Симетрія і точні розв’язки нелінійних рівнянь дифузії

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Абсолютна більшість математичних моделей фізики, біології, хімії та інших природничих наук, а також економіки, фінансової математики тощо, формулюється з використанням диференціальних рівнянь. Тому невід'ємною складовою частиною згаданих наук є дослідження спеціальних класів диференціальних рівнянь і побудова їх точних розв'язків. Так, процеси теплопровідності і реакції-дифузії описуються рівняннями вигляду:

u=f(u), (1)

де u=u(t,x). Ці рівняння знаходять широке застосування в багатьох моделях теорії тепломасопереносу, в математичній хімії, математичній біології, генетиці, а також в багатьох інших галузях. Зауважимо, що рівняння (1) є рівнянням Колмогорова-Петровського-Піскунова за умови, що f(u) -- достатньо гладка функція, яка задовольняє співвідношення f(0)=f(1)=0.

Важливими конкретними випадками рівняння (1) є рівняння Фішера, Ньюела-Вайтхедта, Хакслі, Фітцхью-Нагумо.

У середовищі хімічної природи компоненти вектор-функції u представляють концентрацію реагентів, матриця A визначає коефіцієнти їх дифузії, нелінійна функція f(u) задає інтенсивність хімічних реакцій, які відбуваються в кожному елементарному об'ємі. В середовищах іншої природи компоненти вектор-функції u можуть характеризувати температуру або величину електричного потенціалу, а коефіцієнти матриці A можуть бути коефіцієнтами теплопровідності або питомої електричної провідності.

Точні розв'язки диференціальних рівнянь відіграють дуже важливу роль в теоретичних і прикладних дослідженнях. Вони є ефективним інструментом перевірки адекватності математичних моделей, ефективності наближених методів. Відомо багато методів для побудови точних розв'язків диференціальних рівнянь: метод Пуассона, метод Фур'є, метод оберненої задачі розсіювання. Регулярний метод побудови точних розв'язків є складовою частиною групового аналізу диференціальних рівнянь, створеного Софусом Лі. Відзначимо, що груповий аналіз є основним інструментом при встановленні відносин еквівалентності в різних класах рівнянь, побудові законів збереження, знаходженні точних розв'язків тощо.

Класичний підхід Лі набув подальшого розвитку в працях сучасних математиків, передусім Л.В. Овсяннікова. Важливим узагальненням теорії Лі є метод умовних симетрій, перші паростки якого з'явилися у працях Г. Біркгофа, а остаточне становлення відбулось у роботах Д. Блумана, Д. Леві, П. Вінтерніца, П. Олвера, а особливо в працях В.І. Фущича та його учнів.

Згадані методи широко застосовувалися для побудови точних розв'язків рівнянь (1), але отримані результати відносяться до дуже обмеженого класу таких рівнянь. Методи класичного групового аналізу і умовних симетрій дозволяють знаходити спеціальні підстановки (анзаци), що редукують досліджуване рівняння до більш простого вигляду, чи навіть знаходити явні розв'язки. Слід зауважити, що історично багато з таких анзаців були отримані без використання групових методів. Як приклад, можна навести анзац Баренблатта і анзац, широко відомий під назвою анзаца Коула-Хопфа, який лінеаризує рівняння Бюргерса. Відзначимо, що умовно-симетрійний підхід включає в себе пошук розв'язків нелінійних визначальних рівнянь, які в багатьох випадках не простіші, ніж рівняння, симетрія яких досліджується. Тому в окремих випадках прямий пошук абзаців є більш простою і ефективною процедурою, ніж пошук умовних симетрій. Для знаходження точних розв'язків рівнянь (1) у дисертації використовуються як симетрійні методи (класичний груповий аналіз та метод умовних симетрій), так і метод прямого пошуку анзаців.

У моделях математичної біології відіграють важливу роль спеціальні розв'язки типу одинокої хвилі. Вважається, що розв'язки саме такого типу описують, наприклад, розповсюдження сигналу в нейронних клітинках. В зв'язку з цим певний інтерес викликає селекція рівнянь вигляду (1), що допускають розв'язки такого (солітонного) типу.

Таким чином, задача побудови нових точних розв'язків рівнянь (1), а також опису класів таких рівнянь, що мають розв'язки солітонного типу, є актуальною та має прикладне і теоретичне значення, саме ця задача є предметом дослідження даної дисертації.

Одним із важливих використань групового аналізу є побудова моделей з заданими симетрійними властивостями. Серед цих властивостей домінуючою є вимога інваріантності відносно перетворень Галілея, якій повинні задовольняти абсолютно всі моделі, при умові, що вони описують явища, які відбуваються при швидкостях, значно менших швидкості світла. Повний опис рівнянь вигляду (1), інваріантних відносно перетворень Галілея, був зроблений В.А. Дородніциним, але галілеївські інваріантні системи описані тільки для випадку n=2. Актуальна задача побудови галілеївські інваріантних систем для n>2, які мають широке прикладне застосування, розв'язується в даній дисертації.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є дослідження класичної та умовної симетрій системи нелінійних рівнянь реакції-дифузії для довільних n і m, використання симетрійних властивостей таких систем для побудови їх точних розв'язків, а також пошук точних розв'язків рівнянь Колмогорова-Петровського-Піскунова, Фішера і низки інших рівнянь, які мають широке застосування в різноманітних моделях теплопровідності і реакції-дифузії, в математичній біології, хімії, генетиці. Для цього поряд з симетрійними методами використовується метод прямого пошуку анзаців, за допомогою якого отримано спеціальні анзаци для проведення редукції і ефективного знаходження точних розв'язків вищезгаданих рівнянь.

1. Дослідження умовної симетрії нелінійного скалярного рівняння реакції-дифузії та побудова його точних розв'язків з використанням операторів умовної симетрії, а також спеціальних анзаців, які є узагальненнями симетрійних і умовно-симетрійних анзаців

Розглядається загальне рівняння:

. (2)

Для знаходження розв'язків рівняння (2) використовується спеціальний анзац:

u= (3)

який перетворює рівняння (2) в рівняння:

z[(n-1)(z

(4)

На відміну від рівняння (2) отримане рівняння (4) є однорідним відносно залежних змінних і містить нелінійності тільки третього порядку, в той час як рівняння (2) містить функцію u в довільному (фіксованому) степені. Рівняння (4) є основою для проведення ефективної редукції і пошуку точних розв'язків рівняння (2).

Редукція рівняння (4) досягається, якщо прирівняти до нуля обидві його частини. В результаті отримуємо таку систему:

(n-1)(=0, (5)

(n-1)(=0. (6)

У випадку n=3, =0 система (5), (6) може бути проінтегрована, що дає змогу дістати точні розв'язки в формі (5) для рівняння:

(7)

Для прикладу наведемо один з отриманих розв'язків:

(8)

Відзначимо, що розв'язок (7) можна знайти також з використанням умовної симетрії рівняння (6).

Розширено список відомих точних розв'язків рівняння (2) для . Знайдено нескінченні множини нових точних розв'язків рівнянь теплопровідності з кубічною поліноміальною нелінійністю, які виражаються через еліптичні функції Якобі. Так, одна з нескінченних множин розв'язків задається формулою:

+6t,

де:

.

Розглядається рівняння загального вигляду (2) з довільними параметрами. Показано, що і в цьому випадку існують класи точних розв'язків рівняння (2). Знайдено такі розв'язки рівняння (2):

u=(9)

u=(10)

Якщо >1, то формули (9) визначають розв'язки, які мають вигляд одинокої хвилі і поширюються з фіксованою швидкістю. Якщо цей показник степеня менше -1, то (9) є сингулярним розв'язком, що описує режим із загостренням. Однак, у цьому випадку рівняння (2) має інші солітоноподібні розв'язки, які визначаються формулою (10).

Розглядається детально важливий випадок рівняння (2), а саме, коли це рівняння локально еквівалентне рівнянню Фішера. Знайдено нові точні розв'язки рівняння Фішера і запропоновано таке узагальнення цього рівняння, яке допускає хвильові розв'язки, подібні до розв'язків рівняння Фішера, але швидкість поширення яких є довільною.

Досліджується умовна симетрія і будуються точні розв'язки багатовимірного рівняння реакції-дифузії:

uu+f(u). (11)

Беручи до уваги інваріантність рівняння (11) відносно групи обертань в n-вимірному просторі, доцільно шукати розв'язок рівняння (11) у вигляді:

u=u(t,x), x=

Як наслідок, отримано редуковане рівняння

=f(u). (12)

Результатом дослідження умовної симетрії рівняння (12) є така теорема.

Теорема 1. Лінійний диференціальний оператор

X=,

є оператором умовної симетрії рівняння (12) у випадку f(u)=, якщо , а функція є розв'язком системи рівнянь

(13)

де k, C -- довільні сталі.

Знайдено умови, при яких система рівнянь (13) має розв'язок вигляду . Це можливо тоді і тільки тоді, коли числа k, l і n пов'язані співвідношеннями

l=n-4, k=

Отже, показано, що рівняння (11) допускає оператори умовної симетрії для довільного n, причому ці оператори умовної симетрії знайдені в явному вигляді.

Рівняння реакції-дифузії з експоненціальною нелінійністю. Для побудови точних розв'язків рівняння:

(14)

використовуємо анзац:

. (15)

Анзац (15) редукує рівняння (14) до звичайного диференціального рівняння, розв'язавши яке знаходимо точні розв'язки рівняння (14).

Четвертий розділ дисертації присвячено вивченню класичної та умовної симетрій системи нелінійних рівнянь реакції-дифузії.

2. Умови, при яких система інваріантна відносно перетворень Галілея

Показано, що з точністю до локального перетворення такими будуть ті і тільки ті системи, у яких функція f(u) задовольняє систему рівнянь:

(A (16)

Запропоновано опис систем нелінійних рівнянь дифузії, інваріантних відносно групи Галілея. В залежності від типу матриці A знайдені всі можливі нелінійні форми функції f(u), їх пошук зводиться до інтегрування системи звичайних диференціальних рівнянь (16). Типовим прикладом результатів, представлених у цьому підрозділі, є така теорема.

Теорема 2. Якщо матриця A є кліткою Жордана J, то загальний розв'язок системи (15) утворюють функції:

k=1,…,n, (17)

де є довільними функціями від:

.

Наведено деякі результати симетрійної редукції системи двох нелінійних рівнянь реакції-дифузії, проведеної за одновимірними підалгебрами алгебри інваріантності цієї системи. Знайдено анзаци, які редукують досліджувану систему до звичайних диференціальних рівнянь, і наведено випадки, коли редуковану систему вдається проінтегрувати. Повний перелік анзаців і відповідних їм редукованих систем подано у додатку.

Встановлено, що оператори умовної симетрії існують для будь-якої кількості залежних змінних u за умови, що матриця дифузії A є діагональною і має спеціальний вигляд, а також показано, як будувати ці оператори в явному вигляді. Приклад одного з таких операторів подано в теоремі.

Теорема 3. Оператор:

X=,

є оператором умовної симетрії системи тоді і тільки тоді, коли:

A=,

,

причому.

a) якщо l=1, то (i=1,…,n) -- довільні функції від змінних ;

b) якщо l=n, то -- довільні функції від змінних ;

c) якщо 1<l<n, то -- довільні функції від змінних .

За допомогою операторів умовної симетрії знайдено точні розв'язки системи двох нелінійних рівнянь реакції-дифузії. Серед цих розв'язків існують цікаві з фізичної точки зору розв'язки типу одинокої хвилі. Так, у випадку:

(18)

дана система умовно інваріантна відносно оператора X. Відповідний анзац редукує розглядувану систему до системи звичайних диференціальних рівнянь. Для деяких функцій ця система може бути проінтегрована в квадратурах.

Якщо, наприклад,

=0. (19)

то отримуємо такий розв'язок системи:

u=2x. (20)

Для будь-якого скінченного інтервалу розв'язок (20) обмежений і має вигляд одинокої хвилі, амплітуда цієї хвилі зменшується зі зростанням часу.

Якщо нелінійності системи мають вигляд:

 (21)

то розглядувана система має розв'язок:

(22)

У випадку, коли показники степенів додатні, формули (21) визначають одинокі хвилі. Зауважимо, що розв'язки (21) не є плоскими хвилями і їх амплітуди зменшуються, якщо t зростає.

Висновки

нелінійний дифузія теплопровідність колмогоров

1. Запропоновано спеціальні заміни змінних для проведення редукції і ефективного пошуку точних розв'язків нелінійних рівнянь реакції-дифузії, які є узагальненнями симетрійних і умовно-симетрійних анзаців.

2. За допомогою еліптичних функцій Якобі побудовано нескінченні серії точних розв'язків одновимірного рівняння реакції-дифузії з кубічною поліноміальною нелінійністю.

3. Знайдено частинні розв'язки рівняння Колмогорова-Петровського-Піскунова, які є одинокими хвилями і мають хороші перспективи для різноманітних застосувань. Побудовано нові точні розв'язки рівняння Фішера.

4. Досліджено умовну симетрію багатовимірного нелінійного рівняння реакції-дифузії шляхом редукції його до радіального рівняння. Встановлено, що для нелінійного рівняння реакції-дифузії з довільною кількістю незалежних змінних існують оператори умовної симетрії, причому ці оператори знайдено в явному вигляді.

5. За допомогою спеціального анзацу побудовано нові точні розв'язки нелінійного рівняння реакції-дифузії з експоненціальною нелінійністю.

6. Проведено класифікацію галілеєво-інваріантних систем нелінійних рівнянь реакції-дифузії, досліджено умовну симетрію та побудовано деякі класи умовно-інваріантних розв'язків таких систем.

7. Для всіх класів систем двох нелінійних рівнянь реакції-дифузії, що визначені з точністю до довільних функцій від залежних змінних і володіють нетривіальною симетрією, проведено симетрійну редукцію та побудовано деякі інваріантні розв'язки.

Література

1. Баранник Т.А. Умовна симетрія і точні розв'язки багатовимірного рівняння дифузії // Укр. мат. журн. -- 2002. -- Т. 54, № 10. -- C. 1416-1420.

2. Barannyk T.A. Symmetry and exact solutions for systems of nonlinear reaction-diffusion equations // Proceedings of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine: Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. -- 2002. -- V. 43, Part 1. -- P. 80-85.

3. Баранник Т.А. Галілеєво-інваріантні системи нелінійних рівнянь реакції-дифузії // Вісник Київського університету. Механіка. Математика. -- 2004. -- Вип. 11-12. -- C. 27-29.

4. Barannyk T.A., Nikitin A.G. Solitary wave solutions for heat equations // Proceedings of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine: Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. -- 2004. -- V. 50, Part 1. -- P. 34-39.

5. Nikitin A.G., Barannyk T.A. Solitary wave and other solutions for nonlinear heat equations// Centr. Eur. J. Math. -- 2004. -- V. 2, №5. -- P. 840-858 (see also math-ph/0303004).

Размещено на Allbest.ru