Мікроскопічна динамічна теорія та кінетика модельної системи неполярних молекул

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 533.1, 533.7, 519.9

Мікроскопічна динамічна теорія та кінетика модельної системи неполярних молекул

Спеціальність 01.04.02 - теоретична фізика

Автореферат

Дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Сіжук Андрій Сергійович

Київ 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Єжов Станіслав Миколайович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, фізичний факультет, завідувач кафедри теоретичної фізики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Мальнєв Вадим Миколайович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, фізичний факультет, професор кафедри квантової теорії поля

доктор фізико-математичних наук, професор Герасименко Віктор Іванович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу математичних методів в статистичній механіці.

Провідна установа: Інститут теоретичної фізики НАН України, м. Київ.

Захист дисертації відбудеться “__23___” травня_ 2006 р. о 14³⁰ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.08 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ, просп. Академіка Глушкова, 2, корп. 1, фізичний факультет, ауд. 500.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “_13” квітня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д26.001.08 кандидат фізико-математичних наук О. С. Свечнікова

імпульс неполярний молекула зіткнення

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Більше століття тому Больцманом вперше було записане кінетичне рівняння, що носить тепер його ім'я. З того часу проведено величезну кількість теоретичних досліджень нерівноважних процесів у розріджених системах, що описуються за допомогою рівняння Больцмана. Обчислення кінетичних коефіцієнтів, в основі якого лежить визначення певної моделі взаємодії частинок середовища, є безпосереднім завданням кінетичної теорії. Однак роль кінетичної теорії цим не вичерпується. Формулюючи математичний апарат для розрахунку коефіцієнтів переносу і релаксації, кінетична теорія, що розвинута, наприклад, для розріджених газів, дозволяє встановити границі застосування нерівноважної термодинаміки у випадку довільних фізичних середовищ. Наприклад для слабко розрідженого одноатомного газу (довжина вільного пробігу набагато менша за характерний розмір задачі) добре розвинуті методи розв'язування кінетичного рівняння Больцмана (метод Чепмена-Енскога, метод Греда), які стали базою для обгрунтування як класичної форми нерівноважної термодинаміки , так і різних її узагальнень.

В останні десятиліття у зв'язку з розвитком кінетичної теорії молекулярних газів виник і розвивається підхід, оснований на узагальненому кінетичному рівнянні Больцмана. У цьому рівнянні звичайний больцманівський інтеграл модифікований таким чином, щоб описувати систему частинок, у якій при зіткненнях енергія розподіляється не тільки між поступальними ступенями вільності, але й обертальними. На основі такого підходу записується система газодинамічних рівнянь, вирази для потоку ентропії тощо.

Незважаючи на велику кількість робіт у даній області, отримані результати мають феноменологічний характер, а різні модифікації рівняння Больцмана, в залежності від моделі системи, свідчать про неуніверсальність і недостатню розвиненість теорії. Використання моделей, які більш адекватно і разом з тим простіше описують кінетичні процеси у молекулярному газі, є актуальною проблемою, яка має як чисто теоретичне значення, так і є важливою для пояснення експериментальних спостережень в багатьох нерівноважних системах.

У випадку квантової системи молекул ефективні перерізи передачі обертальної енергії мають фундаментальне значення в таких теоріях, як термодифузія в багатоатомних газах, релаксація в ударній хвилі, дисперсія ультразвуку.

Надзвичайно важливу роль у техніці грають процеси теплообміну між газом і твердим тілом, процеси релаксації газу до стану рівноваги. Наприклад, при розрахунку теплових режимів літальних апаратів, роботи турбіни літака, ракети тощо мають справу з ефективністю енергообміну як між шарами газу, так і між молекулами газу та поверхнею твердого тіла. Механізм теплопередачі в газах у загальному випадку є достатньо складним, але з мікроскопічної точки зору головна проблема полягає в описі розсіяння молекул при зіткненнях між собою та з поверхнею на відстані середнього вільного пробігу молекул до поверхні. Як показує досвід, у багатьох випадках класичний опис досліджуваної системи є достатнім.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота над дисертацією виконувалась у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка у рамках держбюджетної науково-дослідної роботи № 01БФ051-07 (№ держреєстрації: 0101U002881).

Мета роботи і задачі дослідження. Мета - побудова модельного механізму обміну імпульсами та моментами імпульсів важких жорстких неполярних молекул при парних зіткненнях, побудова рівняння еволюції мікроскопічної функції розподілу для модельної системи, виведення кінетичного рівняння на основі отриманого мікроскопічного рівняння, теоретичне дослідження процесу релаксації просторово однорідної системи у випадку неоднорідного розподілу енергії за ступенями вільності.

У роботі розв'язувались наступні задачі:

розробка математичного апарату для опису модельного механізму обміну імпульсами та моментами імпульсів важких твердих неполярних молекул при парних зіткненнях, розв'язання задачі про зіткнення двох важких жорстких сферично симетричних молекул;

побудова еволюційного рівняння для довільної функції стану системи фіксованої кількості частинок з врахуванням тільки парних зіткнень;

побудова еволюційного рівняння для макроскопічної функції розподілу;

формулювання мікроскопічних крайових умов у випадку системи, обмеженої пружною стінкою;

дослідження отриманого рівняння та інтеграла зіткнень;

виведення макроскопічного рівняння у випадку першого наближення за концентрацією;

розв'язок отриманого кінетичного рівняння у випадку просторово однорідної системи та нерівномірного початкового розподілу енергії за ступенями вільності;

дослідження залежності часу релаксації модельної системи від параметрів, що характеризують динамічні властивості молекул.

Об'єктом дослідження є нерівноважні процеси у розріджених системах багатоатомних молекул.

Предметом дослідження є вплив обміну енергії між поступальними та внутрішніми ступенями вільності при зіткненнях на структуру кінетичного рівняння, кінетичні параметри системи, зокрема, час релаксації.

Методи дослідження полягають у застосуванні апарату лінійної алгебри, теорії груп при розв'язанні задачі про зіткнення двох модельних молекул та аналізу отриманого результату; математичного аналізу, математичної фізики, зокрема, теорії узагальнених функцій при побудові рівняння еволюції для мікроскопічного розподілу системи; добре апробованих аналітичних методів розв'язку інтегрально-диференціальних рівнянь у граничному випадку локальної рівноваги.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі вперше:

запропоновано фізичний механізм обміну імпульсами та власними моментами імпульсів модельних молекул при зіткненні, який описує зв'язок між фазами так званих "шорстких" твердих кульок до і після взаємодії;

знайдений явний вигляд оператора перетворення початкових фаз системи двох кульок у фази після зіткнення. Отриманий оператор записаний та досліджений у матричному представленні;

у наближенні парних зіткнень отримано точне еволюційне мікроскопічне рівняння для розглядуваної моделі з врахуванням крайових умов для випадку системи, обмеженої пружною стінкою;

у випадку просторово однорідної системи біля положення рівноваги з максвелівсько-подібною функцією розподілу та нерівномірного початкового розподілу енергії за ступенями вільності отримано аналітичний розв'язок кінетичного рівняння.

Практичне значення одержаних результатів. Розвинена у дисертації теорія застосовна до дослідження закономірностей релаксаційних процесів, до особливостей протікання нерівноважних процесів у розріджених газах, що складаються з великих неполярних молекул або наночастинок. Запропонований новий метод побудови та аналізу механізму обміну імпульсами та моментами імпульсів двох багатоатомних молекул дозволяє, абстрагуючись від труднощів, притаманних реальним об'єктам, більш ефективно будувати кінетику та різні наближення, аналізувати поведінку систем з врахуванням внутрішніх степеней вільності складових частинок. У таких сучасних напрямках дослідження як "системи наночастинок", "гази важких молекул" актуальним є вивчення закономірностей протікання процесів дифузії, теплообміну, де динамічні властивості наночастинок суттєво впливають на кінетичні характеристики системи. Описана модель системи може бути використана, наприклад, для дослідження особливостей протікання нерівноважних процесів у таких реальних системах як фулерени (молекули C₆₀).

Особистий внесок здобувача. У всіх роботах, які лягли в основу дисертації, здобувач приймав найактивнішу участь на всіх етапах роботи. У роботах [1-9] дисертант самостійно зробив постановку задачі, проаналізувавши існуючі результати у даній області дослідження, літературу, розв'язав поставлену задачу та зробив висновки; у роботах [1,2,4] сформулював наукову задачу, самостійно провів аналітичні розрахунки, проаналізував отримані результати, зробив їхню інтерпретацію та підготував рукописи статей.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на наступних конференціях, симпозіумах та семінарах: 4-а міжнародна конференція молодих вчених з прикладної фізики “FOURTH INTERNATIONAL YOUNG SCIENTISTS CONFERENCE ON APPLIED PHYSICS” (Kyiv, Ukraine, June 2004); 2-nd NCTP, Titeica - Markov Symposium (Constanta, ROMANIA, August 26-29, 2004); 3-rd International Conference PHYSICS OF LIQUID MATTER: MODERN PROBLEMS (Kyiv, Ukraine, May 27-31, 2005); 17-th International School-Seminar “Spectroscopy of Molecules and Crystals” (Beregove, the Crimea, Ukraine, September, 20-26, 2005). Результати роботи також обговорювались на наукових семінарах на кафедрі медичної радіофізики (березень - квітень 2003 року); на наукових семінарах кафедри фізики напівпровідників та діелектриків (березень - травень 2004 року); на наукових семінарах кафедри теоретичної фізики (квітень, вересень 2005 року).

Публікації. Матеріали дисертаційної роботи викладено у 9 наукових працях, які опубліковані у вигляді 5 наукових статей у фахових журналах, що входять до “Переліку фахових видань...”, затверджених ВАК України та 4 матеріалів та тез доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 100 посилань. Робота ілюстрована 7 рисунками, двома таблицями і має загальний обсяг 113 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність обраної теми, сформульована мета та задачі дослідження, показана наукова та практична цінність отриманих результатів, відображено особистий внесок автора, апробацію результатів та вказано кількість публікацій за темою дисертації.

У першому розділі представлено критичний огляд літератури, наведено основні властивості кінетичних рівнянь для модельної системи твердих сфер, еліпсоїдів, а також розглянуто проблеми побудови та розв'язування кінетичних рівнянь. Крім того, дана порівняльна характеристика теоретичних методів дослідження системи багатоатомних молекул, їх практичне застосування. У першому підрозділі першого розділу записано кінетичне рівняння Больцмана, яке описує кінетику системи безструктурних частинок біля положення стійкої рівноваги. У другому підрозділі першого розділу сформульовано модифіковане кінетичне рівняння Больцмана, яке враховує внутрішні ступені вільності (обертальні) модельних багатоатомних молекул.

При виведенні рівняння була використана теорема Ліувілля на мові “параметрів зіткнення”: добуток нескінченно малого фазового простору і параметрів зіткнення не змінюється з часом. У наступному підрозділі було показано, що модифіковане рівняння має властивості, притаманні класичному рівнянню Больцмана, - має місце теорема зростання ентропії.

У наступних підрозділах описані інші модифікації рівняння Больцмана, адаптовані для різних модельних систем. Для отримання кінетичних параметрів на основі цих рівнянь використовуються методи Енскога та метод кореляційних функцій. Аналіз отриманих результатів виявив деякі суперечності. Наприклад, у своїх роботах деякі автори [I, II] різницю між виразами для зсувної в'язкості, отриманої за допомогою методу кореляційних функцій та методом Енскога, пояснюють різним формулюванням (трактовкою) явищ переносу, зумовлених зіткненнями між молекулами, у двох теоріях. Такого типу розбіжності для результатів обчислення в'язкості спостерігаються і у випадку твердих сфер, отриманих за допомогою техніки Енскога та методу кореляційних функцій [III]. Стрункої загальної теорії, подібної до розробленої для моделі гладких кульок (п. п. 1.6, 1.7), немає. Так, наприклад, Боголюбовим М. М. було вперше побудовано точне рівняння еволюції для мікроскопічної фазової густини, на основі якого можна будувати кінетику та гідродинаміку системи пружних гладких кульок.

Побудова кінетичних рівнянь для системи тіл із обертальними ступенями вільності має феноменологічний характер. Тому останнім часом спостерігається тенденція до гармонічного поєднання феноменологічної теорії (нерівноважної термодинаміки) та кінетичної теорії при дослідженні розріджених газів. Такий синтез двох підходів дозволяє передбачити ряд нових фізичних ефектів (наприклад, експериментально спостережувані ефекти для молекулярних газів у магнітному полі: термомагнітне обертання циліндра в неоднорідно нагрітому газі - ефект Скотта; в'язкомагнітному та дифузійному потоках у плоскому каналі, термомагнітний крип і термомагнітна різниця тисків). Можна сказати при цьому, що більшість ефектів не можуть бути описані за допомогою простих фізично правдоподібних міркувань, що часто використовуються в елементарній кінетичній теорії.

У другому розділі подано матеріал про методи розв'язку кінетичного рівняння Больцмана. Запропоновано шляхи опису впливу поверхні, що обмежує систему, на динаміку газу. Досліджено методи розв'язування, головним чином основані на лінеаризації відповідного кінетичного рівняння. Останні є достатньо розробленими і послідовними на даному етапі розвитку кінетичної теорії газів.

Запропоновані шляхи опису процесів зіткнення модельної системи двох тіл, які базуються на використанні властивості гамільтоніану модельної системи зберігати свій вигляд при ортогональних перетвореннях вектора стану системи.

У третьому розділі наведено експериментальні дані та результати комп'ютерного моделювання системи. Продемонстровано розрахунком залежність швидкості звуку в ідеальному газі від кількості степеней вільності молекули.

Ступінь впливу на величину швидкості звуку в ідеальному газі від кількості степеней вільності молекули можна охарактеризувати параметром, який дорівнює кореню квадратному від коефіцієнта, значення якого лежать у межах від 4/3 (для молекул із трьома обертальними ступенями вільності) до 5/3 (для молекул без обертальних степеней).

Також у розділі надана порівняльна характеристика деяких властивостей полярних та неполярних молекул; результати комп'ютерного обчислення коефіцієнтів в'язкості, комп'ютерного моделювання поведінки дисипативної системи твердих “шорстких” кульок при охолодженні. За допомогою комп'ютерного моделювання вдалося встановити, що наявність обертальних степеней вільності у частинок газу впливає на характеристики процесу релаксації нерівноважного модельного газу при охолодженні. Числовими методами знайдені значення коефіцієнта в'язкості для різних конфігурацій молекул і показано суттєвий вплив форми (а, отже, і обертальних степеней) молекул газу на гідродинамічні коефіцієнти (в'язкість) для різних наближень.

У четвертому розділі наведено теоретичне дослідження процесів зіткнення двох модельних молекул. Для цього розглянута симетрія механічної енергії системи (поступальної і обертальної) щодо дії оператора відбиття на вектор стану двох тіл. Для модельного механiзму обмiну iмпульсами та власними моментами iмпульсу при зiткненнi абсолютно твердих шорстких кульок знайдений явний вигляд оператора відбиття. Запропоновану методику застосовано до конкретної модельної системи.

Механізм обміну імпульсами та моментами iмпульсів, який розглядається, описує зіткнення двох абсолютно твердих кульок із шорсткою поверхнею і задовольняє законам збереження повної механічної енергії, повного імпульсу системи.

Для модельного механiзму обмiну iмпульсами та власними моментами iмпульсу [1, 2] при зiткненнi абсолютно твердих шорстких кульок знайдений явний вигляд оператора відбиття.

Особливістю даної системи є те, що під час еволюції системи енергія перерозподіляється також і між „внутрішніми” ступенями частинок, тобто, частина енергії поступального руху може переходити у енергію обертального руху і навпаки.

У п'ятому розділі викладена мікроскопічна динамічна теорія. Для розглянутої моделі динамічної системи у випадку оператора відбиття, що описує зіткнення твердих кульок масою m та діаметром , показано, що рiвняння еволюції для мiкроскопiчної фазової густини у дев'ятивимiрному фазовому просторі має форму рiвняння Больцмана-Енскога

Отримане рiвняння модифіковане доданком, що описує взаємодію частинок із плоскою пружною “шорсткою” поверхнею, що обмежує систему [2]. Показано, що у випадку врахування тільки парних зіткнень та оператора відбиття вектора стану частинки, що описує взаємодію з поверхнею, мікроскопічне рівняння може бути записане точно. Для побудови наближених рівнянь для усереднених мікроскопічних розподілів, тобто для побудови кінетики і гідродинаміки відповідної статистичної системи, можуть бути використані рівняння еволюції мікроскопічної фазової густини.

При цьому було показано, що для розглядуваного рівняння еволюції модельної системи можна провести стандартну операцію усереднення, оскільки у даному випадку справедлива теорема про збереження фазового об'єму системи N частинок. Для розглядуваної модельної системи можна побудувати ланцюжкові рівняння Боголюбова-Кірквуда-Івона-Греда.

Модифікований метод отримання еволюційного рівняння, використаний Боголюбовим для системи гладких пружних кульок з нульовим власним моментом імпульсу. При цьому була розвинута техніка отримання інтегралу зіткнення та псевдооператора зіткнення для більш складного механізму обміну імпульсами та власними моментами імпульсів при зіткненні двох кульок.

У шостому розділі розглянуто релаксаційні процеси у запропонованій модельній системі. На прикладі просторово однорідної системи показано, як впливає врахування додаткових степеней вільності на величину часу релаксації. Для цього була розглянута замкнена просторово однорідна система біля положення рівноваги. Користуючись кінетичним рівнянням та визначенням середньої енергії, для температури було записане відповідне еволюційне рівняння. Знайдена залежність середньої поступальної енергії частинок (відповідної їй середньої температури поступального руху) від часу у випадку, коли початкові середні енергії поступального і обертального рухів різні (тобто різні відповідні температури).

Із знайдених аналітичних виразів для температури поступального (обертального) руху можна зробити висновок, що час релаксації температури T₁ до рівноважної T зменшується із зменшенням різниці між середньою поступальною енергією T₁ та T. Останнє проілюстровано за допомогою рис. 1. Також, як було показано у роботі [4], час релаксації зменшується із зростанням середньої температури T при тому ж самому порядку різниці між T₁ та T. Останнє можна пояснити, наприклад, тим, що збільшується відносна частка енергії, яка переходить від одних степеней вільності до інших при зіткненні двох тіл. Крім того, показано, що час релаксації обернено пропорційний кореню квадратному від рівноважної температури, обернено пропорційний концентрації частинок, що добре узгоджується з оцінками інших дослідників та експериментальними даними.

У роботі також подається для описаного випадку ілюстрація залежності часу релаксації від параметру .

Як видно з рис. 2, для власного моменту інерції, який дорівнює моменту інерції оболонки, значення часу релаксації приймає мінімальне значення.

На основі отриманих аналітичних виразів знайдені значення часу релаксації при заданих параметрах системи. З одержаних виразів можна зробити висновок, що для даної температури та концентрації відношення часів релаксації системи кульок до часу релаксації системи сфер дорівнює 1,176. Система важких сферичних частинок (яка була розглянута у п. 2 р.. 6) з молярною масою 0,72 кг/моль може відповідати системі фулеренів (система молекул C₆₀). Отримані результати можуть бути застосовані, наприклад, для опису релаксації розрідженої системи фулеренів.

Наприкінці, у Висновках викладено основні результати дисертаційної роботи.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі проведені теоретичні дослідження динаміки та кінетики модельної системи неполярних молекул. Основні результати можна сформулювати наступним чином.

За допомогою властивості симетрії механічної енергії модельної системи відносно дії оператора відбиття на вектор стану двох тіл знайдений фізичний механiзм обмiну iмпульсами та власними моментами iмпульсу при зiткненнi абсолютно твердих шорстких кульок. Описаний метод дозволяє знаходити зв'язок між фазами двох модельних молекул до і після зіткнення, не вдаючись до опису взаємодії між частинками за допомогою потенціалу.

Розглянута система з фіксованим числом частинок та модельним механізмом обміну імпульсами та моментами імпульсу твердих шорстких кульок при зіткненні. Показано, що кінетичне рiвняння для такої системи у першому наближенні за концентрацією у дев'ятивимiрному фазовому просторі має форму рiвняння Больцмана-Енскога. Доведено, що отримане рiвняння має розв'язок, що може бути поданий у вигляді мікроскопічної фазової густини. Отже, у випадку наближення парних зіткнень отримане рівняння точно описує еволюцію динамічної модельної системи.

Для представленої модельної системи кінетичне рівняння у просторово однорідному випадку з максвелівсько-подібною функцією розподілу та нерівномірним початковим розподілом енергії за ступенями вільності має аналітичний розв'язок.

Показано, що із зменшенням різниці між початковою середньою поступальною (обертальною) енергією та рівноважною і зростанням рівноважної температури час релаксації зменшується. Показано, що час релаксації середньої поступальної (обертальної) енергії до рівноважного значення обернено пропорційний кореню квадратному від рівноважної температури, обернено пропорційний концентрації частинок. Для власного моменту інерції, що дорівнює моменту інерції сферичної частинки з радіусом, рівним ефективному радіусу частинок, значення часу релаксації приймає мінімальне значення.

Для даної температури та концентрації відношення характерного часу релаксації системи шорстких кульок до часу релаксації системи шорстких сфер більше одиниці і дорівнює 1.176, що було показано на основі отриманих виразів для часу релаксації.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Sizhuk A., Yezhov S. The evolution equation for the microscopic phase density of inelastically colliding particles // Ukrainian Physical Journal.- 2005.- Vol. 50, № 10.- P.1193-1199.

2. Sizhuk A., Yezhov S. The dynamic symmetry of model system of two molecules // Ukrainian Physical Journal.- 2005.- Vol.50, № 12.- P.1397-1400.

3. Сiжук А.С. Кiнетичне рiвняння для системи однакових кульок з модельним механiзмом обмiну власними моментами iмпульсу // Вiсник Київського унiверситету. Серiя фiз.-мат. науки.- 2004.- № 3.- C.347-354.

Сiжук А.С., Єжов С. М. Мікроскопічне рівняння еволюції для непружно взаємодіючих кульок, обмежених стінкою // Вiсник Київського унiверситету. Серiя фiз.-мат. науки.- 2005.- № 3.- C.591-595.

5. Сiжук А.С., Єжов С.М. Просторово однорідна система шорстких кульок біля положення рівноваги // Вiсник Київського унiверситету. Серiя фiз.-мат. науки.- 2005.- № 3.- C.596-600.

6. Sizhuk A.S. An equation for the six-dimensional kinetics of shperical inelastic particles // Proceedings of the Fourth international young scientists conference on applied physics.- Kyiv (Ukraine).- 2004.- P.15-16.

7. Sizhuk A. The microscopic solution for the kinetic equation of inelastically colliding spherical particles // 2-nd NCTP, Titeica - Markov Symposium.- Constanta (ROMANIA).- 2004.- P. 44.

8. Sizhuk A., Yezhov S. The microscopic dynamic theory of inelastically colliding particles // Abstr. 3-rd International Conference “Physics of liquid matter: modern problems” (PLM MP - Kyiv 2005).- Kyiv (Ukraine).- 2005.- P. 56.

9. Sizhuk A., Yezhov S. Dynamic dynamic symmetry of model system of two molecules // 17-th International School-Seminar "Spectroscopy of Molecules and Crystals".- Beregove (the Crimea, Ukraine).- 2005.- P. 57.

АНОТАЦІЇ

Сіжук А.С. Мікроскопічна динамічна теорія та кінетика модельної системи неполярних молекул. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальнітю 01.04.02 - теоретична фізика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертацію присвячено теоретичному дослідженню кінетики розрідженої модельної системи неполярних молекул із врахуванням впливу обертальних ступенів вільності. Розглянута модель твердих сферично симетричних молекул. Для моделі системи кульок з негладкою поверхнею задається фізичний механізм обміну власними моментами імпульсу. Для такої системи побудовано рівняння еволюції мікроскопічної фазової густини, тобто рівняння еволюції дельта-функціонального розподілу у фазовому просторі координати, імпульсу, власного моменту імпульсу. Показано, що у випадку модельного механізму, який може бути заданий за допомогою оператора відбиття, у першому наближенні за концентрацією для функції розподілу отримане рівняння матиме форму рівняння Больцмана-Енскога. Доведено, що одним із розв'язків такого рівняння буде дельта-функційний розподіл у дев'ятивимірному фазовому просторі. Модифіковано метод отримання еволюційного рівняння, що був використаний Боголюбовим для системи гладких пружних кульок з нульовими власними моментами імпульсу. При цьому була розвинута техніка отримання інтегралу зіткнення та псевдооператора зіткнення для більш складного механізму обміну імпульсами та власними моментами імпульсів при зіткненні двох кульок. Рiвняння доповнене доданком, що описує пружну взаємодiю частинок системи iз плоскою шорсткою поверхнею. Отримане кінетичне рівняння досліджується у просторово однорідному випадку. У першому наближенні за концентрацією отримано аналітичний вираз для температури як функції часу у випадку локальної рівноваги та нерівноважного максвелівського розподілу за ступенями вільності. Показано, що для власного моменту інерції, рівному моменту інерції сферичної частинки з радіусом, який дорівнює її ефективному радіусу, значення часу релаксації приймає мінімальне значення. На основі отриманих виразів для часу релаксації було отримано, що для даної температури та концентрації відношення характерного часу релаксації системи шорстких кульок до часу релаксації системи шорстких сфер більше за одиницю і дорівнює 1.176.

Розвинена у дисертації теорія застосовна до дослідження особливостей явищ переносу: теплових та дифузійних потоків, в'язкості, процесів поширення хвиль у молекулярних газах, у розріджених системах наночастинок.

Ключові слова: кінетичне рівняння, мікроскопічне рівняння, шорсткі кульки, нерівноважний газ, ненульовий момент імпульсу, граничні умови, час релаксації.

Сижук А.С. Микроскопическая динамическая теория и кинетика модельной системы неполярных молекул. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию кинетики разреженной модельной системы неполярных молекул с учетом влияния вращательных степеней свободы. Рассмотрена модель твердых сферически симметричных молекул. Для модели системы шариков с негладкой поверхностью задается физический механизм обмена собственными моментами импульса. Для этой модели построено уравнение эволюции микроскопической фазовой плотности, то есть уравнение эволюции дельта-функционального распределения в фазовом пространстве координаты, импульса, собственного момента импульса. Показано, что в случае модельного механизма, который может быть задан с помощью оператора отражения, в первом приближении по плотности для функции распределения полученное уравнение имеет форму уравнения Больцмана-Энскога. Доказано, что одним из решений такого уравнения будет дельта-функциональное распределение в девятимерном фазовом пространстве. Модифицирован метод получения эволюционного уравнения, который был использован Боголюбовым для системы гладких упругих шариков с нулевыми собственными моментами импульсов. При этом была развита техника получения интеграла столкновений и псевдооператора столкновений для более сложного механизма обмена импульсами и собственными моментами импульсов в столкновениях двух шариков. Уравнение дополнено членом, который описывает упругое взаимодействие частиц системы с плоской шершавой поверхностью. Полученное уравнение исследуется в пространственно однородном случае. В первом приближении по концентрации получено аналитическое выражение для температуры как функции времени в случае локального равновесия и неравновесного максвелловского распределения по степеням свободы. На основе полученного выражения для температуры поступательного движения показано, что время релаксации обратно пропорционально концентрации частиц системы и корню квадратному от равновесной температуры. Показано, что для собственного момента инерции, который равен моменту инерции сферической частицы с радиусом, равным её эффективному радиусу, время релаксации принимает минимальное значение. Было получено, основываясь на выражениях для времени релаксации, что для фиксированной температуры и концентрации отношение характерного времени релаксации системы шероховатых шариков ко времени релаксации системы шероховатых сфер больше единицы и равно 1.176.

Развитая в диссертации теория может быть использована для исследования особенностей явлений переноса: тепловых и диффузионных потоков, вязкости, процессов распространения волн в молекулярных газах, в разреженных системах наночастиц.

Ключевые слова: кинетическое уравнение, микроскопическое уравнение, шершавые шары, неравновесный газ, ненулевой момент импульса, граничные условия, время релаксации.

Sizhuk A. S. Microscopic dynamic theory and kinetics for model system of the non-polar molecules. - Manuscript. Thesis for a candidate's degree in physics and mathematics by speciality 01.04.02 - theoretical physics. - National Taras Shevchenko Kyiv University, Kyiv, 2005.

Thesis is devoted to the investigation of the model system of the non-polar molecules taking into account internal degrees. The model of the hard spherical molecules has been considered. The dynamic symmetry for the model mechanical system of two identical spherical bodies concerning orthogonal transformations has been investigated. The mechanical energy symmetry to action of the reflection operator of the state vector is considered. For the model mechanism of the momentum and angular momentum exchange between the hard rough spheres an explicit mathematical expression of the reflection operator is found. For the particles with the rough surface a mechanism for the moment-of-momentum exchange is proposed and a kinetic equation for the one-particle probability density is derived. The model mechanism of the momentum and angular momentum exchange between the hard rough spheres corresponds with hard particles: the modulus in torsion and the modulus in tension is infinite large (the shear deformation and the torsional strain is absent). In the case of a mirror hyperplane reflection of state vector in the collisions, it is proved that evolution equation for microscopic density in the nine-dimensional phase space can be presented in the form of the Boltzmann-Enskog's Equation.. The evolution equation for the microscopic phase density of model dynamical system taking into account border conditions has been constructed. It was modified method of the evolution equation obtaining which was used by Bogolyubov for system of smooth spheres with zero angular moments. And it was evolved technic of obtaining of collisions integral and collisions pseudo-operator for more complicated mechanism of the momentum and angular momentum exchange between the hard rough spheres. Obtained equation was modified for the case of the system bounded by a planar solid surface. The interaction with the surface has been described by reflection operator. The evolution equation for microscopic density can be used for approximate equations building of the averaged microscopic density. This approximate equation for the macroscopic distribution (the averaged microscopic density) can be used for study of kinetics and hydrodynamics of respective statistical system taking into account interaction with a plane surface. Thus, in the case of mirror reflection operator obtained Enskog-like evolution equation for macroscopic density in the nine-dimensional phase space has the microscopic solution, which can be presented by delta-distribution. In the case of large quantity of particles obtained result can be used for investigation of the statistical system in the predetermined approximation. As an example using the exact equation it was built approximation, which describes system kinetics near the equilibrium position. For the system in the case of the spatially homogeneous one-particle probability density the kinetic equation was studied.. It has been obtained analytic expression for temperature as time function near equilibrium state in case of local equilibrium and nonequilibrum Maxwell's distribution on degrees of freedom. It was shown that the relaxation time is inversely proportional to the distribution and to the square root of equilibrium temperature. It was shown that the relaxation time has minimal value for moment of inertia, which equals shell moment of inertia with effective radius. From expressions for relaxation time it was obtained that relation of the relaxation time of the system of rough spheres to relaxation time of the system of rough shells equals 1.176.

The developed theory in this thesis can be used to explain the properties and features of the transport phenomenon: thermal and diffusion fluxes, viscosity, waves diffusion in molecular gases, in rarefied systems of the nanoparticles.

Key words: kinetic equation, microscopic equation, rough spheres, non-equilibrium gas, non-zero angular momentum, border conditions, relaxation time.

Размещено на Allbest.ru