Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

Розповсюдження імпульсу тиску в в'язкопружній оболонці з рідиною

01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Звонарьова Ольга Віталіївна

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті гідромеханіки Національної Академії наук України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Селезов Ігор Тимофійович, Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу гідродинаміки хвильових процесів

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор Барняк Михайло Якимович, провідний науковий співробітник відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України

кандидат фізико-математичних наук Ярошенко Олександр Олександрович доцент кафедри вищої математики Севастопольського національного технічного університету

Провідна установа:

Національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра механіки суцільних середовищ (м. Київ)

Захист відбудеться 27.10.2005р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої ради Д 26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України за адресою: 03057, Київ, вул. Жедябова 8/4

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України

Автореферат розісланий 15.09.2005р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради д. т.н., професор Криль С.І.

Загальна характеристика роботи

Дослідження задач гідропружності на основі більш складних реологічних моделей, які враховують як в'язкопружні властивості оболонки, так і в'язкість рідини, а також ускладнень геометричного типу таких, як стики оболонок та наявність закупорки, призводять до генерації хвиль різних типів в залежності від вказаних геометричних та фізичних параметрів оболонки та рідини. Тому викликає інтерес подальше дослідження взаємодії пружної поверхні з рідиною від дії імпульсу тиску, а також виявлення впливу різних фізичних параметрів рідини та оболонки на генерацію хвиль. В рамках класичної хвильової теорії більша частина робіт попередників досліджувала задачі гідропружності з залученням моделі ідеальної рідини та пружної поверхні. Однак протягом останніх десятиріч з'явилися роботи, що досліджують задачі гідропружності на основі моделі в'язкої рідини або в'язкопружної оболонки.

Деякі аспекти досліджень, що стосуються теорії хвильових процесів в задачах гідропружності та пов'язані з тематикою даної роботи, висвітлені в роботах А.Е. Бабаєва, В.В. Бабенка, М.Я. Барняка, В.В. Болотина, В.М. Буйвола, А.С. Вольміра, Г.О. Воропаєва, А.Г. Горшкова, В.Т. Грінченка, Е.І. Григолюка, І.С. Громека, О.М. Гузя, М.А. Ільгамова, М.Е. Жуковського, В.Д. Кубенко, І.А. Луковського, С.А. Регирера, І.Т. Селезова, В.М. Сеймова, В.А. Троценка, C. G. Caro, H. Demiray, U. A. Erbay, Y. C. Fung, A. Quarteroni, G. Stokes, D. J. Korteweg, N. R. Kuchar, D. Lipsh, A.I. Moens, E. B. Modic, T. J. Pedley, A. Rachev та ін.

Актуальність теми. Проблема дослідження взаємодії пружної поверхні з рідиною являє собою великий науковий інтерес й активно розвивається. Разом з цим вона є занадто складною як у фізичному аспекті, так і розвитку математичного моделювання і визначається як перспективний і актуальний напрямок гідропружності.

імпульс тиск рідина оболонка

На сьогодні є багато недостатньо досліджених проблем гідропружності. В зв'язку з цим дана дисертаційна робота переважно досліджує задачі поширення хвиль у циліндричній оболонці на основі більш складних реологічних моделей, які враховують як в'язкопружні властивості оболонки, так і в'язкість рідини, а також при наявності стиків оболонок різних властивостей. Аналіз цих задач складає значні математичні труднощі. Тому дослідження поширення хвиль, які збуджуються імпульсом тиску всередині в'язкопружної оболонки, являє собою актуальну наукову проблему. Ці дослідження дозволяють не тільки з достатньою точністю моделювати фізичні хвильові процеси, вони також є актуальними для розробки та апробації математичних методів, численних досліджень, створення теоретичної бази для експериментів.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є побудова фізико-математичних моделей, які якомога точніше наближаються до опису фізичних процесів утворення і поширення хвиль в оболонці з рідиною, збуджені імпульсом тиску; об'єднання вже відомих моделей на випадки середовищ з різними фізичними властивостями; постановка на основі цих моделей відповідних математичних задач; одержання точних аналітичних або наближених асимптотичних; встановлення закономірностей хвильової картини в залежності від параметрів моделі.

Для досягнення поставленої мети необхідно:

В рамках моделі генерації хвиль локальними неоднорідностями (стик оболонок) і різними умовами закріплення виконати постановки нових конкретних математичних задач, і для деяких граничних умов закріплення розглянути задачі, які допомагають оцінити достовірність результатів.

Одержати відповідні точні аналітичні розв'язки і наближені асимптотичні розв'язки задач і для одержання наближених асимптотичних розв'язків реалізувати метод побудови оригіналів на основі розкладу в ряд Фур'є за синусами.

Провести аналіз отриманих результатів і їх чисельної реалізації на ПК.

Побудувати графічні залежності поверхні оболонок і характеристики хвильових процесів в залежності від геометричних параметрів оболонки й фізичних параметрів рідини.

На основі аналізу результатів виявити характерні особливості впливу неоднорідності (стику) і параметрів рідини на хвильові картини і представити наукову новизну одержаних результатів.

Наукова новизна одержаних результатів.

В рамках моделі нестаціонарних хвильових рухів представлені постановки вісесиметричних задач для напівнескінчених в'язкопружних циліндричних оболонок з в'язкою рідиною при різних умовах закріплення на торцях, а також, в разі поширення імпульсу тиску, при наявності стику оболонки.

Вперше зроблено постановку задачі поширення хвилі в циліндричній оболонці зі стиком, заповненій стисливою в'язкою рідиною.

Проведена лінеаризація нелінійної моделі оболонка-рідина на випадок стисливої в'язкої рідини для гладких оболонок зі стиком. Виведено еволюційне рівняння, досліджена поведінка поширення нестаціонарних хвиль в залежності від параметрів моделі.

Проведено детальний математичний і чисельний аналіз залежності значень переміщень оболонки, тиску та швидкості рідини при різних умовах закріплення оболонок на торці.

Досліджено закономірність зміни форми поверхні оболонки від зміни в'язкості рідини.

Виведено еволюційне рівняння, яке включає в себе члени, що відповідають як за наявність стику оболонки, так і за наявність в'язкої рідини. Знайдено розв'язок відповідної лінеаризованої задачі поширення хвилі в циліндричній оболонці з різною формою оболонки після стику. Проведений аналіз для цього випадку дозволив оцінити вплив геометричних параметрів оболонки після стику на значення моменту згину та поперечної сили в самому стику і дати рекомендації використання цих результатів в біомеханіці.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, які ввійшли в дисертаційну роботу, пов'язані з плановими науковими дослідженнями відділу гідродинаміки хвильових процесів Інституту гідромеханіки Національної академії наук України; з бюджетною темою "Гідродинаміка хвильових процесів в зоні шельфу та її вплив на рівновісний стан і стійкість берегів та гідротехнічних споруд", шифр 1.3.7.16 (2001-2002); з бюджетною темою "Дослідження гідродинаміки хвильових процесів та течій у шельфовій та береговій зонах з урахуванням взаємодії з берегами та гідротехнічними спорудами", шифр 1.10 с07 (2004-2007); з проектом Державного Фонду фундаментальних досліджень України №01.07/00079 (2001-2004); 1.4.105 "Генерація усталених та неусталених хвиль в рідких та пружних середовищах з просторовими неоднорідностями (1996 - 2001 рр.) (договір від 27 жовтня 1998 р. №^: Ф4/1623-97 між Міністерством у справах науки і технологій та Інститутом гідромеханіки НАН України).

Практичне значення одержаних результатів. Проведені в дисертаційній роботі дослідження впливу граничних умов на торці оболонки, а також стику між оболонками на поширення хвиль, що збуджуються імпульсом тиску, доповнює теорію хвильових процесів новими результатами, використання яких дозволяє зробити аналіз впливу параметрів моделі на хвильові картини і надалі використовувати ці результати для подальших узагальнень, а також для створення теоретичної бази експериментів.

Апробація роботи. Отримані в дисертаційній роботі результати були представлені на таких міжнародних та українських наукових конференціях:

Українська наукова конференція "Моделирование и устойчивость систем" (1996 р. 1997 р., м. Київ, Україна);

10-та Міжнародна конференція: "Dynamical System and Stability Investigation" (2001 р., м. Київ, Україна);

37-ма Міжнародна конференція: "Proceedings of the European Medical & Biological Engineering Conference" (1999, Vienna, Austria);

Семінарах відділу гідродинаміки хвильових процесів та Республіканському семінарі з гідромеханіки при Інституті гідромеханіки НАН України.

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 12 наукових праць, всі роботи написані у співавторстві, 7 робіт - (роботи [1] - [7]) - опубліковано у фахових виданнях, затверджених ВАК України.

Особистий внесок здобувача. Робота виконувалась під науковим керівництвом доктора фізико-математичних наук, професора І.Т. Селезова. В роботах [1] - [12] науковим керівником професором І.Т. Селезовим була здійснена постановка задач та проведені наукові консультації, а розв'язання задач, проведення чисельного моделювання, відповідний аналіз виконано здобувачем. Основні результати за темою дисертації отримано автором самостійно.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літератури з 162 назв. Вона містить 172 сторінки, 35 рисунків.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано стан проблеми, сформульовані положення, що виносяться на захист.

В першому розділі подано стислий огляд літератури з проблеми поширення хвиль у гідропружних системах. Також наводяться основна система рівнянь, граничні умови на поверхні оболонки та гіпотези, які спрощують рівняння рідини. Розглядається застосування інтегрального перетворення Лапласа і метод чисельного обертання зображень.

В другому розділі досліджується задача поширення хвиль, збуджуваних імпульсом тиску у в'язкопружній напівнескінченій циліндричній оболонці, що заповнена в'язкою стисливою рідиною. Розглядання проводиться на основі лінеарізованих рівнянь Нав'є-Стокса у випадку осесиметричного руху

,

,

, . (1)

В подальшому розглядається випадок, коли течія характеризується малими швидкостями в порівнянні зі швидкістю звуку. Наприклад, швидкість поширення звуку в рідині , де К - модуль пружності рідини, с - її густина, а швидкість Моенса-Кортевега поширення пульсової хвилі , де Е - модуль Юнга пружної стінки, с - її густина, h - товщина стінки, D=2R - діаметр оболонки. На цій підставі реальна течія всередині оболонки осереднюється по її поперечному перерізу.

Поширення пульсової хвилі визначає градієнт тиску, який утворює течію в кожній ділянці артеріального дерева. Особливу зацікавленість при розгляданні цього поля швидкостей викликають дві характеристики: одна з них - об'ємна витрата, друга - напруження зсуву на стінці .Т. Педлі у своїй монографії показав, що при використанні теорії квазістаціонарності потрібно використовувати профіль швидкостей, що одержано для жорсткої труби. Уомерслі та Макдональдс підтвердили правомочність використання на практиці профіля швидкості для жорсткої трубки. Вони співставили результати витрат дійсної хвилі, безпосередньо виміряних електромагнітним витратоміром, і одержали чіткий збіг. А.С. Вольмір при розгляданні нестаціонарної рідини в пружному трубопроводі використав також гіпотезу квазістаціонарності, коли для несталого руху ньютонівської рідини зберігаються характеристики опору, встановлені для стаціонарного руху. Ці характеристики визначались для ламінарної течії в припущенні, що рідина нестислива, а масові сили відсутні. Тоді одержимо:

(2)

Інтегруючи (2), одержимо:

. (3)

За умов обмеженості швидкостей у всій області, що розглядається, знаходимо, що постійна інтегрування А=0. Постійну В знаходимо з граничної умови на стінці: при . Тоді остаточно знайдемо:

. (4)

З (4) виходить, що розповсюдження швидкості підпорядковується параболічному закону. Витрата рідини, тобто об'єм, що протікає за одиницю часу через поперечний переріз трубки дорівнює:

. (5)

Для визначення середньої швидкості течії потрібно одержаний вираз (5) розділити на :

(6)

Сила тертя, що діє на стінці труби, буде

. (7)

Падіння тиску вздовж труби знаходимо з виразів (5) і (6):

. (8)

Співвідношення (8) виражає закон Гагена-Пуазейля. У відповідності з гіпотезою квазістаціонарності А.С. Вольмір (1979) розповсюдив закон Гагена-Пуазейля на течію стисливої нестаціонарної рідини. При цьому передбачувалось, що швидкість значно менша осередньої швидкості V, й прогини оболонки малі в порівнянні з радиусом R.

Такі допущення відповідають поширенню пульсових хвиль типу перистальтики (Young, 1809; Moens, 1878; Kortweg, 1878; Pedley, 1980; Жуковський, 1921; Громеко, 1882; Quarteroni, 2000). Як відмічалося вище, швидкість поширення пульсової хвилі відрізняється від швидкості поширення акустичної хвилі приблизно на два порядки.

З урахуванням вищезазначених міркувань система рівнянь (1) зводиться до наближених рівнянь, що описують рух рідини в циліндричній оболонці:

(9)

де - радіальне переміщення поверхні, - число Рейнольдса.

У роботах з магнітопружності І.Т. Селезов (1989) врахував в'язкість в пружному середовищі через тензор напруження

= +. (10)

В (10) тензор описує пружну частину, а - в'язку, причому

, (11)

де , , , , , - коефіцієнти в'язкості.

Рівняння руху оболонки з врахуванням в'язкості її матеріалу (10), (11) мають вигляд:

(12)

де

Після застосування інтегрального перетворення Лапласа за часом : до (9), (12), виключивши в системі (12) повздовжне переміщення оболонки, одержимо диференціальне рівняння відносно тиску

, (13)

де

Аналіз рівняння (13) показує, що всі корені характеристичного рівняння є комплексно спряженими і в загальному вигляді визначаються співвідношеннями

S_1,2,3,4=k₁k₂i; S_5,6,7,8=k₃k₄i. (14)

В розв'язку (14) пари коренів характеризують падаючі, перевідбиті та проходячі хвилі. З меншою швидкістю розповсюджуються моди, що відповідають хвилям тиску, що поширюються в рідині (моди Юнга). З більшою швидкістю розповсюджуються моди, що відповідають хвилям, біжучим в стінці судини (моди Лемба). В роботі В.Т. Грінченко і Г.Л. Комісарової (2001) було показано, що цей результат випливає також з точної постановки задачі гідропружності для полого циліндра, заповненого рідиною.

Розв'язки системи рівнянь задачі гідропружності, з урахуванням умови обмеженості, тобто при , та співвідношень (14) мають вигляд: для рідини

(15)

для оболонки

(16)

Для визначення коефіцієнтів А₁ (), А₂ (), А₃ () і А₄ () необхідно до умови в перерізі для тиску, що моделює пульсовий тиск крові у великих артеріях, додати умови на торці оболонки.

Перехід від лапласових зображень до оригіналів проводився на основі чисельного обернення на основі ряду Фур'є за синусами (Г. Дёч, стр.178).

Розглядались різні граничні умови на торці оболонки і їхній вплив на поширення хвиль в гідропружній системі.

Одержано розв'язки для шарнірного обпирання оболонки в перерізі

(17)

У цьому випадку дорівнює нулеві нормальне переміщення, поздовжня напруга і згинаючий момент. Для цих граничних умов розглядалось розповсюдження імпульсу тиску Р та радіального переміщення u_r у різних поперечних перерізах оболонки (Рис.1). Крива 1 відповідає перерізу . Далі розраховувались величини тиску і переміщення в перерізах - крива 2, - крива 3, - крива 4, - крива 5.

Також побудовано розв'язки для випадку защемленої оболонки, згідно з граничними умовами:

(18)

Фізично ці умови означають, що в оболонці в перерізі поздовжнє переміщення відсутнє, а кут повороту і поперечна сила дорівнюють нулеві. Для граничних умов (18) розглядалось розповсюдження імпульсу тиску Р та радіального переміщення u_r у тих самих поперечних перерізах оболонки, що і раніше (Рис.2).

На основі аналізу, проведеного для шарнірного обпирання краю та защемлення оболонки, можна зробити висновок про те, що поширення гідропружних хвиль від защемленого краю значніше впливає на швидкість зростання амплітуди проти умов шарнірного обпирання краю.

Порівняльний аналіз одержаних якісних і кількісних характеристик системи оболонка-рідина з результатами задач біомеханіки, саме з дослідженнями поширення пульсових хвиль у кровоносних судинах, показав, що розв'язки задачі для напівнескінченої оболонки з шарнірно обпертим краєм більш точно відповідають задачам біомеханіки, тобто ці крайові умови добре моделюють випадок аорт, які відходять від серця.

У третьому розділі розв'язувалась задача поширення хвиль у в'язкопружній циліндричній оболонці, що заповнена в'язкою рідиною і має геометричні неоднорідності. Здобуто точний розв'язок в рамках поставленої задачі. Метод розв'язання полягає в одержанні значень параметрів рідини й оболонки в просторі зображень. Перехід до оригіналів реалізується методом чисельного обернення перетворення Лапласа. Проведено аналіз результатів для різних форм неоднорідностей.

У першому підрозділі досліджується вплив на поширення хвиль стику в перерізі . Задача розглядається у двох областях оболонки з постійними радіусами та товщинами (k=1,2) , . Розв'язки для рідини та оболонки знаходяться тут в кожної області Щ₁ і Щ₂ окремо. Ці розв'язки задовольняють граничним умовам.

, ,

,

;

; ;

, (19)

де , .

Досліджувалось поширення імпульсу при звуженні оболонки та розширенні оболонки в перерізі причому . При цьому виявлено, що при проходженні імпульсом тиску через місце звуження, максимальне значення тиску різко спадає.

Зроблено детальний кількісний та якісний аналіз впливу різних геометричних параметрів оболонки на згинаючий момент.

(20)

та перерізуючу силу

(21)

які виникають в стику оболонки.

На рис.3 показані значення зникаючих моментів М та перерізуючих сил Q в стику оболонки . Індекс відповідає значенню в цьому перерізі відповідно до гладкої оболонки (). Індекси 2, 3, 4, 5 відповідають моменту та силі при зменшенні радіуса оболонки після стику послідовно на 0,5 %. Аналіз одержаних результатів показує, що в околі стику двох оболонок різних товщин має місце сильна концентрація напружень зсувних та згинаючих напружень. Причому, якщо оболонка переходить в більш тонку (), то знак цих величин змінюється на протилежний відносно оболонки, яка переходить після стику в більш товсту оболонку ().

В другому підрозділі досліджується вплив пружної вставки кінцевої довжини в пружній оболонці, заповненій рідиною, на поширення імпульсу тиску, що ініціюється на деякій відстані від вставки. Розв'язки задачі будуються в трьох областях:

.

Відповідна початкова-крайова задача формулюється для заданого імпульсу тиску, прикладеного в поперечному перерізі х=0. Одержані в областях Щ₁, Щ₂, Щ₃ розв'язки задовольняють граничним умовам: на торці

, , ,в перерізі

,,

,,

,

,

,

в перерізі

,,

,,

,

,

,

. (22)

Дослідження впливу вставки скінченої довжини в пружній оболонці, заповненій рідиною, проводить до висновку про те, що у вставці, тоншій за основну оболонку , радіальне зміщення більше, ніж в основній оболонці при проходженні імпульсу. При цьому більш товста вставка деформується менше, ніж основна оболонка. В місцях стику вставки з основною оболонкою динамічні характеристики змінюються аналогічно як у випадку, описаному вище. Також шляхом зміни геометричних характеристик вставки, шляхом підбору співвідношень радіусів між основною оболонкою і вставкою, а також підбору різних довжин вставки при фіксованому відношенні радіусів, можна практично виключити взаємний вплив стиків один на другий. Ці результати можна рекомендувати в медичній хірургії при заміні частки кровоносної судини донорською (стент).

У розділі 4 досліджується розповсюдження несталої хвилі від торця в напівнескінченій оболонці при наявності в оболонці на деякій відстані закупорки, а також вплив ефектів в'язкості рідини та оболонки.

В першому підрозділі формулюється відповідна початково-крайова задача для заданого імпульсу тиску, прикладеного в при наявності в оболонці на відстані закупорки. Розвя'зки задачі необхідно визначити в кожній області Щ_{1 -} і Щ_{2 -} окремо. При чому одержані розвя'зки повинні задовольняти граничним умовам:

на торці

, , ,в перерізі

,,

, ,

,

(23)

Якщо порівняти результати розповсюдження тиску і радіального переміщення у відповідних перерізах при відсутності закупорки і при її наявності, то бачимо, що для невеликих віддалень від початку оболонки вплив закупорки несуттєвий. Якщо розглянути значення цих же параметрів поблизу закупорки, то наявність закупорки має суттєвий вплив на значення імпульсу і переміщення. Порівняльний аналіз розповсюдження імпульсу тиску і радіального переміщення з експериментальними даними задач біомеханіки (А.С. Вольмір, 1976; Т. Педли, 1983; Физиология кровообращения, 1986) дає якісну відповідність з даними спостережень. Результати, одержані в цьому підрозділі узгоджуються з дослідженнями аналогічних змін в деяких зонах судинної системи, які призводять до особливо важких захворювань, що викликаються явищами, які можна пояснити з точки зору гідропружності. Відмітимо, що у трубопроводах силових гідроприводів спостерігаються аналогічні процеси, які заключаються у осадненні солей на стінах, частково в містах розгалуження системи трубопроводів.

В другому підрозділі розглянуто вплив ефектів в'язкості рідини та оболонки на значення тиску і переміщення поверхні оболонки.

Досліджувався вплив числа Рейнольдса на зміну тиску і радіального переміщення в залежності від часу для значень Re=180, Re=230, Re=280.

Як перший приклад досліджувалося значення тиску і радіального переміщення при постійних значеннях радіуса і швидкості, тобто зміна числа Рейнольдса залежала від зміни в'язкості рідини - тиск також зменшувався, а для прогинів оболонки радіальні переміщення збільшувались.

У другому прикладі розглядались значення тиску і радіального переміщення при постійних значеннях радіуса і в'язкості рідини, тобто зміни числа Рейнольдса в залежності від зміни швидкості. З одержаних результатів бачимо, що більшій швидкості відповідає менше значення тиску і менше значення прогину оболонки.

Досліджувалось питання впливу на тиск і радіальне переміщення деяких параметрів матеріалу оболонки при наявності в'язкості оболонки. З одержаних залежностей випливає, що розгляд різних моделей оболонки (в'язкопружної чи пружної) вказує на те, що на початкових етапах () розходження для тиску і радіального переміщення практично немає (Рис.4а), а при значному віддалені () від початку прикладення імпульсу ці розходження моделей починають з'являтися (Рис.4б).

У третьому підрозділі проводиться дослідження поширення імпульсу тиску в залежності від в'язкості матеріалу оболонки при різних умовах закріплення торців оболонки.

Результат досліджень розподілу тиску у фіксованому перетину оболонки для різних умов закріплення торців оболонки при послідовному збільшенні коефіцієнта в'язкості матеріалу стінки оболонки вказує на спільність характеру зміни тиску, тобто тиск падає при збільшенні в'язкості матеріалу стінки оболонки.

У висновках коротко сформульовано результати дисертаційної роботи.

Основні результати і висновки

Дисертаційна робота присвячена дослідженню гідропружних хвиль в в'язкопружній оболонці, заповненою в'язкою рідиною, та впливу різних граничних умов на торці оболонки та локальних неоднорідностей.

Основні результати роботи такі:

1. В рамках прийнятих припущень дана постановка задачі гідропружності. Рух оболонки описується рівняннями теорії оболонок Кірхгофа-Лява з урахуванням в'язкопружних властивостей відповідно до моделі Кельвіна. Рух стискуваної рідини описується рівняннями, опосередкованими по поперечному перерізу, причому рідина в момент стискування підпорядковується закону Гука. При взаємодії оболонки з рідиною відповідно до закону в'язкого тертя Ньютона застосовувалась гіпотеза квазістаціонарності, що призводить до спрощених рівнянь.

2. За допомогою перетворення Лапласа в рамках прийнятих припущень одержано аналітичні розв'язки в області зображень. Чисельне обернення перетворень Лапласа проводилось на основі рядів Фур'є, які розкладені по синусах.

3. На основі одержаних аналітичних розв'язків поставлених задач та їхньої чисельної реалізації на ПК визначено вплив параметрів неоднорідностей та параметрів рідини і оболонки на поширення хвиль в системі оболонка - рідина.

Аналіз одержаних в роботі результатів дозволив зробити такі висновки:

1. Наведена методика розв'язання гідропружної задачі при різних граничних умовах на торці оболонки. Порівняльний аналіз результатів досліджень нестаціонарних хвиль у напівнескінченій оболонці з рідиною при різних граничних умовах на торці показує, що різні крайові умови на торці оболонки суттєво впливають на якісні і кількісні характеристики системи оболонка - рідина. Зокрема задача для напівнескінченої оболонки з вільно опертим краєм більш точно, якісніше відповідає задачам біомеханіки, тобто ці крайові умови добре моделюють випадки аорти, яка відходить від серця.

2. Проведений аналіз залежності гідропружних хвиль від фізичних параметрів задачі виявив, що при збільшенні числа Рейнольдса прогин оболонки також збільшується, тобто в'язкість рідини при цьому зменшується. Якщо швидкість в оболонці збільшується, то прогин оболонки зменшується, тобто зі збільшенням швидкості зменшується тиск на оболонку. Розгляд різних моделей оболонки (в'язкопружної та пружної) вказує на те, що на початкових етапах розходження практично немає, а тільки на значному віддаленні від прикладання імпульсу ці розходження моделей починають проявлятися.

3. При розв'язанні нової задачі поширення імпульсу тиску в оболонці зі стиком, яка узагальнює попередню модель для гладкої оболонки, виведено рівняння восьмого порядку в диференційному вигляді, в якому наявні члени, що відповідають як за наявність неоднорідностей, так і за вплив в'язкого середовища. Можна зробити висновок про те, що наявність в'язкості в оболонці і рідині і урахування неоднорідностей значно ускладнює розв'язання задачі. Проведений аналіз показує, що в місцях стику оболонок виникають перерізуючі сили і згинаючі моменти, які практично не проявляються в гладкій оболонці.

4. Детальний математичний та чисельний аналіз задачі про поширення імпульсу тиску в оболонці з пружною вставкою кінцевої довжини дозволяє виявити залежність радіального переміщення від відстані, на яку віддалений другий стик від першого. Також виявлено, що на деякій відстані вплив другого стику на перший практично відсутній. Розглядалися різні форми стику оболонок. Показано, що ці результати спроможні моделювати процеси заміни частини кровоносних судин донорськими з рекомендаціями їхніх геометричних та механічних характеристик.

5. Аналіз розв'язків задачі поширення хвиль в оболонці з рідиною при наявності закупорки оболонки на деякій відстані від прикладеного початкового імпульсу показав, що, порівнюючи результати поширення тиску й радіального переміщення у відповідних перерізах при відсутності закупорки й при її наявності, видно, що для найбільшого віддалення від початку оболонки вплив закупорки незначний. Якщо ж розглядати значення цих же параметрів близько від закупорки, то наявність закупорки має значний вплив на величину імпульсу й переміщення. На основі даного аналізу можна зробити висновок про те, що імпульс тиску в рідині після закупорки практично дорівнює нулеві. Проте переміщення оболонки після зрізу, в якому зафіксована закупорка, продовжується. Якщо порівняти ці результати з рішеннями задачі для напівнескінченої однорідної оболонки, то розглянута тут задача суттєво ускладнюється через наявність закупорки, але ж одержані результати виразно моделюють ситуацію у кровоносних судинах з тромбом.

6. З результату аналізу розповсюдження тиску у фіксованому перетині оболонки для різних умов закріплення торців оболонки при послідовному збільшенні коефіцієнту в'язкості матеріалу стінки оболонки випливає загальна закономірність розподілу тиску, тобто тиск падає зі збільшенням в'язкості матеріалу стінки оболонки.

Одержані результати можна застосовувати для подальших узагальнень та створення теоретичної бази для експериментів, причому цікавими є випадки в'язкої рідини та оболонки з різними неоднорідностями. Достовірність результатів забезпечується використанням адекватних моделей, коректністю постановок задач та відповідністю деяких граничних випадків з відомими результатами.

Публікації

1. Мирончук М.В., Звонарева О.В., Щепец Н.Н. Распространение поверхностных волн в жидкости и в упругой оболочке, заполненной жидкостью // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - К.: Ин-т математики НАНУ. - 1998. - С.156-158.

2. Селезов И.Т., Звонарева О.В. Распространение импульса в упругой цилиндрической оболочке, заполненной вязкой жидкостью // Динамические системы. - Вып.14 - 1998, - С.156-158.

3. Selezov I. T., Zvonareva O. V. Modelling of transient hydroelastic waves in a fluid - filled cylindrical shell // Доповіді HAH України. - 1999 - №7. - С.66-71.

4. Селезов И.Т., Звонарева О.В. Распространение неустановившихся гидроупругих волн в полубесконечной кусочно-постоянной цилиндрической оболочке с жидкостью // Динамические системы. Вып.15. - 1999. - С.67 - 73.

5. Селезов И.Т., Звонарева О.В. Распространение импульса давления в цилиндрической оболочке с жидкостью при различных условиях закрепления // Математичні методи та фіз. - мех. поля, 2003, 46, №2. - С.12-16.

6. Селезов И.Т., Звонарева О.В. Распространение импульса в цилиндрической оболочке с жидкостью при наличии закупорки // Динамические системы, 2004, вып.18. - С.75 - 83.

7. Селезов И.Т., Звонарева О.В. Распространение неустановившихся гидроупругих волн в полубесконечной цилиндрической оболочке со вставкой // Прикладна гідромеханіка. - 2004. Т.6 (78), №2. - С.65-70.

8. Avramenko O. V., Selezov I. T., Zvonareva O. V. Analysis of water waves over a transition // Тезисы докладов украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" - Киев. - 1995. - С.2.

9. Selezov I., Fratamico G., Pallottі G., Pettazzoni P., Zvonareva O. Heart pulse propagation through a blood vessel anastomosis. Proc. of the European Medical & Biological Engineering Conf., EMBEC 99, Part 1, Vienna, Austria, Nov.4-7, 1999, In J. Medical & Biological Engineering & Computing, 1999, 37, Suppl.2, 588-589.

10. Selezov I. T., Zvonareva O. V. Propagation of pressure pulse in hydroelastic system // Theses Int. Conf. "Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation". - Kiev. - 2001. - Р.357.

11. Селезов І., Авраменко О., Звонарьова О. Поширення хвиль у кусково-неоднорідній циліндричній оболонці з рідиною // Зб. "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур", 6 міжнар. Конф., Львів, 26-29 травня 2003. - С.367-369.

12. Селезов І., Звонарьова О. Поширення пульсових хвиль в кровоносних судинах // Зб. "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур", 6 міжнар. Конф., Львів, 26-29 травня 2003. - С.369-371.

Анотація

Звонарьова О.В. Розповсюдження імпульсу тиску в в'язкопружній оболонці з рідиною. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми. - Інститут гідромеханіки Національної академії наук України, Київ, 2005.

Дисертація містить результати теоретичних досліджень задач гідропружності на основі більш складних реологічних моделей, які враховують як в'язкопружність оболонки, так і в'язкість, і стискуваність рідини, такі, як стик оболонок або наявність закупорки. Проведено порівнювальний аналіз результатів поширення нестаціонарних хвиль в напівнескінченій оболонці з рідиною при різних умовах на торці, з якого видно, що різні крайові умови на торці оболонки значно впливають на якісні та кількісні характеристики системи оболонка-рідина. Проведено детальне дослідження впливу фізичних параметрів моделі на поширення нестаціонарних хвиль при заданому імпульсі тиску. Аналітичні і чисельні розв'язки одержані методом інтегральних перетворень. Результати мають теоретичне і практичне значення в біомеханіці, машино - і суднобудуванні та ін.

Ключові слова: гідропружність, біомеханіка, в'язка рідина, в'язкопружна оболонка, геометричні неоднорідності, інтегральні методи, генерація хвиль, закупорка оболонки, крайові умови на торці.

Аннотация

Звонарева О.В. Распространение импульса давления в вязкоупругой оболочке с жидкостью. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы. - Институт гидромеханики Национальной академии наук Украины, Киев, 2005.

Диссертация содержит результаты теоретических исследований задач гидроупругости на основе более сложных реологических моделей, которые учитывают как вязкоупругость оболочки, так и вязкость, и сжимаемость жидкости, а также геометрические неоднородности, такие, как стык оболочек или наличие закупорки. Движение оболочки описывается уравнениями теории оболочек Кирхгофа-Лява с учетом вязкоупругих свойств в соответствии с моделью Кельвина. Движение сжимаемой жидкости описывается уравнениями, усредненными по поперечному сечению, причем жидкость в момент сжатия подчиняется закону Гука. При взаимодействии оболочки с жидкостью в соответствии с законом вязкого трения Ньютона применялась гипотеза квазистационарности, которая приводит к упрощенным уравнениям.

Приведена методика решений гидроупругой задачи при различных условиях на торце оболочки. Сравнительный анализ результатов исследований нестационарных волн в полубесконечной оболочке с жидкостью для различных условий на торце показывает, что краевые условия на торце оболочки существенно влияют на качественные и количественные характеристики системы оболочка - жидкость. В частности решения задачи для полубесконечной оболочки со свободно опертым краем более точно, качественно отвечают задачам биомеханики, то есть эти краевые условия хорошо моделируют случаи аорты, которая отходит от сердца.

Проведенный анализ зависимости гидроупругих волн от физических параметров обнаружил, что при увеличении числа Рейнольдса прогиб оболочки также увеличивается, то есть вязкость жидкости при этом уменьшается. Если скорость жидкости в оболочке увеличивается, то прогиб оболочки уменьшается, то есть с увеличением скорости уменьшается давление на оболочку. Рассмотрение разных моделей оболочки (вязкоупругой и упругой) указывает на то, что на начальных этапах расхождения для давления и прогиба практически нет и только на значительном отдалении от приложения импульса эти расхождения моделей начинают проявляться.

При решении задачи распространения импульса давления в оболочке со стыком, которая обобщает предыдущую модель для гладкой оболочки, выведены уравнения восьмого порядка в дифференциальном виде, в котором имеются члены, которые отвечают как за наличие неоднородностей в оболочке, так и за влияние вязкости жидкости. Можно сделать вывод о том, что наличие вязкости в оболочке и жидкости и учет неоднородностей значительно усложняет решения задачи. Проведенный анализ показывает, что в местах стыка оболочек возникают перерезывающие силы и изгибающие моменты, которые практически не проявляются в гладкой оболочке.

Детальный математический и численный анализ задачи о распространении импульса давления в оболочке с упругой вставкой конечной длины позволяет обнаружить зависимость радиального перемещения от расстояния, на которое удален второй стык от первого. Показано, что эти результаты способны моделировать процессы замены части кровеносных сосудов донорскими с рекомендациями их геометрических и механических характеристик.

Анализ решений задачи распространения волн в оболочке с жидкостью при наличии закупорки оболочки на некотором расстоянии от приложенного начального импульса показал, что, при сравнении результатов распространения давления и радиального перемещения в соответствующих срезах при отсутствии закупорки и при ее наличии, видно, что при небольшом отдалении от начала оболочки влияние закупорки незначительно. Если же рассматривать значение этих же параметров вблизи от закупорки, то наличие закупорки имеет значительное влияние на величину импульса и перемещения. На основе данного анализа можно сделать вывод о том, что импульс давления в жидкости после закупорки практически равняется нулю. Тем не менее перемещение оболочки после сечения, в котором зафиксирована закупорка, продолжается. Если сравнить эти результаты с решениями задачи для полубесконечной однородной оболочки, то рассмотренная здесь задача существенно усложняется из-за наличия закупорки. Полученные результаты достаточно точно моделируют ситуацию в кровеносных сосудах с тромбом.

Анализ распространения давления для различных условий закрепления торцов оболочки показал, что при последовательном увеличении коэффициента вязкости материала стенки оболочки давление падает. Исследования проводились в фиксированном сечении оболочки, причем эта закономерность является общей и не зависит от условий закрепления торцов оболочки. Аналитические и численные решения получены методом интегральных преобразований. Результаты имеют теоретическое и практическое значение в биомеханике, машино - и судостроении и др.

Ключевые слова: гидроупругость, биомеханика, вязкая жидкость, вязкоупругая оболочка, геометрические неоднородности, интегральные преобразования, генерация волн, закупорка оболочки, краевые условия на торце.

Summary

Zvonareva O. V. Pressure pulse propagation in viscoelastic shell with fluid. - Manuscript.

Thesis for a candidates' degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.03.05 - Mechanics of fluid, gas and plasma. - Institute of Hydromechanics. National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2005.

The Thesis contains the results of theoretical investigations on the basis of more complicated rheological models which consider the shell, viscoelasticity fluid viscosity and compressibility, as well as geometric inhomogeneities like shell joint or plugging. The comparative analysis of unsteady wave propagation results in half-infinite shell with fluid under different conditions on the end-wall, from which it is possible to see that different edge conditions on the shell end-wall largely influence qualitative and quantitative fluid-filled shell system characteristics. Detailed analysis of the effect of physical parameters model influence on unsteady wave propagation for given pressure pulse. It has been carried out analytical and numerical solutions were gotten with help of integrated transformation method. The results are of theoretical and practical importance in biomechanics, machine - and shipbuilding and so on.

Key words: hydroelasticity, biomechanics, viscous fluid, viscoelastic shell, geometrical inhomogeneities, integral transformations, wave generation, shell plugging, edge conditions on the end-wall.

Размещено на Allbest.ru