Взаємодія просторових тріщин з низькочастотними пружними хвилями у деформівних тілах

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

УДК 539.3

Взаємодія просторових тріщин з низькочастотними пружними хвилями у деформівних тілах

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук

Бутрак Іванна Орестівна

Львів 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Михаськів Віктор Володимирович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент вайсфельд Наталія Данилівна, Одеський національний університет ім. І.І. Мечнікова, професор кафедри методів математичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, професор НИКОЛИШИН Мирон Михайлович, Інститут прикладних проблем механіки і математики, ім. Я. С. Підстригача НАН України, завідувач відділу механіки деформівного твердого тіла.

Захист відбудеться “ 10 ” вересня 2007 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою: вул. Наукова 3-б, м. Львів, 79060.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України (вул. Науко- ва 3-б, м. Львів, 79060).

Автореферат розіслано “ 3 ” серпня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук О. В. Максимук

тріщина пружний хвиля

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Висунуті в сучасній енергетиці, машинобудуванні, авіаційній техніці, будівництві та інших галузях вимоги комплексної оцінки працездатності елементів конструкцій передбачають обов'язкове врахування динамічного характеру їх навантаження як експлуатаційної норми. Спричинені такими навантаженнями інерційні ефекти викликають високу, відмінну від квазістатичної, концентрацію напружень поблизу присутніх у матеріалі тріщин, визначення якої є пріоритетним завданням механіки руйнування. У цьому зв'язку повнота досліджень та їх адекватність реальним ситуаціям досягається введенням в аналіз тріщин складної топології.

Особливе значення посідає вивчення хвильової картини у дальній від дефекту зоні. Необхідність постановок відповідних дифракційних задач взаємодії пружних хвиль з просторовими тріщинами зумовлена подальшим використанням отриманих результатів для коректного формулювання та розв'язання обернених задач діагностування не лише наявності дефектів, але й їх розташування, форми та розмірів. З цієї точки зору розв'язки динамічних задач теорії тріщин є актуальними для дефектоскопії засобами неруйнівного контролю, сейсмології, механіки гірських порід.

Більшість отриманих у літературі результатів, що враховують динаміку зовнішніх впливів, стосуються відклику двовимірних тіл з криволінійними тріщинами. Розгляд тривимірних тіл обмежений встановленням динамічної поведінки лише плоских дефектів. Складність задач теорії пружності для тіл з просторовими тріщинами полягає у неможливості їх розділення на симетричну та антисиметричну, а отже незалежного дослідження в околі дефекту деформацій розтягу, поздовжнього та поперечного зсувів. Метод граничних інтегральних рівнянь (ГІР) якнайкраще пристосований до розв'язування такого класу задач внаслідок загальності щодо розмірності задач, характеру динамічних процесів та геометрії тріщин.

Дисертація присвячена розв'язанню наукового завдання - розвинення методу ГІР для дослідження динамічного напружено-деформованого стану безмежних пружних тіл з тріщинами складної просторової форми від дії низькочастотного гармонічного навантаження на поверхні тріщин чи дифракції на дефектах низькочастотних гармонічних хвиль.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Наукові результати, що містяться у дисертаційній роботі, виконувались автором у відповідності з індивідуальним планом підготовки аспіранта, у рамках державних бюджетних науково-дослідних тем ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України “Дослідження дифракції пружних хвиль та концентрації напружень на тріщинах та тонких включеннях у тривимірних однорідних та кусково-однорідних тілах на основі гранично-інтегрального формулювання відповідних задач механіки” (2002-2005 рр., № держреєстрації 0102U000450) та "Дослідження методом інтегральних рівнянь статичного і динамічного напруженого стану композитних структур з тріщинами та контактними неоднорідностями" (2006-2009 рр., № держреєстрації 0106U000449), теми за Цільовою програмою НАН України “Розробка аналітико-числових методів дослідження неоднорідностей структури пружних тіл на основі вивчення їх взаємодії з акустичними полями” (2005-2006 рр., № держреєстрації 0105U000232), науково-технічного інноваційного проекту НАН України "Прогнозування нафтогазоносності гірських порід за комплексом їх геофізичних параметрів" (2005 р., № держреєстрації 0105U006544), Міжнародного проекту за програмою INTAS "Мікромеханіка пошкоджених композитів під динамічним навантаженням" (2006-2009 рр., INTAS Ref. Nr 05-1000008-7979) та гранту науково-дослідних робіт молодих учених НАН України ”Дослідження напружено-деформованого стану тіл з внутрішніми і поверхневими дефектами, зумовленого статичними навантаженнями та хвильовими полями” (2005-2006 рр., № держреєстрації 0105U005587).

Метою роботи є дослідження методом ГІР низькочастотних пружних полів та динамічної концентрації напружень у тривимірних тілах з тріщинами, розташованими вздовж пологої поверхні Ляпунова. Через розв'язок конкретних задач для різних способів навантаження та геометричних параметрів тріщин проведення аналізу ефектів розсіяння та випромінювання дефектами пружних хвиль у ближню (на частотних залежностях коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН)) та дальню (на частотних залежностях амплітуд переміщень) зони.

Досягнення поставленої мети передбачає розв'язання таких актуальних наукових завдань:

отримання розривних розв'язків тривимірних задач про усталені коливання у безмежному пружному тілі з тріщиною вздовж довільної поверхні Ляпунова та виведення ГІР типу потенціалу Гельмгольца у частотній області відносно функцій розкриття дефекту;

розв'язання ГІР методом малого параметра для випадку пологого дефекту у низькочастотному хвильовому полі;

визначення концентрації напружень в околі сфероїдальної тріщини та тріщини по циліндричній поверхні, викликаної циклічним навантаженням поверхонь дефекту або дифракцією на ньому поздовжньої плоскої гармонічної хвилі;

побудови апроксимаційних інтегральних зображень компонент напружено-деформованого стану тіла з просторовою тріщиною у дальній зоні;

дослідження характеристик віддаленого хвильового поля внаслідок дифракції на сфероїдальній тріщині різнонаправлених низькочастотних пружних хвиль.

Об'єктом досліджень є динамічний напружено-деформований стан тривимірних безмежних пружних тіл з тріщинами, розташованими вздовж довільних поверхонь Ляпунова як в околі дефектів, так і в дальній зоні від гармонічних за часом зовнішніх навантажень та дифракції зовнішніх хвиль.

Предметом досліджень є гранично-інтегральні формулювання тривимірних задач теорії тріщин у частотній області з доведенням розв'язків до числа асимптотичним методом та ефекти впливу викривлення дефекту на динамічні коефіцієнти інтенсивності напружень в його околі та параметри хвильового поля у віддаленій зоні.

Методика досліджень полягає у зведенні тривимірних задач теорії пружності для тіл з тріщинами у частотній області до систем гіперсингулярних ГІР типу потенціалу Гельмгольца з подальшим їх розв'язуванням аналітичним методом малого параметра за припущення пологості дефектів і малості хвильових чисел.

Наукова новизна результатів досліджень полягає в:

узагальненні методу ГІР на тривимірні динамічні задачі теорії пружності для безмежного тіла з тріщиною, розташованою вздовж довільної розімкнутої поверхні Ляпунова;

розробці підходу до аналітичного обернення ГІР з просторовою областю визначення та гіперсингулярним ядром типу потенціалу Гельмгольца, що базується на розвиненні розв'язків за частотним і геометричним параметрами;

отриманні асимптотичних розподілів компонент розсіяного поля у дальній зоні внаслідок дифракції гармонічних хвиль на просторовій тріщині;

виявленні нових кількісних та якісних закономірностей почастотної поведінки динамічних КІН змішаних мод в околі сфероїдальної тріщини та тріщини по циліндричній поверхні для різних способів зовнішнього навантаження;

дослідженні параметрів хвильової картини у дальній зоні, викликаної випромінюванням чи розсіянням пружних хвиль сфероїдальною тріщиною.

Вірогідність отриманих наукових результатів забезпечується коректною постановкою задач; строгістю застосованих математичних методів та фізичною інтерпретацією розв'язків; переходом динамічних розв'язків до статичних при зануленні хвильового числа; узгодженістю та збігом часткових розв'язків, отриманих у дисертаційній роботі, з відомими у літературі результатами, знайденими іншими методами.

Теоретичне та практичне значення результатів роботи. Отримані результати щодо динамічних КІН мають застосування у динамічній механіці руйнування під час визначення міцності тіл з тріщинами, що перебувають під дією змінних у часі навантажень, при встановленні із залученням відповідних критеріїв умов руйнування деформівних твердих тіл. У дисертаційній роботі метод ГІР використано також для вивчення дальнього пружного хвильового поля на основі залежностей між його амплітудно-частотними характеристиками та граничними функціями розкриття дефекту довільної форми. Отримані залежності дають можливість встановлення кореляції між характеристиками дифрагованих хвиль і геометричними параметрами тріщин та використання цих зв'язків для діагностики пошкоджень у тілах.

Публікації та особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи опубліковані у 10 працях [1-10], з них 6 статей [1-6] у рецензованих наукових журналах із Переліку фахових видань ВАК України для здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук, серед яких 4 [2, 4-6] перекладені англійською мовою та вийшли у світ у видавництвах Springer та Kluwer.

Результати роботи отримані дисертантом самостійно. Робота [3] опублікована без співавторів. Визначення напрямку досліджень, постановка задач, ідеї відносно вибору методик розв'язування належать науковому керівнику д. ф.-м. н. В.В. Михаськіву. У спільних з М.Д. Грилицьким роботах [1, 6] внесок співавтора стосується аналізу часткових постановок задач у випадку плоских тріщин. У спільних з О.В. Міщенком тезах [8] конференції співавтор причетний до математичного опису розподілу переміщень у падаючій хвилі до її взаємодії з дефектом. Автору дисертації належить: побудова інтегральних зображень розв'язків тривимірних задач про усталені коливання у безмежному пружному тілі з просторовою тріщиною [1, 2]; виведення системи двовимірних ГІР відносно стрибків переміщень протилежних поверхонь тріщини в процесі її навантаження гармонічними зусиллями [2, 7]; отримання асимптотичних співвідношень для визначення КІН методом малого параметра [2, 5]; виведення формул для ефективного розрахунку переміщень, напружень та поперечних перерізів розсіяння дифрагованих хвиль у дальній зоні через функції динамічного розкриття тріщини [3, 6]; аналіз аналітичних та числових результатів [2, 4-10].

Апробація результатів дисертації. Основні результати досліджень, викладені в дисертаційній роботі, доповідалися й обговорювалися на Міжнародній конференції “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища” (Донецьк, 2002), Міжнародній науково-технічній конференції “Проблеми математичного моделювання сучасних технологій” (Хмельницький, 2002), VI Міжнародній науковій конференції Математичні проблеми механіки неоднорідних структур (Львів, 2003), конференції молодих вчених з сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Львів, 2004), VI Міжнародній науковій школі-семінарі “Импульсные процессы в механике сплошных сред” (Миколаїв, 2005).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась та обговорювалась на науковому семінарі відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, кваліфікаційному семінарі “Механіка деформівного твердого тіла” цього ж інституту під керівництвом чл.-кор. НАН України, д. ф.-м. н. Г.С. Кіта, науковому семінарі кафедри методів математичної фізики Одеського національного університету ім. І.І. Мечнікова під керівництвом д. ф.-м. н., професора Г.Я. Попова, науковому семінарі кафедри механіки Львівського національного університету ім. Івана Франка під керівництвом д. ф.-м. н., професора Г.Т. Сулима.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, які містять 25 рисунків, висновків та списку використаних джерел із 254 найменувань. Обсяг основного тексту дисертації становить 109 сторінок. Повний обсяг роботи - 133 сторінки, з яких 2 сторінки займають рисунки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність наукової проблеми, розкрито її суть і стан, сформульовано мету дисертаційного дослідження, аргументовано її новизну, наукове та практичне значення, наведено дані про апробацію отриманих результатів і публікації, які відображають основний зміст роботи, визначено особистий внесок дисертанта у публікаціях.

Перший розділ відведено оглядові літератури з вибраного напрямку досліджень. Показано місце дисертації серед відомих результатів у даній науковій тематиці.

Проблеми статичного деформування пружних тіл з тріщинами складної геометрії у двовимірній та тривимірній постановках задач висвітлені у роботах В.М. Александрова, О.Є. Андрейківа, С.А. Калоєрова, Г.С. Кіта, Р.М. Кушніра, В.В. Лободи, М.А. Мартиненка, В.І. Моссаковського, Н.Н. Мусхелішвілі, М.М. Николишина, В.А. Осадчука, В.В. Панасюка, В.З. Партона, Ю.М. Подільчука, Г.Я. Попова, М.П. Саврука, О.О. Стрельнікової, Г.Т. Сулима, А.Ф. Улітка, М.В. Хая, Г.П. Черепанова, M.P. Ariza, S.N. Atluri, J. Dominguez, M.K. Kassir, A.S. Kobayashi, G.C. Sih, I.N. Sneddon, V. Tamuzs та інших вчених.

Динамічні, зокрема усталені процеси у деформівних тілах, у порівнянні зі статичними, досліджені значно менше, що пояснюється специфікою входження часової змінної чи частотного параметра у ключові рівняння. Вивченню закономірностей поширення хвиль різної фізичної природи у неоднорідних тілах присвячені праці В.А. Бабешка, Я.Й. Бурака, О.Р. Гачкевича, Є.В. Глушкова, Н.В. Глушкової, Н.С. Городецької, В.Т. Грінченка, О.М. Гузя, В.Ф. Ємця, О.С. Космодаміанського, В.Д. Кубенка, Я.І. Кунця, В.Г. Мазья, В.В. Мелешка, З.Т. Назарчука, О.П. Піддубняка, Я.С. Підстригача, В.Г. Попова, В.Б. Поручікова, І.Т. Селезова, В.І. Сторожева, В.Ф. Чекуріна, Є.Г. Янютіна, J.D. Achenbach, S.K. Datta, E.A. Kraut та інших. Значна частина публікацій у цьому напрямку стосується задач дифракції хвиль на поверхнях, порожнинах та включеннях канонічної і неканонічної форми з акцентом на аналіз хвильової картини в околі перешкоди чи у дальній Фраунгоферовій зоні розсіяння хвиль.

До важливого класу належать дослідження поведінки у хвильовому полі дефектів типу тріщин як концентраторів динамічних напружень. Розв'язки прямих задач дифракції хвиль на тріщинах також є базою для коректного формулювання обернених постановок стосовно діагностування тріщин. Дані аспекти взаємодії хвиль з плоскими тріщинами у безмежному ізотропному тілі достатньо повно викладені у роботах М.М. Бородачова, Р.В. Гольдштейна, О.М. Гузя, В.В. Зозулі, Г.С. Кіта, В.В. Михаськіва, В.З. Партона, Л.І. Слєпяна, М.В. Хая, Е.Л. Шендерова, Є.І. Шифріна, M.H. Aliabadi, D. Gross, D.P. Rooke, Ch. Zhang з узагальненням на випадки сферичних і конічних тріщин поздовжнього зсуву, а також криволінійних тунельних дефектів у роботах Н.Д. Вайсфельд, Г.Я. Попова, Л.А. Фільштинського та їх учнів.

Однак, питання тривимірної взаємодії просторово розташованих тріщин з полем пружних хвиль та динамічного прояву змішаного деформування в околі дефекту залишились поза увагою дослідників.

У другому розділі здійснено гранично-інтегральне формулювання динамічних задач про вплив просторової тріщини на напружено-деформований стан безмежного пружного тіла під час розповсюдження у ньому гармонічних хвиль, запропоновано метод малого параметра для аналітичного розв'язання ГІР типу потенціалу Гельмгольца з гіперсингулярним ядром у випадку низькочастотних хвильових процесів та пологих тріщин, приведено формули для визначення динамічних КІН трьох мод в околі просторового дефекту через розв'язки рівнянь.

Розглянемо безмежне пружне ізотропне тіло з довільно розташованою по поверхні Ляпунова тріщиною S з гладким контуром L за гармонічного за часом t зовнішнього збурення, що задається набігаючою із нескінченності хвилею переміщень з компонентами (x, t) = = ( j = ) чи напружень (x, t) = = ( i, j = ) (рис. 1), де (x), (x) - амплітуди переміщень і напружень, x(x₁, x₂, x₃) - радіус-вектор точки тіла? в системі координат Ox₁x₂x₃, i = - уявна одиниця, ? - задана кругова частота коливань. Специфіка задач про усталені коливання полягає у можливості їх зведення до аналізу лише амплітудних значень шляхом вилучення з розгляду спільного експоненціального часового множника у всіх параметрах напружено-деформованого стану.

Дифракційне походження хвильової картини у динамічно збуреному тілі з тріщиною забезпечується поданням переміщень та напружень у вигляді:

, , i, j = . (1)

Тут позначення “total” відповідають загальному полю хвиль, “in” - полю падаючих хвиль від заданих динамічних навантажень тіла (величини з цим позначенням вважаються відомими як розв'язки задач без урахування присутності в тілі дефекту), u_j (x), ?_ij (x) - невідомі компоненти переміщень і напружень у розсіяних дефектом хвилях.

Ключовим для визначення вектора переміщень u(u₁, u₂, u₃) є рівняння Ляме для усталених коливань, яке за відсутності масових сил має вигляд

, (2)

де - тривимірний набла-вектор, _j = /c_j ( j = 1, 2) - хвильові числа, c₁ і c₂ - швидкості поширення у тілі поздовжніх і поперечних хвиль, c₂ / c₁ = =, - коефіцієнт Пуассона.

Умови вільності поверхонь тріщини від навантажень з урахуванням суперпозиційних подань (1) будуть

, , i = , (3)

де n_jx - j-ва компонента одиничної нормалі n_x до поверхні S в точці x, праві частини мають вигляд

, , i = . (4)

Таким чином, задача дифракції гармонічних хвиль на тріщині у безмежному тілі зводиться до розв'язання рівняння Ляме (2) з граничними умовами на напруження (3). Абстрагування від зв'язку (4) дозволяє описати також граничними умовами (3) задачі випромінювання хвиль просторовою тріщиною за дії на її поверхні гармонічних з компонентами = N_j (x) ( j = ) самозрівноважених зусиль (рис. 1). У цьому випадку дефект виступає джерелом хвильового процесу. Для забезпечення коректності задач вимагається також виконання умов випромінювання на безмежності.

Відзначимо, що умови (3), (4) допускають можливість входження поверхонь тріщини одна за одну. Позбутися від'ємного розкриття тріщини можна певним попереднім розхилом дефекту додатковими, зокрема статичними, навантаженнями.

Гранично-інтегральне формулювання задачі досягається у два етапи. На першому реалізується завдання інтегральних зображень розв'язків рівнянь (2) зі стрибком переміщень по плоскій області S. Для цього використано наступне подання вектора переміщень у формі Папковича-Нейбера (досі для побудови інтегральних подань залучали або формулу Соміліано з громіздкими обчисленнями оператора напружень від фундаментального розв'язку задачі, або подання Стокса, де необхідне встановлення додаткової умови однозначності):

, j = , (5)

де G - модуль зсуву, W_j - функції, які є розв'язками рівняння Гельмгольца ( j = ), Ф - функція, пов'язана з залежністю = = . Для виконання умов розриву компонент переміщень в області S та випромінювання на безмежності хвильові функції вибрано у вигляді комбінацій потенціалів Гельмгольца з густинами ( j = ), а саме

, j = ,

, , j = , k = 1,2, (6)

де C_j ( j = ) - довільні сталі, - відстань між актуальною точкою та точкою інтегрування .

Константи C_j ( j = ) вибираються таким чином, щоб надати густинам потенціалів зміст стрибків переміщень на поверхні S, тобто = = ( j = ), , - граничні значення переміщень при підході до S зі сторони нормалі та з протилежної сторони відповідно.

Шляхом підстановки подань (6) у співвідношення (5) отримано інтегральні зображення розривних розв'язків у вигляді

, j = . (7)

Відзначимо, що із співвідношень (7) безпосередньо випливають інтегральні подання розв'язків задач теорії гармонічних коливань для тіла з плоскою тріщиною, якщо область інтегрування у потенціалах прирівняти до області тріщини S.

Другий етап базується на розбитті довільної неплоскої поверхні тріщини S (рис. 1) на уявні елементарні підобласті S, , які завдяки їх малості вважаються плоскими. Тоді на основі принципу суперпозиції, підсумовуючи вирази (7) по всій множині елементарних підобластей S, що “покривають” тріщину S, отримано інтегральні зображення компонент переміщень у тілі з тріщиною, розміщеною по довільній поверхні Ляпунова через функції динамічного розкриття дефекту Дu(u₁, u₂, u₃):

, (8)

де - квадратна матриця розміру 33, елементи якої у диференціальній формі визначаються співвідношеннями (_ij - символ Кронекера):

, i, j = . (9)

Підстановкою розв'язку задачі у вигляді (8) у закон Гука знайдено інтегральні зображення компонент напружень у тілі з тріщиною через стрибки переміщень протилежних поверхонь тріщини. З подальшого задоволення граничних умов (4) задання зусиль N_j ( j = ) на поверхнях дефекту виведено систему трьох ГІР відносно функцій ( j = ) динамічного розкриття просторової тріщини у вигляді

, j = , . (10)

Тут - ядра типу потенціалу Гельмгольца, що мають особливість порядку і задаються формулами



. (11)

Побудова оберненого оператора рівнянь (10) наштовхується на значні труднощі через просторове задання області інтегрування та складну покоординатну залежність і високу ступінь сингулярності у ядрах (11). Однак у випадку низькочастотних процесів взаємодії хвиль з пологими тріщинами з явним заданням поверхні x₃ = F ( x₁, x₂), (), де S₀ - проекція області S на координатну площину x₁Ox₂, для розв'язання рівнянь можна ефективно застосувати метод малого параметра. За цим методом розв'язки ГІР будуються у вигляді подвійних збіжних степеневих рядів за малим хвильовим (i?₂) та геометричним ? параметрами

. (12)

Для відшукання коефіцієнтів розкладів функцій розкриття тріщини ( j = ) шляхом прирівнювання у ГІР (10) членів біля однакових степенів малих параметрів отримується рекурентна система двовимірних інтегральних рівнянь



, , , . (13)

Тут ядра є відомими поліноміальними функціями змінних x₁, x₂, ₁, ₂. Рівняння (13) мають особливість ньютонівського потенціалу та плоску область визначення . Відзначимо, що ліва частина цих рівнянь така ж, як і в інтегральних рівняннях задачі про статичне навантаження безмежного тіла з плоскою тріщиною, що займає область . Методика аналітичного розв'язання таких рівнянь описана у монографії Г.С. Кіта та М.В. Хая.

Таким чином, задача низькочастотних коливань у тілі з пологою тріщиною S зводиться до поетапного (шляхом нарощування індексів k, q) розв'язування інтегральних рівнянь (13). Процес продовжується до знаходження такої кількості членів ряду (12), що забезпечує необхідну точність розв'язку задачі.

Для аналітичного обернення інтегральних рівнянь залучається теорема про поліноміальну консервативність їх розв'язків, на основі якої структура розв'язків визначається добутком кореневої та поліноміальних функцій ( j = , ). Зокрема, якщо S₀ є кругом з радіусом a, матимемо

, , , . (14)

Виділення кореневого множника із функцій динамічного розкриття тріщини дозволяє для конкретних конфігурацій дефекту отримувати КІН відриву K₁, поперечного K₂ та поздовжнього K₃ зсувів в його околі через функції ( j = , ).

Третій розділ відведено дослідженню запропонованим підходом концентрації напружень у тілі зі сфероїдальною тріщиною під дією гармонічного низькочастотного тиску на її поверхні та за падіння на неї поздовжніх плоских гармонічних хвиль, що поширюються під довільним кутом до тріщини.

Розглянемо безмежне пружне тіло з тріщиною вздовж поверхні сфероїда (еліпсоїда обертання) виду =, де b, c (b c) - півосі сфероїда. Декартову систему координат Ox₁x₂x₃ введено таким чином, щоб її центр знаходився у вершині дефекту. Контур тріщини утворюється лінією перетину сфероїда з площиною, паралельною до координатної площини x₁Ox₂, і є колом з радіусом a (рис. 2). Величину a вибираємо так, щоб задовольнити умову пологості дефекту (кут між нормаллю до поверхні дефекту на її контурі та віссю Ox₃ не повинен перевищувати /4).

У випадку, коли поверхні тріщини навантажені гармонічним за часом тиском з постійною амплітудою P₀, компоненти зусиль будуть ( j = ).

Аналітичний розв'язок задачі випромінювання хвиль отримано з використанням викладеного у попередньому розділі методу розв'язування гіперсингулярних ГІР (10). Малим геометричним параметром вибрано величину .

Результатом обернення ГІР за допомогою аналітичного обчислення гіперсингулярних інтегралів через пониження порядку їх сингулярності інтегруванням за частинами отримано формули для розрахунку КІН в околі тріщини. Без урахування членів порядку ⁴, ⁴ ( = ₂a - нормалізоване хвильове число) для КІН відриву та ³, ⁴ для КІН поперечного зсуву вони мають форму

,

, , (15)

де - статичний КІН відриву для плоскої кругової тріщини радіуса a в полі нормальних зусиль , , , g_j ( j = ), h_j ( j = ) - відомі постійні, які виражаються через відношення швидкостей поширення поперечних і поздовжніх хвиль.

Інерційні ефекти проаналізовано для сфероїдальної тріщини з радіусом кругового контуру a = 0,5c. Коефіцієнт Пуассона приймався рівним . Наведено залежності відносних амплітуд динамічних КІН = ( j = 1, 2) від нормалізованого хвильового числа . Криві 1-3 відповідають різній випуклості тріщини: 1 - = (плоска тріщина); 2 - = ; 3 - = (сферична тріщина). Маркована заповненими кружечками крива на рис. 3 описує поведінку КІН у випадку плоскої тріщини, встановлену числовим методом граничних елементів у праці Г.С. Кіта, М.В. Хая та В.В. Михаськіва.

Через асимптотичні наближення (15) у дисертації визначено також фазові зсуви КІН відриву та поперечного зсуву за формулами: , j = 1, 2.

Наступний приклад стосується взаємодії сфероїдальної тріщини з низькочастотною плоскою поздовжньою хвилею з ортом p( p₁, p₂, p₃) напрямку її поширення (рис. 5). Поверхні тріщини вільні від зусиль. З метою порівняння впливу на дефект напрямку падіння хвилі з постійною амплітудою P₀ розглянуто два способи набігання хвилі на дефект: зі сторони його опуклості, коли p = p(0,0,-1), та з протилежного боку, коли p = p(0,0,1). Збуджувальна хвиля описується наступними компонентами переміщень та напружень

,

, (16)

i, j = .

Така дифракційна задача за схемою, описаною у другому розділі, зводиться до розв'язання системи трьох ГІР (10), де права частина рівнянь відповідає внутрішнім зусиллям від напружень на місці розташування тріщини у формі (4). З них випливають асимптотичні формули для КІН відриву K₁ та поперечного зсуву K₂, які не змінюються для даної дифракційної задачі вздовж контуру тріщини:

,

, . (17)

Тут індекс I відповідає першому способові набігання хвилі на дефект, II - другому, ( j = ), ( j = ) - відомі постійні.

Графіки на рис. 6 показують відмінності між двома розглянутими способами дифракції хвиль на сфероїдальній тріщині з радіусом кругового контуру a = 0,5c для КІН відриву, тоді як графіки для КІН поперечного зсуву однакові для вибраної точності розв'язку задачі. Суцільні криві ілюструють зміну нормованих амплітуд динамічних КІН відриву від нормалізованого хвильового числа для першого способу набігання хвилі на дефект. Марковані кружечками криві показують цю ж залежність, отриману з розв'язку задачі за падіння хвилі на дефект зі сторони його ввігнутості. Криві 1-3 відповідають різним ексцентриситетам поверхні дефекту: 1 - = ; 2 - = ; 3 - = .

У четвертому розділі запропонований підхід поширено на тріщину, яка розташована по циліндричній поверхні. Загальність задачі забезпечується виникненням в околі дефекту всіх трьох типів деформування, а також залежністю КІН від кутової координати точки контуру тріщини.

Нехай просторова тріщина S розташована по циліндричній поверхні (d - радіус поперечного перерізу циліндра). Вважаємо, що проекцією контуру області S дефекту на площину x₁Ox₂ є круг S₀ радіуса a (рис. 7). До поверхонь дефекту прикладені протилежно спрямовані гармонічні низькочастотні навантаження ( j = , гармонічний тиск).

За малий геометричний параметр вибрано величину = a/d < 1. Розв'язавши аналітично рекурентні інтегральні рівняння (13) по плоскій області S₀, матимемо наближення стрибків переміщень на тріщині по циліндричній поверхні в напрямках координатних осей. За ними визначено напруження відриву , поздовжнього та поперечного зсувів в околі контуру дефекту з точністю, аналогічною як і для сфероїдальної тріщини. Тоді асимптотичні наближення для динамічних КІН будуть

,

(18)

,

,

де B_j, G_j ( j = ), F_j ( j = ) - відомі сталі, які записуються у вигляді відношень поліномів величини .

Розподіл відносних амплітуд динамічних КІН ( j = ) вздовж контуру тріщини по циліндричній поверхні у тілі з коефіцієнтом Пуассона = 0,3 для різних значень геометричного параметра та нормалізованого хвильового числа. Криві 1-3 відповідають значенням: 1 - ? = 0 (статичне навантаження); 2 - ? = 0,5; 3 - ? = 0,8. Марковані заповненими кружечками криві відповідають значенню ? = 0 (плоска тріщина), марковані порожніми кружечками криві - значенню ? = 0,25 та суцільні криві - значенню ? = 0,5.

У п'ятому розділі аналіз перенесено на дальні хвильові поля від динамічного розкриття просторової тріщини. Побудовано апроксимаційні інтегральні зображення компонент переміщень та напружень у дальній зоні внаслідок випромінювання та розсіяння гармонічних хвиль просторовою тріщиною. Наведено аналітичні вирази для поперечних перерізів розсіяння хвиль різних мод, які є актуальними з точки зору діагностики дефектів.

Використання співвідношень (8) для аналітичних розрахунків дальнього поля ускладнене присутністю в них інтегралів типу згортки за трьома координатами та сильно осцилюючих функцій. Тому при використано наближення:

, , . (19)

Складовими переміщень та напружень після застосування наближень (19) є плоскі гармонічні хвилі. Для відокремлення змінних у їхніх поданнях здійснено перехід до сферичної системи координат (R, ?, ?): x₁=R sin ? cos ?, x₂=R sin ? sin ?, x₃=R cos ?.

Тоді радіальні і тангенціальні , компоненти переміщень в дальній від тріщини зоні приймуть вигляд

, (20)

, ,

де , , - амплітуди розсіяння плоских поздовжньої, поперечної вертикально поляризованої та горизонтально поляризованої хвиль відповідно в дальній зоні, які визначаються через функції розкриття тріщини у вигляді

,

,

. (21)

Тут =(sin?cos???sin?sin???cos?), =(cos?cos???cos?sin??-sin?), =(-sin???cos???) - одиничні вектори. Подальші дослідження динамічних переміщень у дальній зоні полягають у підстановці функцій розкриття тріщини (розв'язків ГІР (10)) у подання (21).

На основі оптичної теореми для пружних коливань введено поперечні перерізи розсіяння хвиль, які характеризують міру втрати пружної енергії падаючої хвилі внаслідок її взаємодії з дефектом, за формулами



, , , (22)

де (A P, SV, SH) - амплітуди розсіяння хвиль (21) відповідної моди в напрямку (ⁱⁿ, ⁱⁿ) поширення збуджувального сигналу.

З урахуванням виразів (21) та (22) отримано співвідношення для поперечних перерізів , , розсіяння поздовжніх, поперечних вертикально та горизонтально поляризованих хвиль у вигляді (, , - одиничні вектори при ? = , ? = ):

,

, (23)

.

Для демонстрації розподілів амплітуд розсіяння використано результати щодо визначення функцій розкриття ?u_j ( j = ) сфероїдальної тріщини, отримані у розділі 3. Спершу розглянуто випадок дії на поверхні пологої сфероїдальної тріщини низькочастотних зусиль з постійною амплітудою P₀, що моделюють гармонічний тиск.

На графіках наведено діаграми направленості випроміненого поля плоскою тріщиною, коли = 0є (рис. 11), і викривленою сфероїдальною тріщиною, коли = 40є (рис. 12). Розрахунок відносних амплітуд = (A P, SV, ) як функцій кутової координати в меридіональній площині проводився для тріщини з радіусом контуру a = 0,5c при ? = 0,3. Криві 1-4 відповідають наступним значенням нормалізованого хвильового числа: 1 - = 0,2; 2 - = 0,5; 3 - = 0,9; 4 - = 1,1. Внаслідок симетрії задачі на кожній із діаграм зображено характеристики як поздовжніх (права півкуля), так і поперечних вертикально поляризованих (ліва півкуля) розсіяних хвиль. Рис. 13 ілюструє залежності тих самих амплітуд розсіяння хвиль у випадку = 1,1 для різних ексцентриситетів поверхні дефекту: 1 - = 0є; 2 - = 30є; 3 - = 40є.

Також у п'ятому розділі описано хвильове поле у дальній зоні під час дифракції поздовжньої плоскої гармонічної хвилі на сфероїдальній тріщині зі сторони опуклості її поверхні та з протилежної. Відповідні функції розкриття тріщини підставлено у вирази (21) та отримано амплітуди розсіяння хвиль різних мод.

Показані діаграми демонструють поведінку відносних амплітуд = (A P, SV) розсіяних хвиль викривленою сфероїдальною тріщиною ( = 40є) з радіусом контуру a = 0,5c як функцій кутової координати ц. Криві 1-4 побудовано для різних значень : 0,2; 0,5; 0,9; 1,1. Суцільні лінії відповідають поширенню генеруючих хвиль зі сторони опуклості тріщини, пунктирні лінії - з протилежної.

Встановлено також, що в розглянутих випадках набігання хвиль на дефект поперечні перерізи розсіяння однакові і не залежать від викривлення тріщини, що узгоджується з загальними положеннями теорії дифракції хвиль на перешкодах.

У висновках коротко наведено основні підсумки роботи та сформульовано отримані результати.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено наукове завдання - розвинуто метод ГІР для дослідження динамічного напружено-деформованого стану безмежних пружних тіл з тріщинами складної просторової форми, зумовленого дією низькочастотного гармонічного навантаження на поверхні тріщини чи дифракцією на дефекті низькочастотних гармонічних хвиль. Увага приділяється не лише визначенню динамічної концентрації напружень в околі тріщини, але й вивченню хвильового поля у дальній від дефекту зоні. Основні результати, отримані в даній роботі, такі:

За допомогою співвідношення Папковича-Нейбера побудовано в інтегральній формі розв'язок тривимірних задач теорії пружності у частотній області з розривом переміщень на плоскій площадці.

Інтегральні подання переміщень та напружень узагальнено на випадок наявності у гармонічно збуреному тілі тріщини, розташованої вздовж довільної поверхні Ляпунова. Відповідні задачі зведено до гіперсингулярних ГІР типу потенціалу Гельмгольца відносно функцій динамічного розкриття дефекту.

Розроблено метод малого параметра для відшукання розв'язку системи ГІР у низькочастотному діапазоні коливань зовнішніх навантажень чи пружних хвиль та для пологої тріщини.

Отримано формули для ефективного розрахунку динамічних КІН в околі сфероїдальної тріщини та тріщини по циліндричній поверхні, а також переміщень, напружень та поперечних перерізів розсіяння хвиль у віддаленій від дефекту зоні.

На основі розв'язання ГІР та аналізу амплітудно-частотних характеристик коливного процесу у тривимірному безмежному пружному тілі з просторовою тріщиною виявлено нові якісні та кількісні закономірності.

Під час дії нормальних гармонічних зусиль з постійною амплітудою на поверхні пологої сфероїдальної тріщини спостерігається почастотне зростання амплітуд КІН від статичних значень. При збільшенні ексцентриситету поверхні дефекту за фіксованої частоти коливань та радіуса його контуру КІН відриву зменшуються, а поперечного зсуву збільшуються. Зростання хвильового числа призводить до розходження значень КІН поперечного зсуву, що відповідають тріщинам з різною випуклістю. Протилежна тенденція спостерігається для КІН відриву.

На прикладі КІН відриву встановлено відмінності між дифракцією плоских гармонічних поздовжніх хвиль напружень на пологій сфероїдальній тріщині зі сторони її опуклості та з протилежного боку. Значення їхніх амплітуд більші у першому випадку набігання хвиль на дефект. Цей контраст виразніший в області вищих хвильових чисел та для більш викривлених тріщин.

В околі тріщини, розташованої вздовж циліндричної поверхні, під низькочастотним нормальним навантаженням постійної амплітуди реалізується деформування трьох типів, динамічні КІН залежать від кутової координати точки контуру тріщини. У верхніх точках контуру амплітуди КІН відриву максимальні, поперечного і поздовжнього зсуву дорівнюють нулю; у нижніх точках амплітуди КІН відриву мінімальні, поперечного зсуву максимальні, поздовжнього зсуву дорівнюють нулю. Максимуми амплітуд КІН поздовжнього зсуву досягаються у проміжних точках контуру тріщини. Зі збільшенням хвильового числа і опуклості дефекту посилюється розходження між максимальними та мінімальними значеннями амплітуд КІН. З ростом хвильового числа амплітуди динамічних КІН всіх трьох мод зростають.

Вивчено особливості випроміненого поля сфероїдальною тріщиною під низькочастотним гармонічним тиском у дальній від дефекту зоні. Зі зростанням хвильового числа амплітуди розсіяння поздовжніх і поперечних вертикально поляризованих хвиль збільшуються. Мінімальні значення амплітуд розсіяння спостерігаються в екваторіальній стосовно вершини дефекту площині, а для поперечних хвиль також на осі симетрії тріщини. Максимальні значення амплітуд розсіяння для поздовжніх хвиль знаходяться на осі симетрії тріщини, а для поперечних хвиль - на осях, які утворюють з віссю симетрії кут близький до 45є. Величина цього кута залежить від хвильового числа. Збільшення ексцентриситету поверхні тріщини призводить до зростання максимумів амплітуд розсіяння поздовжніх хвиль та спадання максимумів амплітуд розсіяння поперечних вертикально поляризованих хвиль.

Досліджено тривимірне хвильове поле, зумовлене дифракцією низькочастотних плоских поздовжніх хвиль постійної амплітуди на сфероїдальній тріщині в безмежному пружному тілі на великій відстані від дефекту. Як наслідок нормального падіння таких хвиль на тріщину зі сторони її опуклості та з протилежної, генеруються відбиті хвилі двох мод: поздовжня та поперечна вертикально поляризована. Абсолютні максимуми амплітуд розсіяння цих хвиль досягаються у випадку дифракції зовнішньої хвилі зі сторони опуклості дефекту. За однакових амплітуд падаючої хвилі у задачі дифракції та тиску діючого навантаження в описаній у попередньому пункті задачі випромінювання спостерігається якісно схожий кутовий розподіл амплітуд розсіяння поздовжніх і поперечних хвиль.

РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ ВІДОБРАЖЕНО У ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Михаськив В.В., Грилицкий Н.Д., Бутрак И.О. Использование решения в форме Папковича-Нойбера в трехмерных задачах об установившихся колебаниях упругого тела с трещиной // Теор. и прикл. механика. - 2002. - Вып. 35. - С. 146-153.

2. Михаськів В.В., Бутрак І.О. Тривимірні динамічні задачі для пружного тіла з пологою тріщиною // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2003. - Т. 39, № 1. - С. 63-70.

3. Translated as: Mykhas'kiv V.V., Butrak I.O. Three-dimensional dynamic problems for an elastic body containing a shallow crack // Materials Science. - 2003. - Vol. 39, № 1. - P. 69-78.

4. Бутрак І.О. Асимптотика дальнього поля переміщень та напружень від динамічного розкриття просторової тріщини // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Т. 48, № 2. - С. 101-105.

5. Михаськив В.В., Бутрак И.О. Концентрация напряжений в окрестности сфероидной трещины при произвольном направлении падения на нее гармонической волны // Прикл. механика. - 2006. - Т. 42, № 1. - С. 70-77.

6. Translated as: Mykhas'kiv V.V., Butrak I.O. Stress concentration around a spheroidal crack caused by a harmonic wave incident at an arbitrary angle // Int. Appl. Mech. - 2006. - Vol. 42, № 1. - P. - 61-66.

7. Михаськів В.В., Бутрак І.О. Динамічні напруження в околі тріщини по циліндричній поверхні // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2006. - Т. 42, № 4. - С. 108-113.

8. Translated as: Mykhas'kiv V.V., Butrak I.O. Dynamic stresses in the vicinity of a crack along the cylindrical surface // Materials Science. - 2006. - Vol. 42, № 4. - P. 543-550.

9. Михаськив В.В., Грилицкий Н.Д., Бутрак И.О. Эффекты рассеяния упругих гармонических волн в дальнюю зону пространственной трещиной // Прикл. механика и техн. физика. - 2006. - Т. 47, № 4. - С. 115-123.

10. Translated as: Mykhas'kiv V.V., Grilitskii N.D., Butrak I.O. Effect of scattering of elastic harmonic waves in the far zone by a spatial crack // J. Appl. Mechanics and Technical Physics. - 2006. - Vol. 47, № 4. - P. 556-563.

11. Михаськів В.В., Бутрак І.О. Вплив кривини поверхні просторової тріщини на динамічну концентрацію напружень в її околі // Матеріали конф. Проблеми математичного моделювання сучасних технологій. - Хмельницький. - 2002. - С. 89.

12. Михаськів В.В., Міщенко В.О., Бутрак І.О. Тривимірна задача дифракції плоскої гармонічної хвилі на просторовій тріщині // Матеріали VI Міжнар. наук. конф. Математичні проблеми механіки неоднорідних структур. - Львів. - 2003. - С. 331-333.

13. Бутрак І.О. Аналіз тривимірного дальнього хвильового поля під час дифракції гармонічної хвилі на тріщині нормального відриву // Матеріали конф. молодих вчених з сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача. - Львів. - 2004. - С. 38-39.

14. Михаськів В.В., Бутрак І.О. Випромінювання пружних хвиль сфероїдною тріщиною під пульсуючим тиском // Матеріали VI Міжнар. наук. школи-семінару “Импульсные процессы в механике сплошных сред”. - Миколаїв. - 2005. - С. 5-6.

АНОТАЦІЇ

Бутрак І.О. Взаємодія просторових тріщин з низькочастотними пружними хвилями у деформівних тілах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України. Львів, 2007.

Робота присвячена розв'язанню тривимірних задач про гармонічні коливання у безмежному пружному тілі з просторовою тріщиною від заданих на поверхнях дефекту навантажень чи падаючих пружних хвиль. Задачі зведено до граничних інтегральних рівнянь (ГІР) відносно функцій динамічного розкриття дефекту. Розроблено аналітичний метод малого параметра для розв'язання ГІР за умов низькочастотних режимів та пологості тріщини. Проведено аналіз динамічних коефіцієнтів інтенсивності напружень в околі тріщин по сфероїдальній та циліндричній поверхнях під гармонічним тиском та у полі поздовжньої плоскої хвилі. Виведено формули для розрахунку амплітуд та поперечних перерізів розсіяння хвиль у дальній зоні через розв'язки ГІР. Досліджено вплив кривини сфероїдальної тріщини на амплітуди розсіяння хвиль для різних способів її гармонічного збурення.

Ключові слова: безмежне пружне тіло, просторова тріщина, гармонічні пружні хвилі, динамічні коефіцієнти інтенсивності напружень, амплітуди розсіяння, метод граничних інтегральних рівнянь.

Бутрак И.О. Взаимодействие пространственных трещин с низкочастотными упругими волнами в деформируемых телах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины. Львов, 2007.

Диссертационная работа посвящена решению трехмерных задач об установившихся колебаниях в бесконечном упругом теле с трещиной, расположенной по произвольной поверхности Ляпунова. Динамические процессы генерируются заданными на поверхностях трещины гармоническими нагрузками или падающими на дефект гармоническими волнами перемещений (напряжений). С помощью построенных с привлечением формулы Папковича-Нейбера интегральных представлений решений в частотной области задача сведена к гиперсингулярным граничным интегральным уравнениям (ГИУ) типа потенциала Гельмгольца относительно функций динамического раскрытия дефекта. Разработано аналитический метод малого параметра для решения полученных ГИУ при условии низкочастотных колебаний и пологости трещины, который основан на разложении решения в двойные сходящиеся степенные ряды по частотному и геометрическому параметрам. Второй параметр характеризирует степень искривления поверхности дефекта. Следствием такого разложения являются рекуррентные системы двумерных интегральных уравнений относительно функций-коэффициентов с плоской областью интегрирования и ньютоновским (статическим ядром), которые удовлетворяют теорему о полиномиальной консервативности решения с корневой весовой функцией (аналог теоремы Дайсона).

Получены приближенные разложения динамических КИН отрыва, поперечного и продольного сдвигов и проведен анализ инерционных эффектов концентрации напряжений в окрестности трещин по сфероидальной и цилиндрической поверхностях под внутренним гармоническим давлением и вследствие дифракции продольной плоской волны с различными направлениями падения на дефект. Путем сравнения КИН для двух способов дифракции волн - со стороны выпуклости сфероидальной трещины и с противоположной стороны - определен вектор направления распространения волны с эффектом максимальной концентрации напряжений отрыва. В окрестности трещины, расположенной вдоль цилиндрической поверхности, получены распределения совместных напряжений отрыва, поперечного и продольного сдвигов вдоль ее контура для различных значений волнового числа и кривизны дефекта.

Метод ГИУ распространен также на исследование дальнего от дефекта волнового поля. Выведены асимптотические формулы для эффективного расчета динамических перемещений и напряжений вследствие излучения и рассеяния гармонических волн пространственной трещиной в дальнюю зону через функции ее динамического раскрытия (решения ГИУ). Полученные выражения связывают наблюдаемое поле с геометрическими параметрами трещины и есть тестовыми при решении обратных дифракционных задач. Наведены аналитические выражения для поперечных сечений рассеяния волн различных мод. Построены диаграммы направленности рассеянного поля сфероидальной трещиной для различных способов ее гармонического возмущения. Проведено анализ амплитуд рассеяния продольных и поперечных вертикально поляризованных волн для плоской, сферической и сфероидальной трещин в области низких частот нагрузок ее поверхностей. В случае дифракции продольной плоской волны на сфероидальной трещине выявлено, что абсолютные максимумы этих параметров достигаются при падении волны со стороны выпуклости дефекта.

Результаты диссертации являются актуальными для механики разрушения, неразрушающего контроля за сплошностью сред, дефектоскопии, механики горных пород.

Ключевые слова: бесконечное упругое тело, пространственная трещина, гармонические упругие волны, динамические коэффициенты интенсивности напряжений, амплитуды рассеяния, метод граничных интегральных уравнений.



Butrak I.O. Interaction of spatial cracks with low-frequency elastic waves in deformable solids. - Manuscript.

Thesis for the Candidate's Degree in Physics and Mathematics by speciality: 01.02.04 - Mechanics of Solids. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine. Lviv, 2007.

The thesis is dedicated to solution of 3D time-harmonic problems for an infinite elastic solid with a spatial crack under crack-face loading or incident waves. The problem is reduced to the boundary integral equations (BIEs) relative to dynamic crack opening displacements. The analytical small parameter method is developed to solve the BIEs under conditions of low-frequency regimes and shallow cracks. The analysis is carried out for the stress intensity factors in the vicinity of crack along the spheroidal and cylindrical surfaces under time-harmonic pressure and longitudinal plane wave diffraction. The formulas are derived for the calculations of wave scattering amplitudes and cross-sections in the far zone in terms of BIEs solutions. The influence of spheroidal crack curvature on the scattering amplitudes are studied for different time-harmonic perturbations.