Обернені задачі імпульсного деформування стержнів, конічних та циліндричних оболонок

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ім. А. М. ПІДГОРНОГО

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ ІМПУЛЬСНОГО ДЕФОРМУВАННЯ СТЕРЖНІВ, КОНІЧНИХ ТА ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБОЛОНОК

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

ПОВАЛЯЄВ СЕРГІЙ ІВАНОВИЧ

Харків - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі деталей машин і теорії машин і механізмів Харківського національного автомобільно-дорожнього університету МОН України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Янютін Євген Григорович, Національний технічний університет “ХПІ”, професор кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Шупіков Олександр Миколайович, Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, головний науковий співробітник.

кандидат технічних наук, доцент Пугачов Олександр Федорович, Харківський державний технічний університет будівництва і архітектури, доцент кафедри залізобетонних і кам'яних конструкцій

Провідна установа: Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, відділ теорії коливань, м. Київ

Захист відбудеться “12” жовтня 2006 р. о 14⁰⁰ на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий “9” вересня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 доктор технічних наук Стрєльнікова О.О.

АНОТАЦІЇ

Поваляєв С.І. Обернені задачі імпульсного деформування стержнів, конічних та циліндричних оболонок. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України, Харків, 2006.

У дисертаційній роботі свого подальшого розвитку набули методи розв'язання обернених задач механіки деформівного твердого тіла для елементів конструкцій у вигляді стержнів змінного перерізу, складених стержнів, конічних і циліндричних оболонок з різними типами граничних умов.

Розв'язані нові задачі ідентифікації зовнішніх навантажень, що діють на вказані елементи конструкцій, серед яких слід відзначити: задачу з ідентифікації зміни у часі одночасно двох зосереджених навантажень, що діють на циліндричну оболонку з несиметричними граничними умовами, і задачу з ідентифікації одночасно залежності навантаження від часу і його розподілу вздовж осі шарнірно обпертої циліндричної оболонки. Отримані розв'язки нових задач по керуванню коливаннями стержнів і оболонок. При розв'язанні поставлених задач використовувалися: перетворення Лапласа, ряди Фур'є, метод скінченних різниць, метод регуляризації А. М. Тихонова, метод h - регуляризації А. С. Апарцина, а також узагальнені алгоритми Гаусса і Крамера. Доведена вірогідність отриманих результатів.

В останньому розділі наведені області можливого використання результатів, отриманих у дисертаційній роботі.

Ключові слова: нестаціонарне навантаження, стержень, оболонка, динамічна теорія пружності, інтегральні рівняння Вольтерра, обернені задачі, ідентифікація, керування, регуляризація, метод скінченних різниць.

Povalyaev S. I. The inverse problems of pulse deforming of cores, conical and cylindrical shells. - Manuscript.

Thesis for the scientific degree of Candidate of Technical Science by speciality 01.02.04 - mechanics of the deformable solids. - A. M. Pidgorny's Institute for problems in machinery, National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2006.

In thesis methods of solving inverse problems in mechanics of the deformable solids for cores with variable cross-section, compound cores, conical and cylindrical shells with different boundary conditions, received its future development.

Some new problems on identification of external loads, acting on structure elements considered, were solved. Among them: simultaneous time dependence identification of two concentrated load, acting on cylindrical shells with different boundary conditions, and simultaneous identification of load time dependence and load distribution lengthwise of the simply supported cylindrical shell axis.

Also solutions of new vibration control problems for cores and shells were obtained.

At the solving of problems posed Laplace transformation, theory of Fourier series, finite-difference method, A. N. Tikhonov regularization method, A. C. Aparcin h - regularization method, as well as generalized algorithms of Gaus and Kramer were applied. Results reliability was proved.

Spheres of possible application of results, obtained in thesis, represented in the last part of thesis.

Key words: non-stationary loading, core, shell, dynamic theory of elasticity, Volterra integral equation, inverse problems, identification, control problem, regularization, finite-difference method.

Поваляев С.И. Обратные задачи импульсного деформирования стержней, конических и цилиндрических оболочек. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт проблем машиностроения им. А. Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2006.

В диссертационной работе свое дальнейшее развитие получили методы решения обратных задач механики деформируемого твердого тела для элементов конструкций в виде стержней переменного сечения, составных стержней, конических и цилиндрических оболочек.

В аналитическом виде получены решения задач идентификации внешних нагрузок, воздействующих на стержни переменного сечения и составные стержни, а также решения задач по управлению их напряженно-деформированным состоянием (перемещением или деформацией). Под идентификацией нестационарной нагрузки понималось восстановление ее временной зависимости при известных координатах точки приложения нагрузки и заданных значениях перемещения или деформации в определенной точке стержня. Решение прямых задач получено с использованием преобразования Лапласа.

С применением рядов Фурье и метода регуляризации А. Н. Тихонова получены решения задач идентификации и управления для цилиндрической оболочки средней толщины С. П. Тимошенко с несимметричными граничными условиями. Для выполнения полного набора граничных условий на торце оболочки вводились компенсирующие нагрузки. Рассмотрены различные виды нестационарных осесимметричных нагрузок, разработана методика идентификации одновременно двух сосредоточенных нагрузок, воздействующих на оболочку. Для шарнирно-опертой цилиндрической оболочки с применением методов регуляризации А. Н. Тихонова и А. С. Апарцина, а также обобщенного алгоритма Гаусса решена задача идентификации произвольной нестационарной осесимметричной нагрузки.

Для стержней переменного сечения, цилиндрических оболочек (в том числе и консольной), жестко защемленной конической оболочки разработаны способы идентификации нестационарных нагрузок, базирующиеся на численном методе - методе конечных разностей.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, подтверждается хорошим согласованием результатов решения задач, полученных разными методами, результатами анализа математической устойчивости вычислительных процедур и численной сходимости полученных рядов, согласованием результатов решения прямых задач, в которых в качестве исходных данных использовались результаты решения обратных задач, а также сопоставлением с данными, имеющимися в научной литературе.

Описаны области возможного применения результатов проведенных исследований.

Ключевые слова: нестационарное нагружение, стержень, оболочка, динамическая теория упругости, интегральные уравнения Вольтерра, обратные задачи, идентификация, управление, регуляризация, метод конечных разностей.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Елементи конструкцій у вигляді стержнів, конічних та циліндричних оболонок широко використовуються в техніці. Часто їх експлуатація здійснюється в умовах дії нестаціонарних навантажень. На цей час існує багато опублікованих робіт з динамічного розрахунку різних елементів конструкцій за умови відомих зовнішніх навантажень. Такі задачі прийнято класифікувати як прямі задачі математичної фізики.

Менше приділялося уваги розв'язанню обернених нестаціонарних задач, що часто є некоректними. Така ситуація обумовлена тим, що раніше розв'язання некоректних задач було практично неможливе. Поява нових спеціалізованих математичних методів створила можливість побудування теорії обернених некоректних задач в механіці деформівного твердого тіла (МДТТ).

Актуальність роботи. Серед декількох видів обернених задач слід відмітити задачі, що пов'язані з ідентифікацією нестаціонарних зовнішніх навантажень на основі відомих параметрів напружено-деформованого стану (НДС) елементів конструкцій, та задачі керування їх коливаннями.

Створення та удосконалення елементів конструкцій сучасних машин і розвиток прогресивних технологічних процесів викликає необхідність використання сучасних методів, що найбільш повно і точно відповідають діючим нестаціонарним навантаженням. Однак, на практиці не завжди відомі зміни в часі значень цих навантажень. Тому розв'язання задач ідентифікації нестаціонарних зовнішніх навантажень, що діють на стержні та оболонки, є актуальним напрямом механіки деформівного твердого тіла.

Розв'язання задач керування може бути застосовано як для демпфірування, так і для забезпечення заданих параметрів НДС елементів конструкцій, що може бути використано в різних практичних галузях МДТТ.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано на кафедрі деталей машин і ТММ Харківського національного автомобільно-дорожнього університету у відповідності до планів:

підготовки аспірантів Харківського національного автомобільно-дорожнього університету (ХНАДУ);

бюджетної теми “Теоретичне обґрунтування методів розв'язання задач (прямих, обернених і керування) для пружно-деформівних тіл під дією імпульсних навантажень” (ДР №0102U001764) за період 2002-2003 р.;

бюджетної теми “Створення методів математичного моделювання з керування нестаціонарними деформаційними процесами” (ДР №0104U002046) за період 2004-2006 р.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка аналітико-чисельних і чисельних методів ідентифікації нестаціонарних навантажень, що діють на стержні змінного перерізу, складені стержні, конічні та циліндричні оболонки; розв'язання задач керування; створення методів ідентифікації двох і більше навантажень; а також розробка методів відновлення довільних відносно осьової координати та за часом змін нестаціонарних навантажень.

Задачі дослідження, що обумовлені темою дисертаційної роботи:

створення математичних моделей для опису процесів динамічного деформування елементів конструкцій, що розглядаються;

розв'язання прямих задач по визначенню НДС елементів конструкцій, що є основою для розв'язання обернених задач і задач керування;

розробка стійких обчислювальних алгоритмів ідентифікації невідомих нестаціонарних навантажень, що діють на стержні і оболонки;

встановлення чисельних значень невідомих навантажень та їх характерних особливостей;

розв'язання задач керування НДС стержнів і оболонок.

Об'єкт дослідження - нестаціонарне деформування елементів конструкцій у вигляді стержнів, конічних та циліндричних оболонок.

Предмет дослідження - обернені задачі по ідентифікації нестаціонарних навантажень, що діють на стержні та оболонки, а також задачі керування коливаннями цих елементів конструкцій.

Методи дослідження - перетворення Лапласа для розв'язання диференційних рівнянь; методи розв'язання інтегральних рівнянь Вольтерра 1-го та 2-го роду; ряди Фур'є для розв'язання прямих та обернених задач; метод скінченних різниць (МСР) і методи регуляризації А. М. Тихонова та А. С. Апарцина для розв'язання обернених задач.

Наукова новизна отриманих результатів:

- удосконалено методики ідентифікації нестаціонарних навантажень для стержнів та оболонок. Завдяки цьому були розглянуті задачі ідентифікації для стержнів змінного перерізу, складених стержнів та циліндричних оболонок з несиметричним закріпленням;

- вперше на базі методу регуляризації А. М. Тихонова та узагальненого методу Крамера розроблено методику ідентифікації двох нестаціонарних поперечних зосереджених сил, що діють на циліндричну оболонку;

- вперше за допомогою МСР одержані розв'язки задач ідентифікації нестаціонарних навантажень для стержнів змінного перерізу, циліндричних та конічних оболонок;

- розроблено методику ідентифікації довільного відносно осьової координати та за часом нестаціонарного навантаження, що діє на циліндричну оболонку;

- набула подальшого розвитку теорія розв'язання задач керування, метою яких є забезпечення реалізації наперед заданих параметрів НДС в деяких точках елементів конструкцій (переміщення або деформації).

Практичне значення одержаних результатів. Одержані методи ідентифікації можуть бути використані для отримання інформації про точні значення імпульсних навантажень, що діють на елементи конструкцій у вигляді стержнів, конічних та циліндричних оболонок в різних технологічних процесах. Це важливо, наприклад, в таких технологічних процесах: ліквідація прихоплювань бурильних колон, вибухова, об'ємна гаряча і холодна штамповка металів, холодна різка металів зсувом, клепка, розчеканка, пробивка отворів у виробах, пресування порошків та ін. Використання методів ідентифікації дозволило розробити методики розрахунку елементів робочого обладнання, що базуються на сучасних досягненнях механіки.

Результати розв'язання задач керування можуть бути використані при демпфіруванні коливань, а також для забезпечення заданої зміни у часі параметра НДС конструкції при застосуванні схем активного керування.

Окремі результати дисертаційної роботи були використані в Інституті машин і систем НАН України і Міністерства промислової політики України, про що свідчить відповідний акт у додатку А дисертації.

Особистий внесок здобувача. Основні наукові результати, що наведені в дисертаційній роботі й висвітлені в авторських публікаціях [1-10], отримані здобувачем самостійно. Внесок автора у роботи, що написані з співавторами, такий: у роботах [1, 3] здобувачем розроблені методи ідентифікації нестаціонарних навантажень, що діють на стержні змінного перерізу та складені стержні відповідно, а також методи керування їх нестаціонарними коливаннями; в роботах [2, 7] розв'язані прямі задачі для стержнів змінного перерізу і складених стержнів відповідно, на базі яких будується розв'язання обернених задач; у роботі [4] розроблені методи ідентифікації однієї або двох нестаціонарних сил, що діють на циліндричну оболонку, та метод керування її нестаціонарними коливаннями; у роботах [5, 10] здобувачем одержані результати з керування НДС циліндричної оболонки з несиметричним закріпленням; у роботах [6, 9] здобувачем виконана частина досліджень, що стосується розробки чисельного методу розв'язання оберненої задачі для стержня змінного перерізу з використанням МСР; у роботі [8] одержані результати ідентифікації нестаціонарних навантажень, що діють на циліндричну оболонку з несиметричним закріпленням.

Апробація результатів дисертації. Основні результати, що отримані в дисертаційній роботі, доповідалися і обговорювалися на наукових семінарах кафедри деталей машин і ТММ Харківського національного автомобільно-дорожнього університету (2004-2006 рр.) та на конференціях і симпозіумах: Міжнародній науково-технічній конференції "Автомобільний транспорт в XXI віці", Харків, 2003 р., ХНАДУ; I-й міжвузівській науково-практичній конференції “Можливості використання методів механіки для розв'язання питань безпеки в умовах надзвичайних ситуацій”, Харків, 2003 р., Академія пожежної безпеки України; IV-й Міжнародній науково-технічній конференції “Проблеми механіки гірничо-металургійного комплексу”, Дніпропетровськ, 2004 р., Національний гірничий університет; VII-му Міжнародному симпозіуму українських інженерів-механіків, Львів, 2005 р.; Міжнародній конференції “Dynamical system modeling and stability investigation”, 2005 р., Київ, Київський національний університет ім. Т. Г. Шевченка; ХІІ-му Міжнародному симпозіуму “Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики”, Херсон, сел. Лазурне, 2005р.; XІ-й науково-практичній конференції "Інформаційні технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров'я" (МісrоСAD), Харків, 2005 р., НТУ “ХПІ”.

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 10 друкованих праць, серед яких 6 статей у журналах і збірниках наукових праць та 4 друкованих праці в матеріалах наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел із 215 найменувань та одного додатку. Робота містить 182 сторінки, включаючи 85 рисунків та 4 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

механіка деформівний стержень оболонка

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, визначені мета і задачі дослідження, вказано на основні наукові результати, наведені відомості про публікації і апробацію основних положень дисертаційної роботи.

У першому розділі дисертації проведено огляд робіт, присвячених дослідженню деформування елементів конструкцій при нестаціонарному навантаженні. Літературний огляд складається з чотирьох частин. В першій частині наведені роботи, присвячені розв'язанню прямих задач динаміки стержнів та оболонок за допомогою аналітико-чисельних і суто чисельних методів; в другій частині - роботи, в яких наведені математичні основи розв'язання обернених задач; третя частина присвячена роботам, в яких розв'язані конкретні обернені задачі механіки; в четвертій - розглянуті роботи, в яких розв'язуються задачі керування коливаннями механічних систем.

На основі літературного огляду в дисертаційній роботі зроблено висновок, що вивченню НДС стержнів та оболонок при нестаціонарному навантаженні присвячена велика кількість досліджень, і що в цьому напрямку одержано багато результатів як прикладного, так і фундаментального характеру. Значний внесок у вивчення прямих нестаціонарних задач механіки деформівного твердого тіла (МДТТ) внесли українські вчені, серед яких: А. Е. Бабаєв, В. Є. Бреславський, Ю. С. Воробйов, Є. Г. Голоскоков, А. Н. Гузь, П. Д. Доценко, Б. Я. Кантор, Н. А. Кільчевський, С. С. Кохманюк, В. Д. Кубенко, Л. В. Курпа, В. П. Ольшанський, В. Л. Рвачов, І. Т. Селезов, М. С. Синєкоп, А. Ф. Улітко, А. П. Філіппов, О. М. Шупіков, Є. Г. Янютін.

Проте аналіз наявної літератури показав, що зовсім інша ситуація склалася в галузі розв'язання обернених задач теорії пружності. До цього часу недостатньо досліджені питання ідентифікації імпульсних навантажень, а також керування НДС конструкцій при нестаціонарних навантаженнях. Така ситуація обумовлена тим, що розв'язання некоректних задач, що складають більшість обернених задач, раніше було практично неможливо. І лише поява спеціалізованих математичних підходів (наприклад, метод регуляризації А. М. Тихонова) та ін. в сукупності з використанням ЕОМ дала можливість побудови теорії некоректних задач в МДТТ.

У другому розділі розглянуті обернені задачі для стержня змінного перерізу, один торець якого жорстко затиснений, а до іншого прикладена сила, що діє вздовж його осі (рис. 1). Зміна площі поперечного перерізу стержня визна-чалася співвідношенням (1).

(1)

де h - площа поперечного перерізу стержня на торці; в - параметр, що визначає зміну площі поперечного перерізу стержня вздовж його осі.

За допомогою перетворювання Лапласа було розв'язано хвильове рівняння для стержня змінного перерізу та отримано вираз для визначення поздовжніх переміщень точок стержня:

(2)

де а - швидкість повздовжніх хвиль в стержні; J₀(x) - функція Бесселя; - функція Хевісайда, а невідомі функції A(t) і В(t) знаходяться при використанні граничних умов на основі відповідних залежностей за часом.

Описаний розв'язок задачі ідентифікації нестаціонарного навантаження N(t), що діє на стержень змінного перерізу. В роботі під задачею ідентифікації невідомого навантаження розуміється розпізнавання закону зміни у часі цього навантаження. Для визначення невідомого нестаціонарного навантаження N(t) було отримано дискретну за часом залежність (3).

 (3)

де k=E[L/a?Дt].

При чисельних розрахунках були прийняті такі величини констант, що визначають геометрію стержня і фізичні властивості його матеріалу: a5150 м/с; L = 1 м; h= 0.000314 м², Е = 2.110¹¹ Па, н=0.3.

Серед інших розглянутий випадок, коли вважається, що в точці з координатою х₀ реєструється деформація, яка задається в вигляді:

, (4)

де ₀ =10^-6.

На рис. 2 наведений графік нестаціонарної сили, що викликає виникнення деформації (4) в точці стержня з координатою х₀=0.5 м.

Розглянута можливість керу-вання коливаннями в заданій точці стержня. Постановка задачі: на один торець стержня діє зовнішнє ім-пульсне навантаження N₁(t), закон зміни в часі якого відомий; вимага-ється здійснити керування коливаннями стержня в точці з координатою x₀. Для цього до іншого торця стержня прикладається додаткова сила N₂(t). Знаходження закону зміни в часі цієї сили і є метою задачі керування.

В другому розділі дисертації були також розглянуті відповідні обернені задачі для стержня, що складається з двох стержнів змінного перерізу, виготовлених із різних матеріалів. Пряма задача для складеного стержня була розв'язана за допомогою точного методу і МСР. Отримані розв'язки задач ідентифікації і керування, що будуються аналогічно відповідним задачам для стержня змінного перерізу.

У третьому розділі розглянуті обернені задачі для циліндричної оболонки з несиметричними граничними умовами: лівий торець шарнірно обпертий з проковзуванням вздовж осі оболонки, а правий - затиснений з проковзуванням (рис. 3). На оболонку діє нестаціонарне осесиметричне зосереджене поперечне навантаження. Затиснення правого торця циліндричної оболонки було умовно замінено еквівалентною схемою шарнірного обпирання з прикладеним зосередженим компенсуючим моментом. Згідно з теорією оболонок С. П. Тимошенка, рівняння руху циліндричної оболонки можуть бути зображені у вигляді системи рівнянь:

(5)

де l - довжина оболонки; t - безрозмірний час; t_p - розмірний час; u, w - переміщення точок серединної поверхні в осьовому та радіальному напрямках, відповідно; - кут повороту нормалі до серединної поверхні оболонки; , E - пружні сталі матеріалу оболонки; - густина матеріалу оболонки; k - коефіцієнт зсуву; x - координата в осьовому напрямку; M₀(t) - компенсуючий момент; q(,t) - задане поперечне неста-ціонарне навантаження.

Спочатку розглянута пряма задача теорії пружності для деяких видів навантаження циліндричної оболонки. При цьому система (5) зводиться до трьох диференціальних рівнянь в частинних похідних, які розв'язуються за допомогою розкладання шуканих функцій в ряди Фур'є за координатними функціями, які забезпечують виконання граничних умов, що відповідають шарнірному обпиранню циліндричної оболонки:

. (6)

Після врахування ортогональності тригонометричних функцій задача зводиться до системи звичайних диференційних рівнянь. Потім виконується пряме інтегральне перетворення Лапласа за часом. В просторі зображень знаходяться коефіцієнти розвинення a_k(t), b_k(t) та c_k(t) і виконується обернене перетворення Лапласа. В результаті отримані вирази для всіх компонент вектора переміщення в довільній точці оболонки. Для цих виразів була перевірена збіжність відповідних рядів. Розв'язок прямої задачі був отриманий за допомогою МСР. Підкреслена гарна збіжність результатів розв'язання прямої задачі, що були отримані аналітико-чисельним способом і за допомогою МСР. Вважаємо, що розв'язок відповідних прямих задач є необхідним етапом на шляху вирішення задачі ідентифікації, але тільки допоміжним. Ретельний аналіз прямих задач необхідний для правильної побудови інтегральних зображень, що використовуються при розв'язанні обернених задач.

Далі в розділі розглянута можливість ідентифікації поперечних імпульсних навантажень за їх непрямими проявами. Постановка задачі: на оболонку в точці з координатою x_р діє поперечне навантаження, а в точці x, наприклад, встановлений датчик, що вимірює зміну в часі якого-небудь параметра НДС; треба визначити закон зміни в часі цього навантаження за даними, що реєструє датчик (рис. 3).

Аналітичний вираз для прогину циліндричної оболонки в довільній точці є інтегральним рівнянням Вольтерра I-го роду

, (7)

де - ядро інтегрального рівняння.

Через те, що рівняння (7) є інтегральним рівнянням Вольтерра I-го роду з виродженим ядром, точного розв'язку цього рівняння відносно функції q(t) не існує. Тому для розв'язання цього рівняння застосований метод регуляризації А. М. Тихонова, згідно з яким слід розглядати задачу, що полягає в знаходженні ⁾.

Згладжувальний функціонал M^?[n] має вигляд:

(8)

де >0 - параметр регуляризації; t - час.

У матричному вигляді задача мінімізації функціонала (8) еквівалентна розв'язанню системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) типу:

де A - матриця, елементи якої знаходяться як a_ji=K[(j - i)t]; K[(j - i)t] - скінченно-різницевий аналог ядра K(t-), A^T - транспонована до А матриця, C - симетрична трьох діагональна матриця вектор q - відповідає шуканій функції невідомого нестаціонарного навантаження, а вектор w - вектору вихідних даних.

Значення параметра регуляризації обирається на основі принципу неув'язки - погодження величини неув'язки на регуляризованому розв'язку з урахуванням похибок в правій частині вихідної СЛАР, що може бути записане так:

(9)

На рис. 4 наведені результати ідентифікації однієї поперечної сили, що діє на циліндричну оболонку. Позначення кривих: 1 - прогин в точці обо- лонки з координатою =0.75; 2 - ідентифікована сила (точка прикладення ₀=0.5); 3 - точні значення сили.

У розділі наведені результати ідентифікації як зосереджених, так і рівномірно розподілених вздовж осі оболонки навантажень з різними законами їх зміни у часі. Ідентифікація здійснювалась за значеннями прогину або деформації, на які накладений "шум" 5%, що моделює, наприклад, неточності експериментальних даних. Встановлено, що методика ідентифікації нестаціонарних поперечних навантажень ефективна при збуренні вихідних даних до 20%, що дозволяє успішно застосовувати цю методику для обробки результатів експериментальних досліджень.

Також розглянуто можливість ідентифікації одночасно двох зосереджених поперечних сил, що діють на циліндричну оболонку. Вихідні дані при цьому задавалися в двох різних точках оболонки. Розв'язок цієї задачі отриманий з використанням узагальненого алгоритму Крамера і методу регуляризації А. М. Тихонова.

Розглянутий випадок керування в точці циліндричної оболонки з метою забезпечення заданих значень параметра НДС оболонки, що змінюються нестаціонарно. Постановка задачі аналогічна відповідній задачі для стержня змінного перерізу. На рис. 5 наведена схема керування: q₁(t) - зовнішня сила, х₀ - точка, в якій здійснюється керування, q₂(t) - додаткова, керуюча сила.

При розв'язанні даної задачі також був використаний метод регуляризації А. М. Тихонова. Результати керування деформацією серединної поверхні оболонки. Добрий збіг відповідних функцій, що задаються за критерієм керування, з тими, що реалізуються в результаті чисельного експерименту, дає підстави стверджувати про високу точність процедури керування.

У четвертому розділі розглядається можливість розв'язання задач ідентифікації нестаціонарних навантажень, що діють на стержні змінного перерізу, циліндричні оболонки, а також конічні оболонки, за допомогою МСР. Рівняння повздовжніх коливань стержня змінного перерізу має вигляд:

. (10)

Постановка задачі ідентифікації аналогічна задачам, що описані у другому розділі роботи.

Розв'язок прямої задачі на основі явної трьохшарової схеми “хрест” (рис. 7) можна записати таким чином:

, (11)

де Дt-величина “кроку” за часом, Дx-за координатою, m=0,1,…,М; р=0,1,…,Р. Жирною лінією показане шукане значення переміщення в схемі. Відповідні значення в матриці переміщень знаходяться по рядках з урахуванням нестаціонарної осьової сили, що діє на торці стержня.

Для розв'язання оберненої задачі рівнянню (11) було надано форму:

 (12)

При цьому був змінений і алгоритм зна-ходження дискретних значень переміщень, що позначені пунктиром (рис. 7). Він складався з двох етапів: в точках стержня з координатами від х₀ до L переміщення знаходяться по рядках на основі рівняння (11), а в точках з координатами від х₀ до вільного торця - на основі рівняння (12) з наступним визначенням невідомої нестаціонарної сили.

На рис. 8 і рис. 9 наведені чисельні результати, що отримані при розв'язанні задачі ідентифікації. Позначення кривих на рис. 8: 1 - точні значення нестаціонарної сили, 2 - переміщення, яке є наслідком дії сили 1, і за значеннями якого ідентифікується нестаціонарна сила. На рис. 9 наведена ідентифікована сила. На графіку сили явно виражені “паразитні” високочастотні коливання.

“Паразитні” високочастотні складові в функції ідентифікованої сили можна значно зменшити при використанні альтернативних схем МСР на першому етапі розв'язання оберненої задачі. При використанні неявної трьохшарової схеми диференційне рівняння (10) апроксимується у вигляді (13). При використанні явної чотирьохшарової схеми рівняння (10) апроксимується у вигляді (14).

(13)

(14)

де =0…1 - вагові коефіцієнти.

Результати ідентифікації сили, що діє на стержень (рис. 1), при використанні явної чотирьохшарової схеми наведені на рис. 10.

У четвертому розділі МСР також був використаний для ідентифікації нестаціонарних поперечних осесиметричних навантажень, що діють на циліндричну оболонку (рис. 3), консольну циліндричну оболонку (рис. 11), один з торців якої жорстко затиснений, а другий вільний, а також конічну оболонку (рис. 12), обидва торці якої затиснені.

Слід зазначити, що рівняння руху конічної оболонки (рис. 12) не інтегруються в елементартних функціях, тому при дослідженні її коливань слід застосовувати суто чисельні методи. Продемонстровано добрий збіг результатів розв'язання прямої задачі, отриманих за допомогою МСР і методу скінченних елементів, що дало можливість судити при вірогідність розв'язання відповідної оберненої задачі. Також проведений аналіз щодо визначення точності ідентифікації для задач, що були розглянуті. Результати показали, що при обиранні точних схем скінченних різниць похибка не перевищує 2%.

У п'ятому розділі розглядається можливість ідентифікації довільного відносно осьової координати та за часом осесиметричного поперечного навантаження, що діє на шарнірно обперту циліндричну оболонку типу Тимошенка (рис. 13). Принципова новизна цієї задачі полягає в тому, що поновлюється і залежність невідомого навантаження у часі, і розподілення навантаження вздовж оболонки, тоді як в попередніх дослідженнях відновлювалась лише зміна навантаження за часом.

Шукане навантаження буле зображене К - частинною сумою ряду Фур'є

. (16)

В формулу (16) входять функції осьової координати, що є формами власних коливань оболонки, а також невідомі функції часу q_k(t). Для їх визначення складається система з К рівнянь Вольтерра 1-го роду. Як вихідні дані треба задавати значення переміщень або деформацій в К різних точках вздовж осі оболонки. Система матричних рівнянь, до якої зводиться задача ідентифікації, була розв'язана за допомогою узагальненого алгоритму Гаусса і методу регуляризації А. М. Тихонова.

На рис. 14 наведені результати ідентифікації навантаження у вигляді імпульсу тиску, що розширюється вздовж осі оболонки зі швидкістю V=542.193 м/с.

Вздовж осі аплікат на рисунку відкладені значення ідентифікованого навантаження, а вздовж осей о та t - дискретні значення осьової та часової координат, відповідно.

В дисертаційній роботі розглянути і інші види навантажень. Проведений аналіз точності ідентифікації в залежності від кількості членів в апроксимаційній сумі, що входять в залежність (16).

Як альтернатива методу регуляризації А. М. Тихонова був використаний метод h - регуляризації А. С. Апарцина⁾. Його суть полягає в такому: якщо для рівняння Вольтерра 1-го роду або їх систем будуть виконані умови (18), то на основі методу прямокутників можна отримати стійкий розв'язок оберненої задачі з обмеженим оберненим оператором.

(17)

(18)

де k₁, k₂, k₃ - додатні константи.

Для виконання умов (18) рівняння Вольтерра 1-го роду було приведено до вигляду (19) через диференціювання рівняння (17) за часом.

(19)

Далі шукане навантаження подається у вигляді (16). Розв'язок системи матричних рівнянь, до якої зводиться розв'язок даної оберненої задачі, отриманий за допомогою узагальненого алгоритму Гаусса.

Залежності навантаження від часу наведені на рис. 15, а, на рис. 15, б - від координати. Позначення кривих: 1 - задане навантаження, 2 - навантаження, що ідентифіковано з використанням методу h-регуляризації А. С. Апарцина, 3 - навантаження, що ідентифіковано з використанням методу регуляризації А. М. Тихонова, 4 - швидкості прогинів в 2 точках (координати =0.25, 0.5) з 13, за значеннями яких ідентифікується навантаження.

При аналізі ефективності використання методу h-регуляризації А. С. Апарцина для розв'язання задач ідентифікації був досліджений вплив таких обставин і параметрів як неточності в завданні вихідних даних, величина “кроку” за часом, а також наявність точок розриву 1-го роду в залежності навантаження від часу на точність ідентифікації.

У шостому розділі дисертації описані можливі області використання результатів роботи, а саме: отримання інформації про значення нестаціонарних навантажень, що діють на різні деталі машин; застосування результатів розв'язання обернених задач при оцінці міцності під час проведення технологічних операцій обробки металевих і неметалевих виробів імпульсними навантаженнями. Більш детально описана методика ідентифікації сили вибуху в практиці експлуатації свердловин на основі виміру одного з параметрів напружено-деформованого стану бурильної колони, що реєструється в усті свердловини. Ця методика може бути використана для експрес-аналізу якості проведення вибухових робіт в свердловинах.

У додатку до дисертаційної роботи приводиться довідка про використання результатів дисертаційної роботи в Інституті машин і систем НАН України і Міністерства промислової політики України.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі подальшого розвитку набули методи розв'язання обернених (в тому числі і некоректних) задач механіки деформівного твердого тіла для елементів конструкцій у вигляді стержнів змінного перерізу, складених стержнів, конічних та циліндричних оболонок з ідентифікації нестаціонарних навантажень, що діють на розглянуті елементи конструкцій, а також по керуванню їх НДС.

Головні наукові і практичні результати роботи:

Удосконалено методики розв'язання задач ідентифікації нестаціонарних навантажень для стержнів та оболонок. Це дозволило розширити коло задач ідентифікації, які можуть бути розв'язані за допомогою цих методик. Для розв'язання задачі ідентифікації для циліндричних оболонок з несиметричними граничними умовами, що зводяться до розв'язання рівнянь Вольтерра 1-го роду, розроблений метод на базі методу регуляризації А. М. Тихонова, застосування якого ефективне при похибках у вихідних даних до 20%;

Вперше з використанням методу регуляризації А. М. Тихонова та узагальненого алгоритму Крамера розроблена методика розв'язання задачі з ідентифікації двох нестаціонарних поперечних зосереджених сил, що діють на циліндричну оболонку;

Вперше за допомогою МСР розроблені методи ідентифікації неста-ціонарних навантажень для стержнів змінного перерізу, циліндричних та конічних оболонок. Використані різні схеми МСР і отриманий хороший збіг результатів;

Вперше на базі методів регуляризації А. М. Тихонова та А. С. Апарцина розроблений метод ідентифікації довільного відносно осьової координати та за часом нестаціонарного осесиметричного навантаження, що діє на циліндричну оболонку. Проведений аналіз ефективності використання цих методів;

Набули подальшого розвитку методи розв'язання задач керування, метою яких є забезпечення реалізації наперед заданих параметрів НДС елементів конструкцій, що змінюються нестаціонарно;

Проведено аналіз вірогідності одержаних результатів шляхом вивчення математичної збіжності отриманих розв'язків, узгодження розв'язків прямих і обернених задач, порівняння з результатами, отриманими різними способами та узгодження з результатами інших авторів.

Результати, що наведені в дисертації, можуть бути використані для отримання інформації про значення нестаціонарних навантажень, що діють на елементи конструкцій у вигляді стержнів, конічних та циліндричних оболонок. Результати розв'язання задач керування можуть бути використані при демпфіруванні коливань і для забезпечення заданої зміни у часі параметра НДС, що може бути реалізовано в технологічних процесах, а також в схемах активного керування приладів.

Результати дисертаційної роботи з ідентифікації нестаціонарних навантажень і керуванню коливаннями елементів конструкцій були впроваджені в Інституті машин і систем НАН України і Міністерства промислової політики при розрахунках елементів енергетичних машин у різних технологічних процесах.

НАУКОВІ ПРАЦІ, ОПУБЛІКОВАНІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Янютин Е. Г., Поваляев С. И. Идентификация и управление в задачах импульсного деформирования стержней переменного сечения // Автомобильный транспорт. - 2003. - №13. - С. 187-189.

2. Янютин Е. Г., Поваляев С. И. Прямая и обратная задачи для неста-ционарно нагруженного стержня переменного сечения // Вестник Харьковского национального автомобильно-дорожного университета. - 2003. - №23. - С. 53-55.

3. Янютин Е. Г., Поваляев С. И. Некорректные задачи динамического деформирования составного стержня // Сборник научных трудов Национального горного университета. - 2004. - №19, том 4. - С. 77-83.

4. Янютин Е. Г., Поваляев С. И. Некорректные задачи импульсного деформирования для цилиндрической оболочки. // Вестник национального технического университета "ХПИ".- 2005. - №22. - С. 129-138.

5. Воропай А. В., Поваляев С. И., Шарапата А. С., Янютин Е. Г. Применение теории интегральных уравнений Вольтерра при решении динамических обратных задач для пластин и оболочек // Вестник Харьковского национального университета. - 2005. - № 661, вып. 4. - С. 69-82.

6. Янютiн Є. Г., Богдан Д. І., Поваляєв С. І. Обернені задачi iмпульсного деформування пластин та стержнів // Машинознавство. - 2006. - №2. - С. 17-22.

7. Янютин Е. Г., Поваляев С. И. Прямая и обратная задачи для составного стержня переменного сечения // Материалы 1-й межвузовской научно-практической конференции “Возможности использования методов механики для решения вопросов безопасности в условиях чрезвычайных ситуаций”. - Харьков. - 2003. - С. 11-15.

8. Янютин Е. Г., Воропай А. В., Шарапата А. С., Поваляев С. И. Идентификация нестационарных нагружений, воздействующих на пластины и оболочки // Тезисы докладов Международной конференции “International conference Dynamical system modeling and stability investigation”. - Киев. - 2005. - С. 360.

9. Янютiн Є. Г., Богдан Д. І., Поваляєв С. І. Обернені задачi iмпульсного деформування пластин та стрижнів // Тези доповідей cьомого мiжнародного симпозiуму українських інженерів-механіків у Львові. - Львів. - 2005. - С. 33-34.

10. Янютин Е. Г., Воропай А. В., Шарапата А. С., Поваляев С. И. Применение теории интегральных уравнений Вольтерра при решении задач динамической теории пластин и оболочек // Труды ХІІ-го Международного симпозиума “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики”. - Харьков-Херсон. - 2005. - С. 63-66.

Размещено на Allbest.ru