Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ІМ. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

УДК 539.3

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ВЗАЄМОДІЯ ТРІЩИН ПРИ ЗГИНІ ПЛАСТИН З УРАХУВАННЯМ КОНТАКТУ БЕРЕГІВ

01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла

ДАЛЯК ТАРАС МИХАЙЛОВИЧ

Львів - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник:

Шацький Іван Петрович, кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, старший науковий співробітник відділу моделювання демпфуючих систем, м. Івано-Франківськ.

Офіційні опоненти:

Николишин Мирон Михайлович, доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, завідувач відділу механіки деформованого твердого тіла, м. Львів;

Стащук Микола Григорович, доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, провідний науковий співробітник відділу фізичних основ руйнування та міцності матеріалів, м. Львів.

Провідна установа: Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова, кафедра методів математичної фізики, Міністерство освіти і науки України, м. Одеса.

Захист відбудеться "29" жовтня 2004 року о 15-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Автореферат розісланий "24" вересня 2004 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук Р.М. Мартиняк.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Експлуатаційні характеристики елементів машин і конструкцій у великій мірі залежать від наявності різного роду гострокінцевих дефектів чи включень, особливо тріщиноподібних розрізів. Концентратори напружень зазвичай значно звужують діапазон зовнішнього навантаження, під яким може експлуатуватися конструкційний елемент. Запобігти виникненню дефектів у процесі виготовлення деталей - практично нездійсненне завдання. Тому дослідження впливу тріщиноподібних дефектів на міцність елементів конструкцій є перспективним напрямом сучасної науки.

Окремою актуальною задачею механіки руйнування є вивчення феномену закриття тріщин та його впливу на напружено-деформований стан і граничну рівновагу матеріалів та конструкцій. Як показують дослідження останніх років, взаємодія (налягання) поверхонь тріщин в стиснутій зоні істотно впливає на перерозподіл напружено-деформованого стану в околі дефектів і вносить корективи в показники міцності та довговічності тіл.

При теоретичному розгляді цього явища постають некласичні крайові задачі для тіл з розрізами, береги яких взаємодіють. Розв'язання таких задач для пластин та оболонок з наскрізними розрізами у тривимірній постановці, особливо за умов деформацій згином, спряжене зі значними обчислювальними труднощами. Тому перспективними виглядають моделі, які описують неповне по товщині закриття тріщин на підставі прикладних теорій пластин та оболонок.

На сьогодні в літературі відсутні системні дослідження задач згину пластин з ансамблем тріщин, береги яких контактують. Розглядалися, як правило, лише задачі для прямолінійних тріщин за умов симетричного відносно лінії дефекта навантаження. Наступним етапом цих досліджень є врахування в моделі контакту розривів дотичних компонент вектору переміщень, породжених довільною орієнтацією дефектів.

Дисертація присвячена розв'язанню наукового завдання - розвинути методи дослідження контакту берегів тріщин за згину пластин з метою встановлення закономірностей взаємодії тріщин та оцінки впливу їх закриття на напружено-деформований стан тонкостінних елементів конструкцій. Вирішення цього завдання є актуальним для механіки деформованого твердого тіла і відображає прикладні запити техніки щодо створення обґрунтованих методів розрахунку міцності дефектних тіл з урахуванням закриття тріщин.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Задачі, розглянуті у дисертаційній роботі, були частиною досліджень, проведених згідно наукових держбюджетних тем ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України "Механіко-математичні моделі взаємодії в оболонково-стрижневих системах з урахуванням сухого тертя та закриття тріщин" (номер державної реєстрації 0197U008957, 1996-2000 рр.), "Числово-аналітичні методи розв'язування мішаних задач теорії пластин та оболонок з врахуванням міжшарового тертя та взаємодії берегів тріщин" (номер державної реєстрації 0101U000194, 2001-2005 рр.). Дисертант - виконавець.

Мета і завдання досліджень. Метою досліджень дисертаційної роботи є встановлення закономірностей взаємодії тріщин та оцінка впливу контакту їх берегів на напружено-деформований стан пластин, що перебувають в умовах згінних навантажень.

Для досягнення поставленої мети було визначено такі завдання:

постановка задач згину нескінченних пластин з системою тріщин, береги яких гладко контактують;

побудова розв'язку сформульованих задач для випадку двох довільно орієнтованих тріщин з урахуванням можливості неповного по довжині дефектів контакту;

дослідження впливу циклічної симетрії та періодичності розташування тріщин на розподіл напружень в околі їх вершин;

вивчення взаємодії тріщин та щілин при згині пластин.

Об'єктом досліджень виступає напружено-деформований стан пластин в околах кінців тріщин та взаємовплив дефектів з врахуванням контакту їх берегів в умовах згінних деформацій.

Предметом досліджень є розвинення методики розв'язування задач згину нескінченних пластин з системами тріщин із врахуванням можливої взаємодії берегів дефектів.

Методи дослідження. Сформульовані задачі згину нескінченних пластин з тріщинами розв'язано з допомогою методу сингулярних інтегральних рівнянь. Побудова розв'язків інтегральних рівнянь здійснена асимптотичним методом малого параметра та числовим методом квадратур, включаючи ітераційну схему уточнення розв'язку у разі можливого порушення контакту берегів тріщин.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

розвинуто методику розв'язання задач згину нескінченних пластин з системами тріщин з урахуванням гладкого контакту їх берегів за наявності розривів дотичних компонент вектору переміщення;

розроблено ітераційну схему чисельного аналізу мішаних задач згину пластини з тріщинами з урахуванням можливості контакту лише на частині розрізів;

вперше сформульовано та розв'язано періодичні задачі згину пластин з довільно орієнтованими тріщинами з урахуванням контакту їх берегів;

уперше вивчено взаємовплив тріщин та щілин під час згину пластин.

Достовірність отриманих результатів зумовлена обґрунтованістю геометрично-лінійної постановки задач про контакт берегів тріщин при згині пластин; строгою реалізацією апробованих у літературі методів для асимптотичного та числового дослідження поставлених задач; узгодженням асимптотичних і числових розв'язків задач для віддалених дефектів; збігом результатів окремих часткових випадків з даними, одержаними іншими авторами.

Теоретичне значення роботи полягає у розвитку моделі контакту берегів тріщин за наявності антисиметричних мод деформування, у розробці ефективної методики розв'язування задачі згину пластини з системами довільно розташованих тріщин з урахуванням їх закриття. Виявлені факти відсутності контакту берегів тріщин, у тому числі і на частині довжини, при формулюванні складніших моделей можна відразу враховувати у постановці задачі. Отримані результати, позбавлені кінематичних протиріч, суттєво уточнюють напружено-деформований стан пластин в околі дефектів і можуть знайти практичне застосування в авіа-, машинобудуванні та будівельній індустрії для оцінки несучої здатності тонкостінних елементів конструкцій.

Особистий внесок здобувача. Дисертантом самостійно розв'язано усі наведені в роботі задачі, розроблено алгоритми та відповідне програмне забезпечення для отримання чисельного результату конкретних задач. У публікаціях, що висвітлюють дисертаційні дослідження та написані у співавторстві, виконана наукова робота розподіляється таким чином:

у роботі [1] науковий керівник І.П. Шацький зробив постановку задач, дисертант записав систему інтегральних рівнянь а також побудував асимптотичний та чисельний розв'язки; отримані результати проаналізовані авторами спільно;

у статтях [2, 4] здобувач розв'язав задачу про згин пластини з циклічною системою радіальних тріщин, співавторам належить аналіз граничної рівноваги;

у роботі [3] співавтору належить постановка задачі та обґрунтування структури розв'язку; конкретні задачі для тріщин, сполучених з щілинами, розв'язані дисертантом;

у публікаціях [7, 8] дисертантом отримані результати асимптотичного та числового дослідження взаємодії тріщин з контактуючими берегами.

Результати, опубліковані в роботах [5, 6, 9], отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися на ІІ Міжнародній конференції "Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій" (Львів, 1999), V Міжнародній науковій конференції "Математичні проблеми механіки неоднорідних структур" (Луцьк, 2000), 4-му та 6-му Міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків у Львові (1999, 2003), науково-технічних конференціях професорсько-викладацького складу Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу (Івано-Франківськ, 1998, 2002).

Дисертація в цілому доповідалася і обговорювалася на розширеному засіданні кафедри опору матеріалів ІФНТУНГ (Івано-Франківськ), на спільному семінарі відділу моделювання демпфуючих систем та відділу математичних методів механіки руйнування та контактних явищ ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України (Львів), на загальноінститутському науковому семінарі ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України (Львів), на науковому семінарі кафедри методів математичної фізики Одеського національного університету ім. І.І. Мечникова, на семінарі відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (Львів).

Публікації. Основні результати дисертаційних досліджень висвітлено у 9 публікаціях [1-9], серед яких 5 робіт [1-5]надруковані у фахових журналах, 2 - у збірниках наукових праць [6, 7], 2 тези доповідей [8, 9].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, загальних висновків та переліку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 138 сторінок, в тому числі 37 рисунків, 137 найменувань бібліографічного списку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми; сформульовано мету та завдання досліджень; наведено методи розв'язання поставлених задач; показано наукову новизну та достовірність отриманих результатів, їх теоретичне та практичне значення; наведено дані про апробацію результатів роботи, її зв'язок із науковими темами, подано кількість опублікованих праць за темою дисертації та особистий внесок здобувача.

У першому розділі висвітлено стан наукових досліджень з проблеми згину пластин з дефектами типу тріщин. Показано важливість врахування взаємодії берегів тріщин, спричинених деформацією згину, для усунення кінематичних суперечностей, притаманних класичним розв'язкам.

Відзначено цикл робіт, присвячених дослідженню згину пластин з системами тріщин за класичною та уточненими теоріями без урахування закриття дефектів. Перелічено результати плоскої та просторової задач теорії пружності, що враховують налягання поверхонь тріщини.

Наведено основні підходи до моделювання контакту берегів тріщин під час згину пластин: тривимірна теорія (R.S. Alwar, K.N. Ramachander Nambissan), модель контакту вздовж лінії в рамках класичних теорій згину та плоского напруженого стану (D.P. Jones, J.L. Swedlow, І.П. Шацький, В.В. Перепічка, О.М. Гузь, В.В. Зозуля, M.J. Young, C.T. Sun, В.К. Опанасович, І.С. Звізло) чи варіантів уточнених теорій пластин (F.S. Heming, M.V.V. Murthy та ін, P.F. Joseph, F. Erdogan, Y.W. Kwon, В.К. Опанасович, В.П. Новосад, Р.Г. Селіверстов).

Ефект закриття тріщин під час згину пластин досліджувався, як правило, для ізольованих дефектів чи їх найпростіших систем за умов симетричного відносно тріщини навантаження. Загальний випадок орієнтації системи тріщин з контактуючими берегами з урахуванням антисиметричних мод розкриття дефектів у літературі не розглядався. Невивченими є і задачі взаємовпливу тріщин та щілин при згині пластин.

У другому розділі подано суть двовимірної моделі гладкого контакту та з її використанням зроблено постановку задач про згин пластин з системами тріщин, береги яких взаємодіють. Описана схема зведення сформульованих крайових задач до системи сингулярних інтегральних рівнянь щодо невідомих стрибків переміщень і кутів повороту на лінії розрізів, наведено асимптотичний та чисельний алгоритми знаходження розв'язку інтегральних рівнянь.

Розглянута безмежна ізотропна пластина , послаблена системою прямолінійних наскрізних довільно орієнтованих розрізів (рис. 1). Геометрія їх розташування задається координатами () центрів в глобальній системі координат та кутами нахилу до осі . Пластина навантажена на безмежності рівномірно розподіленими моментами ; береги дефектів вільні від зовнішнього навантаження. Слід дослідити вплив можливого закриття тріщин та їх взаємного розташування на напружено-деформований стан пластини.

Взаємодія берегів тріщин порушує антисиметрію полів напружень відносно серединної поверхні. Тому напружено-деформований стан в пластині описуємо парою незв'язаних бігармонічних рівнянь узагальненого плоского напруженого стану та технічної теорії згину

. (1)

де - функція Ері, - прогин пластини,

- оператор Лапласа, - сукупність розрізів.

На безмежності задаються умови

(2)

Умови контакту на лініях тріщин сформульовано на основі гіпотези Кірхгофа у двовимірній постановці. У такому разі контакт берегів тріщини інтерпретуємо як змикання їх вздовж лінії, у яку вироджується деяка реальна двовимірна область контакту. У загальному випадку орієнтації дефектів їх розглянуто як розрізи з невідомими розривами переміщень в серединній поверхні , прогину та кута повороту нормалі . Припустивши, що , приймаємо, що лінія контакту лежить в одній з лицьових поверхонь. Вважається, що береги тріщин проковзують без тертя.

На рис. 2 зображено статичну кінематичну та силову схеми прийнятої моделі контакту берегів.

Цим схемам за геометрично лінійного підходу відповідають взаємопов'язані крайові умови гладкого контакту берегів тріщини на контурах

, , ,

, , . (3)

Тут - мембранні зусилля в серединній поверхні;

- згінний момент та узагальнена перерізуюча сила.

Розв'язок задачі (1) - (3) будували методом сингулярних інтегральних рівнянь. Після підстановки у граничні умови (3) інтегральних виразів зусиль та моментів через невідомі розриви переміщень і кутів повороту отримали систему сингулярних інтегральних рівнянь задачі:

,

,

,

, (4)

яку слід розв'язувати за додаткових умов однозначності переміщень та кутів повороту нормалі

(5)

Тут - регулярні ядра, залежні від взаємного розташування тріщин,

, ,

,

та - модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластини,

,

- відомі функції зовнішнього навантаження, які відповідають основному напруженому стану, - довільні сталі.

За розв'язками рівнянь (4), (5) можна обчислити коефіцієнти інтенсивності зусиль та моментів в околі вершин тріщин

, ,

, .

Завершується розділ описом відомих методів малого параметра та механічних квадратур для знаходження розв'язку системи (4).

Методом малого параметра, зокрема, вперше отримано асимптотичні розвинення функцій стрибків переміщень, кутів повороту та контактної реакції для будь-якої кількості прямолінійних довільно орієнтованих тріщин з врахуванням взаємодії їх берегів, яка за припущенням реалізується по всій довжині розрізів:

,

, ,

,

, ; (6)

(7)

Тут , , , , ,

, , ,

, ,

- коефіцієнти розвинення ядер за параметром ,

,

- поліноми,

.

У третьому розділі вивчалася взаємодія двох тріщин. На прикладі задачі згину пластини з двома довільно орієнтованими дефектами з урахуванням контакту їх берегів досліджено, що при певному розташуванні тріщин та деякому зовнішньому навантаженні можуть існувати зони без взаємодії країв розрізу. Це відбувається, коли перший член розвинення (7) не домінує. Таким чином, постає задача з мішаними граничними умовами на розрізах, причому межі точок розмежування ділянок контакту та вільного краю заздалегідь невідомі.

Для такої ситуації крайові умови задачі переформулювали до вигляду:

; (8)

; (9)

де - ділянка контакту; - область вільного краю ().

Для розв'язання сформульованої задачі (1), (2), (8), (9) з мішаними крайовими умовами на тріщинах розроблено ітераційний алгоритм числового розв'язку системи інтегральних рівнянь методом квадратур. Суттю ітераційної схеми є попереднє визначення лицьової площини, де береги змикаються (параметрів ), та наступне покрокове уточнення ліній контакту в цій площині. тріщина згин напружений контакт

Взаємодію дефектів вивчено на прикладі задачі двобічного згину пластини з двома однаковими взаємно перпендикулярними тріщинами (рис. 3).

На рис. 4, 5 подано залежності коефіцієнтів інтенсивності зусиль та моментів у вершинах першої (лівої) тріщини від параметра розташування

де - довжина тріщин, - відстань між центрами.

Вплив контакту берегів проявляється, по-перше, у зменшенні згінних моментів та появі співмірних мембранних зусиль в околі тріщин, по-друге, спостерігаються якісні зміни у поведінці коефіцієнтів інтенсивності зусиль та моментів - їх залежність від параметра уподібнюється до кривих, характерних для плоского напруженого стану. Особливо рельєфно ця тенденція проявляється у разі всебічного згину (криві 3).

Розподіл контактної реакції на берегах тріщин (рис. 6) свідчить про послаблення взаємодії берегів на другій тріщині зі зближенням дефектів (аж до порушення контакту).

Числовий аналіз задачі однобічного згину пластини з перпендикулярними тріщинами показав, що на ненавантаженій основним станом тріщині взаємодія берегів не спостерігається при . Встановлений факт є наслідком того, що мембранна складова поля напружень, породженого контактом берегів тріщин, домінує над відповідною складовою від реактивного згінного моменту.

Завершується розділ дослідженням взаємодії двох паралельних зсунутих тріщин. У результаті числового аналізу встановлено, що у місцях впливу вершин сусіднього дефекту відбувається послаблення взаємодії берегів. Якісна картина залежностей коефіцієнтів інтенсивності зусиль та моментів від параметрів розташування тріщин залишаються такою ж, як і в класичній задачі, закриття тріщин проявляється лише у кількісних змінах.

У четвертому розділі розглянуто циклічно симетричну та періодичну задачі згину пластин з системами тріщин, береги яких контактують. Оскільки всі дефекти перебувають в однакових умовах, то достатньо задовольнити граничні умови на одному з розрізів. Методом малого параметра та механічних квадратур знайдено й проаналізовано розв'язки поставлених задач. Досліджено вплив взаємного розташування тріщин на величини коефіцієнтів інтенсивності зусиль та моментів і на розподіл контактної реакції. Зокрема, у разі всебічного згину пластини з системою чотирьох тріщин завдовжки , центри яких розташовані на колі радіуса , а лінії утворюють з радіальними променями кут , має місце істотний перерозподіл зусиль та моментів в околі кінців тріщин, спричинений контактом берегів (рис. 7).

Окрім зміни характеру залежностей коефіцієнтів інтенсивності від параметра спостерігаємо зміни в локалізації можливого руйнування - з урахуванням закриття небезпечнішою стає інша вершина тріщини.

У останньому пункті розділу сформульована та числово розв'язана задача про згин пластини з періодичною системою взаємнозміщених тріщин (рис. 8), береги яких контактують. Виявлено, що зі зближенням дефектів взаємодія берегів загалом послаблюється. Закриття тріщин, як і для випадку двох дефектів, проявляється лише у кількісних змінах коефіцієнтів інтенсивності зусиль та моментів при збережені якісної картини їх залежності від параметрів взаємного розташування.

На рис. 9 подано графіки стрибків переміщень на берегах розрізів, підраховані при та довільному (). Розрив прогину набагато менший від стрибків мембранних переміщень, це підтверджує гіпотезу про те, що у межах прийнятої фізично та геометрично лінійної постановки.

У п'ятому розділі вивчена взаємодія тріщин та щілин при згині пластин. Під щілиною умовно розуміли математичний розріз з вільними від напружень краями, на якому допускався від'ємний стрибок переміщень.

Розглядається згин безмежної ізотропної пластини завтовшки , послабленої системою довільно орієнтованих прямолінійних розрізів, геометрія розташування яких вважається заданою. Частина розрізів - щілини, частина - тріщини.

Для описання напружено-деформованого стану пластини сформульована задача для пари бігармонічних рівнянь (1) з умовами (2) на безмежності та такими граничними умовами на розрізах:

умови вільного краю для щілин

,

, ; (10)

умови гладкого контакту для тріщин

;

. (11)

Задача (1), (2), (10), (11) зведена до системи сингулярних інтегральних рівнянь відносно невідомих функцій стрибка.

Як приклад розглянута взаємодія однакових тріщини і щілини у безмежній пластині. На основі асимптотичних та чисельних розв'язків задачі згину пластини з паралельними тріщиною та щілиною, а також із порівняльного аналізу результатів з випадками двох паралельних щілин і двох тріщин встановлено, що врахування взаємодії берегів на одному з двох паралельних дефектів призводить до зменшення концентрації напружень в околі кінців щілини, а неврахування контакту на щілині посилює концентрацію полів напружень в околі вершин тріщини. Крім того, контактні зусилля вздовж лінії тріщини значно послаблюються у середній ділянці при наближенні до щілини; при зближенні двох однакових тріщин взаємодія берегів дефектів є значно сильнішою.

У разі співвісного розташування тріщини та щілини отримано аналітичні розв'язки інтегральних рівнянь. Встановлено, що врахування чи неврахування взаємодії берегів на одному з дефектів не впливає на коефіцієнти інтенсивності зусиль та моментів в околі вершини співвісної тріщини. Відзначено зменшення коефіцієнтів згінного моменту () та появу ненульових на щілині при її наближенні до тріщини порівняно з випадком зближення двох щілин.

Насамкінець розглянута задача про симетричний згин пластини з прямолінійним розрізом, на якому чергуються ділянки із взаємодією його берегів та без взаємодії, причому координати точок розмежування дефектів задаються. По суті мали справу з системою тріщин, сполучених зі щілинами, причому на щілинах вимагається виконання умов (10), а на тріщинах - (11). Задача зведена до інтегрального рівняння Коші відносно реактивного моменту на підсистемі тріщин з контактуючими берегами з додатковими умовами однозначності переміщень лицьових поверхонь

.

і

- сукупність контурів тріщин і щілин відповідно.

Аналіз аналітичного розв'язку такої задачі проведено для випадків двох тріщин рівної довжини, вирощених з щілини. Показано (рис. 10), що на частині комбінованого дефекту, де береги контактують, його розкриття зберігаються такими ж самими, як і для суцільної тріщини. Вплив щілини виявляється на контактній реакції, яка у вершинах примикання щілини до тріщини має кореневу особливість. Аналогічні результати отримано і для двох щілин з тріснутою перемичкою.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У роботі вирішено наукове завдання - розвинути методи дослідження контакту берегів тріщин за згину пластин для встановлення закономірностей взаємодії тріщин та оцінки впливу їх закриття на напружено-деформований стан тонкостінних елементів конструкцій.

Отримано такі основні результати:

У двовимірній постановці на основі класичних теорій узагальненого плоского напруженого стану та згину пластин і моделі контакту вздовж лінії здійснена постановка нових задач про закриття системи прямолінійних тріщин під час згину нескінченної пластини. Враховано розриви дотичних компонент вектору переміщення.

На підставі уперше побудованих асимптотичних розв'язків систем інтегральних рівнянь сформульованих задач встановлено існування орієнтацій дефектів та навантаження, за яких взаємодія дефектів зумовлює порушення контакту берегів тріщин на окремих ділянках. Для розв'язування змішаних задач такого класу розроблено ітераційний алгоритм, який включає визначення лицьової площини, де береги змикаються, та наступне уточнення лінії контакту в цій площині.

Побудовано асимптотичні та числові розв'язки задачі про взаємодію двох перпендикулярних та паралельних (зсунутих) тріщин під час згину пластини з урахуванням контакту їх берегів.

Сформульовано та розв'язано циклічно-симетричну та періодичну задачі про контакт берегів довільно орієнтованих тріщин в зігнутій пластині.

Уперше здійснено постановку та побудовано розв'язки задач про взаємовплив тріщин (здатних до закриття) і щілин під час згину пластини.

У результаті проведених досліджень встановлено такі закономірності:

Як і для ізольованого дефекту, урахування контакту берегів системи тріщин кількісно призводить до зменшення коефіцієнтів інтенсивності моментів та до появи співмірних коефіцієнтів інтенсивності зусиль в їхніх вершинах.

Внесок мембранних зусиль, породжених контактом берегів сусідньої тріщини, у сумарне поле напружень переважає над відповідним вкладом згінних моментів. Як наслідок, взаємодія дефектів з урахуванням їх закриття частіше проходить за закономірностями, характерними для задач плоского напруженого стану, а не для задач згину.

Числово підтверджена гіпотеза, закладена у постановку лінійної задачі: стрибок прогину на два порядки менший від розкриття тріщини і може не враховуватися при формулюванні умов контакту.

Неврахування взаємодії берегів щілин дає зазвичай більшу концентрацію напружень як на щілині, так і на сусідній тріщині.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Шацький І., Даляк Т. Взаємовплив паралельних тріщин, береги яких контактують, при згині пластинки // Машинознавство. - 2000. - № 1. - С. 27-30.

2. Даляк Т., Перепічка В., Шацький І. Періодичні задачі контакту берегів тріщин при згині пластин // Машинознавство. - 2000. - № 4-5 (34-35). - С. 20-24.

3. Шацький І.П., Даляк Т.М. Про закриття тріщин, з'єднаних зі щілинами, в зігнутій пластині // Фіз. -хім. механіка матеріалів. - 2002. - 38, №1. - С. 24-30.

4. Шацький І.П., Даляк Т.М. Циклічно-симетрична задача згину пластини з системою тріщин, береги яких контактують // Машинознавство. - 2003. - № 5 (34-35). - С. 20-24.

5. Даляк Т.М. Згин пластини з періодичною системою паралельних взаємнозміщених тріщин, береги яких контактують // Фіз. -хім. механіка матеріалів. - 2004. - 40, №1. - С. 115-117.

6. Даляк Т.М. Про взаємодію тріщин з щілинами при згині пластинки // Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій (вип.2): В 3-х т. / Під заг. ред. Панасюка В.В. - Львів: Каменяр, 1999. - Т. 2. - С. 269-272.

7. Шацький І., Перепічка В., Даляк Т., Щербій А. Задачі теорії пластин та оболонок із взаємопов'язаними крайовими умовами на розрізах // Матем. проблеми механіки неоднорідних структур: В. 2-х т. - Львів: Каменяр, 2000. - Т. 2. - С. 51-54.

8. Шацький І.П., Даляк Т.М. Взаємодія симетричної та антисиметричної мод деформування в контактних задачах згину пластин з системами тріщин // Тез. доп. наук. -техн. конф. проф. -викл. складу ІФДТУНГ. - Івано-Франківськ, 1998. - С. 43-44.

9. Даляк Т. Взаємовплив перпендикулярних тріщин з контактуючими берегами при згині пластин // 6 Міжнар. симп. укр. інж. -механіків у Львові: Тез. доп. - Львів: Кінпатрі ЛТД. - 2003. - С. 52-53.

АНОТАЦІЯ

Даляк Т.М. Взаємодія тріщин при згині пластин з урахуванням контакту берегів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформованого твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів, 2004.

Дисертація присвячена дослідженню взаємодії тріщин з урахуванням їх закриття у пластинах, що згинаються. Контакт берегів тріщин змодельовано на основі гіпотези Кірхгофа у рамках двовимірних теорій узагальненого плоского напруженого стану та технічної теорії згину. За геометрично лінійного підходу враховано антисиметричні моди розкриття дефектів. Сформульовано нові задачі про згин безмежної пластини з системою прямолінійних довільно розташованих тріщин з урахуванням взаємодії їх берегів, отримано системи сингулярних інтегральних рівнянь щодо невідомих функцій стрибків переміщень та кутів повороту нормалі на лініях розрізів. Методами малого параметра та механічних квадратур знайдено та проаналізовано розв'язки задач про взаємодію двох взаємно перпендикулярних та паралельних зміщених тріщин, про вплив циклічно симетричного та періодичного розташування тріщин, про взаємодію тріщин та щілин у пластинах, що згинаються.

На основі знайдених розв'язків побудовані залежності коефіцієнтів інтенсивності зусиль та моментів у вершинах тріщин, контактного зусилля та функцій стрибків переміщень та кутів повороту нормалі вздовж розрізів від параметра взаємного розташування дефектів. У разі мішаних крайових умов на розрізах розроблено ітераційний алгоритм розв'язання сформульованих задач.

Встановлено, що з урахуванням закриття тріщин у їхній взаємодії частіше проявляються закономірності плоского напруженого стану, ніж згину.

Ключові слова: пластина, система тріщин, згин, контактна взаємодія.

ANNOTATION

Dalyak. T.M. Cracks interaction by plate bending taking into account edges contact. - Manuscript.

Thesis for the Candidate's Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 - Mechanics of Solids. - Pidstryhach Institute of Applied Problems of Mechanics and Mathematics of National Academy of Science of Ukraine, Lviv, 2004.

Dissertation is devoted to investigation of the crack interaction taking into account their closing in bending plates. The crack edge contact is modeled on the basis of Kirhoff's hypothesis within the framework of two-dimensional theories of the generalized plane stress and bending. The antisymmetrical mods of cracks opening are considered in case that geometrically linear approach. The new problems on infinite plate bending with the system of the arbitrarily located through-the-thickness cracks are formulated taking into account the edge contact, the systems of singular integral equations with the unknown functions of jumps of displacements and rotation angles on the cut lines are obtained. The problems solutions on interaction of the two mutually perpendicular and parallel oriented cracks, on influence of cyclically symmetric and periodical location of cracks, on interaction of cracks and slits in bending plates are found and analyzed by small parameter and quadrature methods. The dependences of forces and moments intensity factors in crack tips, contact force and functions of displacements and normal rotational angles are constructed on the basis of obtained solutions. An iteration algorithm of the formulated problems is developed in case that mixed-boundary condition at cuts. It has been found out, that behaviors of plane stress exhibit myself often by interaction of cracks taking into account their closing than ones of bending.

Key words: plate, cracks system, bending, contact interaction.

АННОТАЦИЯ

Даляк Т.М. Взаимодействие трещин при изгибе пластин с учетом контакта берегов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2004.

Диссертация посвящена исследованию взаимодействия систем трещин с учетом контакта их берегов при изгибе неограниченных пластин. Закрытие трещин смоделировано на основании гипотезы Кирхгофа в пределах классической теории изгиба пластин и обобщенного плоского напряженного состояния.

Проанализировано состояние научных исследований изгиба пластин с трещинами с учетом возможного взаимодействия их кромок, показана актуальность и новизна формулируемых задач.

Для исследования взаимодействия трещиноподобных дефектов сформулирована задача об изгибе пластины, содержащей систему сквозных прямолинейных произвольно ориентированных трещин с контактирующими берегами. Напряженно-деформированное состояние в пластине описано уравнениями обобщенного плоского напряженного состояния и технической теории изгиба с заданными напряжениями на бесконечности и взаимосвязанными условиями гладкого контакта берегов на разрезах. При этом в рамках геометрически линейного подхода учитываются и антисимметричные моды раскрытия трещин. Задача сведена к системе сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функций скачка перемещений и углов поворота нормали. Для решения системы использованы численный метод квадратур и асимптотический метод малого параметра.

Взаимовлияние трещин исследовано на примере задачи изгиба пластины с двумя произвольно ориентированными дефектами. На основании асимптотических решений показано, что имеет место явление частичного или полного отставания берегов трещин при определенных ориентациях разрезов и нагрузки. Для таких случаев разработана итерационная схема пошагового уточнения результатов, позволяющая решать задачу со смешанными краевыми условиями. Подробно изучен односторонний и двусторонний изгиб пластины с двумя взаимно перпендикулярными сближающимися трещинами, найдены и проанализированы численные решения этих задач, приведены графические зависимости коэффициентов интенсивности усилий и моментов от параметра взаимного расположения, а также распределение контактных усилий вдоль линий трещин. Установлено, что вклад мембранной составляющей суммарного поля напряжений, вызванного контактом берегов трещин, преобладает над вкладом изгибающего момента. Построены решения задачи изгиба пластины с двумя параллельными смещенными трещинами, приведены диаграммы зависимостей коэффициентов интенсивности усилий и моментов от параметра взаимного расположения, распределение контактного давления и разрывы перемещений на линиях разрезов.

Исследовано контактное взаимодействие берегов циклически симметричной и периодической системы произвольно наклоненных трещин в изгибаемой пластине.

Изучено взаимодействие трещин и щелей при изгибе пластин. Под щелью условно понимали математический разрез со свободными от напряжений краями, на котором допускался отрицательный скачок перемещений. Найдены числовые решения задач изгиба пластины с параллельными и коллинеарными трещиной и щелью. Отдельности рассмотрен изгиб пластины с соединенными трещинами и щелями.

Для всех задач выполнен сопоставительный анализ решений, полученных с учетом контакта берегов трещин и классических результатов, не учитывающих закрытие дефектов. Установлено, что закрытие трещин приводит к существенному уменьшению коэффициентов интенсивности моментов и появлению соизмеримых коэффициентов интенсивности усилий. Кроме того, с учетом контакта берегов трещин их взаимодействие чаще происходит по закономерностям, характерным для плоского напряженного состояния, а не для изгиба.

Ключевые слова: пластина, система трещин, изгиб, контактное взаимодействие.

Размещено на Allbest.ru