Згортки сингулярних розподілів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 519.21

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Згортки сингулярних розподілів

01.01.05 -- теорія ймовірностей і математична статистика

Гончаренко Яніна Володимирівна

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Працьовитий Микола Вікторович, Національний педагогічний університет імені М.П.Драгоманова, завідувач кафедри вищої математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Клесов Олег Іванович Національний технічний університет України “КПІ”, професор кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей;

кандидат фізико-математичних наук Виннишин Ярослав Федорович, Інститут математики НАН України, старший науковий співробітник відділу теорії випадкових процесів.

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.

Захист відбудеться 09.03. 2004 року о 16 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий 06.02. 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Загальна характеристика роботи

топологометричний фрактальний асимптотика

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена дослідженню структури (тобто вмісту абсолютно неперервної та сингулярної компонент), тополого-метричних і фрактальних властивостей згорток сингулярних розподілів сум випадкових рядів спеціального виду.

Сингулярні розподіли є найменш вивченим типом чистих розподілів ймовірностей. Раніше вважалось (Феллер В.), що вони не мають практичного значення, хоча “багато статистичних критеріїв грунтуються на їх існуванні”. В останній час інтерес до сингулярних розподілів ймовірностей значно зріс. Вони почали проявляти себе там, де раніше і не очікувались. За останні два десятиліття теорія сингулярних розподілів (загальна і індивідуальна) значно збагатилась, вона представлена в ряді монографій та журнальних публікацій. Т. Замфіреску (T. Zamfirescu) довів, що більшість неперервних монотонних функцій є сингулярними, оскільки сингулярні функції в метричному просторі всіх неперервних монотонних функцій з супремум-метрикою утворюють множину другої категорії Бера. Сьогодні ще не усвідомлена до кінця роль сингулярних розподілів ймовірностей як в теоретичному, так і в практичному аспектах.

Підвищення інтересу до сингулярних розподілів пов'язано також з тим, що вони зосереджені на фракталах. А останні, як відомо, сьогодні досить популярні в дослідженнях і застосуваннях. Теорія фракталів -- одна з найбільш прогресуючих галузей сучасної науки. Фрактали широко використовуються як в математиці, так і далеко за її межами. Зокрема, вони служать для створення адекватних моделей реальних процесів і явищ у фізиці, астрономії, матеріалознавстві, теорії протікання, біології тощо.

З сингулярними розподілами ймовірностей (випадковими величинами з сингулярними розподілами) пов'язано ряд важливих проблем теорії ймовірностей.

Проблема 1 пов'язана зі структурою згортки двох сингулярних розподілів, а саме: знайти критерій сингулярності (абсолютної неперервності) згортки двох сингулярних розподілів. Іншими словами, при яких умовах (необхідних і достатніх) згортка двох сингулярних функцій розподілу і , тобто функція

є сингулярною (абсолютно неперервною)?

Відомо, що згортка двох функцій розподілу буде дискретною функцією розподілу, якщо обидві її компоненти ( і ) -- дискретні; абсолютно неперервною, якщо хоча б одна з компонент є абсолютно неперервною; сингулярною, якщо одна з компонент сингулярна, а інша -- дискретна. Згортка двох сингулярних функцій розподілу може бути як абсолютно неперервною, так і сингулярною, або бути сумішшю (лінійною комбінацією з ненульовими коефіцієнтами) двох попередніх.

Важливість цієї проблеми неодноразово підкреслювали дослідники (наприклад, Е. Лукач, В. Золотарьов, В. Круглов, М. Працьовитий). Її розв'язання дозволить ближче підійти до розв'язання інших ймовірнісних проблем, а також багатьох суміжних проблем.

Проблема 2 пов'язана з поглибленням теореми Джессена-Вінтнера, яка стверджує, що cума збіжного з ймовірністю 1 ряду з незалежних дискретно розподілених випадкових величин (випадкова величина Джессена-Вінтнера) має чистий розподіл, тобто збіжна нескінченна згортка дискретних розподілів ймовірностей є чистим розподілом. Суть проблеми в тому, щоб знайти необхідні і достатні умови сингулярності (абсолютної неперервності) розподілу випадкової величини Джессена-Вінтнера.

Ця проблема в загальній постановці є надзвичайно складною. Багато дослідників робили спроби її розв'язати. Сотні статей присвячені її розв'язанню в різних класах випадкових величин.

Частковий, але дуже важливий, аспект цієї проблеми -- дослідження згорток Бернуллі.

Нагадаємо, що розподіл випадкової величини де -- незалежні дискретно розподілені випадкові величини, які приймають значення з ймовірностями , -- послідовність додатних чисел таких, що ряд збігається, і її функція розподілу називається нескінченною симетричною згорткою Бернуллі.

Цей об'єкт фігурує в дослідженнях з 30-х рр. ХХ століття. Його вивчали Джессен (Jessen B.) і Вінтнер (Wintner A.) (1935), Кершнер (Cershner R.) і Вінтнер (1935), Ердеш (Erdos P.) (1935), Кахане (Kahane J.P.) і Салем (Salem R.) (1958), Гарсіа (Garsia A.M.) (1962) та ін.

У випадку, коли , де , досліджувався тип розподілу випадкової величини в залежності від . Нехай -- множина таких для яких випадкова величина має сингулярний розподіл і -- множина таких , для яких розподіл є абсолютно неперервним. В 1939 р. Ердеш показав, що коли відповідне числу Пізо з , то . В 1940 р. Ердеш довів існування числа незалежного від такого, що майже всі з належать до . В 1962 р. Гарсія дав найбільш точний з існуючих до сьогодні опис множини . Він сформулював наступне припущення: майже всі належать . Це твердження довів Б.Солом'як в 1995 р., більш просте доведення цього факту дано Ю.Пересом та Б.Солом'яком, ними побудована більш загальна несиметрична модель: якщо приймають значення з ймовірностями i відповідно (), то майже всі з проміжку належать .

Значний інтерес до згорток Бернуллі відновився в 80-ті роки у зв'язку з їх важливістю для дослідження багатьох проблем динамічних систем (Alexander J.C. and Yorke J.A. (1984), Ledrappier F. (1994)). Нові результати з цієї проблематики були отримані Працьовитим М.В. (1992), Солом'яком Б. (Solomyak B.) (1995), Маулдіном (Mauldin D.) та Саймоном (Simon K.) (1998), Пересом (Peres) і Солом'яком (1998), Працьовитим М.В. і Торбіним Г.М. (1998). Ефективним інструментом вивчення згорток Бернуллі та їх узагальнень є -метод та його модифікації.

Для загального випадку критерію належності нескінченної симетричної згортки Бернуллі до кожного з чистих типів неперервних розподілів ще не знайдено.

Проблема 3: знайти слабкі достатні умови чистоти збіжної нескінченної згортки сингулярних розподілів ймовірностей (отримати сингулярний аналог теореми Джессена-Вінтнера).

Цій проблемі присвячені роботи В.Золотарьова, В.Круглова, Я.Виннишина, М.Працьовитого, але вона так і не розв'язана.

Проблема 4 (узагальнення теореми Джессена-Вінтнера з наступним поглибленням): описати класи граничних розподілів ймовірностей, що є чистими (чисто дискретними, чисто абсолютно неперервними, чисто сингулярними), тобто відшукати класи випадкових величин типу Джессена-Вінтнера, та знайти критерії їх сингулярності.

Робота в цьому напрямі ведеться з 80-х рр. Так Працьовитим М.В. доведено, що випадкова величина, елементи елементарного ланцюгового представлення якої є незалежними випадковими величинами, має чистий розподіл, причому не може мати абсолютно неперервного розподілу, а також, що випадкова величина символи поліосновного -представлення якої є незалежними також має чистий розподіл. Для таких випадкових величин проблема 4 повністю розв'язана, але існують інші класи випадкових величин типу Джессена-Вінтнера.

Проблема 5 полягає в дослідженні залежності фрактальних властивостей (розмірності Хаусдорфа-Безиковича або інших фрактальних розмірностей) суттєвого носія (множини ) згортки двох сингулярних розподілів від фрактальних властивостей носіїв її компонент. Зокрема, коли має місце рівність , де -- векторна (арифметична) сума двох числових множин?

Добре відомо, що спектр розподілу (мінімальна замкнена множина, на якій зосереджена ймовірність) суми двох незалежних випадкових величин є замиканням векторної суми спектрів доданків. Зокрема, спектром суми двох класичних канторівських сингулярних розподілів є відрізок . У зв'язку з цим багато властивостей суми двох незалежних сингулярно розподілених випадкових величин принципово не може бути сформульовано в термінах спектрів. Суттєвий носій значно тонше характеризує локальні властивості сингулярних розподілів. У зв'язку з цим виникає питання: "яким чином формується суттєвий носій суми двох незалежних сингулярно розподілених випадкових величин?"

Розв'язання цієї проблеми суттєво спростить дослідження згорток сингулярних мір.

Всі розглянуті проблеми можуть бути сформульовані в термінах теорії міри, теорії ймовірностей, теорії функцій і метричної теорії чисел. Отримані при розв'язанні цих проблем результати, безсумнівно, знайдуть своє застосування в теорії ймовірностей, теорії чисел, теорії динамічних систем (зокрема в дослідженнях критичних параметрів систем), теорії похибок, теорії збурень лінійних операторів, при створенні методів стиску та кодування графічної інформації.

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню проблем 1,2 і частково 5 для певних класів розподілів, а саме: вивченню типу розподілу, тополого-метричних і фрактальних властивостей згорток сингулярних розподілів випадкових величин виду

де -- послідовність незалежних випадкових величин, які набувають значень i з ймовірностями i (, ) відповідно; , , , причому

Випадкова величина є випадковою величиною Джессена-Вінтнера, тобто сумою збіжного ряду з дискретних випадкових величин, а її розподіл є узагальненням нескінченної симетричної згортки Бернуллі.

Якщо , то є випадковою величиною з незалежними двійковими цифрами. Її структура і фрактальні властивості добре вивчені. Задача про тип розподілу випадкової величини (1) повністю розв'язана Чатерджі (S.D.Chaterji) (пізніше ця ж задача розв'язується у роботі Марсальї (J.Marsaglia)). Хоча першим її розв'язанням по праву можна вважати роботу Салема (R.Salem), оскільки доведений ним критерій сингулярності функції , яка є насправді функцією розподілу випадкової величини у випадку її неперервності разом з теоремами Джессена-Вінтнера і П.Леві розв'язують проблему типу розподілу повністю. Aле завершених досліджень поведінки її модуля характеристичної функції нами не було виявлено. Тому такі дослідження проведені в даній роботі.

Згортка розподілів двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами є розподілом випадкової величини де -- незалежні випадкові величини, які набувають значень , , з ймовірностями відповідно.

Випадкову величину можна розглядати як випадкову величину представлену двійковим дробом з надлишковою цифрою 2, тобто набором цифр 0, 1, 2. Таке подання дійсного числа не єдине. Більше того, кожне число має континуальну множину різних представлень, що створює труднощі для розв'язання задач метричної теорії таких представлень і дослідження структури розподілу .

Для випадку однакової розподіленості цифр (, ) спочатку Виннишиним Я.Ф. в термінах випадкових матриць були знайдені достатні умови абсолютної неперервності. А невдовзі Працьовитим М.В. задача про тип розподілу була повністю розв'язана.

Варто відмітити, що Працьовитим М.В. розглядалась і більш загальна випадкова величина де -- незалежні випадкові величини, що набувають значень , , ... , з ймовірностями , , ..., (, ). Але задача про тип її розподілу при умові i до сьогодні не розв'язана.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційне дослідження проводилось в рамках досліджень фрактальних об'єктів, які здійснюються: в Інституті математики НАН України, на кафедрі вищої математики НПУ імені М.П.Драгоманова, в Боннському університеті.

Автор дисертаційної роботи є одним з виконавців наступних наукових проектів:

наукового проекту "Топологічні та метричні характеристики атракторів динамічних систем, що породжуються еволюційними задачами" (грант Державного фонду фундаментальних досліджень, проект 01.07 / 00081);

держбюджетних тем “Дослідження фракталів в теоріях чисел, функцій, розподілів ймовірностей”, “Фрактальна геометрія і її місце в професійній підготовці вчителя”;

Міжнародного наукового українсько-німецького проекту "Фрактальні властивості сингулярних розподілів ймовірностей".

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є вивчення структури (вмісту дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент) згорток розподілів випадкових величин, що є сумами випадкових рядів спеціального виду, а також тополого-метричних і фрактальних властивостей їх спектрів.

В роботі ставились наступні завдання:

дослідити асимптотику модуля характеристичної функції: а) випадкової величини з незалежними двійковими цифрами; б) згортки розподілів випадкових величин з незалежними двійковими цифрами;

знайти умови сингулярності (абсолютної неперервності) згортки розподілів випадкових величин з незалежними двійковими цифрами;

дослідити топологічні, метричні та фрактальні (обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича, знаходження критеріїв суперфрактальності та аномальної фрактальності) властивості спектра згортки розподілів двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами;

знайти необхідні і достатні умови належності сингулярного розподілу суми двох незалежних випадкових величин з незалежними двійковими цифрами до кожного з чистих типів сингулярних розподілів (канторівського, салемівського, квазіканторівського);

дослідити тип розподілу, топологічні, метричні та фрактальні властивості спектра згортки розподілів сум випадкових рядів з незалежними доданками спеціального виду;

обчислити розмірність Хаусдорфа-Безиковича розподілу кожного з названих типів випадкових величин (під розмірністю розподілу розуміється інфімум розмірностей всеможливих множин, на яких зосереджений розподіл).

Метoди дослідження. В роботі використовувались методи теорії ймовірностей, теорії міри, математичного аналізу, фрактального аналізу та методи вивчення розподілів ймовірностей, заданих за допомогою поліосновних -представлень.

Наукова новизна одержаних результатів. На захист виносяться наступні результати:

досліджено асимптотику модуля характеристичної функції випадкової величини з незалежними двійковими цифрами, а також згортки розподілів двох незалежних випадкових величин цього типу;

повністю досліджено топологічні та метричні властивості спектра згортки розподілів двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами;

користуючись методом характеристичних функцій знайдено достатні умови сингулярності розподілу суми двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами;

знайдено необхідні і достатні умови належності сингулярного розподілу суми двох незалежних випадкових величин з незалежними двійковими цифрами до кожного з чистих типів сингулярних розподілів;

користуючись методом нелінійного проектування нескінченних продакт-мір, знайдено достатні умови абсолютної неперервності розподілу суми двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами;

обчислено розмірність Хаусдорфа-Безиковича спектра згортки розподілів двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами;

показано, що довільна випадкова величина з незалежними двійковими цифрами може бути представлена у вигляді суми двох аномально фрактальних випадкових величин;

досліджено топологічні та метричні властивості спектра згортки двох незалежних випадкових величин, що є сумами випадкових рядів;

обчислено розмірність Хаусдорфа-Безиковича спектра згортки розподілів двох незалежних випадкових величин, що є сумами випадкових рядів;

обчислено розмірність Хаусдорфа-Безиковича розподілу кожного з названих типів випадкових величин.

Теоретичне і практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення і є певним внеском в теорію сингулярних розподілів. Їх можна трактувати також в термінах метричної теорії чисел і використовувати, зокрема, в теорії кодування дійсних чисел за допомогою надлишкового алфавіту. Результати дослідження напевно знайдуть своє застосування в подальших дослідженнях сингулярних розподілів та їх згорток.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що виносяться на захист, отримані автором самостійно. В роботах, опублікованих у співавторстві з науковим керівником Працьовитим М.В., Альбеверіо С. та Торбіним Г.М., Працьовитому М.В. та Альбеверіо С. належать загальна постановка задач і редагування отриманих результатів, Торбіну Г.М. в роботі [7] належить ідея доведення теореми 5, в роботі [8] -- теорема 3. До дисертації включені лише ті результати, що належать автору.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на наукових конференціях різних рівнів та наукових семінарах, зокрема на:

Сьомій Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 14-16 травня 1998 р.);

Восьмій Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (Київ, 11-14 травня 2000 р.);

Дев'ятій Міжнародній науковій конференції імені акад. М.Кравчука (Київ, 16-19 травня 2002 р.);

Міжнародній науковій конференції пам'яті Г.Вороного (Київ, 7-14 вересня 1998р.);

Третій Українсько-Скандинавській Міжнародній науковій конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (Київ, 8-12 червня 1999 р.);

Міжнародній конференції, присвяченій пам'яті Б.В.Гнєденка (Київ, 3-7 червня 2002 р.);

Українському математичному конгресі (Київ, 2001);

Всеукраїнській конференції "Алгебраїчні методи дискретної математики (теорія і методологія)" (Луганськ, 23-27 вересня 2002 р.);

Міжнародній конференції "Асимптотичні методи в теорії диференціальних рівнянь" (Київ, 16 грудня 2002 р.);

Першій Міжнародній науково-практичній конференції "Відкриті еволюціонуючі системи";

на засіданні семінару відділу теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту прикладної математики Боннського університету (керівник семінару: професор С. Альбеверіо);

на засіданні семінару відділу теорії випадкових процесів (керівник семінару: чл.-кор. НАН України Портенко М.І.);

на засіданні семінару “Оператори математичної фізики та фрактальний аналіз” (керівник семінару: академік НАН України Березанський Ю.М.);

на засіданні семінару "Числення Маллявена та його застосування" (керівник семінару: докт. фіз.-мат. наук Дороговцев А.А.);

на засіданні семінару з фрактального аналізу кафедри вищої математики НПУ імені М.П.Драгоманова (науковий керівник: докт. фіз.-мат. наук Працьовитий М.В.).

Публікації по темі дисертації. По темі дисертаційного дослідження опубліковано 26 робіт. З них 12 статей і 14 тез виступів на конференціях. Статті [1-3, 7-9,12], які містять основні результати роботи, опубліковані в журналах, що входять до переліку наукових фахових видань ВАК України.

Структура роботи. Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, що об'єднують 17 підрозділів, висновків, списку використаних джерел, що налічує 93 найменування. Обсяг дисертації 136 сторінок машинописного тексту.

Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюється мета і завдання (задачі) дослідження, проводиться короткий огляд літератури з тематики дослідження, висвітлюються основні результати дисертації та їх апробація.

В першому розділі “Згортки мір та розподілів ймовірностей”, який носить вступний характер, наводяться потрібні для подальших досліджень означення та результати з теорії розподілів та фрактального аналізу сингулярних розподілів.

В підрозділі 1.1 наводяться означення чистих типів розподілу та структури розподілу, а також чистих типів сингулярних розподілів і структури сингулярного розподілу.

В підрозділі 1.2 наведено необхідні означення з теорії фракталів (-мірної міри Хаусдорфа, розмірності Хаусдорфа-Безиковича, локальної розмірності Хаусдорфа-Безиковича, фрактальних, суперфрактальних, аномально фрактальних та мультифрактальних множин та розподілів) і описано суть фрактального підходу до дослідження сингулярних розподілів ймовірностей. В цьому підрозділі побудовано приклад мультифрактальної множини канторівського типу

де , яка має властивості:

1) ;

2) ;

3) для будь-якої точки множини має місце рівність: , де -- функція локальної розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

Також розглянуто узагальнення конструкції множини та розподіл випадкової величини, спектром якого є дана множина.

В підрозділі 1.3 описано метод характеристичних функцій для дослідження типу чистого розподілу за поведінкою модуля характеристичної функції на нескінченності, тобто за поведінкою величини .

Підрозділи 1.4 та 1.5 присвячені основним поняттям та проблемам, пов'язаним зі згортками розподілів ймовірностей, зокрема зі згортками розподілів випадкових величин Джессена-Вінтнера.

В підрозділі 1.6 досліджуються фрактальні властивості множини точок недиференційовності абсолютно неперервної та сингулярної функцій розподілу. Вводиться означення множини точок недиференційовності функції розподілу випадкової величини :

та суттєвого носія щільності розподілу випадкової величини :

Основними результатами цього підрозділу є наступні теореми.

Теорема 1.6.1. Для того щоб неперервно розподілена випадкова величина мала сингулярний розподіл, необхідно і достатньо, щоб .

Наслідок. Для того щоб неперервно розподілена випадкова величина мала сингулярний розподіл, необхідно і достатньо, щоб .

Теорема 1.6.2. Для того щоб випадкова величина мала абсолютно неперервний розподіл, необхідно і достатньо, щоб .

Наслідок. Для того щоб випадкова величина мала абсолютно неперервний розподіл, необхідно і достатньо, щоб .

Теореми 1.6.1 та 1.6.2 і наслідки з них показують, що для встановлення факту сингулярності (або абсолютної неперервності) розподілу випадкової величини досить обчислити ймовірність або .

Другий розділ роботи присвячений дослідженню типу розподілу згортки двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами, тобто випадкової величини виду , де -- незалежні випадкові величини, що набувають значень 0 i 1 з ймовірностями та відповідно.

В підрозділі 2.1 дається означення та наводяться результати про тип розподілу, тополого-метричні та фрактальні властивості спектра розподілу випадкової величини з незалежними двійковими цифрами. В підрозділі 2.2 досліджено поведінку модуля характеристичної функції розподілу даної випадкової величини на нескінченності.

Теорема 2.2.1. Для того, щоб характеристична функція випадкової величини задовольняла умову необхідно і достатньо, щоб ().

В підрозділі 2.3 розглядається сума двох незалежних випадкових величин i з незалежними двійковими цифрами, тобто випадкова величина:

, (2.3.1)

де незалежні випадкові величини набувають значень 0, 1, 2 з ймовірностями

.

Узагальненням випадкової величини є випадкова величина:

, (2.3.2)

де -- незалежні випадкові величини, які набувають значень 0, 1, 2 з ймовірностями , , (, ) відповідно.

Випадкова величина має чистий тип розподілу, оскільки задовольняє умови теореми Джессена-Вінтнера. За теоремою П.Леві випадкова величина має чисто дискретний розподіл тоді і тільки тоді, коли .

В підрозділі 2.3 наведені умови, при яких випадкову величину можна представити у вигляді суми двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами та вираз її функції розподілу.

Підрозділ 2.4 присвячений дослідженню поведінки модуля характеристичної функції випадкової величини на нескінченності.

Теорема 2.4.2. Для того, щоб для характеристичної функції випадкової величини мала місце рівність необхідно і достатньо, щоб

або (2.4.15)

В підрозділі 2.5 розв'язується задача про тип розподілу випадкової величини : знайдено достатні умови сингулярності та абсолютної неперервності .

Теорема 2.5.1. Якщо виконується одна з умов:

не існує границі ; 2) ; 3) то випадкова величина має сингулярний розподіл.

Наслідок. Якщо не існує границі або , то випадкова величина , яка є сумою двох незалежних випадкових величин з незалежними двійковими цифрами, має сингулярний розподіл.

Теорема 2.5.2. Якщо , то випадкова величина має абсолютно неперервний розподіл.

Теорема 2.5.3. Якщо , то випадкова величина має абсолютно неперервний розподіл.

В третьому розділі роботи досліджуються тополого-метричні та фрактальні властивості спектра згортки сингулярних розподілів випадкових величин з незалежними двійковими цифрами.

Основними результатами підрозділу 3.1 є теорема 3.1.3 (про міру Лебега спектра випадкової величини ) та теорема 3.1.4 (критерій належності сингулярного розподілу випадкової величини до кожного з чистих типів).

Нехай -- порядковий номер -го стовпця, у якому матриця має нуль в другому рядку, тобто, , , (послідовність може бути як скінченною, так і нескінченною); -- номер стовпця, у якому нуль міститься тільки в першому або третьому рядку (), причому , , .

Теорема 3.1.3. Міра Лебега спектра розподілу випадкової величини обчислюється за формулою , де -- натуральне число або ,

, (3.1.16)

Теорема 3.1.4. Кожен сингулярний розподіл випадкової величини є чистим, причому:

С-типу тоді і тільки тоді, коли

S-типу тоді і тільки тоді, коли

P-типу тоді і тільки тоді, коли

де M -- кількість k таких, що , -- визначено рівністю (3.1.16), -- кількість відмінних від нуля елементів послідовності .

Підрозділ 3.2 присвячений вивченню фрактальних властивостей спектра згортки розподілів двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами. Тут доведено формулу для обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича спектра випадкової величини (теорема 3.2.1), а також критерії суперфрактальності та аномальної фрактальності розподілу (теореми 3.2.2 і 3.2.3 та наслідки з них).

Теорема 3.2.1. Якщо послідовність є скінченною, то фрактальна розмірність спектра розподілу випадкової величини дорівнює 1. Якщо ж послідовність є нескінченною, то фрактальна розмірність обчислюється за формулою

, де , --

кількість неперекривних двійкових відрізків, які належать .

Теорема 3.2.2. Розподіл випадкової величини є суперфрактальним тоді і тільки тоді, коли , де визначається рівністю (3.1.16).

Наслідок 1. Розподіл випадкової величини є суперфраткальним тоді і тільки тоді, коли

Наслідок 2. Якщо , то .

Теорема 3.2.3. Розподіл випадкової величини є аномально фрактальним тоді і тільки тоді, коли .

Наслідок 1. Розподіл випадкової величини є аномально фрактальним тоді і тільки тоді, коли .

Наслідок 2. Якщо , то .

Теорема 3.2.4 стверджує, що для довільного дійсного числа існує розподіл випадкової величини такий, що , доведення цієї теореми містить алгоритм побудови такого розподілу.

Теорема 3.2.4. Нехай -- деяке дійсне число з відрізка [0;1]. Фрактальна розмірність спектра розподілу випадкової величини дорівнює тоді і тільки тоді, коли .

В підрозділі 3.3 обгрунтовано наступний факт: розподіл будь-якої випадкової величини з незалежними двійковими цифрами можна представити у вигляді згортки двох аномально фрактальних розподілів. Наведено розклад випадкової величини, що має рівномірний на [0;1] розподіл, в суму двох випадкових величин з аномально фрактальними спектрами.

Четвертий розділ роботи присвячений згорткам сум випадкових рядів спеціального виду.

В підрозділі 4.1 вводиться в розгляд випадкова величина, що є сумою випадкового ряду:

,

де , (4.1.1)

де -- незалежні випадкові величини, що набувають значень 0 i 1 з ймовірностями i відповідно (, ).

Розглядається сума двох незалежних випадкових величин i , представлених у вигляді (4.1.1): , де -- незалежні випадкові величини з наступними розподілами:

, .

Вона має вигляд: . (4.4.3)

Очевидно, що , , , ,

,

-- незалежні випадкові величини, що набувають значень 0 i 1 з ймовірностями , , , , відповідно (, ).

Для випадкової величини вивчаються тополого-метричні властивості її спектра (теорема 4.1.1).

Теорема 4.1.1. Спектр випадкової величини є ніде не щільною множиною, яка належить об'єднанню відрізків k-го рангу.

Міра Лебега спектра обчислюється за формулою:

.

В цьому ж підрозділі окремо розглянуто випадок, коли відношення є величиною постійною і дорівнює . Для цього випадку отримані наступні результати.

Теорема 4.1.2. Якщо = (), то спектр випадкової величини є ніде не щільною множиною нульової міри Лебега.

Теорема 4.1.3. Якщо = (), то розмірність Хаусдорфа-Безиковича спектра випадкової величини обчислюється за формулою

.

Для загального випадку знайдено критерії канторовості та квазіканторовості розподілу випадкової величини .

Теорема 4.1.4. Міра Лебега спектра випадкової величини дорівнює

Наслідок 1. Випадкова величина має сингулярний розподіл канторівського типу тоді і тільки тоді, коли .

Наслідок 2. Випадкова величина має ніде не щільний спектр додатної міри Лебега тоді і тільки тоді, коли .

Наслідок 3. Випадкова величина не може мати розподіл салемівського типу.

В підрозділі 2.2 обгрунтовано, що випадкову величину виду (4.1.3) можна розглядати як випадкову величину з незалежними -символами. Доведено критерій належності розподілу до кожного з чистих типів.

Теорема 4.2.1. Випадкова величина має чистий тип розподілу, причому

1) чисто дискретний тоді і тільки тоді, коли , (4.2.4)

2) чисто абсолютно неперервний тоді і тільки тоді, коли

, (4.2.5)

3) чисто сингулярний тоді і тільки тоді, коли нескінченні добутки (4.2.4) і (4.2.5) розбігаються до нуля.

В підрозділі 4.3 доведено, що при певних обмеженнях на елементи матриці при обчисленні розмірності Хаусдорфа-Безиковича будь-якої множини , елемети якої задані своїм -представленням, можна обмежити покриттями ранговими відрізками -розбиття.

Теорема 4.3.1. Якщо , то для будь-якої множини : де -- множина рангових відрізків n-го рангу -розбиття, тобто , -- множина всеможливих рангових відрізків -розбиття, тобто

,

-- розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини Е відносно даного класу покриттів .

В цьому підрозділі вводиться означення розмірності Хаусдорфа-Безиковича розподілу випадкової величини, а також доводиться формула її обчислення для розподілу даної випадкової величини .

Означення 4.3.1. Розмірністю Хаусдорфа-Безиковича розподілу випадкової величини називається величина , де B -- борелівська -алгебра підмножин числової осі, -- клас всеможливих “носіїв” розподілу випадкової величини , тобто .

Позначимо , , , .

Теорема 4.3.2. Якщо , то розмірність Хаусдорфа-Безиковича розподілу випадкової величини .

Теорема 4.3.2 використовується для обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича спектра згортки розподілів сум випадкових рядів, а також спектрів компонент згортки.

Теорема 4.3.3. Якщо і , , то розмірність Хаусдорфа-Безиковича спектра розподілу випадкової величини обчислюється за формулою: .

Наслідок 1. Якщо , то випадкова величина має cуперфрактальний розподіл ().

Наслідок 2. Якщо , то випадкова величина має аномально фрактальний розподіл ().

Теорема 4.3.4. Якщо , то .

Наслідок. Якщо , , то розмірність Хаусдорфа-Безиковича спектра випадкової величини дорівнює .

Висновки

Користуючись методом характеристичних функцій, знайдено достатні умови сингулярності розподілу випадкової величини , що є узагальненням суми двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами.

Знайдено достатні умови абсолютної неперервності розподілу випадкової величини .

Повністю досліджено топологічні та метричні властивості спектра випадкової величини , що є узагальненням суми двох випадкових величин з незалежними двійковими цифрами. Знайдено формули для обчислення його міри Лебега та розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

Знайдено необхідні і достатні умови належності сингулярного розподілу до кожного з чистих типів сингулярних розподілів.

Показано, що довільна випадкова величина з незалежними двійковими цифрами може бути представлена у вигляді суми двох аномально фрактальних випадкових величин.

Знайдено необхідні і достатні умови дискретності, абсолютної неперервності та сингулярності розподілу, що є згорткою розподілів сум випадкових рядів.

Обчислено розмірність Хаусдорфа-Безиковича розподілу (під розмірністю ймовірнісного розподілу розуміється інфімум розмірностей всеможливих множин, на яких зосереджений розподіл) згортки розподілів сум випадкових рядів та її компонент.

Описано спектр розподілу, що є згорткою розподілів сум випадкових рядів, знайдено формули для обчислення його міри Лебега та розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

Знайдено критерії належності сингулярного розподілу, що є згорткою розподілів сум випадкових рядів, до кожного з чистих сингулярних типів розподілу.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Гончаренко Я.В. Згортка двох сингулярних розподілів: салемівського і канторівського // Фрактальний аналіз та суміжні питання. -- К.: Інститут математики НАНУ - НПУ імені М.П.Драгоманова. -- 1998. - № 1. -- С. 88-90.

Гончаренко Я.В. Поведінка модуля характеристичної функції аномально фрактального розподілу на нескінченності // Фрактальний аналіз та суміжні питання. -- К.: Інститут математики НАНУ - НПУ імені М.П.Драгоманова. -- 1998. -- № 2. -- С. 142-148.

Гончаренко Я.В., Скуратівський Р.В. Структура і фрактальні властивості розподілу випадкової величини, трійки послідовних двійкових цифр якої утворюють складений ланцюг Маркова // Фрактальний аналіз та суміжні питання. -- К.: Інститут математики НАНУ - НПУ імені М.П.Драгоманова. -- 1998. -- № 2. -- С. 149-156.

Гончаренко Я.В. Мультифрактальні множини і розподіли ймовірностей // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- 1999. -- № 1. -- С. 228-233.

Працьовитий М.В., Торбін Г.М., Гончаренко Я.В. Сучасні задачі та проблеми сингулярних розподілів ймовірностей // Наукові записки. Зб. наук. статей НПУ імені М.П.Драгоманова. -- К.: НПУ, 2001. -- Вип. 42. -- С.18-20.

Albeverio S., Gontcharenko Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Convolutions of distributions of random variables with independent binary digits. -- Preprint SFB-611, Bonn, 2002. -- № 23. -- 20p.

Гончаренко Я.В., Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Тополого-метричні та фрактальні властивості згортки двох сингулярних розподілів випадкових величин з незалежними двійковими цифрами // Теор. ймов. та мат. стат. -- 2002. -- Вип. 67. -- С.9-13.

Гончаренко Я.В., Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Фрактальні властивості множин точок недиференційовності абсолютно неперервної та сингулярної функцій розподілу // Теор. ймов. та мат. стат. -- 2002. -- Вип. 65. -- С.27-34.

Гончаренко Я.В. Асимптотичні властивості характеристичної функції випадкової величини з незалежними двійковими цифрами та згортки сингулряних розподілів ймовірностей // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- 2002. -- № 2. -- С. 376-390.

Гончаренко Я.В., Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Критерії сингулярності та абсолютної неперервності випадкової величини в термінах ймовірності суттєвого носія щільності // Вісник НПУ імені М.П.Драгоманова. -- К.: НПУ імені М.П.Драгоманова, 2002. -- Випуск 1. -- С.156-158.

Albeverio S., Gontcharenko Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Fractal properties of the distributions of some class of random variables of the Jessen-Wintner type. -- SFB, Bonn, 2003. -- 26 p.

Гончаренко Я.В. Згортки розподілів сум випадкових рядів спеціального виду // Наукові записки НПУ імені М.П.Драгоманова. Фізико-математичні науки. -- 2003. -- № 3. -- С. 290-305.

Гончаренко Я.В. Властивості згортки сингулярних розподілів Салема і Кантора // Сьома Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 14-16 травня 1998 р., Київ. Матеріали конференції. -- Київ, 1998. -- С.118.

Yanina V. Gontcharenko The characteristic function of anomalously fractal distribution // The Third Ukrainian-Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics, June 8-12, 1999 -- P.48.

Гончаренко Я.В. Моделювання неоднорідних середовищ з мультифрактальною будовою // V Всеукраїнська наукова конференція "Фундаментальна та професійна підготовка фахівців з фізики": Тези допов. -- К.: НПУ, 2000. -- С. 154.

Гончаренко Я.В. Мультифрактальні розподіли ймовірностей та фрактальні властивості суперпозиції сингулярних функцій // Восьма Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 11-14 травня 2000 р., Київ. Матеріали конференції. -- Київ, 2000. -- С.426.

Працьовитий М.В., Торбін Г.М., Гончаренко Я.В. Сингулярні розподіли ймовірностей і проблеми, з ними пов'язані // Рік 2000 -- Всесвітній рік Математики: Матеріали міжвузівської науково-практичної конференції. -- Чернігів, 2000. -- С.52-54.

Гончаренко Я.В. Згортки сингулярних аномально фрактальних мір і фрактальні властивості фізичних систем // Фундаментальна та професійна підготовка вчителів фізики. Матеріали наукової конференції. -- Миколаїв, 2001. -- С. 181-187.

Гончаренко Я.В. Згортки сингулярних розподілів ймовірностей // Український математичний конгрес. Теорія ймовірностей і математична статистика. Тези доповідей. -- Київ: ІМ НАНУ, 2001. -- С.8.

Гончаренко Я.В. Розподіли випадкових величин з незалежними двійковими цифрами та їх згортки // Дев'ята Міжнародна наукова конференцёія імені академіка М.Кравчука, 16-19 травня 2002 року, Київ. Матреіали конференції. -- К., 2002. -- С.419.

Albeverio S., Goncharenko Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Distributions of random variables with independent s-adic digits // International Gnedenko conference, Kyiv, June 3-7, 2002. Abstracts. -- Kyiv, 2002. -- P.8.

Альбеверіо С., Гончаренко Я., Працьовитий М., Торбін Г. Тополого-метричні і фрактальні властивості множини дійсних чисел, представлених двійклвим дробом з надлишковою цифрою // Всеукраїнська конференція "Алгебраїчні методи дискретної математики (теорія і методологія)", Луганськ, 23-27 вересня 2002 р. -- Луганськ: Луганський державний педагогічний університет ім. Тараса Шевченка, 2002. -- С.59-62.

Гончаренко Я. Напівгрупа випадкових величин типу Джессена-Вінтнера і проблеми сингулярності згорток сингулярних розподілів // Всеукраїнська конференція "Алгебраїчні методи дискретної математики (теорія і методологія)", Луганськ, 23-27 вересня 2002 р. -- Луганськ: Луганський державний педагогічний університет ім. Тараса Шевченка, 2002. -- С.66.

Гончаренко Я.В. Розподіли випадкових величин з незалежними двійковими цифрами та їх згортки // Дев'ята Міжнародна наукова конференцёія імені академіка М.Кравчука, 16-19 травня 2002 року, Київ. Матреіали конференції. -- К., 2002. -- С.419.

Гончаренко Я.В. Згортки сингулряних розподілів випадкових величин з незалежними s-адичними цифрами // Міжнародна конференція "Асимптотичні методи в теорії диференціальних рівнянь": Тези допов., 16 грудня 2002 р., Київ. -- К.: НПУ імені М.П.Драгоманова, 2002. -- С. 10.

Гончаренко Я.В. Згортки сингулярних розподілів випадкових величин з незалежними двійковими цифрами // Перша Міжнародна науково-практична конференція "Відкриті еволюціонуючі системи": Матеріали конференції, 26-27 квітня 2002 р., Київ. - К.: ВНЗ ВМУРоЛ, 2002. - С.143.

Анотація

Гончаренко Я.В. Згортки сингулярних розподілів. -- Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальністю 01.01.05 -- теорія ймовірностей і математична статистика. Інститут математики НАН України. Київ, 2004.

Дисертація присвячена дослідженню структури (вмісту дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент), тополого-метричних і фрактальних властивостей згорток сингулярних розподілів сум випадкових рядів спеціального виду.

Досліджується розподіл випадкової величини, що є узагальненням згортки розподілів випадкових величин з незалежними двійковими цифрами, та згортки розподілів сум випадкових рядів з певними обмеженнями на члени ряду. Для обох вказаних розподілів знайдено умови дискретності, абсолютної неперервності та сингулярності розподілу; повністю досліджено топологічні та метричні властивості спектрів, знайдено формули для обчислення їх міри Лебега та розмірності Хаусдорфа-Безиковича; у випадку сингулярності розподілу знайдено необхідні і достатні умови належності його до кожного з чистих типів сингулярних розподілів. Обчислено розмірність Хаусдорфа-Безиковича згортки розподілів сум випадкових рядів спеціального виду. Показано, що довільна випадкова величина з незалежними двійковими цифрами може бути представлена у вигляді суми випадкових величин з аномально фрактальними розподілами.

Ключові слова: абсолютно неперервний та сингулярний розподіли, згортка розподілів, випадкові величини з незалежними двійковими цифрами, спектр розподілу, розмірність Хаусдорфа-Безиковича, випадкова величина Джессена-Вінтнера, характеристична функція.

Abstract

Goncharenko Yа.V. Convolutions of singular probability distributions. -- Manuscript. Ph.D. Thesis, Probability Theory and Mathematical Statistics -- 01.01.05. Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.

Thesis is devoted to the investigation of the structure, metric-topological and fractal properties of the convolutions of singular distributions of sums of special type random series. The generalization of the distribution of the convolution of distributions of random variables with independent binary digits is investigated. Convolutions of distributions of sums of special type random series are also studied in details. Conditions for singularity, absolutely continuity resp. discreteness are found for the above mentioned classes of probability distributions. Metric and topological properties of the corresponding spectra are completely studied, formulas for the determination of Lebesgue measure and the Hausdorff-Besicovitch dimension of the spectra are found. Necessary and sufficient conditions for the above singular distributions to be of the pure singular type are proved. The Hausdorff-Besicovitch dimension of the distribution of the convolution of the sum of special type random series is calculated. It is shown that any random variable with independent binary digits can be represented as a sum of random variables with anomalously fractal distributions.

Key words: absolutely continuous and singular probability distributions, convolution of probability distributions, random variables with independent binary digits, spectrum of distribution, Hausdorff-Besicovitch dimension, dimension of measure.

Aннотация

Гончаренко Я.В. Свертки сингулярных распределений. -- Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 -- теория вероятносией и математическая статистика. Институт математики НАН Украины. Киев, 2004.

В работе исследуются распределения случайных величин с независимыми двоичными цифрами, их свертки и обощения, а также свертки распределений сумм случайных рядов с независимыми слагаемыми специального вида, т.е. распределения случайных величин:

1. , где -- независимые дискретно распределенные случайные величины, которые принимают значения 0 и 1 с вероятностями и (, ) соответственно;

2. , где -- независимые дискретно распределенные случайные величины, которые принимают значения 0, 1 и 2 с вероятностями , и (, ) соответственно;

3. , де -- последовательность независимых случайных величин, которые принимают значения 0 и 1 с вероятностями и (, ) соответственно, , , , причем , .

Для случайных величин и исследовано поведение модуля характеристической функции на бесконечности, т.е. величину , где -- характеристическая функция распределения случайной величины : тогда и только тогда, когда () или При помощи метода характеристических функций, найдены достаточные условия сингулярности и необходимые условия абсолютной непрерывности распределения .

Описаны спектры распределений случайных величин и , т.е. минимальные замкнутые множества, на которых сосредоточена вероятность, полностью исследованы их топологические и метрические, включая фрактальные, свойства, найдены необходимые и достаточные условия принадлежности сингулярных распределений и каждому из чистых сингулярных типов (канторовскому, салемовскому, квазиканторовскому), доказано, что свертка распределений двух случайных величин с независимыми двоичными цифрами может иметь квазиканторовский тип, хотя сами компоненты свертки такими не бывают. Получены формулы для вычисления меры Лебега и размерности Хаусдорфа-Безиковича спектра, найдены критерии суперфрактальности (размерность Хаусдорфа-Безиковича спектра суперфрактального распределения равна 1) и аномальной фрактальности (размерность Хаусдорфа-Безиковича спектра аномально фрактального распределения равна 0) распределения случайной величины , найден алгоритм построения распределения случайной величины такого, что для произвольного числа размерность Хаусдорфа-Безиковича спектра распределения равна этому числу.

При помощи метода нелинейного проектирования бесконечных продакт-мер найдены достаточные условия абсолютной непрерывности распределения , а также необходимые и достаточные условия сингулярности и абсолютной непрерывности распределения .

Показано, что произвольную случайную величину с независимыми двоичными цифрами можна представить в виде суммы случайных величин с аномально фрактальными распределениями.

Для всех указанных выше распределений найдена размерность Хаусдорфа-Безиковича распределения (инфимум размерностей всех множеств, на которых сосредоточена вероятность) .

Ключевые слова: абсолютно непрерывное и сингулярное распределение, свертка распределений, случайная величина с независимыми двоичными цифрами, спектр распределения, размерность Хаусдорфа-Безиковича, случайная величина Джессена-Винтнера, характеристическая функция.

Размещено на Allbest.ru