доктор фізико-математичних наук, професор,

Куліш Юрій Веніамінович,

кандидат фізико-математичних наук Добротворська М.В.

суперсиметрія релятивістський калібрувальний симетрія

Актуальність теми. Однією з основних проблем сучасної фізики є створення єдиної теорії всіх чотирьох фундаментальних взаємодій. Важливим кроком на шляху до вирішення цієї проблеми є побудова Стандартної Моделі, яка об'єднує електромагнітні, слабкі та сильні взаємодії із застосуванням апарату локальної квантової теорії поля та є достатньо підтвердженою експериментально. Незважаючи на успіхи Стандартної Моделі, існує низка нерозв'язаних проблем, а саме відсутність теоретичного обгрунтування вибору групи калібрувальної симетрії, наявність значної кількості феноменологічних параметрів, порушення СР інваріантності, труднощі з поясненням спостережуваних ефекту конфайнменту кварків та ієрархії мас. Також існує експериментальна проблема пошуку хігсівських бозонів. З іншого боку, Стандартна Модель потребує подальшого узагальнення для опису процесів взаємодії частинок з квантованим гравітаційним полем. Спроби такого узагальнення стикаються з фундаментальною проблемою побудови перенормовної квантової теорії гравітації, яка базується на уявленні про елементарні частинки як точковоподібні об'єкти. Відтак виникає інтерес до розробки інших варіантів квантової теорії, в яких припущення про точковоподібний характер частинок замінюється більш загальним уявленням про частинки як протяжні об'єкти.

Однією з таких альтернатив квантовій теорії поля, в рамках якої намічається розв'язання проблем розбіжностей і уніфікації всіх відомих фундаментальних взаємодій, є теорія струн, основними складовими якої виступають протяжні релятивістські об'єкти - струни. У теорії струн моди її властивих коливань розглядаються як кванти, що відповідають елементарним частинкам. Привабливою рисою теорії струн у порівнянні зі Стандартною Моделлю є наявність лише одного параметра б' розмірності [довжина]², що вибирається рівним планківській довжині б'^1/2=~см для включення гравітонів у спектр станів квантованої замкненої струни. Інші параметри теорії - безрозмірна константа струнної взаємодії g_str, вимірність простору-часу D, припустимі групи калібрувальної симетрії визначаються із вимоги квантової самоузгодженості теорії.

Об'єднання концепції струн з ідеєю суперсиметрії привело до теорії суперструн, в рамках якої вдається єдиним чином описувати бозони і ферміони, що підтверджує принципову можливість об'єднання всіх фундаментальних взаємодій в рамках теорії суперструн. В результаті розвитку теорії суперструн було побудовано п'ять різних моделей суперструн вільних від аномалій у вимірності простору-часу D=10 (замкнені струни типів ІІА та ІІВ, замкнені та відкриті струни типу І, гетеротичні SO(32) та E₈xE₈ струни). Наявність п'яти моделей разом з нефізичною величиною критичної вимірності простору-часу D=10 поставило проблеми вибору певної з них в якості фундаментальної, а також фізичної інтерпретації “зайвих” 6 вимірностей. Остання проблема розв'язується шляхом узагальнень відомого сценарію компактифікації Калуци-Клейна. Розв'язання проблеми вибору з'явилося в середині 90-х років, коли було показано, що п'ять відомих моделей суперструн можуть бути об'єднані в рамках єдиної так званої М-теорії. Було встановлено, що спектри усіх п'яти моделей суперструн визначаються пертурбативними розкладаннями навколо різних вакуумних станів М-теорії, яка є істотно непертурбативною. Хоча повне формулювання М-теорії залишається невідомим, було знайдено, що низькоенергетичною границею М-теорії є 11-вимірна теорія супергравітації. М-теорія також характеризується S, T та U дуальними симетріями, які дають можливість зв'язати властивості різних моделей суперструн як на пертурбативному, так і на непертурбативному рівнях. Цікавою особливістю М-теорії є те, що поряд зі струнами, в якості її фундаментальних складових з'являються супер р-брани - р-вимірні протяжні релятивістські суперсиметричні об'єкти. р-Брани є непертурбативними об'єктами з натягами (масами) обернено пропорційними струнній константі взаємодії, які допускають інтерпретацію в термінах солітонних розв'язків теорій супергравітації, що зберігають частину просторово-часових суперсиметрій.

У границі нескінченного натягу суперструни стягуються у точковоподібні об'єкти, а матричні елементи, які описують процеси розсіяння струн, переходять у матричні елементи, що відповідають фейманівським діаграмам суперсиметричної теорії Янга-Мілса і теорій супергравітації. Вивчення динамічних властивостей та симетрій суперчастинок - найпростіших точкових суперсиметричних об'єктів - в зовнішніх полях теорій супергравітації та суперсиметричних теорій Янга-Мілса дозволяє визначити геометричні властивості цих теорій та отримати правильні в'язі на компоненти суперпольових напруженостей, виходячи з вимоги збереження к-симетрії дії суперчастинок у зовнішньому полі. к-Симетрія є важливою калібрувальною симетрією моделей суперчастинок, суперструн та супер р-бран, яка встановлює паритет між бозонними та ферміонними ступенями свободи.

Актуальним питанням є дослідження механізмів спонтанного порушення суперсиметрії і пов'язаної з ним проблеми пошуку локальних та глобальних симетрій М-теорії та її вакууму. Через те, що брани разом зі струнами є складовими М-теорії, побудова нових моделей бран і дослідження їх симетрій може надати інформацію щодо узагальненої геометрії простору-часу, яка лежить в основі об'єднання Стандартної Моделі з гравітацією. Прикладом такого узагальнення могло б бути розширення простору-часу додатковими тензорними координатами, асоційованими з генераторами тензорних центральних зарядів в алгебрі суперсиметрії, пов'язаної з р-бранами. Для суперпросторів розмірності D=2,3,4(mod8) ця можливість реалізується переходом від звичайних просторово-часових координат x^m до узагальненого симетричного спін-тензора X^бв=X^вб, компоненти якого адитивно поєднують просторово-часові координати з координатами тензорних центральних зарядів. Симетрії цих розширених просторів описуються ортосимплектичними супергрупами OSp(1|2^p), що пов'язуються з групами симетрій різних теорій супергравітації та з'являються в теорії калібрувальних полів вищих спінів. Цим визначається наш інтерес до вивчення моделей супер р-бран у суперпросторах розширених координатами тензорних центральних зарядів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в ННЦ “Харківський фізико-технічний інститут” в рамках наступних тем: №05/51 “Фазові переходи у нормальних та надтекучих фермі-рідинах та теоретико-групові методи у теорії поля”, програма робіт з Атомної науки і техніки ННЦ ХФТІ на 1993-2000р., №06/51 “Фазові переходи у надтекучих фермі-рідинах, дослідження динаміки струн та бран на основі теоретико-групових методів” та №07/51 “Статистична механіка конденсованих систем і теорія поля”, програма робіт з Атомної науки і техніки ННЦ ХФТІ на 2001-2005р. (номер державної реєстрації 080901UP009 від 08.10.2001р.).

Мета та задачі досліджень. Метою роботи є побудова нових моделей точкових та протяжних суперсиметричних релятивістських об'єктів і дослідження їх просторово-часових та калібрувальних симетрій. Задачі роботи визначаються так:

- побудова к-інваріантної моделі масивної зарядженої суперчастинки з аномальним магнітним моментом та N=2 суперсиметрією, що взаємодіє з полями розширеного супермультиплету Максвела, та дослідження її фізичних властивостей;

- побудова твістороподібних моделей струн та р-бран з частково спонтанно порушеною N=1 суперсиметрією у суперпросторі, розширеному координатами тензорних центральних зарядів, дослідження їх динаміки і розв'язання рівнянь руху;

- дослідження гамільтонової структури та алгебри в'язей твістороподібних моделей струн та р-бран з екзотичною спонтанно непорушеною ѕ фракцією N=1 суперсиметрії у 4-вимірному просторі-часі, розширеному координатами тензорних центральних зарядів.

Методи досліджень. Для вивчення запропонованих в роботі моделей точкових та протяжних релятивістських об'єктів використовується стандартний апарат класичної та квантової теорії поля, теорії суперструн і р-бран, лагранжів та гамільтонів формалізм, математичний апарат та методи теорії груп і диференціальної геометрії. Дії моделей, що розглядаються, конструюються як суперсиметричні функціонали, інваріантні відносно калібрувальних симетрій, яким у гамільтоновому описі відповідають в'язі на змінні фазового простору. Для вивчення гамільтонової структури цих моделей застосовується відомий підхід Дірака до опису динамічних систем з в'язями.

Об'єкт досліджень. Процеси взаємодії квантованих фундаментальних полів та гравітації в рамках М-теорії.

Предмет досліджень. Нові суперсиметричні моделі точкових та протяжних релятивістських об'єктів.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Встановлено, що відновлення -симетрії, яка є калібрувальною симетрією дії D=4 N=2 масивної суперчастинки за відсутності взаємодії, досягається урахуванням аномального магнітного моменту в електромагнітній взаємодії з зовнішнім суперпотенціалом. Показано, що на відміну від моделей спінових частинок з аномальним магнітним моментом, збереження всіх локальних симетрій моделі без взаємодії вимагає нетривіального співвідношення між масою, зарядом та аномальним магнітним моментом суперчастинки.

2. Побудовано нові твістороподібні моделі протяжних об'єктів з частково спонтанно порушеною N=1 суперсиметрією у суперпросторі, що включає координати тензорних центральних зарядів. Встановлено, що у 4-вимірному просторі-часі зазначені моделі можуть описувати стани зі спонтанно непорушеними ј, Ѕ та ѕ фракціями N=1 суперсиметрії. Показано, що моделі р-бран з нульовим натягом описують стани з екзотичною спонтанно непорушеною ѕ фракцією N=1 суперсиметрії і, таким чином, було знайдено нову р-бранну реалізацію БПС стану з екзотичною суперсиметрію, раніше передбаченого на підставі модельно-незалежного аналізу розширеної D=4 N=1 супералгебри.

3. Досліджено гамільтонову структуру р-бран з екзотичною суперсиметрією, проведено коваріантний та незвідний розподіл в'язей за родами. Встановлено некомутативність узагальнених координат супер р-бран в алгебрі дужок Дірака.

Практичне значення отриманих результатів. Одержані результати мають фундаментальний характер, важливі для глибшого розуміння динамічних та симетрійних властивостей точкових і протяжних суперсиметричних релятивістських об'єктів, які входять до складу М-теорії, і можуть бути застосовані для пошуку просторово-часових многовидів, які лежать в основі об'єднання всіх фундаментальних взаємодій в рамках М-теорії.

Особистий внесок здобувача визначається наступними положеннями:

- у роботі [1], здобувачем було знайдено дію масивної зарядженої суперчастинки з аномальним магнітним моментом, яка включає немінімальні члени взаємодій;

- у роботі [2] досліджено гамільтонову структуру і отримано закони перетворень к-симетрії дії масивної D=4 N=2 cуперчастинки з аномальним магнітним моментом;

- у роботі [3] здобувач запропонував дію нуль суперструни у D=4 N=1 суперпросторі з координатами тензорних центральних зарядів інваріантну відносно 3-параметричних перетворень к-симетрії;

- у роботі [4] було запропоновано супертвісторне формулювання дії супер р-бран з нульовим натягом та екзотичною ѕ суперсиметрією;

- у роботі [5] здобувачем були отримані вирази для генераторів к-симетрії та бозонних симетрій;

- робота [6] виконана здобувачем особисто;

- у роботах [7], [8] здобувач побудував функцію Гамільтона супер р-брани з екзотичною ѕ суперсиметрією, щільності генераторів OSp(1|8) супергрупи глобальної симетрії та дослідив їх алгебру на дужках Дірака;

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи було представлено на семінарах в Інституті теоретичної фізики ННЦ ХФТІ, а також на Міжнародних нарадах “Supersymmetries and Quantum Symmetries” (Дубна, липень 1999р. та 2003р.), “4^th Nordic LHC Physics Workshop” (Стокгольм, листопад 2001р.), 5ій Міжнародній конференції “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, червень 2003р.), в рамках Міжнародної програми “Noncommutative Geometry” (2003-2004) в інституті Міттаг-Лефлера (Стокгольм, листопад 2003р.).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 7 робіт [1]-[7] у провідних фахових виданнях та 1 роботу [8] - у збірнику праць міжнародної конференції.

Структура і об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів основної частини, висновків та списку використаної літератури, що містить 166 посилань. Повний обсяг дисертації 158 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У Вступі наведено короткий аналіз сучасного стану обраної для досліджень проблеми, обгрунтовується її актуальність, формулюються мета та задачі досліджень, визначаються наукова новизна та значення отриманих результатів.

Розділ 1 містить огляд літератури за тематикою дисертації.

Розділ 2 присвячено дослідженню локальних симетрій моделі масивної D=4 N=2 суперчастинки та її взаємодії з абелевим калібрувальним суперполем як в оригінальному, так і у твістороподібному лоренц-гармонічному формулюванні.

Функціонал дії масивної суперчастинки з розширеною N>1 просторово-часовою суперсиметрією інваріантний відносно перетворень к-симетрії було запропоновано Х. де Азкарагою та Є. Лукірським як узагальнення моделі безмасової суперчастинки Брінка-Шварца. Цікавою особливістю моделі де Азкараги-Лукірського є те, що к-інваріантність дії вимагає додавання члену Веса-Зуміно притаманного моделям суперструн та супер р-бран. У випадку суперчастинки цей член має просту структуру: він є квадратичним відносно грасманових координат суперпростору та наближається до нуля у границі m>0. У розділі детально аналізується модель D=4 N=2 суперчастинки.

У підрозділі 2.1. досліджено гамільтонову структуру та в'язі D=4 N=2 масивної суперчастинки за відсутності взаємодії. На відміну від безмасової суперчастинки Брінка-Шварца модель, що розглядається, допускає лоренц-коваріантний поділ ферміонних в'язей за родами в оригінальному формулюванні. Для цього було використано два проекційні оператори, однак одержані набори ферміонних в'язей першого та другого роду виявляються нескінченно-звідними.

Вивченню мінімальної взаємодії масивної суперчастинки з абелевим калібрувальним суперполем присвячено підрозділ 2.2. Спираючись на метод Дірака дослідження систем з в'язями, наведено аналіз системи лінійних рівнянь, що випливає з умов збереження первинних та вторинних в'язей моделі. Показано несумісність к-симетрії, яка генерується ферміонними в'язями першого роду, з нетривіальною мінімальною взаємодією. Такий результат свідчить про необхідність введення до дії D=4 N=2 масивної зарядженої суперчастинки немінімальних членів взаємодії для відновлення к-інваріантності, як було зазначено в роботах Л. Лузани та Б. Мілевського. Дослідження немінімальної взаємодії, що обумовлена аномальним магнітним моментом суперчастинки, є предметом підрозділу 2.3. Як відомо, у випадку спінових частинок немінімальні члени взаємодії з електромагнітним полем асоціюються з їх аномальним магнітним моментом, відтак, з огляду на класичну еквівалентність спінових частинок та суперчастинок, було зроблено припущення про те, що немінімальні члени взаємодії суперчастинки також обумовлені її аномальним магнітним моментом. У підрозділі 2.3. побудовано дію D=4 N=2 масивної зарядженої суперчастинки з аномальним магнітним моментом, яка має такий вид

(1)

де m, e та м - відповідно маса, електричний заряд та аномальний магнітний момент суперчастинки;

m*=mF^1/2 є ефективною масою, що мультиплікативно кодує ефект немінімальної взаємодії суперчастинки;

величина залежить від спінор-спінорних компонент D=4 N=2 суперпольової напруженості та ;

x^m, i позначають координати D=4 N=2 суперпростору;

є проекцією на світову лінію суперчастинки диференціальної форми Картана, яка є суперсиметричним узагальненням релятивістської швидкості ;

, є інваріантними похідними грасманових координат за параметром власного часу світової лінії частинки.

Останній член у дії (1), який є проекцією на траєкторію суперчастинки калібрувальної 1-суперформи, описує мінімальну взаємодію суперчастинки. Ми обмежились дослідженням взаємодії суперчастинки з абелевим калібрувальним суперполем. Розгляд взаємодії з неабелевим зовнішнім суперпотенціалом вимагає введення додаткових грасманових або переставних змінних, що ускладнює структуру дії.

Проведено аналіз системи рівнянь, яка визначає умови збереження первинних та вторинних в'язей, що відповідають дії (1). Показано, що за присутності немінімальної взаємодії дія є к-інваріантною лише у тому випадку, коли на компоненти N=2 суперпольової напруженості накладено в'язі Веса-Зуміно, за допомогою яких усуваються нефізичні компонентні поля та виділяються поля N=2 супермультиплету Максвела, а також маса m, заряд e та аномальний магнітний момент м суперчастинки зв'язані між собою співвідношенням м=e/2m. Таким чином, встановлено досі невідоме співвідношення між -симетрією та електромагнітною взаємодією суперчастинок через їх аномальний магнітний момент. Показано, що урахування аномального магнітного моменту відновлює порушення к-симетрії і точна -інваріантність дії однозначно фіксує величину аномального магнітного моменту, який на відміну від відомого результату квантової електродинаміки не є малою величиною пропорційною сталій тонкої структури. Це засвідчує, що -симетрія має бути порушеною і її порушення може бути враховано додатковими ефективними членами у лагранжіані взаємодії, що описують спінові ефекти.

В останньому підрозділі розділу 2 міститься дослідження лоренц-гармонічного твістороподібного формулювання дії D=4 N=2 масивної зарядженої суперчастинки. У пункті 2.4.1. розглядається лагранжіва динаміка, яка визначається новим лоренц-гармонічним формулюванням дії масивної D=4 N=2 суперчастинки

(2)

де - допоміжна змінна, що має геометричний смисл компоненти локальної тетради дотичної до світової лінії частинки.

У пункті 2.4.1. наведено рівняння руху суперчастинки, що випливають з дії (2), та з використанням другої теореми Нетер показано, що к-інваріантність дії за присутності взаємодії вимагає, як і в оригінальному формулюванні, накладення в'язей Веса-Зуміно на компоненти суперпольової напруженості та наведеного вище співвідношення між масою, зарядом та аномальним магнітним моментом суперчастинки. Гамільтонів опис динаміки суперчастинки аналізується у пункті 2.4.2., де представлено лоренц-коваріантні та незвідні набори в'язей першого та другого роду і обчислено їх комутаційні співвідношення на дужках Пуасона. Введення допоміжних лоренц-гармонічних змінних робить можливим виділення у незвідний спосіб усіх в'язей першого роду, в тому числі генераторів перетворень к-симетрії, з первинних в'язей. У пункті 2.4.3. проведено дослідження інтегровності 2-суперформи напруженості D=4 N=2 суперсиметричної калібрувальної теорії на траєкторіях як масивної cуперчастинки, так і безмасової суперчастинки. Дана проблема викликає інтерес через те, що інтегровність суперпольової напруженості мінімальної суперсиметричної теорії Янга-Мілса вздовж траєкторії безмасової N=1 суперчастинки у вимірностях суперпростору D=3,4,6,10 тісно пов'язана з к-інваріантністю дії суперчастинки за присутності мінімальної взаємодії та лежить в основі твісторного перетворення N=1 суперсиметричної теорії Янга-Мілса, як було встановлено Е. Вітеном. Однак, як виходить з нашого розгляду, у випадку N=2 розширеної суперсиметрії вимога к-інваріантності дії суперчастинки за присутності взаємодії з зовнішнім суперпотенціалом є несумісною з інтегровністю 2-суперформи напруженості N=2 суперкалібрувальної теорії як у випадку масивної, так і безмасової суперчастинок.

У розділі 3 запропоновані і досліджені нові моделі суперструн та супер р-бран з нульовим натягом у суперпросторі, розширеному координатами, що відповідають генераторам тензорних центральних зарядів Z_mn в алгебрі D=4 N=1 суперсиметрії. Такі координати можна адитивно поєднати з просторово-часовими координатами у симетричний спін-тензор Y_ab, де a,b=1,..,4 D=4 майоранівські спінорні індекси. Раніше К. Фронсдалом було запропоновано використовувати такі простори для формулювання теорії полів вищих спінів. Згодом у 80-90-ті роки було доведено, що тензорні центральні заряди в алгебрах суперсиметрії відповідають р-бранам. Зокрема, D=11 N=1 супералгебра припускає розширення 2-формою Z_mn та 5-формою Z_mnpqr тензорних центральних зарядів. Така супералгебра, як вважається, лежить в основі М-теорії, фундаментальними складовими якої є М2- та М5-брани. D=4 є найменшою вимірністю простору-часу, де існує можливість розширення N=1 супералгебри тензорними центральними зарядами. Генератори такої розширеної D=4 N=1 супералгебри входять до складу супералгебри OSp(1|8) ортосимплектичної супергрупи, яка, як відомо, є групою симетрії безмасових полів усіх спіральностей у D=4 N=1 суперпросторі з координатами тензорних центральних зарядів.

Підрозділ 3.1. містить формулювання законів перетворення координат розширеного суперпростору відносно суперсиметрії та -симетрії. Досліджено трансформаційні властивості суперсиметричних диференціальних форм Картана при перетвореннях -симетрії. Підрозділ 3.2. присвячено вивченню умов інваріантності відносно -симетрії матричних елементів спін-тензорних форм Картана W_ab, що визначаються їх згортаннями зі спінорними змінними. Встановлено, що максимальне відновлення спонтанно порушеної суперсиметрії має місце для діагональних матричних елементів W_u=UAWAU, де U^a - майоранівський біспінор, А_ab може бути матрицею зарядового спряження С_ab, або г⁵_ab матрицею. У підрозділі 3.3. встановлено взаємозв'язок додаткової к-симетрії та глобальної R-cиметрії, що є складовою SL(2,C) локальної групи симетрії нормованої діади Н'юмена-Пенроуза.

Підрозділи 3.4. і 3.5. містять дослідження моделей суперструни та супер р-бран з нульовим натягом, які зберігають від спонтанного порушення 3 з 4-х компонент глобальної суперсиметрії D=4 N=1 суперпростору, розширеного координатами тензорних центральних зарядів. Ці моделі узагальнюють модель безмасової суперчастинки Рудичева-Сезгіна-Бандоса-Лукірського з екзотичною спонтанно непорушеною (М-1)/М фракцією суперсиметрії на випадок протяжних об'єктів. Дія суперструни та супер р-бран визначається таким виразом

 (3)

де о^м=(ф,у^М), М=1,...,р - координати світового об'єму р-брани;

с^м=(ф,у^М) - допоміжна векторна щільність на світовому об'ємі, яка забезпечує репараметризаційну та вейлівську інваріантність дії;

U^a(ф,у^М) - допоміжне майоранівське спінорне поле;

- проекція на світовий об'єм р-брани суперсиметричної форми Картана ;

- спін-тензор, що адитивно поєднує просторово-часові координати та координати тензорних центральних зарядів , .

Дія (3) є інваріантною відносно перетворень N=1 спонтанно порушеної просторово-часової суперсиметрії

(4)

з грасмановим параметром _a та трипараметричних перетворень к-симетрії

, (5)

де на біспінорний параметр перетворень к_а накладено єдине дійсне обмеження U^aк_a=0.

Отримано рівняння руху Ейлера-Лагранжа моделі (3) та вивчено їх розв'язки. У зафіксованому калібруванні к-симетрії (лоренц-коваріантному у просторово-часовому розумінні), репараметризаційної симетрії та зсувів просторових компонент с^M M=1,..,p векторної щільності світового об'єму розв'язок для єдиної калібрувально-інваріантної грасманової змінної з - голдстоунівського ферміону - є статичним з(ф,у^М)=з₀(у^М). Розв'язок для симетричного спін-тензора Y_ab(ф,у^M) є сумою статичного члену та членів, котрі описують рух вздовж подовжних до світового об'єму напрямків, що фіксуються непорушеними суперсиметріями.

Встановлено, що як і у випадку безмасової суперчастинки, дії запропонованих моделей суперструни та супер р-бран допускають зображення в термінах ортосимплектичного OSp(1|8) супертвістора Y^Л. Перехід до супертвісторного зображення здійснюється за допомогою узагальненого на випадок суперпростору з координатами тензорних центральних зарядів перетворення змінних Пенроуза

. (6)

Функціонал дії (3) у супертвісторному зображенні має вид

(7)

де - OSp(1|8) інваріантна ортосимплектична метрика.

Зазначимо, що варіація компонент супертвістора при перетвореннях N=1 суперсиметрії (4), які входять до OSp(1|8) cупергрупи глобальної симетрії моделей р-бран, дається виразами

. (8)

Аналізу супертвісторного формулювання присвячено підрозділ 3.6., де наведено рівняння руху у даному формулюванні та встановлено, що розв'язок для компонент супертвістора є статичним Y^Л(ф,у^М)=Y₀^Л(у^M).

Розгляд гамільтонової структури та симетрій супер р-бран з екзотичною ѕ фракцією суперсиметрії наведено у розділі 4. Через те, що лагранжіан супер р-бран є лінійним відносно похідних за змінними світового об'єму, моделі характеризуються первинними в'язями, які випливають з визначення щільностей імпульсних змінних. Первинні в'язі є сумішшю в'язей першого та другого роду, що висуває проблему поділу їх за родами. У твістороподібних формулюваннях моделей точкових та протяжних об'єктів дана проблема природно розв'язується за допомогою згорток первинних в'язей з лоренц-гармонічними змінними, які у випадку 4-вимірного простору-часу співпадають з компонентами діади Н'юмена-Пенроуза.

У підрозділі 4.1. було отримано вирази для первинних та вторинних в'язей моделі і проведено виділення коваріантних та незвідних в'язей першого роду. Зокрема, було встановлено, що з визначення імпульсних змінних та спряжених грасмановим координатам та , відповідно, випливають 4 ферміонні в'язі

. (9)

Дужки Пуасона в'язей Ш^б та замикаються генераторами просторово-часових трансляцій , що входять до складу D=4 N=1 алгебри суперсиметрії, тоді як дужки Пуасона замикаються генераторами трансляцій координат тензорних центральних зарядів, що входять до складу розширеної D=4 N=1 алгебри суперсиметрії. Структуру співвідношень на дужках Пуасона первинних ферміонних в'язей відображає така матриця

. (10)

Ранг матриці дорівнює одиниці через присутність бозонних в'язей

, (11)

які випливають з визначень імпульсів і , спряжених просторово-часовим координатам і координатам тензорних центральних зарядів відповідно. Переставне вейлівське спінорне поле , що входить до в'язей (11), є допоміжним і може бути ототожнене з компонентою рухомої діади Н'юмена-Пенроуза, прикріпленої до світового об'єму р-брани. З виразів (9)-(11) випливає, що з чотирьох ферміонних в'язей три () відносяться до першого роду та є генераторами перетворень к-симетрії на дужках Пуасона. Доведено, що серед 10 бозонних в'язей (11) 6 в'язей () відносяться до першого роду та генерують зсуви просторово-часових координат та координат тензорних центральних зарядів вздовж напрямків, які визначаються білінійними комбінаціями компонент діади. Такі перетворення є узагальненням зсувів просторово-часових координат вздовж світлоподібних напрямків, що розглядалися Р. Пенроузом. Решта в'язей першого роду відповідають наступним калібрувальним перетвореням: 2 в'язі - зсувам компонент діади, р в'язей 0 - зсувам просторових компонент с^М векторної щільності світового об'єму, вейлівській генератор 0 - одночасній дилатації компоненти діади u^б та векторної щільності світового об'єму с^м, що входять до дії (3). До вторинних в'язей першого роду належать генератори просторових репараметризацій світового об'єму р-бран L_M 0. Була визначена щільність повної функції Гамільтона моделі як лінійна комбінація в'язей першого роду з довільними множниками Лагранжа

 (12)

Підрозділ 4.2. присвячено дослідженню трансформаційних властивостей компонент OSp(1|8) супертвістора Y^Л при калібрувальних перетвореннях, які генеруються в'язями першого роду, визначеними у попередньому підрозділі. Встановлено, що компоненти супертвістора інваріантні відносно перетворень к-симетрії, зсувів просторово-часових координат та координат тензорних центральних зарядів і нетривіальним чином перетворюються при просторових репараметризаціях світового об'єму та вейлівській дилатації. Зазначимо, що інваріантність компонент супертвістора при перетвореннях к-симетрії була вперше встановлена Т. Ширафуджі на прикладі твісторного формулювання безмасової суперчастинки Брінка-Шварца. Перехід до супертвісторного формулювання дозволяє усунути суто калібрувальні ступені свободи, пов'язані з к-симетрією та бозонними симетріями, наявні у просторово-часовому формулюванні, без закріплення калібрування. Таким чином, нами було показано, що зазначені вище властивості супертвісторного формулювання мають місце і для моделей протяжних об'єктів у суперпросторі, розширеному координатами тензорних центральних зарядів.

У підрозділі 4.3. досліджено гамільтонову симплектичну структуру та зконструйовано дужки Дірака для запропонованої моделі супер р-бран з екзотичною ѕ фракцією суперсиметрії. Вибором базису у просторі в'язів другого роду матрицю Дірака було приведено до канонічної симплектичної форми. Матрицю Дірака у даному зображенні параметризовано часовою компонентою с^ф векторної щільності світового об'єму с^м(ф,у^М). Відмінна від нуля величина с^ф є мірою порушення просторово-часових суперсиметрій. Знайдену матрицю Дірака було використано для побудови дужок Дірака, які замінюються (анти)комутаторами при квантуванні моделей з в'язями другого роду.

Результати підрозділу 4.3. було застосовано у наступному підрозділі для обчислення переставних співвідношень на дужках Дірака просторово-часових координат, координат тензорних центральних зарядів і допоміжних змінних супер р-бран. Було встановлено, зокрема, некомутативність грасманових змінних між собою

v_бv_в , (13)

де с^ф - часова компонента векторної щільності с^м світового об'єму р-брани;

v_б(ф,у^М) - допоміжне вейлівське спінорне поле на світовому об'ємі р-брани, що разом з полем u_б(ф,у^М) формують локальну нормовану діаду Н'юмена-Пенроуза, прикріплену до світового об'єму р-брани,

та з просторово-часовими координатами і координатами тензорних центральних зарядів

(14)

де - голдстоунівський ферміон (6).

Відзначимо лоренц-коваріантний характер переставних співвідношень (14). Ефект некомутативності суперпросторових координат у моделях суперчастинок було вперше описано в роботах Р. Касалбуоні, Л. Брінка та Дж. Шварца і останнім часом інтенсивно досліджується у суперсиметричних теоріях Янга-Мілса у некомутативних суперпросторах.

Реалізацію на дужках Дірака OSp(1|8) супералгебри глобальної симетрії супер р-бран розглянуто у підрозділі 4.5. Показано, що реалізації на дужках Пуасона і Дірака співпадають на поверхні в'язей першого роду. Також встановлено, що при переході від реалізації на дужках Дірака до квантової OSp(1|8) супералгебри не виникає аномальних членів.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розв'язано задачі побудови нових моделей точкових та протяжних релятивістських об'єктів з частковим спонтанним порушенням просторово-часових суперсиметрій і дослідження їх глобальних та калібрувальних симетрій. Висновки можна сформулювати таким чином:

1. Досліджено природу порушення к-симетрії у D=4 N=2 суперсиметричному мінімальному лагранжіані взаємодії масивної суперчастинки з зовнішнім електромагнітним суперполем. Показано, що врахування внеску аномального магнітного моменту суперчастинки компенсує це порушення і відновлення к-симетрії фіксує величину аномального магнітного моменту.

2. Побудовано незвідну реалізацію усіх калібрувальних симетрій дії D=4 N=2 масивної суперчастинки, як у випадку вільного лагранжіану, так і за присутності немінімальної взаємодії з зовнішнім електромагнітним суперполем. Показано, що введення допоміжних полів, які описуються діадою Н'юмена-Пенроуза, розв'язує проблему нескінченної звідності калібрувальних симетрій у моделі D=4 N=2 масивної суперчастинки.

3. Запропоновано нові твістороподібні моделі струн та р-бран зі спонтанно порушеними фракціями D=4 N=1 суперсиметрії у суперпросторі, розширеному координатами тензорних центральних зарядів та допоміжними спінорними полями. Показано, що БПС стани з посиленою N=1 суперсиметрією може бути реалізовано станами суперструн та супербран з нульовим натягом на додаток до раніше відомих станів, що реалізуються у моделях суперчастинок.

4. Встановлено зв'язок між додатковою к-симетрією та глобальною R-симетрією у моделях р-бран з екзотичною спонтанно непорушеної ѕ фракцією суперсиметрії. Показано, що посилення суперсиметрії у запропонованих моделях струн та р-бран досягається включенням додаткових координат, асоційованих з тензорними центральними зарядами, та допоміжного переставного спінорного поля, яке може бути ототожнене з компонентою діади Н'юмена-Пенроуза.

5. Розв'язано рівняння руху запропонованих моделей струн та р-бран і встановлено, що їх загальні розв'язки у розширеному D=4 N=1 суперпросторі описують статичні конфігурації струн та р-бран з нульовим натягом.

6. Проведено гамільтонів аналіз моделей супер р-бран з екзотичною ѕ фракцією суперсиметрії, побудовано коваріантні на незвідні в'язі першого роду і геометрично описані калібрувальні симетрії, що їм відповідають. Показано, що запропоновані моделі р-бран допускають переформулювання у термінах ортосимплектичного OSp(1|8) супертвістора, інваріантного відносно калібрувальних симетрій, який є складеним полем, побудованим з просторово-часових координат, координат тензорних центральних зарядів та допоміжного спінорного поля;

7. Побудовано коваріантний та незвідний набір в'язей другого роду, додатковий до в'язей першого роду п.6, і обчислено їх матрицю Дірака, яку було приведено до канонічної блочно-діагональної форми, що визначає гамільтонову симплектичну структуру у моделях супер р-бран з екзотичною ѕ фракцією суперсиметрії. Визначено відповідні дужки Дірака та з їх використанням встановлено некомутативність узагальнених координат супер р-бран.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Желтухин А.А., Уваров Д.В. к-Симметрия и аномальный магнитный момент суперчастиц // Письма в ЖЭТФ. - 1998. - Т.67, №11. - С.847-853.

2. Uvarov D.V., Zheltukhin A.A. N=2 massive superparticle: the minimality principle and к-symmetry // Phys. Rev. - 2000. - V.D61, №1. - 015004 (12 pages).

3. Zheltukhin A.A., Uvarov D.V. An inverse Penrose limit and supersymmetry enhancement in the presence of tensor cеntral charges // J. High Energy Phys. - 2002. - V.0208. - 008 (23 pages).

4. Zheltukhin A.A., Uvarov D.V. Exactly solvable p-brane model with extra supersymmetry // Phys. Lett. - 2002. - V.545B, N1-2. - P.183-189.

5. Zheltukhin A.A., Uvarov D.V. Extra gauge symmetry for extra supersymmetry // Phys. Lett. - 2003. - V.565B. - P.229-236.

6. Uvarov D.V. N=2 supersymmetric Yang-Mills theory and the superparticle: twistor transform and к-symmetry // Mod. Phys. Lett. - 2003. - V.A18, N23. - P.1611-1624.

7. Uvarov D.V., Zheltukhin A.A. Hamiltonian structure and noncommutativity in p-brane models with exotic supersymmetry // J. High Energy Phys. - 2004. - V.0403. - 063 (33 pages).

8. Uvarov D.V., Zheltukhin A.A. Hamiltonian of superstring and super p-branes with enhanced supersymmetry // Proc. Inst. Math. of NAS of Ukraine. - 2004. - V.50, Part 2. - P.593-600.