Еволюція обертань твердого тіла під дією нестаціонарних відновлюючих і збурюючих моментів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Еволюція обертань твердого тіла під дією нестаціонарних відновлюючих і збурюючих моментів

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Проблема еволюції обертань твердого тіла відносно нерухомої точки здавна привертає увагу механіків і математиків. Дослідження обертання важкого тіла почалося в середині XVIII століття і продовжується до наших днів. В останні десятиліття здобуто багато нових розв'язків задач, запропоновані нові форми рівнянь, розвинуті нові методи їх досліджень. В результаті цього кількість точних розв'язків збільшилась майже в два рази порівняно з їх кількістю в першій половині XX століття, в першу чергу завдяки роботам представників Донецької школи механіків.

Добрі результати при вивченні збурених обертових рухів твердого тіла дає застосування метода усереднення. Цей метод широко використовувався в небесній механіці і був сформульований і обгрунтований в працях М.М. Крилова і М.М. Боголюбова. Вперше методика усереднення була застосована для дослідження збурених обертових рухів супутника відносно центра мас в працях В.В. Белецького і Ф.Л. Черноуська.

В роботі досліджуються збурені обертові рухи твердого тіла відносно нерухомої точки, близькі до випадку Лагранжа, під дією відновлюючих та збурюючих моментів. Відновлюючі моменти залежать від: а) повільного часу; б) кута нутації та сумісної дії цих факторів. Збурюючі моменти обумовлені впливом: а) повільно змінного часу; б) середовища з опором; в) оптимального по швидкодії гасіння екваторіальної складової вектора кутової швидкості обертання і деяких комбінацій вказаних збурюючих факторів.

Такі задачі виникають в зв'язку з вивченням руху супутників відносно центра мас, в динаміці гіроскопів, при некерованому просторовому русі тіла в атмосфері. Диференціальні рівняння цих систем нелінійні, тому їх дослідження зустрічає серйозні математичні труднощі. Асимптотичні методи є потужним апаратом дослідження проблем динаміки твердого тіла.

Дослідження у вказаних напрямках проводяться на протязі ряду років. Задачам еволюції обертового руху твердого тіла відносно центра мас під дією різних збурень присвячені роботи В.В. Белецького, В.Г. Дьоміна, В.М. Кошлякова, Г.Е. Кузмака, Ф.Л. Черноуська, Л.Д. Акуленка, О.М. Ковальова, О.Я. Савченка, Д.Д. Лещенка, В.В. Сазонова, В.В. Сидоренка, В.С. Асланова, Simpson H.C., Gunzburger M.D. та інших.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематику дисертації включено до плану наукових досліджень кафедри теоретичної механіки Одеської державної академії будівництва та архітектури на 2000-2004 роки.

Мета і задачі дослідження. Об'єкт дослідження тверде тіло, предмет дослідження збурені обертові рухи твердого тіла, близькі до випадку Лагранжа. Основна мета дисертації полягає в тому, щоб встановити вплив моментів сил різної фізичної природи на збурені обертові рухи твердого тіла відносно нерухомої точки, близькі до випадку Лагранжа.

Метод дослідження. Для аналізу нелінійної системи рівнянь руху застосовується метод усереднення. Систему рівнянь руху твердого тіла необхідно звести до стандартного вигляду систем з однією або декількома обертовими фазами, тобто розділити всі змінні на повільні та швидкі. Далі аналіз усередненої системи проводиться за допомогою якісних та аналітичних методів теорії диференціальних рівнянь.

Наукова новизна отриманих результатів визначається наступними положеннями:

1. Досліджено обертальні рухи твердого тіла, близькі до регулярної прецесії у випадку Лагранжа, під дією збурюючого моменту сил, повільно змінного з часом. Вивчені випадки різних порядків мализни і однакових порядків мализни проекцій вектора збурюючого моменту. Розглянуті конкретні механічні моделі збурень.

2. Досліджено збурені обертання твердого тіла, близькі до регулярної прецесії у випадку Лагранжа, під дією нестаціонарних відновлюючого і збурюючого моментів. Розглянуті приклади.

3. Вивчена еволюція обертань твердого тіла, близька до регулярної прецесії у випадку Лагранжа, під дією відновлюючого моменту, залежного від повільного часу і кута нутації, а також збурюючого моменту, повільно змінного з часом. Розв'язані конкретні задачі динаміки і керування обертаннями твердого тіла, які мають самостійне значення для застосувань.

Практичне значення отриманих результатів дисертації полягає в тому, що в ній дано якісний і кількісний аналіз руху твердого тіла під дією ряду збурень, які зустрічаються на практиці в динаміці супутників і гіроскопів.

Особистий внесок здобувача. В опублікованих роботах [1-8] досить повно відображені результати дисертації. У загальних публікаціях дисертанту належить розв'язання поставлених перед ним задач, аналітичні і чисельні розрахунки. В статтях [3, 5-8] здобувач провів усереднення систем рівнянь та розглянув конкретні випадки відновлюючих і збурюючих моментів. Співавторам належить визначення напрямку досліджень, постановка задач, участь в аналізі отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи були повідомлені і обговорені на:

· ХХІІ наукових читаннях з космонавтики (Москва - 1998),

· сьомій і дев'ятій Міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука (Київ 1998, 2002),

· третьому і четвертому Міжнародних симпозіумах по класичній та небесній механіці (Великі Луки 1998, 2001),

· конференції «Dynamics Days Europe 2002» (Гейдельберг, Німеччина 2002),

· Міжнародній конференції «Стійкість, керування і динаміка твердого тіла» (Донецьк - 1999, 2002),

· Міжнародній конференції «Диференціальні та інтегральні рівняння» (Одеса 2000),

· Всеросійських конференціях з проблем математики, інформатики, фізики, хімії та методики викладання природознавчих дисциплін (Москва - 2001, 2002),

· Міжнародній конференції «Автоматика 2001» (Одеса - 2001),

· Міжнародних конференціях «Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation» (Київ - 1999, 2001),

· восьмому Всеросійському з'їзді з теоретичної та прикладної механіки (Перм - 2001),

· VIII Четаєвській Міжнародній конференції «Аналітична механіка, стійкість і керування рухом» (Казань - 2002),

· шостій науковій конференції «Нелінійні коливання механічних систем» (Нижній Новгород - 2002),

· VII Міжнародному семінарі «Стійкість і коливання нелінійних систем керування» (Москва - 2002),

· семінарі з загальної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України під керівництвом член-кореспондента НАНУ О.М. Ковальова (Донецьк2004),

· наукових семінарах кафедри теоретичної механіки ОДАБА під керівництвом професора Д.Д. Лещенка (Одеса, 20002004).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 8 роботах, серед яких 5 статей в збірниках наукових праць, 3 роботи в наукових журналах.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційну роботу викладено на 128 сторінках, вона складається з вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаної літератури. Бібліографія містить 84 джерела і розташована на 8 сторінках.

Дисертант висловлює щиру подяку за підтримку, цінні поради і допомогу доктору фізико-математичних наук, головному науковому співробітнику Акуленку Леоніду Денисовичу і науковому керівникові, доктору фізико-математичних наук, професору Лещенку Дмитру Давидовичу.

Основний зміст

обертальний рух прецесія лангранж

У вступі обгрунтовано актуальність досліджень, сформульовано мету та задачі дослідження, вказано наукову новизну та практичне значення результатів.

У першому розділі дано огляд літератури по темі дисертації, охарактеризовано стан проблеми, відмічено основні напрямки досліджень.

В другому розділі досліджуються збурені рухи твердого тіла, близькі до регулярної прецесії у випадку Лагранжа, під дією постійного відновлюючого моменту та збурюючого моменту, який повільно змінюється з часом. Рівняння руху мають вигляд:

(1)

(2)

Тут p, q, r проекції вектора кутової швидкості на головні вісі тіла, які проходять через точку О; проекції вектора збурюючого моменту на ці ж вісі, вони залежать від повільного часу = t ( << 1 - малий параметр, t - час) і є періодичними функціями кутів Ейлера , , з періодами 2, де кут власного обертання, кут прецесії, кут нутації; A екваторіальний, C осьовий момент інерції тіла відносно точки О. Припускається, що на тіло діє відновлюючий момент, максимальна величина якого дорівнює k. Дослідження проводяться при різних наборах і припущеннях відносно порядку мализни та величин збурюючих моментів.

В підрозділі 2.1 розглянуто збурені рухи Лагранжа при наступних вихідних припущеннях:

. (3)

Ці припущення означають, що кутова швидкість достатньо велика, її напрямок близький до осі динамічної симетрії тіла, дві проекції вектора збурюючого моменту на головні вісі інерції тіла малі порівняно з відновлюючим моментом, а третя одного з ним порядку. Відповідна стандартна система є двочастотною, причому відношення частот стале. В цьому випадку усереднення нелінійної системи еквівалентно усередненню квазілінійної системи з постійними частотами. Здобута усереднена система рівнянь в першому наближенні для нерезонансного та резонансного випадків. В якості приклада запропонованої методики досліджується рух Лагранжа з врахуванням моментів, які діють на тверде тіло з боку зовнішнього середовища.

В підрозділі 2.2 вивчаються збурені рухи вовчка Лагранжа. Припускається, що збурюючі моменти одного порядку мализни з відновлюючим моментом:

. (4)

Вводиться малий параметр, застосовується метод усереднення. Розв'язок першого наближення дає тривіальний результат, він потім уточнюється шляхом розрахунку другого наближення. Розглянуто конкретні моделі збурень.

У третьому розділі досліджуються збурені рухи динамічно симетричного твердого тіла навколо нерухомої точки О під дією відновлюючого моменту, залежного від кута нутації , і збурюючого моменту, який повільно змінюється з часом. В підрозділі 3.1 розглянуто вказані збурені рухи з припущенням, що кутова швидкість достатньо велика, а відновлюючий і збурюючий моменти малі з означеною ієрархією мализни компонентів (3). Відзначимо, що відношення частот виявляється сталим, що дозволяє обгрунтувати застосування методу усереднення для нерезонансного та резонансного випадків. Проведено усереднення та зінтегровані усереднені рівняння для повільних змінних, які характеризують еволюцію обертань твердого тіла для збурюючого моменту сил симетричної лінійної дисипації з боку зовнішнього середовища та малих керуючих моментів.

Підрозділ 3.2 присвячено дослідженню руху вовчка Лагранжа у випадку, коли проекції вектора збурюючого моменту на головні вісі інерції тіла одного порядку мализни з відновлюючим моментом (4). Здобуті і досліджуються усереднені системи рівнянь руху в першому та другому наближенні. Для руху тіла в середовищі з опором, а також при керуванні екваторіальною складовою вектора кутової швидкості визначена еволюція кутів прецесії і нутації в другому наближенні.

В четвертому розділі вивчається еволюція обертань твердого тіла, близьких до регулярної прецесії, під дією відновлюючого і збурюючого моментів сил, які повільно змінюються з часом. Перші два рівняння руху мають вигляд:

(5)

Ця система доповнюється рівняннями (2).

В підрозділі 4.1 розглянуто збурені обертальні рухи гіроскопа Лагранжа. Припускається, що кінетична енергія тіла набагато більше потенціальної енергії, обумовленої відновлюючим моментом, дві проекції вектора збурюючого моменту малі порівняно з відновлюючим моментом, а третя одного з ним порядку.

Нерівності (3) дають можливість ввести наступні співвідношення:

 (6)

Функції K, M_i, а також змінні і сталі P, Q, r, ш, и, A, C припускаються обмеженими величинами порядку одиниці при .

Ставиться задача дослідження асимптотичної поведінки розв'язків системи (2), (5) при малому , якщо виконані умови (3), (6). Дослідження буде проводитись методом усереднення на інтервалі часу порядку -¹.

Використовуючи співвідношення

як формули заміни змінних, перейдемо в системі (2), (5) від змінних до нових змінних . Після ряду перетворень дістанемо більш зручну для подальшого дослідження систему семи рівнянь:

Тут .

Розглянемо систему (7) з точки зору використання методу усереднення. В перших двох розділах вивчались випадки, коли . В даному розділі залежність відновлюючого моменту від повільного часу привела до появи в перших двох рівняннях системи (7) доданка, який містить похідну .

Система (7) містить повільні змінні , і швидкі змінні . Так як проекції вектора збурюючого моменту періодичні по ц з періодом 2р, то функції є періодичними функціями з періодом 2. В цьому випадку система (7) містить дві обертові фази і відповідні їм частоти змінні. Істотною особливістю системи (7) є те, що відношення частот стале . Тому усереднення нелінійної системи еквівалентно усередненню квазілінійної системи зі сталими частотами.

Розв'язано задачі механіки та керування обертаннями твердого тіла, які мають самостійне значення для застосувань. Зокрема, розглянуто задачу про зведення вовчка до «сплячого стану» за допомогою малих керуючих моментів. Закони керування відповідають оптимальному по швидкодії гасінню екваторіальної складової вектора кутової швидкості обертання.

Далі за допомогою методу усереднення побудовані наближені розв'язки системи (15) в загальному вигляді. Розглянуто приклади.

Залежність відновлюючого моменту від повільного часу та кута нутації привела до появи доданка ₂ в виразах для проекцій p, q вектора кутової швидкості. Оскільки функція обмежена, то доданки також є обмеженими і .

В підрозділі 5.2 досліджуються збурені обертання гіроскопа Лагранжа. Тіло припускається швидко закрученим, а компоненти вектора збурюючого моменту одного порядку мализни з відновлюючим моментом (4). Зробивши в системі (18), (2) заміну змінних і ряд перетворень, здобудемо систему рівнянь:

 (21)

Рівняння для аналогічне . Вирази для ідентичні виразам системи (15). Система рівнянь (21) зводиться до вигляду (16). Залежність відновлюючого моменту від повільного часу та кута нутації, привела до появи в рівняннях для і частинних похідних, що ускладнює знаходження розв'язків цієї системи.

Для нелінійної двочастотної системи здобуті системи рівнянь в першому та другому наближеннях. Для руху тіла в середовищі з опором знайдені вирази для повільних змінних в першому наближенні. Однак в цих формулах для кутів прецесії і нутації не враховується вплив збурень. Тому для вказаних змінних знайдено вирази в другому наближенні:

(22)

, (23)

Доданки для кута прецесії (22) і для кута нутації (23) є добутком експоненціально спадного співмножника , обумовленого дисипацією енергії, та коливного співмножника. Ці доданки визначають залежність кутів прецесії та нутації від збурюючого моменту. Поява інтегралів в і доданку обумовлена залежністю відновлюючого моменту від повільного часу та кута нутації. Дані доданки доповнюють відомі з наближеної теорії гіроскопів вирази для кутової швидкості прецесії .

Висновки

В дисертації отримано наступні результати, які виносяться на захист:

1. Досліджено новий клас рухів вісесиметричного тіла з урахуванням нестаціонарних збурюючих моментів. Розроблено процедуру усереднення для здобутої істотно нелінійної системи в нерезонансному та резонансному випадках.

2. Вивчено збурений рух твердого тіла навколо нерухомої точки під дією відновлюючого моменту, залежного від кута нутації , і збурюючого моменту, який повільно змінюється з часом.

3. Вперше розглянуто обертові рухи динамічно симетричного твердого тіла відносно нерухомої точки з урахуванням нестаціонарних збурюючого та відновлюючого моментів.

4. Досліджено новий, найбільш широкий з відомих в літературі, клас обертових рухів динамічно симетричного твердого тіла відносно нерухомої точки з урахуванням нестаціонарного збурюючого моменту, а також відновлюючого моменту, повільно змінного з часом і залежного від кута нутації. Розв'язані задачі механіки та керування обертаннями твердого тіла, які мають значення для застосувань.

Список основних публікацій за темою дисертації

1. Кушпиль Т.А. Исследование эволюции вращений твёрдого тела, близких к случаю Лагранжа, методом усреднения // Крайові задачі для диф. рівнянь: Зб. наук. пр. К.: Ін-т математики НАН України, 1999. Вип. 4 С. 109113.

2. Кушпиль Т.А., Тимошенко И.А., Лещенко Д.Д. Некоторые задачи эволюции вращений твёрдого тела под действием возмущающих моментов // Механика твердого тела (Донецк). 2000. Вып. 30. - С. 119125.

3. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Эволюция вращений волчка Лагранжа под действием возмущающего момента сил, медленно изменяющегося во времени // Вісник Одеськ. держ. ун-ту. - 2000. - Т. 5, Вип. 3., Фіз.-мат. науки. - С. 102-108.

4. Akulenko L. Leshchenko D, Kushpil T. and Timoshenko I. Problems of Evolution of Rotations of a Rigid Body under the Action of Perturbing Moments // Multibody System Dynamics. 2001. - Vol.6, №1. - Р. 3-16.

5. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Возмущенные вращательные движения твёрдого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента, зависящего от угла нутации // Механика твердого тела (Донецк). - 2001. - Вып. 31. - С. 57-62.

6. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Возмущенные вращения твёрдого тела под действием нестационарного восстанавливающего момента // Механика твердого тела (Донецк). 2002 - Вып. 32. - С. 7784.

7. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Эволюция вращений твёрдого тела под действием восстанавливающего и управляющего моментов // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2002.№6. - С. 3238.

8. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Вращения твёрдого тела под действием нестационарных восстанавливающего и возмущающего моментов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2003.№2. - С. 312.

Размещено на Allbest.ru