Біфуркації та стійкість станів рівноваги систем послідовно з’єднаних маятників під дією слідкуючої сили

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Спеціальність 01.02.01 - теоретична механіка

Біфуркації та стійкість станів рівноваги систем послідовно з'єднаних маятників під дією слідкуючої сили

Бамбура Ольга Василівна

Київ 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському університеті економіки і технологій транспорту та Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Лобас Леонід Григорович, Київський університет економіки і технологій транспорту, завідувач кафедри теоретичної і прикладної механіки.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Нікітіна Неллі Володимирівна, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, провідний науковий співробітник відділу стійкості процесів;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Краснопольська Тетяна Сігізмундівна Інститут гідромеханіки НАН України, старший науковий співробітник відділу вихорових рухів.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 доктор фізико-математичних наук О.П. Жук

Анотація

Бамбура О.В. Біфуркації та стійкість станів рівноваги систем послідовно з'єднаних маятників під дією слідкуючої сили. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2007.

Дисертацію присвячено дослідженню стійкості вертикальних і невертикальних положень рівноваги одиночного і подвійного перевернутих математичних маятників під дією слідкуючої сили. При різних значеннях параметрів одинарного маятника побудовано криві рівноважних станів. Показано, що при плавній зміні кутового або лінійного ексцентриситетів слідкуючої сили можливі стрибкоподібні переходи від одного стійкого стану рівноваги до іншого (катастрофи). Встановлено еволюцію динамічної поведінки перевернутого математичного маятника при варіюванні параметра орієнтації слідкуючої сили. Досліджено вплив як однотипних, так і мішаних характеристик пружних елементів одноланкового перевернутого математичного маятника на криву рівноважних станів.

При мішаних характеристиках пружних елементів дволанкового маятника отримано неперервну залежність (в графічному вигляді) кутів відхилення маятника від кутового ексцентриситету слідкуючої сили. Показано, що мішані характеристики подвійного маятника збільшують максимальну кількість біфуркаційних точок до 7.

Побудовані фазові портрети одинарного і подвійного математичних маятників, які цілком підтверджують отримані результати.

Ключові слова: одинарний математичний маятник, подвійний математичний маятник, стани рівноваги, біфуркації, катастрофи, фазові портрети.

Аннотация

Бамбура О.В. Бифуркации и устойчивость состояний равновесия систем последовательно соединенных маятников под действием следящей силы. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01- теоретическая механика. - Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертация посвящена исследованию устойчивости вертикальных и невертикальных положений равновесия одиночного и двойного перевернутых математических маятников под действием следящей силы. Разработано обобщенную математическую модель маятника с нижней точкой опоры и упругозакрепленным верхним концом. Обобщенность модели состоит в том, что характеристики упругих элементов маятника могут быть как линейными, так и нелинейными. При разных значениях параметров одиночного маятника построены кривые равновесных состояний. Показано, что при плавном изменении углового или линейного эксцентриситета следящей силы возможны скачкообразные переходы от одного состояния равновесия к другому (катастрофы). Проведен сравнительный анализ влияния типов упругих элементов маятника на кривую равновесных состояний. Исследовано влияние смешанных характеристик упругих элементов на состояния равновесия одиночного маятника. Установлена эволюция динамического поведения маятника при варьировании параметра ориентации следящей силы.

Кроме основных веток состояния равновесия, построены дополнительные ветви, которые не проходят через начало координат. Точность полученных результатов определения состояний равновесия маятника аргументируется тем, что погрешность приближенного решения нелинейного уравнения равновесия при всех значениях параметров не превышает порядок 10^-9.

При смешанных характеристиках упругих элементов получено непрерывную зависимость (в графическом виде) углов отклонения двойного маятника от углового эксцентриситета следящей силы. Рассмотрено 27 возможных вариантов размещения упругих элементов. Показано, что смешанные характеристики двойного маятника увеличивают максимальное число состояний равновесия до 7.

Достоверность конфигурации кривых равновесных состояний маятника, подтверждается, в частности, направлениями фазовых потоков и особыми точками векторного поля фазовых скоростей рассматриваемой динамической системы.

Ключевые слова: одиночный математический маятник, двойной математический маятник, состояние равновесия, бифуркации, катастрофы, фазовые портреты.

Summary

Bumbura O.V. Bifurcations and stability balanced systems consistently connected pendulums under the force. - Manuscript.

This is for a candidate's degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

Dissertation is about the research of the stability of vertical and non-vertical balanced positions of single and double overturned mathematical pendulums under the follower force. The curves of balanced single pendulum are built using various sets of parameters. Research has shown that with fluent change of angled or linear eccentricity of follower force there are skipped moves from balanced condition to unbalanced. Influence of resilient elements of pendulum is analyzed. It's been shown that pendulum with soft characteristics has maximum deviation from the vertical and it keeps its balanced position. In the case of pendulum with rigid characteristics non-vertical position is achieved with less angle of deviation than with elastic element of linear type.

In the test with mixed characteristics of elastic elements, there is continuous dependence of angles of deviation of double pendulum from angled eccentricity of follower force. Graphs show that mixed characteristics of double pendulum increase maximum amount of balance to 7.

The built phase portraits of single and double pendulums definitely confirm achieved results.

Key words: overturned mathematical pendulum, bifurcations and catastrophes of equilibrium states, follower force.

1. Загальна характеристика роботи

маятник рівновага плоскопаралельний рух

Актуальність теми. Актуальність тематики дисертації аргументується тим, що в теоретичній механіці назріла необхідність дослідження динамічної поведінки одинарного та подвійного перевернутих математичних маятників під дією асиметричної слідкуючої сили за наявності різних типів характеристик пружних елементів: жорстких, м'яких або лінійних. Несиметрія слідкуючої сили відносно верхньої ланки маятника може зумовлюватись нецентральністю прикладання стискуючого навантаження, неточностями виготовлення, технологічними недосконалостями тощо. В деяких випадках параметри асиметрії (кутовий та лінійний ексцентриситети) можуть бути наперед невідомими величинами і вводитись в систему з метою отримання тієї чи іншої динамічної якості системи.

Починаючи з часів Г. Галілея та Х. Гюйгенса, дослідження динаміки маятників неперервно уточнювались, ускладнювались, розширювались. Особливої інтенсивності та ваги ці дослідження набули з другої половини двадцятого століття після введення в механіку так званих слідкуючих сил. За даними журналу Transactions of the ASME. Applied Mechanics Reviews станом на 2004 р. відповідна бібліографія нараховувала понад 370 публікацій. Безпосередніми попередниками даного дисертаційного дослідження є дисертації І.Г. Борука, Л.Л. Лобас, В.Л. Лобас, захищені в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАНУ в 1998-2006 рр. В них розглядались стійкість, біфуркації станів рівноваги та граничних циклів подвійних математичних маятників за більш обтяжливих припущень відносно слідкуючої сили та пружних елементів маятника, ніж в даній дисертації. Одинарний перевернутий математичний маятник в них не досліджувався. Характеристики пружних елементів були або лінійними (І.Г. Борук, Л.Л. Лобас), або нелінійними, але з урахуванням лише однотипності (В.Л. Лобас). Тому дослідження динамічної поведінки маятникових систем зі зняттям цих обмежень є актуальними.

Маятникові системи слугують переконливим свідченням справедливості тези про те, що реальні механічні системи за своєю природою можуть суттєво відрізнятись, а їхні математичні моделі (відповідні динамічні системи) можуть бути ідентичними. Можливо, саме тому ціглерова модель Транс-арабського нафтопроводу у вигляді подвійного математичного маятника набула загального визнання. В даній дисертації ця модель істотно доповнена та розширена.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати, яких викладено в дисертаційній роботі, передбачені програмами і планами наукових робіт Київського університету економіки і технологій транспорту та увійшли до звіту з бюджетної теми НДР 21 - 2004 Б кафедри теоретичної і прикладної механіки КУЕТТ „Моделювання маятниковими системами залізничних споруд і конструкцій та аналіз біфуркацій і катастроф у фазових просторах при зміні параметрів системи”.

Мета і задачі дослідження: розробити теорію плоскопаралельного руху одинарного та подвійного перевернутих маятників під дією слідкуючої сили, прикладеної до кінця верхньої ланки, з урахуванням несиметрії сили та нелінійності характеристик пружних елементів і проаналізувати вплив параметрів на стійкість, біфуркації та катастрофи станів рівноваги.

Об'єктом дослідження є рівновага та перехідні процеси в одинарному та подвійному перевернутих математичних маятниках під дією слідкуючих потенціальних та дисипативних сил.

Предметом дослідження є стійкість, біфуркації та катастрофи станів рівноваги маятникових систем з урахуванням різнотипності характеристик пружних елементів.

Методи дослідження. Для розв'язання поставлених задач було використано наступні методи: аналітичні методи теоретичної механіки (при побудові математичних моделей систем маятників в силових полях, породжених потенціальними, дисипативними та позиційними непотенціальними силами), аналітичні методи теорії динамічних систем (при знаходженні залежностей рівноважних значень узагальнених координат від істотних параметрів, при встановленні характеру стійкості станів рівноваги та особливих точок векторних полів), аналітично-числові методи теорії диференціальних рівнянь (при побудові кривих залежності кутів відхилення ланок маятника від кутового ексцентриситету слідкуючої сили), числові методи теорії динамічних систем (при оцінці точності розв'язання рівнянь рівноваги маятників).

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що вперше

розроблено аналітико-числовий спосіб побудови кривих залежності станів рівноваги одинарного перевернутого математичного маятника від лінійного та кутового ексцентриситетів слідкуючої сили;

проаналізовано еволюцію станів рівноваги одинарного математичного маятника під дією слідкуючої сили при зміні параметрів для жорстких, м'яких та лінійних характеристик пружних елементів; загальна кількість досліджених випадків становить 9 (з урахуванням ситуацій з повторенням);

виявлено та досліджено біфуркації і катастрофи станів рівноваги перевернутого маятника під впливом асиметричної слідкуючої сили;

побудовано фазові портрети одинарного математичного маятника та проаналізовано їхні зміни при варіюванні істотних параметрів;

знайдено, крім основної гілки станів рівноваги одинарного маятника, так звані додаткові гілки;

показано, що в околі біфуркаційних точок одинарного маятника відбувається еволюція стійкого фокусу у стійкий вузол (без втрати стійкості особливої точки векторного поля);

показано, що мішані характеристики пружних елементів подвійного маятника приводять до збільшення числа станів рівноваги до 7 порівняно з 5 при однотипних характеристиках;

побудовано та проаналізовано фазові портрети подвійного перевернутого математичного маятника при різних значеннях істотних параметрів.

Достовірність результатів забезпечується використанням класичних теорем теоретичної механіки в постановці задач, застосуванням обґрунтованих аналітичних та числових методів теорії динамічних систем, використанням апробованих обчислювальних процедур, контролем точності наближеного розв'язку рівнянь рівноваги, відповідністю результатів комп'ютерного моделювання фундаментальним положенням теорії біфуркацій, стійкості і катастроф.

Практичне значення отриманих результатів полягає в розробці аналітико-числових методик побудови залежностей рівноважних значень узагальнених координат одинарного та подвійного перевернутих математичних маятників від істотних параметрів (лінійного та кутового ексцентриситетів слідкуючої сили, а також її параметра орієнтації). Отримані результати для різних типів характеристик пружних елементів поглиблюють наукову базу інженерів-конструкторів про вплив параметрів маятникових систем на їхню динамічну поведінку і можуть бути використані в науково-дослідних та проектно-конструкторських організаціях при моделюванні навісок керуючих поверхонь літальних апаратів, колієукладальних кранів залізниць, при розрахунках динамічних гасників коливань будівельних споруд і конструкцій, при прогнозуванні динамічної поведінки одновимірних трубопроводів, в механіці колісних екіпажів, при прогнозуванні функціональних можливостей елементів машин та механізмів з маятниковими системами.

Особистий внесок здобувача. У роботах [1-5], опублікованих у співавторстві з науковим керівником Л.Г. Лобасом та з науковим консультантом з питань комп'ютерної реалізації обчислювальних алгоритмів В.В. Ковальчук, дисертанту належать складання диференціальних рівнянь руху одинарного та дволанкового маятників, зведення задачі розв'язання рівнянь рівноваги маятників до задачі Коші, проведення числових розрахунків на ПК, побудова фазових портретів в околах особливих точок векторних полів, трактування особливостей поведінки рівноважних кривих з точки зору теорії катастроф динамічних систем, участь в обговоренні та тлумаченні результатів, підготовка рукописів статей до опублікування; науковому керівнику Л.Г. Лобасу належать постановка задачі та участь в обговоренні і тлумаченні результатів; науковому консультанту з питань комп'ютерної реалізації обчислювальних алгоритмів кандидату фізико-математичних наук, доценту В.В. Ковальчук належить допомога у виборі алгоритму обчислень та складанні робочих програм.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на конференціях:

International Conference „Dynamical system modelling and stability investigation (Modelling and stability)”, Kyiv, 2007. - С. 268;

XV міжнародній науковій конференції вчених України, Білорусії та Росії „Прикладные задачи математики и механики”, Севастополь, 2007 С. 78-80;

Науково-практичній конференції Київського університету економіки та технологій транспорту, серія „Техніка, технологія”, Київ, 2005. - С. 201;

Науково-практичній конференції Київського університету економіки та технологій транспорту, серія „Техніка, технологія”, Київ, 2005. - С. 202;

Результати дисертації в цілому доповідались та обговорювались на наукових семінарах відділу стійкості процесів Інституту механіки імені С.П. Тимошенка НАН України (керівник - член-кореспондент НАНУ А.А. Мартинюк);

з напряму „динаміка та стійкість механічних систем” Інституту механіки імені С.П. Тимошенка Інституту механіки НАН України (керівник - академік НАНУ В.Д. Кубенко).

Публікації. Результати дисертаційної роботи відображено у п'яти наукових статтях, опублікованих у фахових виданнях, затверджених ВАК України, а також у чотирьох тезах доповідей на конференціях.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, 4 розділів основної частини, висновків і переліку використаної літератури із 115 найменувань. Загальний обсяг -138 с. разом із 3 таблицями та 55 рисунками, розміщеними на 58 с.

Дисертант висловлює щиру подяку науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, професору Лобасу Леоніду Григоровичу за цінні поради, підтримку і вказівки, незмінний інтерес до роботи на всіх етапах її виконання. Автор дякує співробітникам Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за сприяння підготовці дисертації.

2. Основний зміст

У вступі викладено загальну характеристику сучасного стану проблеми, яка розглядається в дисертаційній роботі; обґрунтовано актуальність теми; сформульовано мету та задачі досліджень; відзначено наукову новизну і практичне значення отриманих результатів; наведено зв'язок з науковими темами та планами, а також відомості про апробацію результатів і публікації автора, що відображають основну сутність виконаних досліджень.

У першому розділі наведено огляд наукових робіт, присвячених математичним маятникам, зокрема відмічено, класичні дослідження Г. Галілея та Х. Гюйгенса були доповнені Х. Ціглером результатами специфічного впливу слідкуючих сил. Вагомий внесок у „маятникову проблематику” зроблено вітчизняними вченими: П.Л. Капіца, Легеза В.П., Стрижак Т.Г., Краснопольска Т.С., Швець О.Ю., Гуляєв В.І., Зубрицька А.Л., Кошкін В.Л., Сосницький С.П., Ішлінський О.Ю., Темченко М.Є., Бредіхін Ю.Р., Сокіл Е.М., Хребет В.Г., Нікітіна Н.В., Боголюбов М.М., Митропольський Ю.О., Рудовський Ю.К., Вікович І.А., Стороженко В.О., Співаковський В.Б., Федик С.М., Марюта А.Н., Шевченко К.Н., Вархальов Ю.П., Горр Г.В., Зевін О.А., Філоненко Л.А., Савченко О.Я., Болградська І.О., Кононихін Г.А.

Наведений в дисертації критичний аналіз досліджень з динаміки маятникових систем під дією слідкуючих сил свідчить про наявність в ній низки нерозв'язаних актуальних питань. Вкажемо основні проблеми.

1. Зважаючи на доцільність апроксимації одновимірних пружних систем ланцюговими маятниками і беручи до уваги постановку задачі про узагальнену математичну модель n-ланкового маятника під впливом асиметричної слідкуючої сили, розробити математичні моделі одно- та дволанкового маятників з урахуванням лінійного та кутового ексцентриситетів.

2. Дослідити еволюцію станів рівноваги одинарного перевернутого математичного маятника зі зміною лінійного та кутового ексцентриситетів.

3. Визначити характер стійкості особливих точок диференціального рівняння збуреного руху одинарного маятника.

4. Встановити можливі якісні зміни динамічної поведінки одинарного перевернутого математичного маятника при варіюванні істотних параметрів як слідкуючої сили (параметра орієнтації, ексцентриситетів), так і самого маятника.

5. Встановити можливість існування додаткових гілок многовиду станів рівноваги одинарного перевернутого математичного маятника.

6. Дослідити вплив як однотипних, так і мішаних характеристик пружних елементів перевернутого подвійного математичного маятника під дією слідкуючої сили на рівновагу маятника.

У другому розділі розроблено узагальнені математичні моделі одно- та дволанкового маятників. Розрахункова схема перевернутого одиночного маятника, складається з невагомого стержня довжини і матеріальної точки маси . Верхній кінець маятника пружно закріплено за допомогою горизонтальної циліндричної пружини з жорсткістю . В точці опори знаходиться пружно-в'язкий шарнір.

Конфігурація маятника визначається кутом , який приймемо за незалежну координату.

До маятника прикладена слідкуюча сила, яка є несиметричною відносно стержня . Кут, який сила утворює з вертикаллю, позначимо через, тобто цей кут має дві складові: „статичну” та „динамічну”. Коефіцієнт - параметр орієнтації слідкуючої сили. Також на маятник діють: сила ваги матеріальної точки, відновлююча сила , стабілізуючий момент.

Приведена математична модель перевернутого одиночного маятника є узагальненою, оскільки в рівнянні (2) враховано як кутовий ексцентриситет, так і лінійний ексцентриситет слідкуючої сили. Крім того, коефіцієнти впливу дозволяють розглянути всі можливі типи пружних елементів. При цьому обидва елементи можуть мати характеристики одного типу (жорсткі при; м'які при ; лінійні при) або різних типів (всього 6 можливих комбінацій).

Для зменшення числа параметрів в рівнянні (2) перейдемо до безрозмірних величин. Приймемо за базисні параметри масу матеріальної точки, довжину стержня, жорсткість пружного елементу в точці. Безрозмірні величини позначимо рискою над відповідними параметрами.

Верхній кінець маятника пружно закріплено за допомогою горизонтальної пружини жорсткістю , в точках і маємо дві спіральні пружини з жорсткостями і відповідно. Точки і є матеріальними з масами і , довжини невагомих стержнів приймемо і відповідно. Узагальненими координатами маятника є кути і відхилення ланок маятника від вертикалі.

При відхиленні маятника від вертикалі пружні елементи деформуються, внаслідок цього з'являються відновлюючі сили і моменти сил. Отже, маятник перебуває під дією сил ваги матеріальних точок відновлюючих сил та моментів сил і слідкуючої сили.

Кожен пружний елемент дволанкового маятника може приймати або жорсткі характеристики, або м'які, або лінійні. Відповідні величини будемо позначати індексами h, s, l (перші букви слів hard, soft, linear). Для дволанкового маятника кількість можливих ситуацій дорівнює 27: hhh, hhs, hhl, hsh, hss, hsl, hlh, hls, hll, shh, shs, shl, ssh, sss, ssl, slh, sls, sll, lhh, lhs, lhl, lsh, lss, lsl, llh, lls, lll. Вибір конкретних ситуацій відбувається за допомогою так званих коефіцієнтів впливу , які приймають значення або 1, або 0. Якщо всі три пружні елементи мають жорсткі характеристики , то,. Якщо всі вони мають м'які характеристики, то…. У випадку лінійних характеристик усіх пружних елементів маємо,..

Для того, щоб зменшити кількість параметрів системи (6), запишемо цю систему в безрозмірному вигляді. Приймемо за базисні величини параметри нижньої ланки маятника.

Третій розділ присвячено знаходженню стаціонарних станів рівноваги одноланкового математичного маятника та дослідженню їхньої еволюції при зміні параметрів. З диференціального рівняння (4), поклавши, маємо наступне рівняння для знаходження рівноважних станів маятника:

Якщо кутовий ексцентриситет і лінійний ексцентриситет дорівнюють нулю (слідкуюча сила симетрична ), то один стан рівноваги вже відомий. В цьому випадку рівняння (10) допускає розв'язок , який відповідає вертикальному положенню маятника. Назвемо його тривіальним і знайдемо інші розв'язки.

Для знаходження неперервної залежності (в графічному вигляді) величини від кутового або лінійного ексцентриситетів використаємо метод продовження за параметром, який розроблено японським математиком Y. Shinohara.

Дослідження показали, що параметр орієнтації слідкуючої сили істотно впливає на конфігурацію кривих станів рівноваги і, відповідно, на кількість біфуркаційних точок.

Наведені криві рівноважних станів було побудовано методом продовження за параметром для маятника з м'якими характеристиками пружних елементів при Суцільні криві на цих рисунках відповідають значенню . Штрихові криві отримано при і . Збільшення параметра орієнтації слідкуючої сили при значеннях лінійного ексцентриситету близьких до нуля, приводить до зміни кількості біфуркаційних точок з трьох (при ) до п'яти (при ) і знову до трьох (при ). Подальше збільшення параметра орієнтації приводить до того, що біфуркаційні явища відсуваються в область більших значень . При цьому завжди існує хоча б один стан рівноваги.

Результати, які отримано методом продовження за параметром, підтверджуються результатами безпосереднього інтегрування рівняння (2) руху маятника. На рис. 5 показані фазові потоки, побудовані для маятника з м'якими характеристиками пружних елементів при В цьому випадку, згідно рис. 3, маятник має п'ять положень рівноваги: два симетричних стійких фокуси () і три сідлові точки ( і ).

Для того ж значення параметра орієнтації слідкуючої сили на рис. 6 показано фазові траєкторії при . На кривій рівноважних станів при цьому значенні лінійного ексцентриситету існують три біфуркаційних точки, яким на фазовій площині відповідають два стійких фокуси ( і ) і сідло ().

Збільшення параметра приводить до того, що при деяких значеннях кутового ексцентриситету залежність змінює свою конфігурацію. На рис. 7 наведено фрагменти цієї залежності при . В останньому випадку видно, що зі зміною кутового ексцентриситету можливі один, три або п'ять станів рівноваги маятника. Фазові портрети, що підтверджують ці результати, показано на рис. 9 і рис. 10. Криві на рис. 9 відповідають маятнику з жорсткими характеристиками пружних елементів при і . В цьому випадку на фазовій площині маємо одну нестійку особливу точку - сідло () і два стійких фокуси (), які відповідають невертикальним положенням рівноваги маятника. На рис. 10 наведено фазові криві для маятника з параметрами і , що відповідає кривій .

Зміна типів характеристик пружних елементів не впливає на загальний характер кривої , а приводить лише до зміни її амплітуди. Маятнику з м'якими характеристиками пружних елементів відповідає найбільше максимально можливе відхилення від вертикалі, при якому маятник буде знаходитись в стані рівноваги. У випадку маятника з жорсткими характеристиками невертикальний стан рівноваги маємо при меншому куті відхилення , ніж у випадку маятника з пружними елементами лінійного типу.

Кількість мішаних характеристик пружних елементів одиночного маятника дорівнює числу розміщень з трьох елементів по два , а саме: hs, hl, sl, sh, lh, ls. Аналіз інтегральних кривих показав, що лише у випадках характеристик ls, hs пружних елементів і при „малих” значеннях параметра існують біфуркаційні точки: характеристики hs при параметрах приводять до появи біфуркаційних точок (крива на рис. 11 для параметрів , тоді як при біфукарційні точки відсутні. У випадку характеристики ls при крива має таку ж конфігурацію, як і на рис. 11. Ділянки цієї кривої, що зображені штриховими лініями, складаються з нестійких особливих точок, суцільними - зі стійких. Наявність двох стійких станів рівноваги і одного нестійкого стану рівноваги (при ) підтверджується фазовим портретом маятника, який побудовано для мішаних характеристик hs при

Гілки станів рівноваги перетинають початок координат площини . Однак, функція є 2періодичною, тому можна прогнозувати існування нескінченної множини гілок станів рівноваги, які не проходять через початок координат (точніше, в безпосередній близькості до початку координат).

В четвертому розділі розглянуто вплив мішаних характеристик пружних елементів на стани рівноваги дволанкового перевернутого математичного маятника за умови .

Для знаходження станів рівноваги використаємо метод продовження за параметром. Якщо s - дугова координата точок кривої станів рівноваги, то розв'язання системи (12) методом Y. Shinohara зводиться до задачі Коші.

Дослідження показали, що різнотипність пружних елементів в окремих випадках приводить до збільшення кількості станів рівноваги маятника. Так, наприклад, при hhs характеристиках кількість точок біфуркації зростає до 7. Достовірність кривих рівноважних станів маятника підтверджується побудовою фазових потоків маятника. Конфігурація проекцій фазових траєкторій вказує на те, що точки та є стійкими фокусами, точки и - сідлові.

Висновки

Таким чином, в роботі:

розроблено аналітико-числовий спосіб побудови кривих залежності станів рівноваги одинарного перевернутого математичного маятника від лінійного та кутового ексцентриситетів слідкуючої сили;

проаналізовано еволюцію станів рівноваги одинарного математичного маятника під дією слідкуючої сили при зміні параметрів для жорстких, м'яких та лінійних характеристик пружних елементів; загальна кількість досліджених випадків становить 9 (з урахуванням ситуацій з повторенням);

виявлено та досліджено біфуркації і катастрофи станів рівноваги одинарного перевернутого маятника під впливом асиметричної слідкуючої сили;

побудовано фазові портрети одинарного математичного маятника та проаналізовано їхні зміни при варіюванні істотних параметрів;

знайдено, крім основної гілки станів рівноваги одинарного маятника, так звані додаткові гілки;

показано, що в околі біфуркаційних точок одинарного маятника відбувається еволюція стійкого фокусу у стійкий вузол (без втрати стійкості особливої точки векторного поля);

показано, що мішані характеристики пружних елементів подвійного маятника приводять до збільшення числа станів рівноваги до 7 порівняно з 5 при однотипних характеристиках;

побудовано та проаналізовано фазові портрети подвійного перевернутого математичного маятника при різних значеннях істотних параметрів за відсутності лінійного ексцентриситету слідкуючої сили.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Лобас Л.Г., Ковальчук В.В, Бамбура О.В. Эволюция состояний равновесия опрокинутого маятника // Прикл. механика. - 2006. - 43, № 3. - С. 122-131.

2. Лобас Л.Г., Ковальчук В.В, Бамбура О.В. Бифуркации и катастрофы состояний равновесия перевернутого маятника под воздействием асимметричной следящей силы // Прикл. механика. - 2006. - 43, № 4. - С. 121-129.

3. Лобас Л.Г., Ковальчук В.В, Бамбура О.В. К теории опрокинутого маятника со следящей силой // Прикл. механика. - 2006. - 43, № 6. - С. 126-137.

4. Лобас Л.Г., Ковальчук В.В, Бамбура О.В. Влияние смешанных характеристик упругих элементов на равновесие опрокинутого маятника // Прикл. механика. - 2007. - 43, № 7. - С. 107-113.

5. Лобас Л.Г., Ковальчук В.В, Бамбура О.В. Влияние физических и геометрических нелинейностей на бифуркации состояний равновесия двойного маятника // Прикл. механика. - 2007. - 43, № 8. - С. 115-128.

6. Бамбура О.В. Біфуркації станів рівноваги перевернутого дволанкового математичного маятника під дією слідкуючої сили // International Conference „Dynamical system modelling and stability investigation (Modelling and stability)”, Kyiv, 2007. - С. 268.

7. Бамбура О.В. Вплив лінійного ексцентриситету слідкуючої сили на біфуркації станів рівноваги перевернутого математичного маятника // Тези доповідей XV міжнародної наукової конференції вчених України, Білорусії та Росії „Прикладные задачи математики и механики”, Севастополь, 2007. - С. 78-80.

8. Бамбура О.В. Еволюція кривої рівноважних станів маятника при зміні його параметрів // Тези доповідей науково-практичної конференції Київського університету економіки та технологій транспорту, серія „Техніка, технологія”, Київ, 2005. - С. 202;

9. Бамбура О.В. Фазові портрети математичного маятника при варіюванні параметрів деформування пружних елементів // Тези доповідей науково-практичної конференції Київського університету економіки та технологій транспорту, серія „Техніка, технологія”, Київ, 2005. - С. 203.

Размещено на Allbest.ru