Імпульсні крайові задачі для систем з переключеннями

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ІМПУЛЬСНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ СИСТЕМ З ПЕРЕКЛЮЧЕННЯМИ

01.01.02 - диференціальні рівняння

ЧУЙКО ОЛЕКСІЙ СЕРГІЙОВИЧ

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики Національної Академії наук України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України, ПЕРЕСТЮК Микола Олексійович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, зав. кафедрою диференціальних та інтегральних рівнянь;

кандидат фізико-математичних наук, доцент БІГУН Ярослав Йосипович Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, доцент кафедри прикладної математики

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк

Захист відбудеться “ 24 ” січня 2006 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України ( 01601, м. Київ , вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий 14 грудня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

АНОТАЦІЇ

Чуйко О.С. Імпульсні крайові задачі для систем з переключеннями. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння.- Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню задачі про знаходження конструктивних умов існування та побудові розв'язків лінійних та нелінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions". На основі теорiї псевдообернених матриць, методів Вішіка-Люстерніка та Ляпунова-Шмiдта в дисертацiї вдосконалено схему дослiдження задач про існування та побудову розв'язків нетерових крайових задач для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, а також отримані конструктивні оцінки довжини відрізку на якому змінюється малий параметр і зберігається збіжність ітераційної процедури до шуканого розв'язку слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь в некритичному та критичному випадку. Знайдено необхідні і достатні умови існування та побудовано ітераційну процедуру для знаходження розв'язків слабконелінійних крайових задач в особливому критичному випадку.

Знайдено конструктивні умови існування розв'язків та побудовано оператор Гріна задачі Коші для лінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions", оператор Гріна загальної нетерової крайової задачі для лінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions". Доведено конструктивні умови існування розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions". Запропоновано збiжнi iтерацiйнi алгоритми побудови розв'язкiв нетерової слабконелінійної крайової задачі для систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions"

Ключові слова: системи звичайних диференціальних рівнянь, псевдообернені матриці, узагальнений оператор Гріна, критичний випадок, ітераційна процедура, диференціальні рівняння з переключеннями, імпульсний вплив.

Чуйко А.С. Импульсные краевые задачи для систем с переключенниями. -- Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравненния.- Институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, 2005.

Диссертация посвящена исследованию задачи о нахождении конструктивных условий существования и построении решений линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений с переключениями c импульсным воздействием типа "interface conditions". На основании теории псевдообратных матриц, методов Вишика-Люстерника и Ляпунова-Шмидта в диссертации усовершенствована схема исследования задач о существовании и построении решений нетерових краевых задач для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений а также получены конструктивные оценки длины отрезка на котором изменяется малый параметр и сохраняется сходимость итерационной процедуры к искомому решению слабонелинейной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в некритическом и критическом случае. Найдены необходимые и достаточные условия существования и построена итерационная процедура для нахождения решений слабонелинейных краевых задач в особом критическом случае.

Найдены конструктивные условия существования решений и построен оператор Грина задачи Коши для линейных систем дифференциальных уравнений с переключениями и импульсным воздействием типа "interface conditions", оператор Грина общей нетеровой краевой задачи для линейных систем дифференциальных уравнений с переключениями и импульсным воздействием типа "interface conditions". Доказаны конструктивные условия существования решений нетеровой слабонелинейной краевой задачи для систем дифференциальных уравнений с переключениями и импульсным воздействием типа "interface conditions". Предложены сходящиеся итерационные алгоритмы построения решений нетеровой слабонелинейной краевой задачи для систем дифференциальных уравнений с переключениями и импульсным воздействием типа "interface conditions"

Ключевые слова: системы обыкновенных дифференциальных уравнений, псевдообратные матрицы, обобщенный оператор Грина, критический случай, итерационная процедура, дифференциальные уравнения с переключениями, импульсное воздействие.

Chuiko A.S. Impulse boundary problem for the systems of differential equations with switchings.-- Manuscript.

Thesis for a candidate's degree of physics and mathematics on speciality 01.01.02 -Differential equations. Institute of Mathematics National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv 2005.

The thesis is devoted to the problem of finding constructive conditions for existence and construction solutions of linear and nonlinear system of differential equations with switchings and perturbation of "interface conditions" type. On the basis of the theory of pseudoinverse matrixes, methods Vishik-Lyusternik and Lyapunov-Shmidt the scheme for investigation the problems concerning the existence and construction solutions of Noetherian boundary problems for nonlinear system for the ordinary differential equation has been improved. The constructive estimates for the lenth of the segment have been received. On this segment small parameter changes and the convergence of the iteration procedure for the sought solution of semi-nonlinear problem remains for the system of the ordinary differential equations both in the critical and noncritical cases. Necessary and sufficient conditions for the existence and construction of the iteration procedure for finding the solution of semi-nonlinear problems in the unusually critical case have been found.

Constructive conditions for the existence of solutions have been found and Green's operator for Cauchy's problem for linear system of the differential equation with switchings and impulse perturbation of "interface conditions" type has been constructed. Green's operator for the general Noetherian problem for linear system of differential equations with switchings and impulse perturbation of "interface conditions" type has been obtained. The constructive conditions for existence of solutions Noetherian semi-nonlinear boundary-value problem for the linear system of the differential equations with switchings and impulse perturbation of "interface conditions" type have been proved. Convergent iteration algorithms for the construction of the solutions of Noetherian semi-nonlinears boundary-value have been proposed.

Key words: system of ordinary differential equation, pseudoinverse matrix, generalized Green operator, critical case, iteration procedure, differential equations with switchings, impulse perturbation.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

лінійний диференціальний рівняння імпульсний

Актуальність теми. Розглянута в дисертації задача про знаходження конструктивних умов існування та побудову розв'язків нетерових крайових задач для лінійних та нелінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions" є узагальненням задач із невиродженим імпульсним впливом, досліджених А.М. Самойленком, М.О. Перестюком та О.А. Бойчуком, а також двоточкових задач із прямокутними матрицями. Останні задачі були вивчені Р. Конті і, в свою чергу, узагальнювали двоточкові задачі з квадратними матрицями, досліджені О. Вейводою та С. Швабіком. Задачі про побудову розв'язків систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом типу "interface conditions" являють собою також узагальнення крайових задач з невиродженим та виродженим імпульсним впливом, досліджених О.А. Бойчуком.

Обгрунтування результатів дослідженя імпульсних крайових задач з переключеннями пов'язане із знаходженням проміжку значень малого параметру на якому зберігається збіжність ітераційної процедури в критичному та некритичному випадку. У відомих роботах Д.К. Ліки, Ю.О. Рябова та О.Б. Ликової для оцінки проміжку значень малого параметру, на якому зберігається збіжність ітераційної процедури, використані мажоруючі рівняння Ляпунова. Таким чином, постає задача конструктивного знаходження проміжку значень малого параметру на якому ітераційна процедура збігається до шуканого розв'язку.

Традиційна схема дослідження крайових задач грунтується на знаходженні породжуючого розв'язку, в малому околі якого, можливо, існує розв'язок вихідної задачі. Задля знаходження такого породжуючого розв'язку для періодичних задач у роботах І.Г. Малкіна, Є.О. Гребенікова та Ю.О. Рябова було побудовано рівняння для породжуючих амплітуд. У даній роботі досліджено випадок, який суттєво доповнює традиційну схему дослідження крайових задач, коли традиційне рівняння для породжуючих амплітуд перетворюється на тотожність, що унеможливлює знаходження породжуючого розв'язку.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згiдно з загальним планом дослiджень вiддiлу диференцiальних рiвнянь та теорії коливань Iнституту математики НАН України.

Мета i задачi дослiдження. Метою дисертаційної роботи є знаходження конструктивних умов існування та побудова розв'язків лінійних та нелінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions", а також розробка алгоритмів побудови розв'язків таких задач.

Методи дослідження. Застосовуючи теорiю псевдообернених матриць, методи Вішіка-Люстерніка та Ляпунова-Шмiдта в дисертацiї вдосконалено схему дослiдження задач про існування та побудову розв'язків нетерових крайових задач для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, а також розроблено схему дослiдження задач про існування та побудову розв'язків нетерових крайових задач для лінійних та нелінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions". Такий підхід дозволив покращити раніш відомі результати та отримати нові факти з теорії збурень лінійних та нелінійних задач з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions".

Наукова новизна одержаних результатiв. Основнi результати, що визначають наукову новизну i виносяться на захист, такi:

1. Отримані оцінки області зміни малого параметру на якому зберігається збіжність ітераційної процедури до шуканого розв'язку слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь в некритичному випадку та критичному випадку першого порядку.

2. Знайдено конструктивні умови існування розв'язків нетерових крайових задач для слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь в особливому критичному випадку.

3. Знайдено конструктивні умови існування розв'язків та побудовано оператор Гріна задачі Коші для лінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions".

4. Знайдено конструктивні умови існування розв'язків та побудовано оператор Гріна загальної нетерової крайової задачі для лінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions".

5. Знайдено конструктивні умови існування розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions".

6. Запропоновано збiжнi iтерацiйнi алгоритми побудови розв'язкiв нетерової слабконелінійної крайової задачі для систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions".

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Результати, отриманi в роботi, можуть бути використані при подальших дослідженнях в якісній та аналітичній теорії диференціальних рівнянь, при дослiдженнi задач теорiї стiйкостi руху та теорiї управлiння, а також при моделюванні та дослідженні економічних та біологічних процесів.

Особистий внесок здобувача. Загальний напрямок дослiджень та постановка задач визначені науковим керiвником -- академіком НАН України А.М. Самойленком. Обговорення результатів сумісних робіт належить всiм авторам. Результати ж дисертацiї, якi виносяться на захист, одержанi дисертантом самостiйно.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi результати дисертацiї доповiдались на Мiжнароднiй науковiй конференцiї Intern. Conf. Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation (м. Київ, 2001 р.); на Мiжнароднiй науковiй конференцiї "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання" (м. Чернівці, 2001 р.); на Мiжнароднiй науковiй конференцiї "Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики" (м. Донецьк, 2002 р.); на Мiжнароднiй науковiй конференцiї Шестая Крымская Международная Математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" (м. Сімферополь, 2002 р.); на Мiжнароднiй науковiй конференцiї Intern. Conf. Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation (м. Київ, 2003 р.); на Мiжнароднiй науковiй конференцiї Седьмая Крымская Международная Математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения" (м. Сімферополь, 2004 р.); на Мiжнароднiй науковiй конференцiї Х Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука (м. Київ, 2004 р.); на Мiжнароднiй науковiй конференцiї Intern. Conf. Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation (м. Київ, 2005 р.); на науковому семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь (вересень 2005р.) (керівник - академік НАНУ, професор А.М.Самойленко).

Публiкацiї. За темою дисертацiї опублiковано 12 робіт; з них три [1, 3, 6] -- в провiдних фахових перiодичних наукових журналах, що входять до переліку № 1 ВАК України від 9.06.1999 р., 8 тез [2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11] -- у збiрниках статей та тез доповідей на Міжнародних наукових конференцiях, та одна стаття в рецензованому періодичному науковому журналі [12].

Структура i обсяг дисертацiї. Дисертацiйна робота складається зі вступу, трьох роздiлiв, висновку i списку цитованої лiтератури, що мiстить 103 назви. Обсяг роботи складає 131 сторiнку машинописного тексту.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику академіку НАН України, доктору фіз.- мат. наук, професору А.М. Самойленку за постановку задач і постійну увагу до роботи і провідному науковому співробітнику ІМ НАН України доктору фіз.- мат. наук, професору О.А. Бойчуку за обговорення одержаних результатів.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовується актуальнiсть теми, формулюється мета дослiдження, дається короткий аналiз сучасного стану проблем, якi вивчаються в дисертацiї та наводиться анотацiя одержаних результатiв.

У першому розділі наведено основні відомості з теорії псевдообернених матриць та деякі основні факти з теорії існування та побудови розв'язків лінійних неоднорідних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь в критичному та некритичному випадках. В подальшому ці відомості та позначення суттєво використовуються при доведенні основних результатів дисертації. Наприкінці першого розділу на основі наведених відомостей про побудову псевдорозв'язків некоректно поставлених нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь побудовані оригінальні економічні моделі, зокрема - розв'язані некоректно поставлені задачі на мінімізацію дефіциту (або профіциту) бюджету.

У другому розділі побудовані ітераційні процедури та отримані конструктивні оцінки області зміни малого параметру на якому зберігається збіжність ітераційної процедури до шуканого розв'язку слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь

(1)

(2)

Тут нелінійна вектор-функція, неперервно-диференційовна по в малому околі розв'язку породжуючої задачі

(3)

(4)

неперервна по на відрізку й неперервно-диференційовна по малому параметру на відрізку лінійний і нелінійний векторний функціонали, причому другий функціонал неперервно-диференційовний по невідомій та по малому параметру в малому околі розв'язку породжуючої задачі та на відрізку Розглянуто некритичний випадок та критичний випадок першого порядку.

Наприкінці другого розділу знайдені конструктивні умови існування розв'язків нетерових крайових задач для слабконелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь в особливому критичному випадку, зокрема - у критичному випадку, коли традиційне рівняння для породжуючих амплітуд обертається на тотожність. Крайова задача (1), (2) за цієї умови являє собою особливий критичний випадок, оскільки традиційна схема аналізу та побудови розв'язків, розвинута І.Г. Малкіним, Є.О. Гребеніковим та Ю.О. Рябовим для періодичних задач не застосовна в наслідок неможливості знаходження параметру, що визначає амплітуду породжуючого розв'язку, в околі якого треба шукати розв'язок задачі (1), (2).

Теорема 2.5.1. Нехай виконана умова

розв'язності породжуючої задачі (3),(4) і крайова задача для системи (1) з періодичною крайовою умовою

(6)

являє собою особливий критичний випадок

Припустимо також, що задача (1), (6) має розв'язок

який при обертається в породжуючий Тоді вектор задовольняє рівнянню

(7)

Тут оператор Гріна задачі Коші для системи (3),

узагальнений оператор Гріна задачі (3), (4).

Теорема 2.5.2. Нехай виконується умова розв'язності породжуючої задачі (3),(4) і крайова задача (1),(6) являє собою особливий критичний випадок Тоді для кожного кореня рівняння (7) за умови задача (1), (6) має єдиний розв'язок який при обертається в породжуючий

Задля ілюстрації аналізу крайової задачі (1), (2) в особливому критичному випадку досліджено періодичну задачу для відомого рівняння, яке описує рух маятника, точка підвісу якого здійснює вертикальні гармонійні коливання великої частоти. Для цього рівняння доведено існування і знайдені перші наближення до періодичних розв'язків.

В третьому розділі дисертації знайдені конструктивні умови існування розв'язків та побудовано оператор Гріна задачі Коші для лінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions"

(8)

(9)

Тут вимірні матриці, неперервні на відрізках Знайдені конструктивні умови існування та побудовано узагальнений оператор Гріна для задачі про знаходження розв'язків лінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions" (8), (9), які задовольняють крайовій умові загального вигляду

(10)

Лема 3.2.1. Задача Коші

(11)

для системи (8),(9) з переключеннями розв'язна тоді й тільки тоді, коли виконані умови

при у випадку повноти рангу матриць має розв'язок зображуваний нормальною фундаментальною матрицею задачі (8),(9).

Лема 3.2.2. Нехай умови леми 3.2.1 та вимоги

виконані. Неоднорідна задача Коші (8), (9), (11) при цьому має єдиний розв'язок

(12)

Теорема 3.5.1. Критична крайова задача (8),(9),(10) розв'язна тоді й тільки тоді, коли

(13)

і має параметричну сім'ю розв'язків

Знайдені необхідні і достатні умови існування розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions"

(15)

(16)

(17)

Теорема 3.6.2. Нехай крайова задача (15)-(17) представляє критичний випадок і виконана умова (12) розв'язності породжуючої задачі. Припустимо також, що задача (15)-(17) має розв'язок який при обертається в породжуючий Тоді вектор задовольняє рівнянню

(18)

Теорема 3.6.3. Нехай крайова задача (15)- (17) представляє собою критичний випадок і виконана умова (12) розв'язності породжуючої задачі. Тоді для кожного кореня рівняння (18) за умови задача про знаходження збурення має параметричний розв'язок який при обертається в нульовий Цей розв'язок можна визначити за допомогою збіжного при ітераційного процесу.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

-- в некритичному випадку та критичному випадку першого порядку побудовано модифіковану ітераційну процедуру для знаходження розв'язку слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь а також отримані конструктивні оцінки області зміни малого параметру, на якому зберігається збіжність цих ітераційних процедур до шуканого розв'язку;

-- знайдено необхідні та достатні умови існування та побудована збіжна ітераційна процедура для відшукання розв'язків нетерових слабконелінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь в особливому критичному випадку, характерному неможливостю знаходження амплітуди породжуючого розв'язку, в околі якого треба шукати розв'язок вихідної задачі, безпосередньо із рівняння для породжуючих амплітуд;

-- приведено приклад реалізації всіх вимог до крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь в особливому критичному випадку та знайдено його наближений розв'язок;

-- знайдено конструктивні умови існування розв'язків та побудовано узагальнений оператор Гріна задачі Коші для лінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions";

-- знайдені конструктивні умови існування розв'язків та побудовано узагальнений оператор Гріна загальної нетерової крайової задачі для лінійних систем диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions" в некритичному випадку та критичному випадку;

-- знайдено конструктивні умови існування розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions" в некритичному випадку та критичному випадку першого порядку;

-- запропоновано збiжнi iтерацiйнi алгоритми побудови розв'язкiв нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь з переключеннями та імпульсним впливом типу "interface conditions" в некритичному випадку та критичному випадку першого порядку.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бойчук А.А., Чуйко С.М., Чуйко А.С. Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае // Нелінійні коливання.- 2004.- 7, N 1.- С. 53-66.

2. Нечволод Н.К., Чуйко А.С. Периодические решения уравнения Лоттка-Вольтерра с импульсным воздействием // VI Крымская Международная Математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". Крим, Алушта, 11-18 вересня 2002 р.: Тез. доп.- Сімферополь, 2002 р.- С. 107.

3. Чуйко А.С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи // Нелінійні коливання.- 2005.- 8, N 2.- С. 278-288.

4. Чуйко А.С., Чуйко Е.В. Необходимое условие сходимости итерационной процедуры критической краевой задачи// VIІ Крымская Международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". Крим, Алушта, 11-18 вересня 2004 р.: Тез. доп.- Сімферополь, 2004 р.- С. 155.

5. Чуйко О.С. Оцінка області збіжності ітераційного процесу для слабконелінійної крайової задачі // Х Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука. Київ, 13-15 травня 2004 р.: Тез. доп.- Київ, 2004 р.- С. 278.

6. Чуйко О.С. Слабконелінійні крайові задачі з імпульсним впливом загального вигляду // Вісник Київського національного університету ім. Тараса Шевченка.- 2004.- N 5.- С. 51-52.

7. Чуйко С.М., Чуйко А.С. Импульсная модель в финансовой математике // Intern. Conf. Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation. Київ, 22-25 травня 2001 р.: Тез. доп.- Київ, 2001 р.- С. 229.

8. Чуйко С.М., Чуйко А.С. Финансовая интерпретация импульсной задачи // Український математичний конгрес - 2001. Міжнародна конференція "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання". Чернівці, 27-29 серпня 2001 р.: Тези доп.- Київ, 2001 р.- С. 166.

9. Чуйко С.М., Чуйко А.С. Уточненная формулировка закона Мура // Перша міжнародна науково-практична конференція студентів, аспірантів та молодих вчених "Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики". Донецьк, 16-19 квітня 2002 р.: Тези доп.- Донецьк, 2002 р.- С. 53-54.

10. Чуйко С.М., Чуйко А.С. Импульсная задача для уравнения Ферхлюста // Intern. Conf. Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation. Київ, 27-30 травня 2003 р.: Тез. доп.- Київ, 2003 р.- С. 119.

11. Чуйко С.М., Чуйко А.С. Оценка области сходимости итерационной процедуры автономной краевой задачи // Intern. Conf. Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation. Київ, 23-25 травня 2005 р.: Тез. доп.-Київ, 2005 р.- С. 130.

12. Чуйко С.М., Чуйко О.С. Оцінка області збіжності ітераційного процесу для слабконелінійної крайової задачі // Вісник Слов'янського державного педагогічного університету.-2005 р.- N 1.- С. 22-27.

Размещено на Allbest.ru