Фрактальне узагальнення енергетичного критерію квазікрихкого руйнування твердих тіл

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

ФРАКТАЛЬНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЕНЕРГЕТИЧНОГО КРИТЕРІЮ КВАЗІКРИХКОГО РУЙНУВАННЯ ТВЕРДИХ ТІЛ

Щолокова Марина Олександрівна

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Запоріжжя - 2007

Анотація

Щолокова М.О. Фрактальне узагальнення енергетичного критерію квазікрихкого руйнування твердих тіл. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. Запорізький національний технічний університет, м.Запоріжжя, 2007р.

Дисертаційна робота присвячена розвитку та реалізації фрактального підходу до розв'язання задач квазікрихкого руйнування. На мікрорівні профіль шорсткої тріщини апроксимується фрактальним об'єктом, на макрорівні, тріщина має вигляд гладкого контуру, тому лишаються справедливими класичні постановки задач руйнування, носієм фрактальних мікроособливостей тріщини виступає додатковий параметр - фрактальна розмірність. Для оцінки реальної “довжини” тріщини будується ентропійна -мірна міра. За допомогою даного підходу зроблено фрактальне узагальнення енергетичного критерію руйнування твердих тіл, які містять тріщини, що мають фрактальну особливість на мікрорівні. Підхід дозволяє встановити зв'язок між мікро- та макрорівнями. При цьому дає можливість перевести на більш високу ступінь формалізації саме поняття структури.

За допомогою фрактального узагальнення критерію квазікрихкого руйнування твердих тіл розв'язано задача про розтягнення пластини, яка містить тріщину, яка на мікрорівні має фрактальну шорсткість; задача про накопичення пошкоджень (з урахуванням фрактальної особливості поверхні руйнування, що формується); про руйнування лункового вирізу (обґрунтовується вибір фрактального об'єкта як сінергетичної моделі тріщини, яка формується, у вершині лунки). Проведено порівняльний аналіз результатів, одержаних в дисертації, з відомими результатами експериментів.

Ключові слова: фрактальна розмірність, квазікрихке руйнування, тріщина, енергетичний критерії руйнування твердих тіл.

Abstract

Schelokova M.O. Fractal generalization of energy criterion for quasi-brittle fracture of solids. - Manuscript.

This thesis for the Candidate's Degree in Technical Sciences for speciality 01.02.04 - Solid Mechanics. Zaporizhzhya National Technical University, Zaporizhzhya, 2007.

The thesis is devoted to development and realization of fractal approach to solve the problems of quasi-brittle fracture. Rough crack profile at microscale is approximated by fractal object. The crack has a shape of a smooth contour at macroscale so the classic formulation of fracture problems are true. Fractal dimension as an additional parameter characterizes fractal micro peculiarities of the crack. Development of entropic -dimensional measure is made to estimate real crack “length”. Fractal generalization of energy criterion is worked out using this approach for quasi-brittle fracture of solids having cracks with fractal singularity at microscale. The value of elastic energy is determined at macroscale. Surface energy required for creation of two fractal surfaces is defined with consideration of the fact that the crack has fractal roughness at microscale. This approach enables to obtain the relation between micro and macro scales and with this it makes possible to transmit structure concept to higher level of formalization as it is. The problem of stretching the plate with a line crack that has fractal roughness at microscale and the problem of accrual of fractures (taking into account fractal singularity of surface fracture being formed) are solved with the help of fractal generalized criterion of quasi-brittle fractures of solids. Geometric peculiarities of top corner cut profile are researched. The results of research have become theoretical basis for choosing fractal object as a model for a forming crack at the top of a crater that is used to solve the problem of crater cut fracture. Comparative analysis of results with experimental ones has been carried out.

Key words: fractal dimension, quasi-brittle fracture, crack, energy criterion for fracture of solids.

Аннотация

Щелокова М.А. Фрактальное обобщение энергетического критерия квазихрупкого разрушения твердых тел. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. Запорожский национальный технический университет, Запорожье, 2007.

Диссертационная работа посвящена развитию и реализации фрактального подхода к решению задач квазихрупкого разрушения. На микроуровне профиль шероховатой трещины аппроксимируется фрактальным объектом, на макроуровне, трещина имеет вид гладкого контура, поэтому остаются справедливыми классические постановки задач разрушения, носителем фрактальных микроособенностей трещины выступает дополнительный параметр - фрактальная размерность. Для оценки реальной “длины” трещины строится энтропийная - мерная мера. С помощью данного подхода выполнено фрактальное обобщение энергетического критерия разрушения твердых тел, содержащих трещины, имеющие на микроуровне фрактальную особенность. Величина упругой энергии определяется на макроуровне, поверхностная энергия, необходимая для создания двух фрактальных поверхностей разрушения записывается с учетом фрактальной шероховатости, характерной для микроуровня. Такой подход позволяет установить связь между микро и макро уровнями, при этом позволяет перевести на более высокий уровень формализации понятие о структуре как таковой.

С помощью фрактального обобщенного критерия квазихрупкого разрушения твердых тел были решены задача о растяжении пластины содержащей прямолинейную трещину, которая на микроуровне имеет фрактальную шероховатость; задача о накоплении повреждений (с учетом фрактальной особенности формирующихся поверхностей разрушения). Привлечение синергетической модели реальной трещины позволило получить выражение для величины критической нагрузки с учетом размерности фрактальной особенности. Установлено, что в случае, если реальная трещина на микроуровне имеет фрактальную размерность большую чем единица (в плоском случае), то величина критической нагрузки при той же макроскопической длине трещины будет меньше, по отношению к величине найденной согласно одномерной модели. Это, в свою очередь, объясняет случаи, когда элементы конструкции, содержащие трещины допустимого размера, разрушались при нагрузках значительно меньше расчетных. При формировании поверхности разрушения для каждого уровня нагрузки фрактальная размерность формирующейся поверхности разрушения определяет для этой поверхности степень поврежденности.

Проведено исследование геометрических особенностей профиля вершины углового выреза, установлено, что область из окрестности вершины описывается множеством, фрактальная размерность которого отлична от нуля; фрактальная особенность является следствием геометрической формы профиля выреза и однозначно определяется величиной угла раскрытия берегов выреза в вершине. Результаты исследования стали теоретическим обоснованием для выбора фрактального объекта в качестве модели формирующейся трещины в вершине лунки, которая используется при решении задачи о разрушении луночного выреза. Проведен сравнительный анализ результатов полученных в диссертационной работе с известными результатами экспериментов.

Ключевые слова: фрактальная размерность, квазихрупкое разрушение, трещина, энергетический критерий разрушения твердых тел.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. На сьогоднішній день, незважаючи на науково-технічний прогрес, число аварій, обумовлених процесом руйнування, зменшується досить повільно. Можливість появи при експлуатації небезпечних дефектів і руйнувань необхідно розраховувати, по-перше, при розробці теоретичної основи створення нових матеріалів, по-друге, при виборі конструктором відповідного матеріалу, а також при оцінці та прогнозуванні поведінки елемента конструкції у виробі на будь-якому етапі експлуатації. Тріщини, що спостерігаються експериментально, зломи, які формуються при руйнуванні металевих матеріалів, характеризуються наявністю нерівностей різних розмірів. Дослідження макроскопічного розповсюдження тріщини та електронних мікрофрактограм поверхонь руйнування виявили ряд особливостей. Перш за все, це відхилення тріщини як реального фізичного об'єкта від моделі ідеальної тріщини в класичної теорії пружності та пластичності (моделі типа Баренблатта - Дагдейла). На цей час встановлено, що процес руйнування має фрактальний характер. Теорія дислокацій дозволила описати механізм руйнування на якісному рівні, але при цьому залишається необхідною подальша розробка нових теоретичних підходів до загального опису зв'язку параметрів руйнування з характеристиками структури матеріалів. Розробка адекватних математичних моделей процесів руйнування, удосконалення критеріїв гранично-рівноважного стану з урахуванням фрактальної особливості дозволить дістати нові якісні характеристики міцності елементів конструкцій, що є цінним для інженерної практики.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації проводилися у відповідності з індивідуальним планом підготовки аспіранта та в рамках виконання держбюджетних тем “Розробка математичних моделей об'єктів та процесів. Створення методики наближеного розв'язання прикладних задач“ (№ ДР 0105U006064), “Розробка математичних моделей та методів розв'язання задач механіки деформівного твердого тіла з геометричними та фізичними особливостями“ (№ ДР 0106U008619) кафедри прикладної математики Запорізького національного технічного університету.

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційного дослідження є розробка фрактального узагальнення енергетичного критерію квазікрихкого руйнування твердих тіл, в основі якого закладено фрактальне представлення реальної тріщини, що відображає самоподібні особливості процесу руйнування, а також фізичну шорсткість реальної тріщини, що проявляється на мікрорівні.

Для досягнення сформульованої мети необхідно було вирішити наступні завдання:

1. Удосконалення підходу до розв'язання задач механіки руйнування, який би дозволив, залишаючись в рамках лінійної механіки руйнування, застосувати у розв'язанні задач руйнування фрактальні характеристики структури реальних тріщин, переводячи на більш високий рівень формалізації поняття структури.

2. В рамках фрактального підходу виконати фрактальне узагальнення енергетичної концепції Гріффітса на тріщини, що мають на мікрорівні фрактальні характеристики.

3. Для перевірки достовірності фрактальної узагальненої енергетичної концепції розв'язати задачу про руйнування лункового вирізу. Порівняти отримані дані з відомими результатами експериментів, а також з підходом Нейбера-Новожилова до розв'язання цієї задачі.

4. При розв'язанні задачі про накопичення пошкоджень провести дослідження залежності фрактальної розмірності поверхні руйнування, що формується, та параметра пошкодженості середовища.

Об'єкт дослідження. Процеси руйнування елементів конструкцій, що містять концентратори напружень (тріщиноподібні дефекти, технологічні вирізи по типу лунки).

Предмет дослідження. Енергетичний критерій, що описує гранично-рівноважний стан тіл з тріщинами, що описано плоскими статичними задачами механіки руйнування на розрізах, для яких властиві фрактальні особливості на мікрорівні.

Методи дослідження. Моделювання реальних тріщиноподібних дефектів проведено за допомогою математичних фрактальних об'єктів (фрактальних розрізів), що дозволяє врахувати геометричні особливості (характерні для мікрорівня) профілю тріщин, що формуються, та самоподібний характер руйнування. Для отримання оцінки довжини фрактального розрізу, застосовуючи конструкцію Каратеодори, будується дробова ентропійна - міра Хаусдорфа. Застосовуючи конструктивне означення довжини (за допомогою покриття - мірними компактами) з'являється можливість не визначати відстань між точками в просторі та не вводити спеціальну метрику. Фрактальний об'єкт розглядається як вкладена структура в евклідовий простір, а фрактальна розмірність - як показник обраного покриття. Наявність рівномірної міри порядку (на покритті фрактального розрізу) дозволяє застосувати апарат дробового інтегро-диференційного числення, за допомогою якого з'являється можливість узагальнити енергетичний критерій граничної міцності твердих тіл.

Наукова новизна здобутих результатів.

1. Отримав подальший розвиток фрактальний підхід до розв'язання задач механіки квазікрихкого руйнування твердих тіл в лінійній постановці, який враховує вплив особливостей мікроструктури на величину критичних макропараметрів руйнування.

2. Виконано фрактальне узагальнення енергетичної концепції Гріффітса.

3. Вперше встановлено, що геометричною особливістю профілю вершини лункового вирізу є фрактальна розмірність множини з околу вершини, при цьому ця розмірність є наслідком геометричної форми та однозначно визначається величиною кута вирізу.

4. За допомогою фрактального узагальнення енергетичного критерію квазікрихкого руйнування твердого тіла, при розв'язані задачі про руйнування лункового вирізу була отримана залежність величини критичного навантаження не тільки від величини кута вирізу, але й від фрактальної розмірності тріщин, що формуються у вершині лунки.

Достовірність та обґрунтованість наукових положень, висновків та рекомендацій. Достовірність здобутих результатів забезпечується тим, що запропонований підхід ґрунтується на загальновідомих положеннях лінійної механіки руйнування, фізичних представленнях про механізм руйнування, на глибокому аналізі опублікованих результатів експериментів по дослідженню процесу формування поверхні руйнування. Граничний перехід в отриманих співвідношеннях для оцінок характеристик міцності в модельних задачах дає відомі в класичній механіці вирази. Коректність результатів, що здобуті при фрактальному підході до задачі про руйнування області, яка містить лунковий виріз, підтверджується збігом на якісному рівні з результатами, що отримані за допомогою відомого критерію Новожилова, а також з опублікованими даними експериментів, які були проведені І.І. Бугаковим та І.І. Демидовою.

Практичне значення здобутих результатів. Здобуті в дисертаційному дослідженні результати (вирази для оцінки основних характеристик міцності, що враховують фрактальну розмірність поверхонь руйнування, які формуються), можуть скласти теоретичну основу для розробки науково-дослідницьких методів обчислення міцності та довговічності елементів конструкцій, що містить дефекти різної природи. Розроблений фрактальний підхід також може бути застосований в розрахункової практиці проектних організацій.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи, які виносяться на захист, отримані автором особисто [2-4,8]. Ідея застосування апарата дробового інтегро-диференційного обчислення до опису фрактальних властивостей реальних об'єктів належить д.ф.-м.н., проф. В.М. Онуфрієнко. Деякі ідеї відносно напрямку досліджень у механіці належать науковому керівникові, к.т.н., доц. Ю.В. Мастиновському . В публікаціях, що написані у співавторстві, здобувачеві належать:

- математична реалізація поставленої задачі [6, 7];

- постановка задач та методика їх реалізації [1, 5].

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на: ІХ міжнародної конференції ім. Академіка М. Кравчука (Київ, 2002 р.), ХI міжнародної науково - практичної конференції “Прикладні задачі математики та механіки” (Севастополь, 2002 р.), міжнародної науково - методичної конференції “Проблеми математичного моделювання” (Дніпродзержинськ, 2003 р. та 2005 р.), ХІІ міжнародної конференції “Машинобудування та техносфера ХХІ століття” (Севастополь, 2005 р.). В цілому, дисертація обговорювалася на наукових семінарах кафедри прикладної математики Запорізького національного технічного університету (2004-2006 р.), міжкафедральному науковому тематичному семінарі при Запорізькому національному технічному університеті (2006 р.).

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність сформульованої темі дослідження, визначено об'єкт та предмет дослідження, сформульовані мета і основні задачі, охарактеризовано методи дослідження, наукова новизна, теоретичне і практичне значення отриманих результатів, прокоментовано повноту викладення матеріалу в наукових працях та його ступень апробації, описано структуру дисертаційної роботи.

У першому розділі дисертаційної роботи наводиться огляд літератури, висвітлюються основні питання, які досліджуються за напрямком, відповідним до напрямку досліджень даної роботи, а також зазначаються питання, які лишились невирішеними.

Дослідженням напружено-деформівного стану в околі вершини тріщини та тріщиностійкості матеріалів присвячені роботи А.А. Гріфітса, О.Е. Орована, Дж. Райса, Дж. Ірвіна, Г.І. Баренблата, М.Я. Леонова, В.В. Панасюка, Г.П. Черепанова, Л.І. Седова, О.О. Лєбєдєва, Б.Є. Победрі, В.В. Новожилова, А.Є. Андрєйківа, В.З. Партона, Н.Г. Стащука, О.М. Гузя, Ф.Л. Шевченка, В.О. Толока, В.П. Пошивалова, В.З. Грищака, А.П. Дзюби, В.І. Пожуєва, А.Ш. Асатуряна, Ю.В. Мастиновського, Г.І.Львова, В.І.Кальченко, М.І.Черновола, В.Г.Каплуна, Р.П.Дідик, П.П.Мельничука та ін.

На основі аналізу існуючих публікацій, які присвячені проблемі дослідження тріщиностійкості конструкції, зроблено огляд математичних представлень реальних тріщин, та зроблено висновок, що форма математичної моделі тріщини безпосередньо впливає на параметри міцності. На основі аналізу результатів експериментальних досліджень, а також огляду основних критеріїв руйнування, виділено основні недоліки загальновідомих критеріїв. Зроблено висновок, що більша частина з них орієнтована на гладкі тріщини - розрізи, які не враховують геометричну особливість структури поверхонь руйнування, що формуються. Аналіз робіт (В.С. Іванової, О.О. Шанявского, І.А. Міклашевіча, Р.В. Гольдштейна, Н.Ф. Морозова, О.В. Каштанова, В.І. Арнольда, В.І. Дирди, О.Д. Шамровського, G.C. Sih, D. Firrao, R. Roberti, D. Dutta, P. Barat, S.N. Ganguly, E. Doege, D. Lackman, B. Kischnick, B.B. Mandelbrot, W. Lei, B. Chen, R.E. Willford, K.J. Falconer, J. Hutchinson, C. Wang та ін.), які присвячені застосуванню фрактального аналізу до опису структури поверхонь руйнування, що формуються, виявив доцільність прикладання об'єктів фрактальної геометрії до опису моделі реальної тріщини. При цьому остаточно невирішеною залишається проблема врахування впливу особливостей мікроструктури на величину критичних макропараметрів руйнування. Порівняльний аналіз існуючих критеріїв гранично-рівноважного стану тіл з тріщинами виявив переваги енергетичної концепції руйнування, які ця концепція надає для узагальнення критерію на тріщини, що мають на мікрорівні фрактальні особливості. При цьому з'являється можливість перевести на більш високий рівень формалізації саме поняття структури.

У другому розділі побудовано сінергетичну модель реальної тріщини в твердому тілі, яку можна представити наступним чином: на мікрорівні тріщина має вигляд фрактальної кривої, на макрорівні - звичайна гладка тріщина, що має крім основного макропараметру - довжини, додатковий - фрактальну розмірність мікроструктури. Для реальних тріщин (в металах) існують два граничні масштаби, нижній (розмір зерна або субзерна) та верхній (масштаб неоднорідностей), які обмежують інтервал розмірів, на якому поверхні тріщин проявляють фрактальні властивості. Таким чином, на масштабі, де справедливі закони лінійної механіки руйнування, тріщини мають вигляд гладких кривих, фрактальні особливості мікрорівня враховуються у вигляді скейлингова показника при отриманні оцінок характеристик міцності.

На основі представленої сінергетичної моделі реальної тріщини фрактальний підхід до узагальнення енергетичної концепції руйнування твердих тіл передбачає наступне:

- фрактальна розмірність модельної тріщини визначається або експериментально, або на основі яких-небудь теоретичних припущень (умова виконання енергетичного балансу);

- оцінка довжини “реальної” тріщини проводиться з допомогою побудови дробової ентропійної - міри Хаусдорфа;

- при обчислені поверхневої енергії тріщини враховується фрактальна розмірність мікроструктури (що складає суть узагальнення), а робота по розкриванню тріщини визначається на макромасштабі.

Фрактальний підхід за зазначеною схемою, дозволяє, залишаючись в рамках лінійної механіки руйнування, не тільки застосовувати при розв'язанні задач додатковий параметр, який характеризує геометричні особливості мікроструктури реальної тріщини, але й частково відобразити той факт, що процес руйнування - це сукупність процесів мікро- та макрорівнів.

Ідея побудови оцінки довжини реальної тріщини з урахуванням фрактальної порізаності мікрорівня складається з наступного. Універсальним елементом покриття на мікрорівні для фрактальних кривих обирається - мірна куля з об'ємом, що визначається як -мірна міра Хаусдорфа ( - діаметр кулі).

Функцію при можна розглядати як -мірну площу перерізу кулі, а для - як -мірну довжину діаметра. З іншого боку, -мірну міру можна здобути звичайним інтегруванням - міри

З виразу випливає, що ентропійна -мірна міра Хаусдорфа геометричного фрактального об'єкта може будуватися зі застосуванням операції дробового інтегрування -міри, скейлинговий показник характеризує локальні властивості фрактальної множини, що вимірюється.

Геометрично, що “довжині” плоскої фрактальної ділянки на інтервалі ставиться у відповідність площа криволінійної трапеції, що утворена функцією. Фрактальна ділянка ніби-то розміщується у двомірному просторі.

Використовуючи конструктивне означення “довжини” для опису оцінки довжини фрактальних контурів, з'являється можливість виконати фрактальне узагальнення енергетичного критерію квазікрихкого руйнування твердих тіл, не застосовуючи спеціальні простори.

У третьому розділі, на основі фрактального узагальнення енергетичної концепції квазікрихкого руйнування твердих тіл розв'язані задачі про розтягнення пластини, що містить тріщину, яка на мікрорівні має фрактальну шорсткість; про накопичення пошкоджень (з урахуванням фрактальної розмірності поверхні руйнування, що формується), та проаналізовано зв'язок параметра з фізичними макровеличинами.

Задача про розтягнення пластини. Розглядається прямокутна пластина (в ізотропному середовищі), довжина та ширина пластини вважаються більшими за товщину, яку для визначеності приймемо рівною одиниці. В пластині існує дефект у вигляді прямолінійної наскрізної тріщини малої довжини (). У масштабі, поверхні, що утворюють порожнину тріщини мають шорсткість, яка в кожному перерізі поверхонь характеризується фрактальною розмірністю . Пластина рівномірно розтягується в ортогональному до плоскості тріщини напрямку напруженням.

Для оцінки величини пружної енергії розглядалася подібна пластина, але без дефекту. Процес вивільнення пружної енергії супроводжується каскадним переносом енергії з більших масштабів на менші, а потім, на мікрорівні, де здійснюється дисипація енергії та її трата на утворення нової поверхні розриву, що має фрактальну шорсткість.

Поверхнева енергія, яка необхідна для утворення двох фрактальних поверхонь, була записана з урахуванням того, що на мікрорівні тріщина має фрактальну шорсткість, яка характеризується фрактальною розмірністю .

Застосовуючи енергетичне балансове рівняння для критичного навантаження при фіксованій макроскопічній довжині тріщини.

Графічне представлення залежності вказує на той факт, що у випадку, коли профіль реальної тріщини на мікрорівні має фрактальну розмірність, то величина критичного навантаження при тій же макроскопічній довжині тріщини буде менша, ніж величина, знайдена відповідно одномірній моделі (випадок ). Це в свою чергу роз'яснює випадок, коли елементи конструкції, що містять тріщини допустимого розміру, руйнувалися при навантаженнях значно менших за обчислені.

Використовуючи залежність, оцінка для критичного значення (довжини відрізка, вздовж якого розташований фрактальний розріз).

Графічне зображення отриманої залежності для випадків вказує на те, що критична макроскопічна довжина тріщини, суттєво залежить від фрактальної розмірності цієї тріщини (на мікрорівні). Критична довжина допустимої тріщини може виявитися завищеною, якщо її фрактальна розмірність на мікрорівні буде значно більше одиниці, в свою чергу, це може стати причиною дострокового руйнування конструкції та привести до аварійної ситуації.

Зауважимо, що при задача про критичне навантаження у пластині з фрактальною тріщиною співпадає з класичною задачею Гріфітса (про критичне навантаження у пластині з прямолінійною тріщиною).

Задача про накопичення пошкоджень. Нехай уздовж осі пружна ізотропна плоскість розтягується на нескінченності рівномірним напруженням величини. При цьому уздовж осі утворюється поверхня руйнування, що представляє собою систему мікро тріщин.

Розглядалося руйнування у довільній, достатньо широкій смузі. Нехай - період системи. У смузі, що розглядається, знаходиться тріщин однакової довжини.

Для того, щоб записати вираз для потенційної енергії, поверхня руйнування, що формується, представлялася у вигляді фрактальної множини з розмірністю з інтервалу. Фрактальна неоднорідність розглядалася на мікрорівні. Випадок відповідає бездефектному стану матеріла, - відповідає утворенню поверхні руйнування.

Вираз представляє однозначну залежність навантаження що викликає руйнування, від параметра пошкодження , числа періодів системи тріщин, що виникають на певному етапі руйнування, та фрактальної розмірності поверхні, яка при цьому виникає. Аналітично встановлено, що для кожного рівня навантаження фрактальна розмірність поверхні руйнування, що формується, визначає для цієї поверхні ступінь пошкодження.

В момент руйнування смуги, система тріщин зливається в єдиний розріз, тобто та. В цьому випадку: , що повністю відповідає критерію руйнування при розв'язані кінетичного рівняння зруйнованості, яке запропоновано Ю.Н. Работновим.

В четвертому розділі за допомогою теорії міри, диференціальної геометрії, фрактального аналізу, проведено аналітичне дослідження геометричних особливостей профілю вершини лункового вирізу. Було визначено порядок дотикання берегів лункового вирізу в околі вершини та розмірність множини з околу вершини вирізу, і встановлено:

- в околі вершини існує множина, фрактальна розмірність якої відрізняється від нуля;

- фрактальная особливість є наслідком геометричної форми профілю та однозначно визначається величиною кута розкриття берегів вирізу у вершині.

Результати дослідження стали теоретичним обґрунтуванням для вибору сінергетичної моделі тріщини, яка формується у вершині лункового вирізу (на мікрорівні тріщина має фрактальну особливість).

За допомогою фрактальної узагальненої енергетичної концепції квазікрихкого руйнування твердих тіл розв'язана задача про руйнування області, яка містить лунковий виріз. Розглядалася прямокутна пластина (в ізотропному середовищі). Довжина та ширина пластини прийняті більшими за товщину, яку для визначеності прийняли рівною одиниці. В пластині існує виріз у вигляді симетричної лунки малої довжини ( значно менша довжини та ширини пластини). Пластина рівномірно розтягується вздовж осі напруженням . На сторонах вирізу нормальні та дотичні напруження дорівнюють нулеві. Необхідно визначити величину критичного навантаження.

Вираз для поверхневої енергії надривів, що виникли, враховує характерну для мікромасштабу фрактальну шорсткість тріщин, що з'явилися у вершині лунки.

Оскільки, параметр безпосередньо пов'язано з величиною кута при вершині лункового вирізу, отримано неявний вираз, який описує залежність фрактальної розмірності від величини кута .

Застосовуючи енергетичне балансове рівняння отримано вираз для критичного навантаження.

Фрактальне узагальнення енергетичної концепції руйнування дозволило здобути оцінку величини критичного навантаження, яка не тільки враховує величину кута вирізу, але й за допомогою параметра розмірності враховує фрактальні особливості тріщини, що формується у вершині лункового вирізу. І.І. Бугаковим та І.І. Демидовою були проведені експерименти по визначенню руйнуючого навантаження на зразках з вирізами, що мають кутові точки, але фрактальна розмірність тріщин, які формуються не була зафіксована. При обчисленні кожного значення за допомогою фрактального узагальненого енергетичного критерію, фрактальна розмірність обиралася відповідно до кута (табл.1.)

Таблиця 1- Значення величин та для різних кутів .

Необхідно відзначити якісний збіг залежностей, здобутих за допомогою фрактального підходу та критерію Новожилова, а також відзначити, що крива, яка побудована на основі фрактального підходу все ж ближче до експериментальних даних, особливо для кутів з інтервалу

У висновках сформульовано основні результати досліджень.

пластина тріщина лунка фрактальний

Основні результати і висновки

Розв'язано науково-технічну проблему розробки та теоретичного обґрунтування фрактального узагальнення енергетичного критерію квазікрихкого руйнування твердих тіл. Здобуті результати дисертаційного дослідження складають теоретичну основу для створення методів прогнозування граничного стану, які мають враховувати формування тріщини недопустимого розміру та встановлення остаточного ресурсу пошкоджених у процесі експлуатації елементів металоконструкцій.

1. Вперше розроблено фрактальний підхід до розв'язання квазікрихких задач механіки руйнування, в основі якого закладені наступні положення:

- на мікрорівні профіль шорсткої тріщини апроксимується фрактальним об'єктом розмірності , при цьому ;

- фрактальна шорсткість “сгладжується” покриттям -мірними компактами; для оцінки реальної довжини тріщини будується ентропійна -мірна міра;

- на макрорівні, тріщина має вигляд гладкого контуру, тому лишаються справедливими класичні постановки задач руйнування, носієм фрактальних мікроособливостей тріщини виступає додатковий параметр - фрактальна розмірність .

Розроблений в дисертаційний роботі фрактальний підхід дозволяє, залишаючись у рамках лінійної механіки руйнування, застосовувати при розв'язанні задач квазікрихкого руйнування сінергетичну модель тріщини. При цьому цей підхід дає можливість побудови більш чіткого механізму зв'язку особливостей мікроструктури руйнування з його макроскопічними характеристиками, що переводить на більш високий рівень формалізації поняття структури.

2. За допомогою розробленого фрактального підходу отримано фрактальне узагальнення енергетичної концепції Гріфітса для тріщин, які мають фрактальну особливість на мікрорівні, що в свою чергу може послужити для розробки та тестування чисельних методів, розширити область застосування лінійної механіки на тріщини, що наближені до реальних. Граничний перехід в здобутих залежностях основних характеристик міцності, які враховують параметр розмірності , при дає класичні вирази лінійної механіки руйнування.

3. Вперше аналітично досліджено геометричні особливості профілю вершини лункового вирізу (порядок дотикання берегів лункового вирізу в околі вершини та розмірність множини з околу вершини вирізу), при цьому встановлено:

- область з околу вершини описується множиною, фрактальна розмірність якої відрізняється від нуля;

- фрактальна особливість є наслідком геометричної форми профілю вирізу та однозначно визначається величиною кута розкриття берегів вирізу у вершині.

Результати дослідження послужили теоретичним обґрунтуванням для вибору сінергетичної моделі тріщини в вершині лункового вирізу, яка формується (на мікрорівні тріщина має вигляд фрактального розрізу).

4. На основі фрактального узагальненого енергетичного підходу розв'язана задача руйнування для області, яка містить лунковий виріз. Застосування фрактального підходу дозволило уникнути протиріч при застосуванні енергетичного балансу до пружних областей з кутовими точками. Проведено порівняння результатів розв'язання, яке здобуте за допомогою фрактального підходу, з результатами, які отримані при застосуванні критерію Нейбера - Новожилова, а також з результатами експерименту, який було проведено І.І. Бугаковим та І.І.Демидовою по визначенню залежності критичного навантаження від кута лункового вирізу, при цьому виявлено:

- якісний збіг залежностей, які здобуті за допомогою фрактального підходу, критерія Нейбера - Новожилова та експериментальної кривої;

- результати, що здобуті на основі фрактального підходу виявилися більш близькими до результатів експериментів, особливо для кутів з інтервалу , ніж результати, що отримані за критерієм Нейбера - Новожилова.

5. За допомогою фрактального підходу розв'язана задача про накопичення пошкоджень при квазікрихкому руйнуванні твердого тіла, при цьому отримано:

- для кожного рівня навантаження фрактальна розмірність поверхні руйнування, що формується, визначає для цієї поверхні ступінь пошкодження.

Отже, врахування фрактальної шорсткості профілю поверхні руйнування (характерної для мікрорівня) у вигляді фрактальної поправки (розмірності ) при визначенні критичних значень параметрів руйнування (критичного навантаження, критичного розміру тріщин) значно підвищує точність оцінок цих параметрів. Таким чином, фрактальне узагальнення енергетичного критерію квазікрихкого руйнування твердих тіл є теоретичною основою для розробки науково-дослідницьких методів обчислення міцності та довговічності елементів металоконструкцій, що містять дефекти різної природи. Фрактальне узагальнення пропонується для застосування у розрахунковій практиці проектних організацій.

Основні результати дисертації опубліковані в роботах

1. Щелокова М.А., Коротунова Е.В., Мастиновский Ю.В. Фрактальный подход к решению задачи о накоплении повреждений // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. - 2005. - №2. - С.80-83.

2. Щелокова М.А. Фрактальное обобщение уравнения Гриффитса // Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні. - 2004. - С.86-89.

3. Щелокова М.А. Приложение фрактальной геометри к описанию механизма разрушения // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. - Дніпропетровськ : Дніпропетровський національний університет. - 2004. - Вип.8. - С. 137-144.

4. Щелокова М.А. Исследование фрактальных особенностей вершины трещиноподобного дефекта конструкции // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. - Дніпропетровськ : Дніпропетровський національний університет. - 2003. - Вип.7. - С. 134-141.

5. Щелокова М.А., Мастиновский Ю.В., Коротунові Е.В. Фрактальный подход к решению задачи о луночном вырезе. // Труды ХІІ междунар. конф. “Машиностроение и техносфера ХХІ века”. - Донецк: ДонНТУ, 2005. - Т.4. - С. 114-119.

6. Щелокова М.А., Мастиновский Ю.В. Зависимость КИН от фрактальной размерности трещины // Матеріали Міжнар. наук. конф. “Математичні проблеми технічної механіки”. - Дніпропетровськ. - 2005. - С.35-37

7. Онуфриенко В.М., Щелокова М.А. Дифферинтегральная модель решений краевых задач с фрактальными особенностями // Материалы ХI Междунар. науч.-практ. конф. “Прикладные задачи математики и механики”. - Севастополь: СевНТУ. - 2002. - С. 195-197.

8. Щелокова М.А. Геометрические особенности профиля вершины щели // Материалы междунар. науч.-метод. конф. “Проблемы математического моделирования”. - Днепродзержинск: ДГТУ, 2003. - С.53-54.

Размещено на Allbest.ru