Динаміка струн і нуль-струн у псевдоріманових просторах

Размещено на http://allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧНОЇ ФІЗИКИ ІМ. М.М. БОГОЛЮБОВА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.04.02 - теоретична фізика

ДИНАМІКА СТРУН І НУЛЬ-СТРУН У ПСЕВДОРІМАНОВИХ ПРОСТОРАХ

Виконав Леляков Олександр Петрович

Київ - 2006

АНОТАЦІЯ

Леляков О.П. Динаміка струн і нуль-струн у псевдоріманових просторах. - рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02. - теоретична фізика. Інститут Теоретичної Фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена пошуку розв'язків рівнянь руху космічних струн, що знайшли в космології широке застосування і вирішують цілу низку проблем, у різноманітних псевдоріманових просторах. Використовуючи отримані розв'язки було зроблено висновок про те, що космічні струни дійсно мають дуже цікаві властивості для космології, а саме, у залежності від вибору початкових умов, вони можуть здійснювати як дуже складні пульсуючи коливання (метрика Переса, гравітаційні хвилі), які необхідні для виникнення первинних неоднорідностей густини речовини в ранньому Всесвіті, так і практично не взаємодіяти з навколишнім середовищем (поле плоскої гравітаційної хвилі, лоренцеві простори з нетривіальною конформною групою).

струна перес гравітаційний скалярний

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теоретичне дослідження наслідків спонтанного порушення симетрії при фазових переходах у ранньому Всесвіті передбачає можливість існування нетривіальних топологічних дефектів вакууму таких як струни, нуль-струни (що реалізують границю нульового натягу струн), мембрани тощо, які могли істотно впливати на еволюційні процеси, що проходили при формуванні сучасної картини Всесвіту. Так, наприклад, відомі теоретичні розрахунки свідчать, що при русі замкненої космічної струни в зовнішньому гравітаційному полі вона може робити складні пульсуючі коливання, результатом котрих може бути утворення чорної діри. Не менш цікавими є також роботи, автори яких показали можливість струнного (р-бранного) механізму інфляції для випадку D-вимірних просторів Фрідмана-Робертсона-Уокера, та роботи, у яких газ нуль-струн розглядався як один із можливих кандидатів на роль носія прихованої маси.

Гіпотеза про струнну природу механізму інфляції викликає великий інтерес до дослідження динаміки струн у викривлених просторах. У зв'язку з чим актуальними є питання про пошук розв'язків рівнянь руху струни в різноманітних викривлених просторах та самоузгодженому розгляді струн як домінантних джерел гравітації в цих просторах. Вивчення зазначених питань ускладнюється нелінійним характером рівнянь руху струни, що інтегруються точно для невеликого числа спеціальних метрик. З цієї причини була ініційована програма пошуку наближених розв'язків рівнянь руху струни на основі теорії збурень, однак не була представлена процедура послідовного введення малого параметра в рівняння руху струни, що призвело до деякої довільності при накладенні зв'язків і трактуванні констант інтегрування. У зв'язку з цим виникло питання про послідовну процедуру реалізації евристичної наближеної схеми. Така процедура припускає наявність нового представлення для функціоналу дії струни у викривленому просторі, який явно має малий параметр і породжує рівняння руху і в'язі струни, вільні від зазначеного вище свавілля.

Інтерес до дослідження космічних струн значно зріс після появи низки праць, присвячених проблемі експериментального виявлення цих об'єктів у частині Всесвіту, що спостерігається. Так у процесі аналізу результатів, які були отримані при спостережені кандидатів у гравітаційні лінзи - об'єкти CLS-1 та Q0957+561A,B автори дійшли висновку про те, що причиною виникнення цих гравітаційних лінз могли бути космічні струни.

Останнім часом одновимірно-протяжні об'єкти (струни) інтенсивно досліджуються. Причому вивчається не тільки можливість застосування теорії струн до розв'язання тих чи інших задач у космології, але й динаміка струн у різноманітних зовнішніх гравітаційних полях, оскільки аналіз отриманих розв'язків іноді дозволяє по-перше передбачати ряд нових фізичних ефектів, які надалі можуть бути використані при експериментальному виявленні струн, що можливо збереглися в частині Всесвіту, що спостерігається, а по-друге може дати додаткову інформацію про самі фонові гравітаційні поля (деякі характеристики зовнішнього (фонового) простору-часу виявляються закодованими у властивостях поширення струни, тобто у властивостях двовимірної теорії на її світовій поверхні).

Мета й завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є отримання розв'язків рівнянь руху струни, нуль-струни, струни (з теорії збурень) у різноманітних псевдоріманових просторах.

У зв'язку з цим у роботі ставились такі завдання:

отримати точні розв'язки рівнянь руху замкненої нуль-струни у просторі-часі плоскої гравітаційної хвилі, у просторі-часі Переса, у лоренцевих просторах із нетривіальною конформною групою, у просторі-часі “товстого” планарно-симетричного об'єкта, в області взаємодії плоских хвиль, що зіштовхуються, та в аксіально-симетричній стаціонарній космологічній моделі з обертанням;

отримати розв'язки рівнянь Ейнштейна у випадку планарної симетрії для безмасового, дійсного скалярного поля хвилі;

отримати точні розв'язки рівнянь руху замкненої струни у просторі-часі “товстого” планарно-симетричного об'єкта та в області взаємодії плоских хвиль, що зіштовхуються;

використовуючи теорію збурень, по натягу струни вивчити рух струни в просторі-часі Переса.

Наукова новизна отриманих результатів. Усі точні розв'язки рівнянь руху струни, нуль-струни, струни з теорії збурень є оригінальні.

Крім цього у рамках дисертаційної роботи

досліджена взаємодія замкнених струн і нуль-струн із “товстими” планарно-симетричними об'єктами;

отримано новий клас розв'язків рівнянь Ейнштейна, у разі планарної симетрії для безмасового дійсного скалярного поля.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, що були отримані в дисертаційній роботі, можуть бути використані при наступних дослідженнях:

- у якості тестових розв'язків, необхідних при чисельному моделюванні нелінійних рівнянь, що описують динаміку струни в псевдоріманових просторах;

- точні розв'язки рівнянь руху нуль-струни можуть бути використані в якості нульового наближення, при вивченні руху струн у рамках теорії збурень.

Особистий внесок. У роботах, що опубліковані у співавторстві, дисертантом було зроблено наступне: у [1,4,7] отримані точні розв'язки рівнянь руху нуль-струни і наведені приклади її руху, у [2] отримані рівняння зв'язку і наведені приклади руху, у [5] отримані функції першого порядку наближення з теорії збурень для струни в полі випромінювання з ізотропним тензором енергії імпульсу і в полі “сильної” гравітаційної хвилі, наведені приклади руху. Крім того, автор брав участь в інтерпретації усіх отриманих результатів.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ містить аналіз стану теми дослідження й обґрунтування її актуальності. У вступі сформульовані мета роботи і положення, що виносяться на захист, наукова новизна та практична цінність роботи.

У першому розділі “Динаміка одновимірно-протяжних об'єктів у псевдоріманових просторах” наведено літературний огляд, в якому викладено сучасний стан уявлень щодо математичного опису руху струн (нуль-струн) у псевдоріманових просторах, наведені рівняння руху струни, нуль-струни, а також рівняння, що описують динаміку струни в межах теорії збурень, де роль малого параметра грає її натяг.

У другому розділі “Розв'язки рівнянь Ейнштейна для безмасового дійсного скалярного поля у випадку планарної симетрії” розглянута можливість формування планарно симетричної структури в просторі-часі, який заповнений безмасовим дійсним скалярним полем.

Добре відомо що, спонтанне порушення симетрії в ранньому Всесвіті може приводити до утворення планарно симетричних структур, наприклад таких як доменні стінки, які, у свою чергу, могли істотно впливати на еволюційні процеси на ранніх етапах розвитку Всесвіту. Доменні стінки, які виникають при високих температурах у ранньому Всесвіті з космологічної точки зору проблематичні, оскільки повинні призводити до створення великомасштабної анізотропії, що не підтверджується експериментальними спостереженнями. Проте відомо, що доменні стінки, які утворилися після відділення мікрохвильового фону не призводять до створення великомасштабної анізотропії. Такі доменні стінки іноді називають “легкими” доменними стінками. “Легкі” доменні стінки, мають достатньо великий градієнт густини й, отже, потенціал джерела і густину флуктуацій, що необхідні для створення великомасштабної структури, що спостерігається у Всесвіті. Використовуючи планарно симетричну квадратичну форму:

,

,

була побудована система рівнянь Ейнштейна:

,

де тензор Ейнштейна, тензор енергії імпульсу для безмасового дійсного скалярного поля,

Де G гравітаційна стала Ньютона.

Розглядаючи цю систему рівнянь разом з рівнянням скалярного поля й умовою безмасовості скалярного поля однозначно визначається функціональна залежність потенціалу скалярного поля і метричних функцій а саме:

,

де , яка не є випадковою, а пов'язана з безмасовостю скалярного поля, при цьому рівняння, що залишилися, зводяться до єдиного рівняння, яке пов'язує, між собою метричні функції і потенціал скалярного поля:

, (1)

Із чого випливає, що (1) задає цілий клас планарно симетричних розв'язків. Зрозуміло, що серед цих розв'язків можуть бути як фізичні, так і ні. Критерієм фізичності планарно-симетричних просторів, які ми шукаємо, може служити система інваріантів, у якості якої зручно вибрати систему двовимірних ріманових кривизн :

, (2)

де тензор Рімана-Кристофеля, будь-які два вектори, що визначають двовимірну площину.

Вибираючи вектори уздовж відповідних координатних осей, можна показати, що компоненти , пов'язані з компонентами тензора енергії імпульсу.

Оскільки ми розглядаємо виникнення структури, яка локалізована в просторі-часі, то логічно припускати прямування двовимірних ріманових кривизн до нуля на нескінченності, що математично може бути подане у вигляді асимптотичної рівності:

, (3)

дана вимога може бути використана як один із критеріїв фізичності отриманого планарно-симетричного розв'язку. У якості другого критерію може виступати вимога відсутності сингулярності в (2), оскільки, для безмасового поля немає причин для її виникнення. Простішим розв'язком рівняння (1), що задовольняє зазначеним вище обмеженням є:

(4)

Надалі результати отримані в цьому розділі, були використані як основа при вивченні руху замкнених струн і нуль-струн у просторі-часі планарно симетричних об'єктів.

У третьому розділі “Рух замкненої нуль-струни в псевдоріманових просторах” вивчена динаміка замкненої нуль-струни у деяких псевдоріманових просторах, а саме:

у полі плоскої гравітаційної хвилі, метрика якої може бути представлена у вигляді:

,

,

є довільними, але малими функціями. Відомо, що гравітаційні хвилі можуть впливати на струни на всіх етапах еволюції Всесвіту. Особливо важливою ця взаємодія могла бути поблизу сингулярного стану Всесвіту, де відбувалася генерація первинних збурень густини речовини. Так, наприклад, відомо, що гравітаційна хвиля може приводити до виникнення пульсуючих рухів струни, унаслідок яких вона може перетворитися на чорну діру. У сучасну епоху генерація гравітаційних хвиль може відбуватися подвійними зірками і пульсарами, під час вибухів наднових зірок, а також у ядрах галактик і у квазарах.

Використовуючи зазначену квадратичну форму були побудовані рівняння руху нуль-струни і знайдено їх точний загальний розв'язок, для довільних функцій , який надалі було використано при аналізі динаміки замкненої нуль-струни в полі плоскої еліптично-поляризованої хвилі для якої

,

,

де вибір або відповідає двом станам лінійної поляризації а

відповідає випадку кругової поляризації. Приклади двовимірних світових поверхонь, що замітає замкнена нуль-струна при своєму русі в зазначених випадках.

- у полі “сильної” гравітаційної хвилі і полі випромінювання з ізотропним тензором енергії імпульсу, що традиційно описуються метрикою Переса лінійний елемент якої має вигляд:

,

де функція повинна задовольняти рівнянню Гільберта - Ейнштейна.

Розглянута динаміка замкненої нуль струни у випадку поля випромінювання із сталою густиною енергії, а саме: в полі випромінювання з ізотропним тензором енергії імпульсу, для якої

і в полі “сильної” гравітаційної хвилі, для якої

де с = const Використовуючи зазначену квадратичну форму для обох випадків, були побудовані рівняння руху нуль-струни і знайдено їх точний загальний розв'язок, із якого випливає, що з переходом до “сильної” гравітаційної хвилі динаміка нуль-струни істотно змінюється, так, наприклад, показано, що дія простору-часу Переса, у випадку

,

на замкнену нуль-струну аналогічна дії гравітаційної пастки. На рис.3. наведені приклади світових поверхонь, що замітає замкнена нуль-струна, під час свого руху. Слід зазначити, що випадку відповідає пульсуючий рух замкненої нуль-струни в площині , при якому вона періодично стискається в точку, здійснює одночасно з цим коливання вздовж осі Ox.

у лоренцевих просторах з нетривіальною конформною групою, метрика яких може бути представлена у вигляді:

, де .

Розглянута динаміка замкненої нуль струни для . У цьому випадку зазначену метрику завжди можна конформно перетворити до

,

де (умова гіперболічності), відмітимо, що наведена метрика задає великий клас розв'язків, що мають назву біжучих хвиль. У Загальній Теорії Відносності такі розв'язки описують осцилюючі цуги хвиль або розриви похідних від компонент метричного тензора (ударні хвилі). Використовуючи зазначену квадратичну форму були побудовані рівняння руху нуль-струни і знайдено їх точний загальний розв'язок, для довільних функцій і , який надалі було використано при аналізі динаміки замкненої нуль-струни в лоренцевому конформно-плоскому просторі з функціями f і виду

,

де сталі, які повинні вибиратися згідно з умовою гіперболічності. Під час свого руху у зазначеному вище просторі. Крім того показано, що для усього, зазначеного вище, класу просторів, існує такий набір початкових даних, при якому, замкнена нуль-струна, захоплюється їх гравітаційним полем.

- у просторах з планарною симетрією. Відомо, що фазові переходи в ранньому Всесвіті можуть приводити до утворення не тільки струн, але й інших простягнених у просторі структур, наприклад таких як доменні стінки, мембрани тощо, які, у свою чергу, могли істотно впливати на еволюційні процеси на ранніх етапах розвитку Всесвіту. Не виключено, що ці об'єкти могли зберегтися до сучасної епохи і, отже, можуть спостерігатися. Таким чином, актуальним є питання про вплив простягнених у просторі об'єктів на динаміку один одного.

Використовуючи результати, які отримані у другому розділі дисертаційній роботи, було вивчено вплив “товстих” планарно симетричних об'єктів, що виникають з дійсного безмассового скалярного поля на динаміку замкненої нуль-струни. Аналізуючи точний загальний розв'язок рівнянь руху нуль-струни знайдений для всього класу просторів, що задаються (1) показано, що у випадку конформно плоских просторів із планарною симетрією рух замкненої нуль-струни перестає залежати від метричних функцій і цілком визначається початковими умовами, також показано, що існує такий набір початкових умов при яких замкнена нуль струна довільної форми рухаючись в усьому класі просторів (1) зберігає свою форму незмінною. На рис.5 наведено приклад світової поверхні, що замітає замкнена нуль-струна, під час свого руху в гравітаційному полі планарно-симетричного об'єкта, що задається (4), із якого випливає, що нуль-струна потрапляючи в гравітаційне поле планарно-симетричного об'єкта стягується в точку, а потім знову набуває початкового розміру.

в однорідному полі Эйнштейна-Максвела з однорідним неізотропним тензором Максвела, що описує зону взаємодії плоских хвиль, що зіштовхуються, метрика якої може бути представлена у вигляді:

,

де k-довільна стала. Використовуючи квадратичну форму були побудовані рівняння руху нуль-струни і знайдено їх точний загальний розв'язок.

- в аксіально-симетричній стаціонарній космологічній моделі з обертанням, що задається метрикою:

,

,

.

Ідея про те, що Всесвіт поряд з розширенням має глобальне обертання, вже давно привертає до себе увагу. Підтвердженням ідеї глобального обертання Всесвіту можуть свідчити результати, що були отримані при спостереженні поляризації випромінювання від позагалактичних радіоджерел. Залежність кута між площиною поляризації і напрямком видовженості зображення джерела в цих роботах свідчила про наявність великомасштабної анізотропії Всесвіту, однією з причин появи якої, на думку авторів, могло бути глобальне обертання Всесвіту. В останні роки інтерес до дослідження обертання в космології підсилився. Причому досліджуються не тільки можливі швидкості обертання або фізичні ефекти у Всесвіті з обертанням але і будуються нові космологічні моделі. На наш погляд, не менш цікавим є так само питання про вплив глобального обертання Всесвіту на еволюцію протягнених об'єктів, зокрема на динаміку нуль-струн.

Використовуючи квадратичну форму були побудовані рівняння руху нуль-струни і знайдено їх точний загальний розв'язок. Особливістю якого є можливість існування тільки вироджено замкнених нуль-струн у цій моделі, тобто зовнішнє гравітаційне поле, закручуючи нуль-струну, витягує (“схлопує”) її.

У четвертому розділі “Рух замкненої струни в псевдоріманових просторах” вивчена динаміка замкненої струни у двох псевдоріманових просторах, а саме:

- у просторі-часі “товстих” планарно симетричних об'єктів, що виникають з дійсного, безмасового скалярного поля, метрика яких була наведена вище. Основною проблемою, із якою доводиться зіштовхуватися при переході від вивчення руху нуль-струни у псевдоріманових просторах до вивчення руху струни є істотне ускладнення рівнянь і зв'язків (пов'язане з появою похідних по простороподібному параметру ), що ускладнює їх структуру і робить важким пошук загальних, точних розв'язків. Для того, щоб обминути зазначену трудність, при вивченні динаміки струни у викривлених просторах часто обмежуються пошуком окремих розв'язків рівнянь руху, що реалізують ту або іншу фізичну ситуацію. Так точний розв'язок рівнянь руху струни, у зазначеному класі просторів, було знайдене для

,

відзначимо, що цій вимозі відповідає випадок, при якому замкнена струна, під час свого руху, у кожний момент часу t цілком лежить у площині x; y. Аналіз рівнянь руху, наведений в дисертаційній роботі, показує, що в обговореному випадку, в усьому класі просторів, які задаються (1), замкнена струна може існувати тільки у вигляді кола, радіус якого

залежить від виду метрики і визначається з рівняння:

, (5)

Наведено приклад руху в полі планарно симетричного простору, що задається (4). Графік залежності від , що відповідає отриманим точним розв'язкам, з якого випливає, що замкнена струна потрапляючи в гравітаційне поле зазначеного планарно симетричного об'єкта, стягується в точку, а після проходження знову набуває початкового розміру.

У зоні взаємодії плоских хвиль, що зіштовхуються метрика якої також була наведена вище. Показано, що розв'язок рівнянь руху замкненої струни легко знайти чому відповідає випадок радіального руху. Використовуючи квадратичну форму, яка наведена вище, були побудовані рівняння руху і знайдено їх точний розв'язок.

У п'ятому розділі “Вивчення руху струни по теорії збурень” розглянута динаміка струни, в полі “сильної” гравітаційної хвилі і полі випромінювання з ізотропним тензором енергії імпульсу, що традиційно описуються метрикою Переса.

У зв'язку із тим, що рух струни в псевдоріманових просторах описується істотно нелінійними рівняннями, які із трудом піддаються аналізу, останнім часом посилено розвиваються нові напрямки дослідження, одним з яких є дослідження динаміки струни в межах теорії збурень, де роль малого параметра грає її натяг, яка була розроблена в роботах А.А. Желтухіна і С.М. Рощупкіна. Із зазначених праць випливає, що у випадку слабкого натягу , де: - безрозмірний параметр, що характеризує натяг струни, рівняння, що описують рух струни, можуть розглядатися як нелінійні рівняння з малим параметром при похідних по , що дозволяє шукати їх розв'язок у вигляді ряду по ступеням цього малого параметра.

де - новий листовий час; , , - відповідно функції нульового, першого і другого порядку наближення.

Треба зазначити, що вибір просторів для вивчення динаміки струни в межах теорії збурень не був випадковим, а пов'язаний із тим, що було цікаво порівняти точні розв'язки для незамкненої струни, які були отримані раніше в роботі Іванова Г.Г., з результатами які дає теорія збурень. У дисертаційній роботі, для обох зазначених вище просторів, ми обмежилися пошуком функцій нульового і першого наближень Порівняння функцій першого наближення для замкненої струни, які були отримані в даній дисертаційній роботі, з точним розв'язком для незамкненої струни показує, що моди коливань з збігаються, а нульові моди перенормуються. Це дозволяє стверджувати, що при асимптотично великих часах замкнена струна веде себе аналогічно до незамкненої струни.

ВИСНОВКИ

1. Отримано точні загальні розв'язки рівнянь руху замкненої нуль-струни у наступних псевдоріманових просторах: у полі плоскої гравітаційної хвилі, у метриці Переса, у лоренцевих просторах з нетривіальною конформною групою, у просторах із планарною симетрією, що виникають з дійсного, безмасового скалярного поля, в області взаємодії плоских хвиль, що зіштовхуються та в аксиально-симетричній стаціонарній космологічній моделі з обертанням. Для усіх цих просторів наведено приклади руху, а також світові поверхні, які замітає нуль-струна під час свого руху. Основною рисою, яка пов'язує ці на перший погляд різні розв'язки, отримані для широких класів псевдоріманових просторі, є сильна залежність характеру руху нуль-струн від початкових умов. Інакше кажучи, в тому самому просторі в залежності від вибору початкових умов динаміка нуль-струни може змінюватися від дуже складних пульсацій, з однієї сторони, до ситуацій коли вона (нуль-струна) практично не почуває зовнішнього гравітаційного поля.

2. Отримано точні розв'язки рівнянь руху замкненої струни у наступних псевдоріманових просторах: у просторах з планарною симетрією, що виникають з дійсного безмасового скалярного поля (у випадку коли замкнена струна, під час свого руху, у кожний момент часу цілком лежить у площині x;y), і в області взаємодії плоских хвиль, що зіштовхуються (випадок радіального руху); наведені приклади руху. Основною рисою цих розв'язків, навпаки, є їх прогностичність, тобто вибір початкових умов не змінює характер руху, наприклад: при русі замкненої струни в широкому класі просторів із планарною симетрією форма струни залишається колом, а від простору до простору змінюється тільки залежність радіусу цього кола від часу.

3. Розглянуто можливість формування планарно симетричної структури в просторі-часі, який заповнений безмасовим дійсним скалярним полем. Показано, що система рівнянь Ейнштейна у цьому випадку зводиться до єдиного рівняння, що пов'язує метричні функції і потенціал скалярного поля, наведені обмеження, яким повинні задовольняти фізичні простори, а також приклади цих просторів.

4. У межах теорії збурень отримано функції нульового і першого наближення для струни, яка поширюється у полі “сильної” гравітаційної хвилі і полях випромінювання з ізотропним тензором енергії імпульсу, що традиційно описуються метрикою Переса. Порівнюючи функції першого наближення для замкненої струни, що отримані у даній дисертаційній роботі, з точним розв'язком для незамкненої струни, який був відомий раніше, зроблено висновок про те, що при асимптотично великих часах замкнена струна веде себе аналогічно до незамкненої струни.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Аріфов Л.Я., Леляков О.П., Рощупкін С.М. Динаміка струни і нуль-струни в полі гравітаційних хвиль // Український фізичний журнал. - 1998. - Т. 43. - С. 890-895.

Аріфов Л.Я., Леляков О.П., Рощупкін С.М. Точні розв'язки для нуль-струни в лоренцевих просторах з нетривіальною конформною групою // Український фізичний журнал. - 1999. - Т. 44. - С. 801-804.

Леляков А.П. Точное решение уравнений движения замкнутой нуль - струны в однородном поле Эйнштейна - Максвелла с однородным неизотропным тензором Максвелла // Ученые записки ТНУ им. В.И. Вернадского. -2000. - №13 (52). - С. 144 - 147.

Арифов Л.Я.‚ Леляков А.П.‚ Рощупкин С.Н.‚ Динамика замкнутой струны в пространстве-времени Переса // Ученые записки ТНУ им. В.И. Вернадского. -2001. - т. 14(53). № 1.- с. 32-35.

A.P. Lelyakov and S.N. Roshchupkin. Null and tensile string in Peres spacetime // Acta Physica Polonica B. -2002.- vol. 33. - №2. - 593 - 601.

Леляков О.П. Радіальний рух замкненої струни в зоні взаємодії плоских хвиль, що зштовхуються // Ученые записки ТНУ им. Вернадского. -2003. - Том 15-16 (54-55). -№1. - С. 59 - 62.

L.Ya. Arifov, E.N. Zinchenco, A.P. Lelyakov and S.N. Roshchupkin Dynamics of Extended Objects and a Stationary Axially Symmetric Cosmological model // Theoretical and Mathematical Physics. - 2004. - Vol. 141(2). -P. 1593-1607.

Lelyakov A.P. The possibility of originating planar-symmetrical structures in pseudo-riemannian spaces // Gravitation, Cosmology and Relativistic Astrophysics. - Kharkov: Kharkov National University, 2004. - P. 108-110.

Размещено на Allbest.ru