Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМ. С.П.ТИМОШЕНКА

УДК 539.3

ЦЕНТРАЛЬНИЙ СПІВУДАР ДВОХ ОДНАКОВИХ

ЗАТУПЛЕНИХ ПРУЖНИХ ТІЛ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Марченко Тетяна Анатоліївна

Київ 2003



Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка Національної академії наук України.

Науковий керівник - академік НАН України доктор фізико-математичних наук, професор Кубенко Веніамін Дмитрович заступник директора з наукових питан Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор, головний наук. співробітник Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України Мейш Володимир Федорович

- кандидат фізико-математичних наук, в.о. доцента кафедри теоретичної та прикладної механіки Київського університету економіки і технології транспорту Бабаєв Олександр Арташесович

Провідна установа - Донецький національний університет МОН України, кафедра теорії пружності та обчислювальної математики

Захист відбудеться “24” лютого 2004 р. о 12³⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. Нестерова.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. Нестерова.

Автореферат розісланий “16” січня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01

доктор фізико-математичних наук О.П.Жук



АНОТАЦІЯ

Марченко Т.А. Центральний співудар двох однакових затуплених пружних тіл. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, Київ, 2003. інтегральний пружний циліндричний простір

Дисертація присвячена розробці ефективного підходу до розв'язання задач ударної взаємодії двох однакових пружних циліндричних тіл та тіл обертання, який базується на застосуванні перетворення Лапласа з послідуючим розділенням змінних у просторі зображень. Вихідна задача зводиться до розв'язання нескінченої системи інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду разом з рівнянням руху взаємодіючих тіл.

Розвинений чисельний метод та створені чисельні алгоритми розв'язку плоских та осесиметричних задач ударної взаємодії однакових пружних тіл. Визначені основні характеристики процесу співудару та характер їх зміни в залежності від різних видів граничних умов на поверхнях тіл для різних значень маси і кривини їх лобової поверхні, відносної швидкості зближення та пружних характеристик матеріалу. Проведений аналіз числових результатів.

Ключові слова: плоска задача теорії пружності, осесиметрична задача теорії пружності, центральний удар, змішані граничні умови, нескінченна система інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, надзвуковий етап, числені методи.



АННОТАЦИЯ

Марченко Т.А. Центральное соударение двух одинаковых затупленных упругих тел. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, Киев, 2003.

Диссертация посвящена разработке эффективного подхода к решению задач ударного взаимодействия двух одинаковых упругих цилиндрических тел и тел вращения, который основывается на использовании преобразования Лапласа с последующим разделением переменных в пространстве изображений. В результате удовлетворения смешанным граничным условиям поставленная начально-краевая задача сводится к решению бесконечной системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая должна рассматриваться совместно с уравнениями движения взаимодействующих тел. Развитый подход позволяет определить напряженно-деформированное состояние не только на поверхности тел, но и в их внутренних точках.

Разработаны алгоритмы и программы, которые позволяют реализовать решение рассматриваемых задач на ПК, а также получить конкретные числовые результаты в широком диапазоне изменения геометрических и физико-механических параметров рассматриваемой системы. Предложен прийом, позволяющий учитывать влияние изменения формы свободной поверхности, непосредственно примыкающей к зоне контакта. Определены основные характеристики процесса ударного взаимодействия и характер их изменения в зависимости от различных видов граничных условий и способа определения границы области контакта. Проведен сравнительный анализ величины силы реакции, а также величины и характера распределения по поверхности тел нормального напряжения в зависимости от формы лобовой поверхности тел, их массы, относительной скорости сближения, упругих характеристик материала.

Ключевые слова: плоская задача теории упругости, осесимметричная задача теории упругости, центральный удар, смешанные граничные условия, бесконечная система интегральных уравнений Вольтерра второго рода, сверхзвуковой этап, численные методы.



SUMMARY

Marchenko T.A. The central impact of two identical blunted elastic bodies. - Manuscript.

Thesis for a Candidate's Degree of physical and mathematical sciences on the speciality 01.02.04 - mechanics of deformable solids. - S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of national Academy of Sciences of Ukraine. Kyiv, 2003.

Thesis is devoted to development of the effective approach to solving of problems of impact interaction of two identical elastic cylindrical bodies and bodies of rotation, which based on the use of Laplase's transformation with the subsequent division of variable in the space of images. An initial problem is reduced to the decision of the infinite system of the second kind Volterra integral equations. This system should be solved with equations of movement of cooperation bodies.

An efficient numerical method and algorithms for solution of plane and axysimmetrical problems of impact interaction of identical elastic bodies are elaborated. The basic characteristics of impact process and the character of their change depending on various kinds of boundary conditions on surfaces of bodies for different value of weight and curvature of their frontal surface, relative speed of rapproachement and elastic properties of a material are defined. The analysis of numerical results is carried out.

Key word: plane problem of the theory of elasticity, axysimmetrical a problem of the theory of elasticity, the central impact, the mixed boundary conditions, the infinite system of the second kind Volterra integral equations, a supersonic stage, numerical methods.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження ударних процесів належить до числа актуальних проблем прикладної механіки, пов'язаних з оцінкою поведінки різноманітних конструкцій в умовах ударних навантажень, які виникають при експлуатації багатьох машин та механізмів. Сучасні погляди на проблему співудару пружних тіл пов'язані з уявленням про останню як про нестаціонарну контактну задачу теорії пружності.

Важливою особливістю ударної взаємодії тіл, фронтальна поверхня яких викривлена, є зміна у часі розмірів області контакту. В межах лінійного опису процесу деформування на сьогодні переважна більшість отриманих розв'язків стосується удару твердого тіла по поверхні пружного півпростору або рідини. Більш загальним випадком співудару двох тіл є взаємодія пружних ударника та півпростору. При врахуванні деформування обох тіл постановка задачі ускладнюється, умови для визначення границі області контакту формулюються з урахуванням деформованої поверхні ударника. Для спрощення задачі ударник інколи моделюють твердою оболонкою з пружним заповнювачем або пружною оболонкою. Вказані задачі розв'язані в основному на ранньому етапі процесу (надзвуковому), коли швидкість зміни границі області контакту є величиною, не меншою швидкості поширення подовжніх хвиль, при цьому збурення на поверхнях тіл сконцентровані в області контакту, а відповідна гранична задача не є змішаною.

Що стосується співудару затуплених тіл, які мають обмежені розміри, при змішаних граничних умовах і зі змінною швидкістю границі зони контакту, то на сьогоднішній день отримані розв'язки лише для окремих випадків ударної взаємодії. Для загального випадку нестаціонарної задачі співудару двох пружних тіл, обмежених гладкими поверхнями, у строгій постановці без залучення спрощуючих гіпотез фізичного характеру, розв'язок задачі і конкретні числові результати практично відсутні.

Таким чином, представляється актуальною розробка відповідних підходів до розв'язання задач, які б дозволяли провести дослідження процесу нестаціонарної контактної взаємодії двох пружних тіл в рамках моделі лінійної теорії пружності.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках планів наукових досліджень відділу теорії коливань Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, отримані результати заплановані наступними темами відділу теорії коливань:

“Дослідження усталених і перехідних процесів взаємодії пружних оболонкових тіл циліндричної та сферичної форми з рідинним або пружним середовищем” (держреєстраційний № 0102U007027);

“Ударна взаємодія твердого тіла з порожниною в ідеальній стисливій рідині” (держреєстраційний № 0103U003859).

Мета і задачі дослідження полягають у вивченні процесів нестаціонарної контактної взаємодії однакових затуплених пружних тіл обмежених розмірів і включають:

розробку строгих підходів до розв'язання плоских та осесиметричних задач центрального співудару двох однакових пружних тіл з гладкими лобовими поверхнями, які дозволять точно в рамках лінійної моделі деформування досліджувати процеси нестаціонарної контактної взаємодії;

розвиток ефективного чисельного методу розв'язання задач ударної взаємодії пружних затуплених тіл;

розробку алгоритму, який дозволяє в граничних умовах при визначенні області контакту враховувати деформування поверхні тіл, що безпосередньо прилягає до області контакту;

розв'язання різних класів задач на базі запропонованого підходу та проведення аналізу напружено-деформованого стану тіл, що розглядаються, в залежності від їх фізико-механічних характеристик.

Наукова новизна одержаних результатів. Запропонований підхід до розв'язання плоских та осесиметричних задач удару двох однакових пружних тіл, який дозволяє досліджувати процес контактної взаємодії в рамках лінійної моделі деформування на скінченому інтервалі часу. Особливість даного підходу полягає у зведені задачі нестаціонарної контактної взаємодії до розв'язку нескінченної системи інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, що розв'язується спільно з рівнянням руху тіл. Вказана система в цілому являється нелінійною, оскільки рівняння руху тіл містять силу їх контактної взаємодії, яка в свою чергу визначається через невідому глибину взаємного проникання тіл, а також залежить від ширини області контакту. Розроблена методика, яка дозволяє враховувати вплив деформування вільної поверхні тіл, що безпосередньо примикає до області контакту, на розмір цієї області. Досліджено вплив маси тіл, їх форми, початкової відносної швидкості зближення, а також пружних характеристик матеріалу на основні динамічні характеристики процесу удару. Отримані точні аналітичні вирази для нормальної напруги в точці початкового контакту тіл для випадку нестаціонарної контактної взаємодії на надзвуковому етапі з постійною відносною швидкістю зближення двох параболічних циліндрів і двох параболоїдів обертання.

Достовірність отриманих результатів забезпечена строгістю постановок задач і математичних методів їх розв'язання. Апробація численого алгоритму розв'язання задачі для кожного виду граничних умов на поверхнях взаємодіючих тіл поза зоною контакту проводилася на ряді тестових прикладів, які є точними розв'язками задачі, при цьому отримані результати добре співпадають. Обрахунки проводилися з контрольованою точністю.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблений у роботі підхід і отримані розв'язки задач можуть бути використані при подальшому дослідженні більш складних процесів нестаціонарної контактної взаємодії, а також у інженерній практиці при створенні обґрунтованих методик розрахунку на міцність деталей машин і механізмів в умовах ударних навантажень.

Особистий внесок здобувача. В дисертаційній роботі особисто автору належать вивід розв'язуючої системи інтегральних рівнянь, розвиток алгоритму та його реалізація в програмному комплексі на ПК, розв'язання конкретних задач та аналіз отриманих результатів. В статтях, написаних у співавторстві з науковим керівником В.Д.Кубенком [1,3,5], співавтору належить загальний задум проведення досліджень, постановка задачі, обговорення та аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

міжнародній науковій конференції “Актуальні проблеми механіки суцільних середовищ” (сел.Мелєкіно, червень 2002 р.);

міжнародній конференції “Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем - DSMSI-2003” (м.Київ, травень 2003);

VI міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (м.Львів, травень 2003 р.);

акустичному симпозіумі “Консонанс - 2003” (м.Київ, жовтень 2003 р.);

наукових семінарах відділу теорії коливань в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (м.Київ, 2000-2003 рр.).

Публікації. По матеріалах дисертації опубліковано 6 наукових робіт [1-6], серед яких статті [1-3] опубліковано у фахових виданнях, затверджених ВАК України.

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків та списку літератури. Обсяг дисертації становить 123 машинописних сторінки, в тому числі список літератури із 114 найменувань, який розташований на 13 сторінках; 47 рисунків розташовані на 19 сторінках.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі характеризується сучасний стан проблеми, що розглядається в дисертаційній роботі, обґрунтовується актуальність вибраної теми. Сформульовано мету та задачі дослідження, розкривається наукова новизна та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі приводиться огляд наукових робіт, присвячених вивченню процесів ударної взаємодії пружних тіл.

Класична теорія удару бере свої витоки ще в роботах Ньютона. Основи хвильової теорії пружного удару були закладені в роботах Я.Буссінеска та Б.Сен-Венана. Подальшим кроком на шляху розвитку теорії удару стало створення Г.Герцем локальної теорії співудару. Квазістатичний розв'язок Г.Герца був узагальнений для випадку більш щільного дотикання у роботах І.Я.Штаермана. Дослідження, які відносяться до синтезу хвильової та локальної теорій співудару, отримали розвиток в роботах С.П.Тимошенка, М.А.Кільчевського. Значний вклад у розвиток розглядуваних теорій внесли роботи В.Л.Бідермана, В.Гольдсміта, М.М.Давиденкова, А.М.Динника та інших.

Сучасні погляди на проблему співудару пружних тіл викладені у роботах таких вчених, як М.М.Бородачев, А.Г.Горшков, Б.В.Костров, В.Д.Кубенко, В.Б.Поручиков, В.М.Сеймов, Д.В.Тарлаковський, Ю.С.Яковлев, А.Робінсон, Дж.Томсон, Дж.Гутцвіллер та інші.

Проведений аналіз робіт даного класу задач показав необхідність у розробці нових підходів, які б дозволили всебічно вивчити процеси ударної взаємодії пружних тіл, обмежених гладкими поверхнями.

У другому розділі виконано постановку задач співудару однакових пружних циліндричних тіл та тіл обертання. У якості вихідних використовуються лінійні рівняння руху однорідного ізотропного пружного середовища та рівняння руху центрів мас контактуючих тіл. Вказані рівняння наводяться як у прямокутних, так і у криволінійних ортогональних системах координат.

Стисло викладемо постановку плоскої задачі. Позначимо

де K - об'ємний модуль пружності; - модуль зсуву; - щільність середовища; c_p, c_s - відповідно швидкість поширення повздовжніх і поперечних хвиль; c₀ - швидкість поширення звукових хвиль у матеріалі при умові, що .

Розглядається ударна взаємодія двох однакових циліндричних тіл, які в початковий момент (t=0) взаємодіють вздовж спільної твірної. Тіла зв'язуються з прямокутною декартовою системою координат так, що вісь Oy напрямлена вздовж спільної твірної тіл, Oz - вздовж спільної вісі симетрії їх поперечного перерізу. Вводяться безрозмірні змінні:

де R - деякий лінійний розмір; M - погонна маса циліндрів; u_j⁽ⁱ⁾ - компоненти вектора переміщень; у_jk⁽ⁱ⁾- компоненти тензора напружень; P - сила реакції. У подальшому будуть використовуватися лише безрозмірні координати та змінні, тому риска над ними опускається.

Розглядаються процеси з малою по відношенню до швидкості звуку в матеріалі швидкістю зближення центрів мас тіл, а також клас затуплених тіл, що дає можливість лінеризувати граничні умови. Для циліндрів з симетричним поперечним перерізом, який описується гладкою функцією f(x), умова для визначення границі області контакту x*(t) в загальній постановці (постановці 1) має вигляд (w(t) - переміщення центру мас)

(2)

Умову затупленості тіл в області контакту для гладкої функції f(x) можна формалізувати наступним чином: . Область контакту однозв'язна, останнє передбачає, що нормальні до площадки контакту напруги є стискуючими, тобто

Таким чином, початково-крайова задача для скалярних хвильових потенціалів (i=1,2), приймає вигляд

(3)

(4)

(6)

Сформульована задача повинна бути доповнена рівняннями руху центрів мас кожного тіла



де V_c⁽¹⁾(t), V_c⁽²⁾(t) - відповідно швидкості центрів мас першого і другого тіла, x*(t) визначається умовою (2).

Розглянемо постановку аналогічної осесиметричної задачі в циліндричній системі координат , вісь Oz напрямлена вздовж спільної вісі обертання, точка початкового контакту співпадає з початком системи координат. Безрозмірні змінні, відмінні від (1), мають вигляд

.

Умова для визначення радіуса області контакту у загальній постановці (постановка 1) має вигляд:

(8)

Після лінеаризації граничних умов початково-крайова задача приймає вигляд

(9)

(10)

Початкові умови для потенціалів ц⁽ⁱ⁾, ш⁽ⁱ⁾ - нульові (5), умова відсутності збурень у нескінченно віддалених точках має вигляд (6) при . Система повинна бути доповнена рівняннями руху центрів мас тіл (7), де сила взаємодії P(t) визначається за формулою

У третьому розділі отримані деякі аналітичні результати, котрі використовуються у подальшому в якості тестових для апробації численого алгоритму розв'язання задачі.

Для процесу взаємодії затуплених тіл швидкість границі області контакту x*(t) (плоска задача) та r*(t) (осесиметрична задача) на самому початку співудару по суті є вищою від швидкості поширення пружних хвиль в тілі, а отже, має місце так званий надзвуковий етап .

Методами інтегральних перетворень Лапласа-Фур'є (плоска задача) та Лапласа-Ханкеля (осесиметрична задача) знайдена залежність між нормальною напругою на поверхнях тіл та швидкістю її деформування, за допомогою яких методом Каньяра перетворення подвійних зображень отримані точні аналітичні вирази для нормального напруження в лобових точках профілів тіл, які відповідають надзвуковому етапу ударної взаємодії з постійною швидкістю зближення V_c(0)=V₀ параболічних циліндрів (f(x)=x²/a) і параболоїдів обертання (f(r)=r²/a). Якщо

тоді для профілів

f(x)=x²/a

(f(r)=r²/a)

t*=1/k.



Для плоскої задачі

()

(11)

де K, D - повні еліптичні інтеграли.

Для осесиметричної задачі

():

(12)

Аналогічні вирази можна отримати для у_xx⁽ⁱ⁾(t,0,0) і у_rr⁽ⁱ⁾(t,0,0), вони визначають компоненти напруженого стану на самій ранній, так званій надзвуковій стадії процесу, і можуть бути орієнтиром при подальшому дослідженні.

В четвертому розділі розглядається задача прямого центрального співудару двох однакових пружних циліндричних тіл зі змішаними граничними умовами (2)-(7) на їх поверхнях.

З гіперболічного характеру хвильових рівнянь (3) випливає, що область збурення в кожен момент часу є скінченою і її піврозмір x_l(t) на поверхнях тіл виражається наступним чином (H(t) - одинична функція Хевісайда):



. (13)

Тоді, розглядаючи процес взаємодії на певному скінченному проміжку часу (, ), порівняному з тривалістю удару, тіла можна замінити пружними півсмугами () для першого тіла і () - для другого, до границь яких до моменту часу T не доходять збурення. При цьому з (13) випливає, що

(14)

Однак, якщо метою дослідження є визначення контактних напружень та їх результуючої, то l з (14) можна суттєво зменшити, а саме:

(15)

При реалізується один з двох видів граничних умов:

1) (16)

2) (17)

Далі будемо використовувати умову (16).

Метод розв'язання початково-крайової задачі (2)-(6) ґрунтується на використанні перетворення Лапласа по t з послідуючим використанням методу Фур'є розділення змінних у просторі зображень. В результаті задоволення змішаних граничних умов для нормальних напружень на поверхнях тіл отримаємо наступний вираз:



(18)

, (19)

де - власні числа задачі, які визначаються з рівняння (). Коефіцієнти V_n⁽ⁱ⁾(t) розкладів V⁽ⁱ⁾(t,x) при n-х гармоніках визначаються з систем:

(20)

(21)

(22)

Сила реакції має вигляд:

(23)



Таким чином, задача співудару зводиться до розв'язання нескінченної системи інтегральних рівнянь (НСІР) Вольтерра другого роду (20) або (21) (оскільки вони відрізняються лише знаком у правій частині), яка повинна бути доповнена рівнянням руху тіл як цілих (7). Границя області контакту у найбільш загальній постановці (постановка 1) визначається з (2). Замість (2) можна задати деяку наближену умову, якщо не враховувати деформування поверхні тіла (постановка 2); у цьому випадку

(24)

Під постановкою 3 будемо розуміти таку, що передбачає ніби наявність жорсткого екрану поза зоною контакту між взаємодіючими тілами, який розсувається в процесі удару, при цьому x*(t) визначається з (24), граничні умови в цьому випадку є незмішаними

(25)

Тоді НСІР (20), (21) вироджуються у послідовності:

(26)

Чисельний розв'язок одержаної розв'язуючої системи рівнянь базується на використанні методів редукції та механічних квадратур. Порядок редукції вибирався із міркувань практичної збіжності. Для згладжування явищ Гіббса використовувалися множники Ланцоша. При обчисленні інтегралів використовувалася квадратурна формула Грегорі з утриманням різниць до 5-го порядку включно. Задача Коші для диференційного рівняння руху тіл розв'язувалася методом Адамса також з утриманням різниць до 5-го порядку включно. Границя області контакту визначалася з умови (2) або (24), при цьому використовувався ітераційний алгоритм, який передбачав послідовне визначення форми поверхні тіл зі зсувом на крок ітерації, в цьому випадку умова (2) представляла собою рівняння.

Вірогідність результатів перевірялася на тестових прикладах, в якості яких бралися аналітичні розв'язки (11) і відомі результати для задачі проникання тупого клина у акустичне середовище в кожній з постановок.

Криві приводяться для випадку взаємодії двох кругових циліндрів

,

при цьому . Результати отримані у трьох постановках. Аналізується вплив різних видів граничних умов на поверхнях тіл (змішаних та незмішаних), а також способу визначення координати точки границі області контакту x*(t) на величину та характер зміни величини нормального напруження . Слід відмітити, що максимальна величина нормального напруження, отримана в результаті розв'язання задачі у найпростішій за реалізацією постановці 3, буде значно завищеною, в той час як у постановці 2 може слугувати наближенням для результатів у постановці 1.

Показано розвиток у часі нормального напруження для різних значень відношення у випадку взаємодії двох параболічних циліндрів профіль яких описується функцією

().



Як видно, спостерігаються суттєві кількісні та якісні відмінності. Відмітимо, що відповідає пружному середовищу з нульовим коефіцієнтом Пуассона.

Характер зміни величини нормального напруження в залежності від маси взаємодіючих тіл можна визначити з рис 5. Приведені криві для (). У випадку, коли , тіла будуть рухатися одне відносно одного з постійною швидкістю, рівною V_c(0). Зі збільшенням маси взаємодіючих тіл максимальне значення нормального напруження буде досягатися значно пізніше.

В п'ятому розділі розглядається осесиметрична задача (5), (6), (8)-(10), аналогічна плоскій задачі, розглянутій у четвертому розділі.

Піврозмір збуреної області на поверхнях тіл визначається з (13) шляхом заміни x*(t) на r*(t). Для інтервалу часу розглядувані тіла заміняються напівнескінченними циліндрами, радіус яких l вибирається з умов, аналогічних до (14), (15) в залежності від того, які функції є шуканими. На бічних поверхнях циліндрів реалізуються граничні умови , яким задовольняють власні числа задачі , які є послідовними коренями рівняння

(). (27)

Нормальне напруження на поверхні тіл має вигляд

F_n(t) визначається з (19), - з (27). Гармоніки швидкості при z=0 задовольняють НСІР Вольтерра другого роду (20), (21) з коефіцієнтами

,

Сила реакції визначається наступним чином:

Чисельне розв'язання одержаної системи рівнянь повністю співпадає з чисельним розв'язанням аналогічної системи для плоскої задачі. В якості тестових прикладів були взяті аналітичні розв'язки (12) і відомі точні розв'язки задачі проникання тупого конуса в акустичне середовище.

Рис. 6 - 8 демонструють залежність величини сили реакції і характер розподілу нормального напруження по поверхні для ударної взаємодії тіл з початковим контактом по кругу радіуса d, утворених обертанням навколо вісі кривої, яка описується функцією

.

При цьому .

При збільшенні параметра d зростає площа контакту, що в свою чергу приводить до збільшення сили реакції P(t) і зменшення тривалості удару.

Криві розподілу нормального напруження по поверхні тіла для різних значень приводяться на рис. 7. З ростом d максимальне значення зменшується і досягається раніше, а місце його виникнення рухається від центру області контакту до її краю. Отримані результати якісно узгоджуються з результатами дослідження напруженого-деформованого стану, що виникає при статичній контактній взаємодії пружних тіл.

Представлена зміна з часом розподілу нормального напруження на фронтальній поверхні довільного діаметрального перерізу розглядуваних тіл обертання при d=0.1.



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Розроблено підхід до розв'язання плоских та осесиметричних задач співудару двох однакових пружних тіл, що дає можливість в рамках лінійної моделі деформування досліджувати процеси нестаціонарної контактної взаємодії тіл на скінченому інтервалі часу, який не перевищує тривалості удару.

Отримані точні аналітичні вирази для нормального напруження в лобовій точці (осесиметрична задача) і на лобовій прямій (плоска задача) взаємодіючих тіл.

Запропоновано прийом, який дозволяє враховувати вплив зміни форми вільної поверхні, що безпосередньо примикає до зони контакту.

Визначено залежність величини та характеру зміни основних динамічних характеристик удару від виду граничних умов на поверхнях тіл, а саме:

вільна поверхня поза зоною контакту рухома, зміна її форми враховується під час розв'язання задачі;

вільна поверхня поза зоною контакту рухома, але зміна її форми не враховується під час розв'язання задачі;

вільна поверхня є нерухомою.

З'ясовано, що у випадку плоскої задачі результати як для нормального напруження , так і для сили реакції P(t) у постановках (a) і (b) майже співпадають, але вони значно відрізняються від результатів у постановці (c). У випадку осесиметричної задачі для нормального напруження результати у більш точних постановках значно відрізняються від постановки (c), що ж стосується сили реакції, то результати у постановці (c) можуть слугувати верхнім обмеженням для результатів у постановці (a).

Виявлені якісні та кількісні відмінності у поведінці основних динамічних характеристик в залежності від величини відношення . Встановлено, що зі збільшенням останнього () істотно зростає максимальне значення нормального напруження і сили реакції P(t), яке досягається раніше. При цьому тривалість удару зменшується. Для осесиметричної задачі з ростом величини різниця між розв'язком задачі у всіх трьох постановках і розв'язком Герца суттєво збільшується.

Вивчено вплив початкової швидкості зближення і маси тіл на величину основних динамічних характеристик процесу нестаціонарної контактної взаємодії. З ростом маси тіл значно зростають величина нормального напруження і тривалість удару. Що стосується відносної швидкості зближення, то з її збільшенням максимальне значення нормального напруження також зростає, а тривалість удару зменшується.

Визначено величину та розподіл нормального напруження по поверхні взаємодіючих тіл в залежності від часу та форми їх лобової поверхні. З'ясовано, що з ростом затупленості лобової поверхні максимальне значення нормального напруження зменшується і досягається раніше, а точка його виникнення зсувається від центру області контакту до її краю, при цьому різниця між результатами розв'язання задачі у постановках (a), (b) та постановці (с) стає меншою. З ростом затупленості тіл максимальне значення величини сили взаємодії між тілами збільшується.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Кубенко В.Д., Марченко Т.А. Плоска задача співудару затуплених пружних тіл з однакового матеріалу // Вісник Донецького університету. Серія А. Природничі науки. - 2002. - №1. - С. 102 - 108.

2. Марченко Т.А. Осесимметричная задача соударения двух сферических упругих тел из одинакового материала // Доповіді НАН України. - 2003. - № 5. - С. 49 - 57.

3. Кубенко В.Д., Марченко Т.А. Плоская задача соударения двух одинаковых упругих параболических тел - прямой центральный удар // Прикл. механика. - 2003. - Т.39, № 7. - С. 75-85.

4. Марченко Т.А. Упругий удар двух одинаковых параболических цилиндров // Материалы Международной конференции “Моделирование и исследование устойчивости динамических систем - DSMSI-2003”. - Киев: Национальный университет им. Т.Г.Шевченко. - 2003. - С. 332

5. Кубенко В., Марченко Т. Прямий центральний співудар двох однакових пружних тіл обертання // Праці VI міжнар. наук. конф. “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. - Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України. - 2003. - С. 347 - 348.

6. Марченко Т.А. Ударное взаимодействие двух одинаковых упругих сферических тел // Материалы научного акустического симпозиума “Консонанс - 2003”. - Киев: Институт гидромеханики НАН Украины. - 2003. - С. 38.

Размещено на Allbest.ru