результатах таких досліджень є гостра практична необхідність. До сих пір не має важливих для інженерної практики розв'язків задач для багатозв'язного півпростору (півплощини) та шару (смуги).

У другому розділі отримано основну систему рівнянь двовимірної задачі магнітопружності для п'єзомагнітних тіл, введено комплексні потенціали двовимірної та плоскої задач, одержано через них вирази основних характеристик МПС, КІНІН і густини внутрішньої енергії. Отримано граничні умови для визначення комплексних потенціалів, що охоплюють механічні та магнітні умови на границі. Досліджено загальні вирази комплексних потенціалів для багатозв'язної області, їх логарифмічні особливості і головні частини у нескінченно віддаленій точці (полюсі).

У цьому ж розділі також отримано аналітичні розв'язки задач для тіла з еліптичним отвором або магнітопружним включенням, а для пластинки з круговим отвором або еліптичним магнітопружним ядром проведено також докладні чисельні дослідження зміни МПС, КІНІН і густини внутрішньої енергії залежно від фізико-механічних властивостей матеріалів, геометричних характеристик ядра. У цих дослідженнях, як і у всіх наступних, чисельні розрахунки проведені для матеріалів М1 (Terfenol-D), М2 (п'єзомагнітна кераміка), М3 (Terfenol-D з ефективними властивостями) та М4 (). Отримано низку цікавих фактів. Зокрема, з отриманих результатів випливає, що для дослідження пружної рівноваги тіл з п'єзомагнітних матеріалів не можна обмежитися розв'язанням задачі класичної теорії пружності нехтуючи магнітними властивостями матеріалів, а треба розв'язувати задачу магнітопружності, тому що результати цих розв'язань помітно відрізняються один від одного. Це видно з рис. 1, де для матеріалів М1 і М3 наведено графіки розподілу густини внутрішньої енергії біля контуру кругового отвору у пластинці при однобічному її розтягу зусиллями , причому суцільні та штрихові лінії відповідають розв'язкам задач магнітопружності і теорії пружності відповідно,  - центральний кут, що відраховується від позитивного напрямку вісі проти годинникової стрілки. Таким чином, навіть у випадку механічних впливів при розв'язанні задач не можна нехтувати магнітопружними властивостями, не говорячи про те, що при дії магнітних полів у тілі виникають значні напруження та деформації, які можливо визначити, тільки розв'язуючи задачу магнітопружності. Про високий рівень напружень можна судити з даних рис. 2, де зображено графіки розподілу нормальних напружень поблизу контуру кругового отвору на площадках, перпендикулярних до контуру, при дії на пластинку магнітного поля з напруженістю . Дослідженнями також встановлено, що значення фізико-механічних властивостей матеріалу суттєво впливають на МПС. Так, для пластинки з матеріалу М4 максимальні значення напружень, індукції та густини внутрішньої енергії біля контуру отвору у десятки разів перевищують відповідні значення для пластинки з матеріалу М1.

Низку цікавих закономірностей виявлено у результаті чисельних досліджень для пластинки з магнітопружним ядром, для матеріалу якого коефіцієнти деформації , п'єзомагнітні коефіцієнти та коефіцієнти проникності зв'язані з відповідними коефіцієнтами для матеріалу пластинки параметрами відносної жорсткості , п'єзомагнетизму та магнітної проникності .

Встановлено, що зменшення параметра відносної жорсткості (збільшення жорсткості) ядра приводить до зростання значень всіх основних характеристик МПС і густини внутрішньої енергії; при ядро можна вважати абсолютно гнучким (отвором), при - абсолютно жорстким. При постійному параметрі зміна параметра п'єзомагнетизму істотно не впливає на значення всіх характеристик. Зміна параметра відносної проникності ядра при дії механічних зусиль суттєво впливає тільки на значення магнітних характеристик, а у випадку дії магнітного поля - на значення всіх характеристик; при проникність досягає високого рівня й її подальше збільшення не приводить до змін МПС; при ядро є практично магнітно непроникним, тому подальше зниження його проникності не впливає на МПС. Зі збільшенням параметра жорсткості вплив проникності на зміну МПС тіла зменшується.

Встановлено, що особливість комплексних потенціалів, а отже і основних характеристик МПС, для еліптичного отвору та ядра виникає, коли відношення півосей менше 10^-4.

У третьому розділі комбінованим методом визначення комплексних потенціалів отримано розв'язок задачі магнітопружності для тіла з отворами та тріщинами при їх довільній комбінації та розташуванні. Метод ґрунтується на використанні конформних відображень, розвинень функцій в ряди Лорана та за поліномами Фабера, виділенні особливостей комплексних потенціалів у кінцях тріщин, які представляються «вузькими» еліпсами, задоволенні умовам на контурах методом найменших квадратів. Чисельними дослідженнями встановлено високу ефективність розробленої методики, стійкість отриманих результатів.

У цьому випадку похідні комплексних потенціалів мають вид [1, 2]

, (1)

, ; (2)

; (3)

, , , , - відомі сталі, що залежать від заданих зовнішніх впливів, геометричних характеристик та фізико-механічних властивостей матеріалів тіл; - змінні, які обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності відповідних еліпсів;  - невідомі сталі, визначення яких з граничних умов методом найменших квадратів зведено до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

У цьому розділі наведено розв'язки низки задач для диска та нескінченої пластинки з отворами і тріщинами. Описано результати докладних чисельних досліджень МПС для кругового кільця, кругового диска з тріщиною, пластинки з двома круговими отворами або тріщинами, круговим отвором і тріщиною, у тому числі крайовою, зі скінченим або нескінченим (періодичним) рядом кругових отворів або тріщин. Розглянуто випадки зосереджених сил, розтягу пластинки та дії однорідного магнітного поля вдалині від отворів (тріщин). Чисельними дослідженнями виявлено вплив фізико-механічних властивостей матеріалу, геометричних характеристик отворів і тріщин, їх кількості, комбінації та розташування на значення основних характеристик МПС, КІНІН і густини внутрішньої енергії. Встановлено низку закономірностей. Нижче описано лише деякі з отриманих результатів для пластинки з круговим отвором та тріщиною.

На рис. 3 для розтягу пластинки з матеріалу М1 в залежності від відношення відстані між отвором і тріщиною до радіуса отвору наведено графіки розподілу напружень біля контуру отвору, а на рис. 4 - графіки зміни КІНІН , для лівого та правого кінців тріщини. Вважалося, що довжина тріщини дорівнює діаметру отвору . Аналогічні дані для пластинки з матеріалів М1 та М3 при дії однорідного магнітного поля наведено на рис. 5, 6. На рис. 7 для розтягу пластинки з матеріалу М1 з отвором і крайовою тріщиною в залежності від відношення довжини тріщини до радіуса отвору зображено графік зміни КІНІН .

З рис. 3-7 та інших отриманих результатів випливає, що при наближенні отворів (тріщин) один до одного та збільшенні їх кількості значення основних характеристик МПС і густини внутрішньої енергії в точках перемички, а у випадку тріщин також і КІНІН зростають. Якщо відстань між отворами (тріщинами) більше двох діаметрів (довжин) одного з них, то впливом одного отвору (тріщини) на МПС поблизу іншого можна нехтувати. Фізико-механічні властивості матеріалів істотно впливають на МПС пластинки. Так, при дії зусиль значення індукції, напруженості, КІНІН та , а при дії магнітного поля з напруженістю значення напружень і КІНІН для пластинки з матеріалу М3 у 5 разів перевершують значення відповідних величин для пластинки з матеріалу М1. Для пластинки з отвором та тріщиною особливо великих значень основні характеристики МПС досягають біля контуру отвору для центральних кутів (які відраховуються від лінії тріщини проти годинникової стрілки), близьких до . Вихід тріщини на контур отвору приводить до зменшення значень цих величин у зоні виходу з одночасним їх зростанням у протилежній зоні. Збільшення довжини крайової тріщини спричинює зростання значень КІНІН, а також основних характеристик МПС і густини внутрішньої енергії поблизу контуру отвору у зоні, протилежній розрізу.

У четвертому розділі спочатку для півпростору з внутрішніми отворами та тріщинами методом інтегралів типу Коші отримано загальні вирази комплексних потенціалів, які точно задовольняють граничним умовам на плоскій границі. На основі цього розв'язку похідні потенціалів мають вид [6, 12]

, (4)

;

,

де , , , - відомі сталі, залежні від фізико-механічних властивостей матеріалу; , - змінні, що обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності відповідних еліптичних отворів нижніх та верхніх півплощин узагальнених комплексних змінних. Визначення невідомих сталих з умов на контурах отворів методом найменших квадратів зведено до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

На основі наведеного підходу для випадку, коли поверхні отворів або тріщин можуть перетинати плоску границю, у цьому ж розділі запропоновано методику наближеного задоволення граничним умовам як на поверхнях отворів, так і на плоских границях методом найменших квадратів. Цей підхід поширено і на задачу для багатозв'язного шару. В останньому випадку для похідних комплексних потенціалів отримано вирази [7, 9]

; (5)

,

де та , - змінні, які обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності еліпсів, що відповідають вихідним еліптичним отворам та еліптичним отворам, отриманим їх дзеркальним відображенням відносно прямолінійних границь області поперечного перерізу шару; , , - невідомі сталі, визначення яких з граничних умов на контурах отворів і плоских границях методом найменших квадратів зведено до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому для випадку півпростору сталі треба вважати рівними нулю.

Застосуванням запропонованих підходів розв'язано низку задач для півпростору та шару з довільно розташованими отворами і тріщинами, у тому числі такими, що перетинають плоскі границі. Чисельні дослідження проведені для півплощини з круговим отвором або вертикальною тріщиною (внутрішньою або крайовою), з круговим отвором і тріщиною у перемичці, для смуги з центральним круговим отвором або поперечною тріщиною, з двома симетричними крайовими тріщинами. Чисельними дослідженнями встановлено високу ефективність запропонованих методик розв'язання задач, стійкість отриманих результатів. Показано, що, коли отвори та тріщини не виходять на плоску границю, результати, отримані при точному і наближеному задоволенні граничним умовам на плоскій границі, практично збігаються. Чисельними дослідженнями виявлено низку закономірностей зміни МПС. Нижче описано лише деякі з отриманих результатів.

На рис. 8, 9 для розтягу зусиллями півплощини (суцільні лінії) та смуги (штрихові лінії) з круговим отвором радіуса або тріщиною довжини відповідно в залежності від відношення або , де - довжина перемички, зображено графіки зміни напружень у деяких точках і КІНІН . На рис. 10 для випадку дії магнітного поля з напруженістю на смугу з круговим отвором в залежності від наведено графіки зміни індукції (суцільні лінії відповідають смузі з матеріалу М1, штрихові лінії - з матеріалу М4).

З рис. 8-10 та інших отриманих результатів випливає, що значення напружень, індукції на напруженості поля, виникаючих у багатозв'язних півплощині та смузі, вагомі як при механічному, так і при магнітному впливах. При наближенні отвору або тріщини до прямолінійних границь значення основних характеристик МПС в точках перемичок, особливо біля контуру отвору або тріщини, та КІНІН різко зростають. Наявність тріщини у перемичці між отвором і прямолінійною границею приводить до збільшення значень основних характеристик МПС, густини внутрішньої енергії поблизу границь та КІНІН. Збільшення довжини цієї тріщини спричинює зростання значень вказаних величин. Вихід тріщини на прямолінійну границю різко зменшує значення всіх характерних величин у зоні виходу тріщини і збільшує КІНІН для іншого кінця тріщини. Для смуги (при наявності двох прямолінійних границь) значення цих величин значно більше, ніж для півплощини. Так, значення відповідних величин для смуги при достатньо близьких відстанях до прямолінійних границь виявляються в 2-3 рази більшими, ніж для півплощини. Для півплощини та смуги вплив фізико-механічних властивостей їх матеріалів особливо чималий на значення основних характеристик МПС, КІНІН та густини внутрішньої енергії. Так, значення відповідних величин для смуги з матеріалу М4, з найбільш вираженими п'єзомагнітними властивостями, виявляються у десятки разів більшими, ніж для смуги з матеріалу М1.

У п'ятому розділі наведено розв'язок двовимірної задачі магнітопружності для кусочно-однорідного тіла з магнітопружними еліптичними включеннями. Досліджено властивості комплексних потенціалів для тіла та включень, у тому числі у випадку періодичної задачі. Враховуючи умови ідеального контакту тіла та включень, з використанням методу найменших квадратів розглянуті задачі зведено до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Наведено розв'язки низки задач. Для пластинки з двома і нескінченим рядом кругових включень, з тонкими лінійними волокнами проведені докладні чисельні дослідження МПС. Вивчено вплив фізико-механічних властивостей матеріалів пластинки та включень, їх геометричних характеристик на МПС і густину внутрішньої енергії. Нижче описано деякі з отриманих результатів для пластинки з матеріалу М3 з двома круговими отворами радіуса , один з яких підкріплений магнітопружним ядром.

На рис. 11, 12 відповідно для випадків дії і зображено графіки розподілу напружень поблизу контуру непідкріпленого (лівого) отвору для різних значень параметра відносної жорсткості для матеріалу ядра, яке підкріплює другий (правий) отвір. При цьому вважалося, що відношення відстані між контурами до їх радіуса , параметр проникності для матеріалу ядра . У випадку дії однорідного магнітного поля на рис. 12 штриховими лініями зображено також аналогічні графіки, коли .

З рис. 11, 12 та інших отриманих результатів випливає, що підкріплення якогось з отворів магнітопружним ядром приводить до значного зменшення максимальних значень основних характеристик МПС поблизу сусідніх непідкріплених отворів. При наближенні магнітопружних включень один до одного значення основних характеристик МПС і густини внутрішньої енергії так само, як і у випадку непідкріплених отворів, збільшуються. У випадку дії зміна параметра відносної проникності впливає в основному на значення магнітних характеристик, а при дії магнітного поля - на значення всіх величин, причому цей вплив тим більше, чим більш жорстке включення. Лінійні волокна можна моделювати «вузькими» еліптичними включеннями, якщо їх ширина у сотні разів менше довжини.

Основні результати і висновки

Внаслідок проведених у роботі досліджень розвинено методи розв'язання задач магнітопружності, наведено їх застосування до проблеми вивчення МПС багатозв'язного тіла (пластинки), півпростору та шару (півплощини і смуги).

Основні наукові результати і висновки, що одержано у роботі, наступні:

Отримано основні співвідношення двовимірної задачі магнітопружності для п'єзомагнітних тіл.

Введено комплексні потенціали двовимірної та плоскої задач, отримано через них вирази основних характеристик МПС, КІНІН і густини внутрішньої енергії, граничні умови для визначення комплексних потенціалів; досліджено загальні вирази комплексних потенціалів для багатозв'язної області.

Розроблено чисельно-аналітичний метод визначення комплексних потенціалів для тіла з отворами, тріщинами та включеннями, який ґрунтується на використанні конформних відображень, розвинень функцій в ряди Лорана та за поліномами Фабера, виділенні логарифмічних особливостей комплексних потенціалів та сингулярностей їх похідних у кінцях тріщин та включень, представлених «вузькими» еліпсами, задоволенні умовам на контурах методом найменших квадратів.

Розроблено підхід до розв'язання задач магнітопружності для півпростору з внутрішніми отворами і тріщинами, який ґрунтується на використанні інтегралів типу Коші для отримання загальних виразів комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничним умовам на плоскій границі та наближено - на поверхнях отворів і тріщин. На цій основі запропоновано методику розв'язання задач для півпростору і шару наближеним задоволенням граничним умовам на всіх границях зазначених тіл, яка дозволяє розв'язувати задачі не лише у випадку внутрішніх отворів та тріщин, але і коли останні перетинають плоскі границі цих тіл.

Побудовано теоретичні розв'язки низки практично важливих задач з їх алгоритмізацією.

Розроблено комплекси програм для чисельної реалізації алгоритмізованих розв'язків.

Чисельними дослідженнями встановлено високу ефективність розроблених методик розв'язання задач для багатозв'язних середовищ і стійкість отриманих результатів. Останнє, поряд із застосуванням строгих математичних методів, підтверджує вірогідність отриманих результатів.

Проведено докладні чисельні дослідження розв'язків низки задач, з допомогою яких встановлено нові магнітомеханічні закономірності впливу фізико-механічних властивостей матеріалів тіл і включень, геометричних розмірів отворів, тріщин та включень, їх кількості, взаємного розташування відносно один одного і зовнішніх границь на значення основних характеристик МПС, КІНІН та густини внутрішньої енергії. Зокрема, з отриманих результатів випливає, що для дослідження пружної рівноваги тіл з п'єзомагнітних матеріалів не можна обмежитися розв'язанням задачі класичної теорії пружності нехтуючи магнітними властивостями матеріалів, а треба розв'язувати задачу магнітопружності. При наближенні отворів (тріщин) один до одного та збільшенні їх кількості значення основних характеристик МПС і густини внутрішньої енергії в точках перемички, а у випадку тріщин також і КІНІН, зростають. Вихід тріщини на контур отвору приводить до зменшення значень цих величин у зоні виходу з одночасним їх зростанням у протилежній зоні. Збільшення довжини крайової тріщини спричинює зростання значень КІНІН, а також основних характеристик МПС і густини внутрішньої енергії поблизу контуру отвору у зоні, протилежній розрізу. Близькість прямолінійних границь до контурів отворів (тріщин) значно збільшує значення основних характеристик МПС, КІНІН і густини внутрішньої енергії. Ці значення стають особливо великими при наявності двох прямолінійних границь (випадок смуги). Так, значення відповідних величин для смуги виявляються в 2-3 рази більшими, ніж для півплощини. Фізико-механічні властивості матеріалів спричиняють чималий вплив на МПС. Наприклад, значення відповідних величин для смуги з матеріалу М4, з найбільш вираженими п'єзомагнітними властивостями, виявляються у десятки разів більшими, ніж для смуги з матеріалу М1. Підкріплення отворів магнітопружними включеннями значно зменшує значення основних характеристик МПС, КІНІН і густини внутрішньої енергії поблизу сусідніх непідкріплених отворів. Збільшення жорсткості включень зменшує значення цих величин.

Результати наведених у дисертаційній роботі досліджень мають як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропоновані методики можуть бути використані при розв'язанні різноманітних задач інженерної практики.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях

Калоеров С.А., Бороненко О.И. Двумерная и плоская задачи для пьезомагнитного тела с отверстиями и трещинами // Теорет. и прикладная механика. - 2005. - Вып. 41. - С. 111-123.

Калоеров С.А., Бороненко О.И. Двумерная задача магнитоупругости для многосвязного пьезомагнитного тела // Прикладная механика. - 2005. - Т. 41, №10. - С. 64-74.

Бороненко О.И. Двумерная задача магнитоупругости для бесконечного тела с пьезомагнитным включением // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А. Природничі науки. - 2005. - Вип. 2. - С. 59-66.

Boronenko O., Kaloerov S. Multiconnected Piezomagnetic Solids under Surface Mechanical or Magnetic Load // Program and Book of Abstracts, XXIII Southeastern Conference on Theoretical and Applied Mechanics, Mayaguez, Puerto Rico, May 21-23, 2006. - P. 75.

Boronenko O., Kaloerov S. Multiconnected piezomagnetic solids under surface mechanical or magnetic load // Developments in Theoretical and Applied Mechanics. - Vol. XXIII. - in CD-ROM: ISBN: 0-09753270-1-1, 2006. - P. 1-9.

Баева А.И., Бороненко О.И. Исследование магнитоупругого состояния полупространства и полуплоскости с отверстиями и трещинами // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Матер. IV Междунар. науч. конф. Донецк-Мелекино, 12-14 июня 2006 г. - Донецк: Юго-Восток, 2006. - С. 22-24.

Калоеров С.А., Бороненко О.И., Авдюшина Е.В. Магнитоупругое состояние многосвязного пьезомагнитного слоя (полосы) // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Матер. IV Междунар. науч. конф. Донецк-Мелекино, 12-14 июня 2006 г. - Донецк: Юго-Восток, 2006. - С. 64-66.

Бороненко О.И., Калоеров С.А. Периодическая задача магнитоупругости для тела с эллиптическими полостями или трещинами // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А. Природничі науки. - 2006. - Вип. 1. - С. 111-116.

Калоеров С.А., Бороненко О.И., Авдюшина Е.В. Приближенный метод определения магнитоупругого состояния пьезомагнитного полупространства и слоя с полостями и трещинами // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2006. - Т. 49, №3. - С. 96-105.

Калоеров С., Бороненко О. Двумерная задача магнитоупругости для тел с отверстиями, трещинами и включениями // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: В 2-х т. - Львів: ВКП «ВМС», 2006. - Т. 2. - С. 50-52.

Калоеров С.А., Бороненко О.И. Периодическая задача магнитоупругости для тела с упругими включениями // Прикл. механика. - 2006. - Т. 42, №9. - С. 32-40.

Баева А.И., Бороненко О.И. Магнитоупругое состояние многосвязного полупространства и полуплоскости // Теорет. и прикладная механика. - 2006. - Вып. 42. - С. 63-72.

Boronenko O. Piezomagnetic Composite Structure Solids Under Surface Magneto-mechanical Loads // in: «CD-ROM Proceedings of the 7th World Congress on Computational Mechanics (WCCM VII)», IACM, Wisconsin: Omipress, 2006. - Paper-Nr. 1226. - P. 1.

Размещено на Allbest.ru