Метод побудови розв’язків нелінійних крайових задач теорії прямокутних пластин

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 539.3

МЕТОД ПОБУДОВИ РОЗВ'ЯЗКІВ НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ПРЯМОКУТНИХ ПЛАСТИН

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ПАСІЧНИК Володимир Анатолійович

Дніпропетровськ 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного моделювання Дніпропетровського національного університету Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Кузьменко Василь Іванович, Дніпропетровський національний університет, професор кафедри математичного моделювання

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Карнаухов Василь Гаврилович, Інститут механіки НАН України (м. Київ), завідувач відділу термопружності

доктор фізико-математичних наук, професор Павленко Анатолій Васильович, Національна металургійна академія України (м. Дніпропетровськ), завідувач кафедри вищої математики

Провідна установа Національний технічний університет “Харківський політехнічний інститут” Міністерства освіти і науки України, кафедра прикладної математики

Захист дисертації відбудеться “27” лютого 2004 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49700, м. Дніпропетровськ, пр. К.Маркса, 35, корп.3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: 49700, м. Дніпропетровськ, пров. Науковий, 13.

Автореферат розісланий “17” січня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради, доцент А. П. Дзюба

Загальна характеристика роботи

Тонкі пружні пластини мають широке застосування як основні елементи конструкцій у різних галузях сучасної техніки. При цьому вимоги до міцності таких конструкцій постійно зростають. У зв'язку з цим важливе значення має розробка методів побудови розв'язків та дослідження крайових задач теорії пластин на основі математичних моделей, що описуються нелінійними диференціальними рівняннями.

Основи сучасної теорії побудови розв'язків нелінійних крайових задач закладено у фундаментальних роботах А.Пуанкаре, О.М.Ляпунова, О.М.Крилова, Г. Каудерера, В.В. Болотіна, І.Г. Бубнова, Е.І. Григолюка, М.М. Боголюбова, Ю.О.Митропольского, А.О.Дородніцина, С.П.Тимошенко, М.М. Моісєєва, О.М. Гузя, Ю.М. Неміша, Я.Ф. Каюка, В.Л. Рвачева та багатьох інших зарубіжних і вітчизняних вчених.

Актуальність теми. Напружено-деформований стан пластин для більшості випадків їх практичного застосування більш точно описується нелінійними математичними моделями, що враховують як згин, так і видовження серединної поверхні пластини. У зв'язку з цим проблема розробки аналітичних методів побудови розв'язків і дослідження відповідних нелінійних крайових задач статики теорії пластин на основі нелінійних моделей Кірхгофа-Бергера є досить актуальною. Особливо важливе значення для удосконалення і широкого застосування пластин у інженерній практиці має розробка методів побудови розв'язків та дослідження нелінійних моделей теорії пластин у разі складних крайових умов, що не допускають відокремлення просторових змінних. У роботі для побудови розв'язків вказаних задач запропоновано новий асимптотичний підхід на основі методів збурення виду крайових умов та дробово-раціонального перетворення Паде одержаного відрізку ряду збурень. Запропонований підхід дозволяє отримати якісну інформацію про напружено-деформований стан пластини, а також дає можливість провести дослідження впливу різних факторів, таких як геометричні, фізичні характеристики та умови закріплення на поведінку конструкції.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відповідності з планами кафедри математичного моделювання Дніпропетровського національного університету і пов'язана з розробкою координованої Міністерством освіти і науки України держбюджетної теми №04-26-97 “Розробка математичних моделей і методів дослідження деформування, ушкодження і контактної взаємодії елементів конструкцій з урахуванням ускладнюючих факторів їх функціонування”, виконавець Дніпропетровський національний університет (№0197U000665).

Мета і задачі дослідження. Головною метою дисертаційної роботи є розробка нового методу і вдосконалення методології дослідження задач згину пластин на основі побудови розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь Кірхгофа-Бергера для складних крайових умов.

Основні задачі, обумовлені метою дослідження:

1. Розробка методу побудови розв'язків нелінійних крайових задач теорії згину пластин на основі моделей Кірхгофа-Бергера з застосуванням методу збурення виду крайових умов та дробово-раціонального перетворення Паде отриманого відрізку ряду збурення.

2. Застосування запропонованого методу для побудови наближених розв'язків та дослідження нелінійних крайових задач циліндричного згину пластин рівномірним або змінним навантаженням для крайових умов пружного закріплення протилежних країв контуру та комбінації вільний край защемлення. згин пластина збурення паде

3. Оцінка достовірності та визначення області застосування запропонованого методу.

4. Застосування запропонованого методу для побудови наближених розв'язків та дослідження нелінійних крайових задач згину пластини рівномірним навантаженням при шарнірному обпирання і жорсткому защемленні контуру, а також задачі згину пластини моментами.

5. Узагальнення запропонованого методу для побудови наближених розв'язків та дослідження нелінійних крайових задач згину пластин для крайових умов пружного закріплення по контуру.

Об'єкт дослідження нелінійні процеси згину пластин з урахуванням видовження серединної поверхні при пружному закріпленні контуру.

Предмет дослідження математичні моделі та побудова розв'язків крайових задач згину пружних пластин із складними крайовими умовами.

Методи дослідження в основу методу досліджень покладено асимптотичний метод збурення виду крайових умов та метод дробовораціонального перетворення Паде асимптотичних рядів.

Наукова новизна отриманих результатів дослідження, що виносяться на захист, полягає в наступному:

1. Розроблено новий наближений аналітичний метод побудови розв'язків нелінійних крайових задач згину пластин на основі моделей Кірхгофа-Бергера.

2. На основі запропонованого методу вперше побудовано аналітичні розв'язки задач циліндричного згину пластин рівномірним та нерівномірним навантаженням з урахуванням видовження серединної поверхні для крайових умов пружного закріплення протилежних країв контуру та комбінації “вільний край - защемлення” відповідно.

3. Побудовані розв'язки нових нелінійних крайових задач згину пластин рівномірним навантаженням з урахуванням видовження серединної поверхні для крайових умов шарнірного обпирання, жорсткого защемлення протилежних країв, а також при жорсткому защемленні контуру пластини. Побудовано розв'язок нелінійної крайової задачі згину пластини моментами, прикладеними на контурі пластини з урахуванням видовження серединної поверхні пластини.

4. На основі запропонованого методу вперше побудовано наближений аналітичний розв'язок нелінійної крайової задачі згину пластини рівномірним навантаженням з урахуванням видовження серединної поверхні при пружному закріпленні контуру.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій забезпечується коректністю постановок розглянутих задач, застосуванням добре апробованих методів збурення виду крайових та дробово-раціонального перетворення Паде, проведеним дослідженням збіжності побудованих розв'язків, узгодженістю одержаних результатів та граничних переходів з відомими розв'язками. Показано, що запропонований метод для задач циліндричного згину пластин дозволяє одержати розв'язки, які збігаються з точними. Порівняння одержаних розв'язків з відомими результатами інших авторів також підтверджує задовільну точність та достовірність розробленого асимптотичного методу побудови розв'язків крайових задач згину пластин на основі моделей Кірхгофа-Бергера. Отримані результати не суперечать фізичній суті розглянутих задач.

Достовірність запропонованого підходу підтверджується тим, що одержані розв'язки задачі для крайових умов пружного закріплення контуру пластини при граничних значеннях параметру пружного закріплення =0 та =1 збігаються з розв'язками крайових задач з умовами шарнірного обпирання та жорсткого защемлення контуру пластини.

Практичне значення отриманих результатів роботи полягає у створенні нового методу побудови розв'язків нелінійних крайових задач теорії прямокутних пластин та побудові на основі запропонованого підходу розв'язків крайових задач згину пластин з урахуванням видовження серединної поверхні при умовах пружного закріплення контуру, що моделюються комбінацією класичних крайових умов шарнірного обпирання та жорсткого защемлення контуру пластини.

Розроблений метод та результати проведених досліджень мають як теоретичне, так і практичне значення і можуть бути використані в практиці проектування:

для оцінки напружено-деформованого стану та міцності елементів конструкцій типу пластин із складними умовами закріплення;

при оптимальному проектуванні конструкцій на основі пластин;

для оцінки достовірності методів розрахунку пластин, які застосовуються в інженерній практиці.

Побудовані розв'язки на основі запропонованого підходу дають можливість аналізувати напружено-деформований стан згину пластин з урахуванням видовження серединної поверхні при умовах шарнірного, жорсткого та проміжного пружного закріплення контуру. Одержані результати можуть бути застосовані в інженерних розрахунках пластинчатих конструкцій.

Результати дисертаційної роботи використовуються в Дніпропетровському національному університеті при виконанні науково-дослідних робіт та в навчальному процесі при читанні лекцій студентам старших курсів і аспірантам, а також при виконанні курсових і дипломних робіт.

Публікації і особистий внесок здобувача. Основні результати за темою дисертації отримані здобувачем самостійно. Зміст дисертації опубліковано в 16 наукових роботах [116], із них у фахових виданнях 7, без співавторів 9, у наукових журналах 4, у збірниках наукових праць 5, у працях і тезах конгресів, конференцій і семінарів 7.

У спільних роботах [3, 13, 15] здобувачу належить розробка методу, побудова та дослідження розв'язків нелінійних крайових задач для рівняння Кірхгофа. В публікаціях [2, 9] особисто автором розроблено математичну модель і метод побудови розв'язків нелінійних крайових задач згину пластин рівномірним навантаженням і моментами при шарнірному закріпленні та защемленні контуру на основі моделі Бергера. В роботі [14] автору належить постановка і побудова розв'язку крайової задачі для крайових умов пружного закріплення та аналіз результатів.

Апробація роботи. Матеріали дисертації, основні положення та результати доповідались і обговорювались на 15 Міжнародному конгресі IMACS (Берлін, 1997); Міжнародній конференції “Сучасні проблеми механіки” (Київ, 2003); Міждержавній конференції “Комп'ютерне моделювання” (Дніпродзержинськ, 1997); на підсумковій конференції ДДУ “Актуальні проблеми механіки, математики та інформатики” (Дніпропетровськ, 1999); на IY, Y Міжнародних конференціях “Наука і освіта 2001”, “Наука і освіта 2002” (Дніпропетровськ, 2001, 2002); на Всеукраїнській науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпродзержинськ, 2001); на підсумкових наукових конференціях ДНУ, (Дніпропетровськ, 2001, 2002); на постійно діючих семінарах: “Нелинейные проблемы механики” під керівництвом проф. І.В. Андріанова (Дніпропетровськ, 1997), 8, 11 Польсько-Українському “Теоретичні основи цивільного будівництва” (Варшава, 2000, Дніпропетровськ, 2003), “Математичне моделювання стаціонарних і нестаціонарних процесів” під керівництвом проф. В.І. Кузьменка, доц. В.Д. Ламзюка (Дніпропетровськ, 2001, 2003); “Сучасні проблеми механіки” під керівництвом акад. НАН України В.Т. Грінченка, чл. кор. НАН України А.Ф. Улітка, проф. В.В. Мелешка (Київ, 2003).

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел та додатка. Загальний обсяг роботи становить 149 сторінок, у тому числі 145 сторінок основного тексту, 35 рисунків і 6 таблиць. Список використаних літературних джерел містить 164 найменування.

Основний зміст роботи

У вступі на підставі огляду літературних джерел проведено оцінку стану наукових досліджень і аналіз результатів розробки методів побудови розв'язків і дослідження крайових задач теорії пластин. Проведено обґрунтування актуальності та практичної значимості теми дисертаційної роботи, що пов'язано з необхідністю вдосконалення та розробки ефективних методів дослідження нелінійних крайових задач теорії пластин. Сформульована мета дисертаційної роботи та задачі, які необхідно розв'язати для її досягнення.

Особливо важливе значення для розрахунку пластин з пружним закріпленням контуру, а також при достатньо великих діапазонах зміни параметрів (навантажень, переміщень) має розробка методів побудови розв'язків нелінійних моделей теорії пластин у разі складних крайових умов, що не допускають відокремлення просторових змінних. Напружено-деформований стан для більшості випадків практичного застосування пластин описується математичними моделями на основі нелінійних рівнянь Кіргоффа-Бергера, а його дослідження зводиться до розв'язання відповідних крайових задач для цих рівнянь.

В першому розділі виконано постановку задачі згину пластини з пружним закріпленням контуру під дією рівномірного навантаження. Проведено асимптотичне розщеплення нелінійної системи рівнянь і показано, що в цьому випадку задача буде описуватись нелінійним рівнянням Бергера, яке в безрозмірному вигляді запишеться так:

W + 2 W + W T(W + W ) = q, ( 1)

де q=q^*a³/D, =Eh/(kD(1-²)), k=b/a, . ( 2 )

Крайові умови пружного закріплення представляються у вигляді комбінації співвідношень, що відповідають відомим класичним умовам шарнірного обпирання та жорсткого защемлення країв пластини:

W = 0, W W = 0 при = 0.5, ( 3 )

W = 0, W W = 0 при = 0.5k. ( 4 )

На основі аналізу сучасних методів дослідження крайових задач теорії пластин викладених у роботах С.П. Тимошенка, А.О. Дородніцина, О.С.Вольміра, Я.Ф. Каюка, І.В. Андріанова, запропоновано новий асимптотичний метод побудови розв'язків нелінійних крайових задач згину пластин для моделі Бергера. Суть запропонованого підходу полягає у введенні параметра нелінійності задачі, введенні в крайові умови малого параметра і застосування методу збурення виду крайових умов для побудови розв'язку задачі у вигляді асимптотичного ряду. Для розширення області застосування побудованого розв'язку виконується дробово-раціональне перетворення Паде отриманого відрізку ряду збурення.

В розділі 2 на основі запропонованого методу побудовано розв'язки та проведено дослідження нелінійних крайових задач циліндричного згину пластини рівномірним та самоврівноваженим навантаженням при крайових умовах пружного закріплення. Розглядається смужка пластини одиничної ширини. Тоді задача зводиться до нелінійного рівняння Кірхгофа, яке в безрозмірному вигляді запишеться так:

W T W = q, ( 5 )

де = F²/J, q = q^{* 3}/(EJ), . ( 6 )

В крайові умови вводиться параметр таким чином, щоб отримати: при = 0 крайові умови шарнірного обпирання, а при = 1 жорсткого защемлення країв пластини:

W = 0, (1)W W = 0 при = 0.5. ( 7 )

При проміжних значеннях параметра (0<<1) реалізуються задані умови пружного закріплення країв пластини з коефіцієнтом =/(1).

Розв'язок крайової задачі (5) (7) подається у вигляді асимптотичного ряду за степенями параметра і після асимптотичного інтегрування має вид:

, ( 8 )

де S = S(T(W)) - асимптотичне розвинення,

, , ( 9 )

, .

Для розширення області застосування одержаного розв'язку виконується дробово-раціональне перетворення Паде. Відповідна апроксиманта Паде асимптотичного ряду (9) запишеться так

. (10)

Для одержаного розв'язку (8), (9), у відповідності з виразом (6), параметр T визначається із трансцендентного рівняння

. (11)

Одержаний розв'язок дозволяє визначити вираз для згинального моменту у вигляді:

. (12)

Проведене порівняння одержаного розв'язку з побудованим точним розв'язком показало, що в даному випадку застосування запропонованого методу дозволило отримати розв'язок задачі, який збігається з точним. При цьому отриманий розв'язок для граничних значень параметра збігається з розв'язками породжувальних задач: при =0 - шарнірного обпирання, та при =1 - защемлення країв пластини. Це дозволяє зробити висновок про достовірність розв'язку (8), (10) як для граничних так і проміжних значень параметру (0<<1), що відповідають заданим умови пружного закріплення країв пластини з коефіцієнтом =/(1). Дані висновки підтверджується і результатами чисельних розрахунків на основі побудованого розв'язку (рис. 12), які показують ефективність та достовірність запропонованого методу.

Рис. 1 Розподіл прогину пластини по довжині для різних умов закріплення країв при циліндричному згині

Рис. 2 Розподіл згинального моменту пластини по довжині для різних умов закріплення країв при циліндричному згині

В третьому розділі на основі запропонованого методу побудовані розв'язки нелінійних крайових задач згину пластини з урахуванням видовження серединної поверхні для крайових умов шарнірного і жорсткого закріплення контуру, а також задачі нелінійного згину пластини моментами. Проведено узагальнення запропонованого підходу для побудови розв'язків нелінійних крайових задач згину пластини з урахуванням видовження серединної поверхні для крайових умов пружного закріплення контуру.

Дослідження згину пластини у разі шарнірного обпирання країв, що не зміщуються, зводиться до побудови розв'язку нелінійного рівняння (1) з крайовими умовами:

w = 0, w = 0 при = ±0.5, (13)

w = 0, w = 0 при = ±0.5 k. (14)

Розв'язок крайової задачі (1), (13), (14) подається у вигляді суми двох взаємозалежних функцій:

w = w ₁ + w ₂. (15)

Тут w₁ розв'язок нелінійний задачі циліндричного згину пластини, що задовольняє рівняння (1) і крайові умови (13):

, (16)

а w₂ є розв'язком відповідного однорідного рівняння та забезпечує виконання крайових умов (14) для розв'язку (15) і з урахуванням симетрії серединної поверхні зігнутої пластини відносно осі О визначається так

, (17)

де корені характеристичного рівняння.

Подаючи вираз (16) у вигляді ряду Фур'є, з урахуванням значень коефіцієнтів А_m, В_m розв'язок крайової задачі (1), (13), (14) запишеться так:

, (18)

.

Показано, що ряди у розв'язку (18) є збіжними.

На основі побудованого розв'язку проведено чисельне дослідження залежності максимального значення прогину прямокутної пластини від навантаження, значення згинального моменту в центрі пластини від навантаження, розподілу прогину та згинального моменту по довжині пластини.

Побудовано розв'язок задачі згину пластини розподіленими моментами. В цьому випадку відповідна крайова задача запишеться так

W + 2 W + W T(W + W ) = 0. ( 19 )

w = 0, w = 0 при = 0, 1, ( 20 )

w = 0 при = ±0.5 k, ( 21 )

. ( 22 )

Розв'язок крайової задачі (19)(22) у випадку симетричного навантаження M|_=k/2= M|_=k/2 визначається так

, (23)

.

Показано, що при рівномірному розподілі згинальних моментів інтенсивністю M₀ для випадку прямокутної пластини з досить малим значенням параметра k (a >> b) перший член розвинення для прогину (23) на осі симетрії збігається з розв'язком відповідної лінійної задачі:

. (24)

Розв'язок крайової задачі (19)(22) у випадку антисиметричного навантаження M|_=k/2= M|_=k/2 визначається так

, (25)

.

Розв'язок для загального випадку крайових умов (22) представляється у формі комбінації залежних між собою виразів (23), (25).

Побудовано розв'язок задачі згину пластини рівномірним навантаженням при жорсткому защемленні контуру. Крайова задача у даному випадку для рівняння (1) визначається такими крайовими умовами:

W = 0, W = 0 при = 0, 1, (26)

W = 0, W = 0 при = ±0.5 k. (27)

Розв'язок крайової задачі (1), (32), (33) представляється у вигляді трьох взаємозалежних функцій:

W = W₁ + W₂ + W_3. (28)

Тут W₁ розв'язок нелінійної задачі згину пластини при шарнірному обпиранні, W₂, W₃ розв'язки нелінійної задачі згину пластини моментами, що дозволяють компенсувати нахил серединної поверхні пластини на краях = 0.5, = 0.5k.

Із розв'язку задачі згину пластини при шарнірному обпиранні (18) визначається величина нахилу серединної поверхні пластини на краях = 0.5, = ±0.5 k, а на її основі величини моментів, що дозволяють компенсувати цей нахил. Тоді розв'язок задачі (1), (26), (27) записується так

(29)

.

Коефіцієнти E_n, F_n визначаються із умови відсутності нахилу серединної поверхні пластини на краях = 0.5, = ±0.5 k.

На основі одержаних розв'язків у відповідності із запропонованим методом побудовано розв'язок задачі згину пластини при пружному закріпленні контуру. Крайова задача для рівняння (1) в даному випадку визначається крайовими умовами (3), (4) в які вводиться параметр таким чином, щоб отримати крайові умови: при = 0 шарнірного обпирання, а при = 1 жорсткого защемлення контуру пластини:

W = 0, (1)W W = 0 при = 0.5, (30)

W = 0, (1)W W = 0 при = 0.5k. (31)

При проміжних значеннях параметра (0<<1) реалізуються задані умови пружного закріплення контуру пластини з коефіцієнтом = /(1).

Розв'язок крайової задачі (1), (30), (31) має вигляд (29), де коефіцієнти E_n, F_n визначаються такою системою рівнянь:

(32)

,

(33)

.

Асимптотичний розв'язок системи рівнянь (32), (33) подається у вигляді асимптотичних рядів

(34)

і в результаті процедури асимптотичного розщеплення визначається так

,

,

,

(35)

,

(36)

. (n=1, 3, 5, …)

В результаті застосування дробово-раціонального перетворення для розв'язку (35), (36) побудовано апроксиманти Паде у вигляді

,

. (37)

У разі квадратної пластини k=1, E_n = F_n, а співвідношення (35), (36) збігаються і мають вигляд

,

,

(38)

.

Одержаний розв'язок для відповідних значень параметра збігається з розв'язками породжуючих задач: при =0 - шарнірного обпирання, та при =1 - защемлення контуру пластини. Це дозволяє зробити висновок про достовірність розв'язку (29), (35) - (36) як для граничних, так і для проміжних значень параметру (0<<1), що відповідають заданим умови пружного закріплення контуру пластини з коефіцієнтом =/(1-). Дані висновки підтверджуються і результатами чисельних розрахунків на основі побудованого розв'язку (рис. 36).

Рис. 3 Розподіл прогину по середній лінії квадратної пружно защемленої пластини

Висновки

Дисертаційна робота э науковою працею, в якій розроблено новий метод побудови наближених аналітичних розв'язків мішаних крайових задач нелінійної теорії прямокутних пластин; вперше одержано розв'язки задач згину пластини з урахуванням видовження серединної поверхні для різних умов пружного защемлення контуру.

Основні результати наукових досліджень проведених у дисертаційній роботі формулюються так:

1. На основі методів збурення виду крайових умов і дробово-раціонального перетворення Паде розроблено новий метод побудови розв'язків і виконано дослідження нелінійних крайових задач згину пластин з урахуванням видовження серединної поверхні для моделей Кірхгофа-Бергера при різних крайових умовах пружного закріплення контуру.

2. Запропоновано математичну модель подання крайових умов пружного закріплення країв пластини на основі комбінації класичних крайових умов шарнірного обпирання та жорсткого защемлення контуру пластини.

3. На основі запропонованого методу вперше побудовано аналітичні розв'язки задач циліндричного згину пластин рівномірним та нерівномірним навантаженням з урахуванням видовження серединної поверхні для крайових умов пружного закріплення протилежних країв контуру та комбінації “вільний край - защемлення” відповідно. Для даних випадків одержані розв'язки збігаються з точними.

4. Побудовані розв'язки нових нелінійних крайових задач згину пластин рівномірним навантаженням з урахуванням видовження серединної поверхні для крайових умов шарнірного обпирання, жорсткого защемлення протилежних країв, а також при жорсткому защемленні контуру пластини. Вперше одержано розв'язок нелінійної крайової задачі згину пластини моментами, прикладеними на контурі пластини з урахуванням видовження серединної поверхні пластини.

5. На основі запропонованого методу вперше побудовано наближений аналітичний розв'язок нелінійної крайової задачі згину пластини рівномірним навантаженням з урахуванням видовження серединної поверхні при пружному закріпленні контуру. Одержані розв'язки задачі для крайових умов пружного закріплення контуру пластини при граничних значеннях параметра пружного закріплення (=0, =1) збігаються з розв'язками задач для крайових умов шарнірного обпирання та жорсткого защемлення контуру пластини.

6. Проведене в роботі дослідження збіжності отриманих розв'язків та граничних переходів з відомими розв'язками, порівняння результатів чисельних розрахунків з результатами інших авторів підтверджує достовірність та задовільну точність розробленого асимптотичного методу побудови розв'язків крайових задач згину пластин на основі моделей Кірхгофа-Бергера.

7. Побудовані в роботі розв'язки нелінійних задач дають менші значення максимальних величин переміщень і згинальних моментів порівняно з розв'язками відповідних лінійних задач, що пояснюється урахуванням видовження серединної поверхні пластини за допомогою моделей Кірхгофа-Бергера. При цьому необхідно відзначити, що урахування видовження серединної поверхні пластини має суттєве значення у разі пружного защемлення та шарнірного обпирання країв пластини.

Отже, результати проведених досліджень підтверджують ефективність, достовірність і задовільну точність запропонованого в роботі методу побудови і дослідження розв'язків нелінійних крайових задач згину пластин на основі моделей Кірхгофа-Бергера.

Наукові праці, опубліковані за темою дисертації

1. Пасічник В.А. Чисельно-аналітичний метод дослідження нелінійного згину пластини при жорсткому защемленні по контуру //Вісник Дніпр. ун-ту. Механіка. 2002. Вип.6. Т.2. С. 101-108.

2. Кузьменко В.И., Пасечник В.А. Метод расчета нелинейного изгиба пластины распределенными моментами //Вісник Дніпр. ун-ту. Механіка. 2000. Вип.3. Т.2. С. 37-44. (8/6) - здобувачу належить розробка методу побудови розв'язків і дослідження нелінійних крайових задач згину пластини моментами при шарнірному закріпленні контуру на основі моделі Бергера.

3. Андрианов И.В., Пасечник В.А. Численно-асимптотический метод решения нелинейных смешанных краевых задач механики //Вісник Дніпр. у-ту. Механіка. 1999. Вип.2. Т.2. С. 5-12. (8/6) - здобувачу належить розробка методу, побудова та дослідження розв'язків нелінійних крайових задач для рівняння Кірхгофа.

4. Пасечник В.А. Исследование нелинейных модельных краевых задач механики методом возмущения вида граничных условий //Вопросы прикл. матем. и матем. моделирования. 1999. С. 107-112.

5. Пасечник В.А. Вариационные уравнения нелинейной теории изгиба балок //Вопросы прикл. матем. и матем. моделирования. 1998. С. 145-148.

6. Пасечник В.А. Асимптотический метод исследования нелинейного деформирования балки со сложными граничными условиями //Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. 1997. Т.1. С. 88-90.

7. Пасечник В.А. Метод квазилинейного интегрирования нелинейных задач механики со сложными граничными условиями //Вопросы прикл. матем. и матем. моделирования. 1997. С. 128-130.

8. Пасічник В.А. Метод побудови розв'язків нелінійних крайових задач статики теорії пластин /Тез. доп. Міжнар. наук. конф. “Сучасні проблеми механіки”. К.: 2003. С. 51.

9. Кузьменко В.І., Пасічник В.А. Метод розрахунку нелінійного згину рівномірно навантаженої пластини при шарнірному обпиранні та защемленні протилежних країв //Питання прикл. матем. і матем. моделювання. 2000. С. 43-47. (5/4) - здобувачу належить розробка методу побудови розв'язків і дослідження нелінійних крайових задач згину пластини рівномірним навантаженням при шарнірному закріпленні та защемленні контуру на основі моделі Бергера.

10. Пасічник В.А. Чисельно-аналітичний метод розрахунку нелінійного згину защемленої пластини при рівномірному навантаженні /Тез. доп. Всеукраїнської наук. конф. “Математичні проблеми технічної механіки”. Дніпродзержинськ: 2001. С. 107.

11. Пасічник В.А. Про метод розрахунку нелінійного згину пластини рівномірно розподіленими моментами /Тез. доп. IY Міжнар. конф. “Наука і освіта 2001”. Д.: 2001. С. 16-17.

12. Пасечник В.А. Метод расчета нелинейного изгиба пластин при равномерном нагружении //Польско-Украинский семинар "Теоретические основы гражданского строительства". Варшава: 26.06-30.06 2000. С. 502-505.

13. Andrianov I.V., Pasechnik V.A. Analytical-numerical Procedure for Solving of Mixed Boundary Value Problem //15 th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics. Berlin.: Verlag fmr Wissensschaft und Tеchnik, 1997. V. 2. P.23-28. (6/3) - здобувачу належить розробка методу, побудова та дослідження розв'язків нелінійних крайових задач для рівняння Кірхгофа.

14. Линник Р.Я., Пасечник В.А. Асимптотический метод исследований собственных колебаний балки со сложными граничными условиями //Придніпр. науковий вісник. 1997. №44. С. 22-24. (3/2) - здобувачу належить розробка методу, побудова та дослідження розв'язків крайової задачі для випадку складних крайових умов, та аналіз одержаних результатів.

15. Андрианов И.В., Пасечник В.А. Модифицированный метод возмущения вида граничных условий в нелинейных задачах механики /Тез. доп. Міждержавної конф. Комп'ютерне моделювання. Дніпродзержинськ: 1997. С. 107. (1/0,5) - здобувачу належить розробка методу, побудова та дослідження розв'язків нелінійних крайових задач для рівняння Кірхгофа.

16. Пасічник В.А. Дослідження нелінійного напружено-деформованого стану пластинки при шарнірному закріпленні контуру і рівномірному навантаженні /Тез. доп. конф. ДДУ. Актуальні пробл. мех., матем., інформ. Д.: 1999. С. 63.

Анотація

Пасічник В.А. Метод побудови розв'язків нелінійних крайових задач теорії прямокутних пластин. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2003.

Розроблено новий асимптотичний метод побудови і дослідження розв'язків мішаних крайових задач згину нелінійної теорії прямокутних пластин. Вперше побудовано розв'язки крайових задач згину пластин з урахуванням видовження серединної поверхні на основі моделей Кірхгофа-Бергера при пружному закріпленні контуру.

Побудовано нові розв'язки задач циліндричного згину пластин рівномірним та змінним навантаженням з урахуванням видовження серединної поверхні для крайових умов пружного закріплення протилежних країв контуру. Показано, що в даному випадку запропонований метод дозволяє одержати розв'язки, які збігаються з точними.

На основі запропонованого методу побудовані розв'язки нових нелінійних крайових задач згину пластин рівномірним навантаженням з урахуванням видовження серединної поверхні для крайових умов шарнірного обпирання, жорсткого защемлення протилежних країв, а також при жорсткому защемленні контуру пластини. Побудовано розв'язок нелінійної крайової задачі згину пластини симетричними і антисиметричними моментами прикладеними на контурі пластини. Показано, що для одержаних розв'язків виконуються граничні переходи. Проведено чисельні розрахунки на основі побудованих розв'язків.

Побудовано розв'язок нової нелінійної крайової задачі згину пластини з урахуванням видовження серединної поверхні при пружному закріпленні контуру.

Проведено дослідження розв'язків, одержаних запропонованим методом, порівнянням з відомими розв'язками, а також з точними розв'язками модельних задач, що показало достатню точність запропонованого підходу.

Ключові слова: нелінійна теорія пластин, мішані крайові задачі, метод збурення, апроксиманти Паде, асимптотичні методи.

Annotation

Pasechnik V.A. Method for solving of the nonlinear boundary value problems of the rectangular plates theory. - Manuscript.

Thesis is for a candidate's degree of fhisical and mathematical sciences by speciality 01.02.04 - Mechanics of the Deformable Solid Body. - Dnepropetrovsk National University, Dnepropetrovsk, 2003.

New asymptotic method for solving and analysis of the nonlinear boundary value problems of plate theory is proposed. Kirchhoff-Berger model gives possibility to take into account membrane strains and stresses. Boundaries of the plate are elastically clamped.

Cylindrical bending of plates under uniform and nonuniform loading for two opposite elastically clamped boundaries is studied. The rest part of boundary is free of clamped. It is shown that proposed method leads to the exact solution.

Nonlinear boundary value problem of plate bending under uniform loading are solved for simple support, rigidly and elastically clamped contour, and for case of two opposite sides simply support and another two rigidly clamped.

Nonlinear bending of plate caused by end moments also studied. Comparison of obtained results with known one showed light accuracy of proposed approach.

Key words: nonlinear plate theory, mixed boundary value problem, perturbation method, Padй approximants, asymptotic methods.

Аннотация

Пасечник В.А. Метод построения решений нелинейных краевых задач теории прямоугольных пластин. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2003.

Разработан новый асимптотический метод построения и исследования решений смешанных краевых задач изгиба нелинейной теории прямоугольных пластин. Впервые получены решения задач изгиба пластин с учетом удлинения срединной поверхности на основе моделей Кирхгоффа-Бергера для различных условий упругого защемления контура.

В соответствии с предложенным методом для построения приближенного решения необходимо принять соотношение первого инварианта тензора деформаций в качестве параметра нелинейности задачи и представить ее решение в виде линейной комбинации взаимозависимых между собой нелинейных решений порождающих задач и применить метод возмущения вида граничных условий для его построения. Затем выполнить преобразование Паде полученного решения для повышения его точности и расширения области применимости.

В работе предложена математическая модель представления граничных условий упругого защемления краев пластины на основе комбинации классических граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления контура пластины.

На основе предложенного метода построены аналитические решения задач цилиндрического изгиба пластин равномерной и неравномерной нагрузкой для граничных условий упругого защемления противоположных краев контура. Показано, что в этих случаях предложенный метод позволяет получить решения, совпадающие с точными.

Аналитически решены новые нелинейные краевые задачи изгиба пластин равномерно распределенной нагрузкой с учетом удлинения срединной поверхности для граничных условий шарнирного опирания, жесткого защемления противоположных краев, а также для жесткого защемления контура пластины. Получено решение нелинейной краевой задачи изгиба пластины краевыми моментами с учетом удлинения срединной поверхности пластины.

Построено решение нелинейной краевой задачи изгиба пластины с учетом удлинения срединной поверхности, упруго защемленной по контуру. Полученные решения для граничных значений параметра упругого защемления =0 и =1 совпадают с решениями задач для граничных условий шарнирного опирания и жесткого защемления контура пластины. При этом упругое защемление контура пластины с коэффициентом м=(/(1-)), реализуется при промежуточных значениях параметра .

Проведенное исследование решений, полученных предложенным методом, их сравнение с известными решениями, а также точными решениями модельных задач, подтвердило достаточную точность предложенного подхода.

Ключевые слова: нелинейная теория пластин, смешанные краевые задачи, метод возмущения, аппроксиманты Паде, асимптотические методы.

Размещено на Allbest.ru