Вільні коливання циліндричної оболонки з приєднаними абсолютно твердими та пружними тілами

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 539.3

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ ЦИЛІНДРИЧНОЇ ОБОЛОНКИ

З ПРИЄДНАНИМИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДИМИ

ТА ПРУЖНИМИ ТІЛАМИ

Троценко Юрій Володимирович

Київ - 2003

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Міжгалузевому науково-дослідному інституті проблем механіки "Ритм" при Національному технічному університеті України "КПІ"

Науковий керівник: Доктор технічних наук, професор Карпачов Юрій Андрійович МНДІ ПМ "Ритм" при НТУ України "КПІ" завідувач комплексного відділення

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-математичних наук, професор Селезов Ігор Тимофійович Інститут гідромеханіки НАН України завідувач відділу

Доктор технічних наук Бабаєв Арташес Едуардович Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України головний науковий співробітник

Провідна установа: Інститут математики НАН України

Захист відбудеться 9 квітня 2003 р. о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект Академіка Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58)

Автореферат розісланий 5 березня 2003 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Кепич Т.Ю.

Анотації

Троценко Ю.В. Вільні коливання циліндричної оболонки з приєднаними абсолютно твердими та пружними тілами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матема-тичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

Побудована математична модель динамічної взаємодії кругової циліндричної оболонки з приєднаним до одного з її торців абсолютно твердого тіла, що має дві взаємно-перпендикулярні площини симетрії, та запропоновано наближений метод побудови розв'язків відповідних спектральних задач з параметром в рівняннях та граничних умовах, які описують вільні поздовжні та поперечні коливання розглядуваної системи. В припущенні, що поперечні перерізи оболонки лишаються плоскими і перпендикулярними до її осі, сформульована спрощена постановка задачі, яка дозволяє знайти її точні розв'язки. Наведено детальний аналіз частот і форм власних коливань та встановлено межі застосування спрощеної моделі системи. коливання частота циліндричний

Розроблено варіаційний метод побудови наближених розв'язків задач про вільні осесиметричні та неосесиметричні коливання циліндричної оболонки, до торців якої жорстко приєднані дві пружні балки. На основі методу початкових параметрів Коші наведено розв'язок розглядуваної задачі в спрощеній її постановці, коли циліндрична вставка замінена еквівалентною балкою з постійними пружно-масовими характеристиками. В рамках строгої та спрощеної постановок задач проведено дослідження поведінки частот та форм власних поздовжніх та поперечних коливань пружної системи в залежності від товщини, довжини та місця розташування оболонки в системі. Показано, що для ряду випадків врахування оболонкових ефектів циліндричної вставки призводить до істотної різниці в частотах та формах коливань в порівнянні зі спрощеною постановкою задачі.

Ключові слова: вільні коливання, циліндрична оболонка з твердим тілом, циліндрична оболонка з пружними балками, варіаційний метод.

Троценко Ю.В. Свободные колебания цилиндрической оболочки с присоединенными абсолютно твердыми и упругими телами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04-механика деформируемого твердого тела. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2003.

Исходя из основных положений технической теории оболочек В.З. Власова, теорем аналитической механики и вариационного принципа возможных перемещений построена линейная математическая модель определения деформированного состояния круговой цилиндрической оболочки с присоединенным к одному из ее торцов абсолютно твердым телом, находящихся под действием сосредоточенных и распределенных нагрузок общего вида. При этом предполагается, что тело имеет две взаимно-перпендикулярные плоскости симметрии, линия пересечения которых совпадает с продольной осью оболочки. Формулировка рассматриваемой задачи приведена в интегро-дифференциальной и вариационной форме и доказана их эквивалентность. Сформулированы граничные задачи на собственные значения с параметром, как в уравнениях, так и в граничных условиях, которые описывают свободные продольные и поперечные колебания рассматриваемой системы, а также предложен приближенный метод построения их решений в аналитической форме. Разработанные на этой основе алгоритмы дают возможность рассчитывать нижние частоты и формы собственных колебаний конструкции с высокой точностью при относительно небольшом количестве приближений. Приведен детальный анализ динамических характеристик системы при различных условиях крепления свободного от тела торца оболочки, как в строгой, так и в упрощенной постановке задачи, которая базируется на гипотезе плоских поперечных сечений для деформаций оболочки. Показано, что расхождение в этих частотах и формах колебаний падает с увеличением относительной длины оболочки. Установлено, что наличие твердого тела на торце оболочки приводит к появлению в системе достаточно низких частот, которые уменьшаются с увеличением массы твердого тела.

Разработан вариационный метод построения приближенных решений задач о свободных осесимметричных и неосесимметричных колебаниях круговой цилиндрической оболочки, к торцам которой жестко прикреплены две упругие балки. Предложенные на его основе алгоритмы позволяют рассчитывать низшие собственные частоты и формы колебаний рассматриваемых конструкций для оболочек с переменными упруго-массовыми характеристиками в широком диапазоне входных параметров. Сравнение результатов расчета с результатами, которые получены другими авторами на основе точного решения спектральной задачи, свидетельствует о достаточно высокой эффективности разработанного варианта вариационного метода. Показано, что, как и в случае оболочки с присоединенным твердым телом, неосесимметричные колебания рассматриваемой упругой системы распадаются на два типа колебаний. Первый тип обусловлен связанными колебаниями балок и оболочки с числом волн в ее окружном направлении равном единице. При втором типе колебаний оболочка совершает пространственные неосесимметричные колебания с числом волн в окружном направлении большим единицы, тогда как балки при этом остаются неподвижными. Минимальная частота системы может быть найдена после определения наименьших частот указанных типов колебаний.

На основе метода начальных параметров Коши построены алгоритмы точного решения упрощенных постановок рассматриваемых задач на собственные значения, которые базируются на допущениях, что поперечные сечения оболочки при деформации остаются плоскими и перпендикулярными к ее оси симметрии, а нормальные напряжения на площадках, параллельных оси - малые.

В рамках строгой и упрощенной постановок задач проведено исследование поведения частот и форм собственных колебаний упругой конструкции в зависимости от толщины, длины и места расположения оболочки в системе. Показано, что точность представления неосесимметричных и осесимметричных колебаний рассматриваемой упругой конструкции упрощенной моделью и границы ее применимости в каждом конкретном случае должны определяться путем сопоставления полученных результатов с результатами расчета, которые основаны на уравнениях теории оболочек.

Ключевые слова: свободные колебания, цилиндрическая оболочка с твердым телом, цилиндрическая оболочка с упругими балками, вариационный метод.

Trotsenko Yu.V. Free oscillations of a cylindrical shell with affixed absolutely rigid and elastic bodies. - Manuscript.

Thesis for a Candidate's Degree in Physics and Mathematics by the speciality 01.02.04 - mechanics of a deformable rigid body. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2003.

A mathematical model of dynamic interacting a circular cylindrical shell with an absolute rigid body attached to one butts is proposed. The rigid body shape is symmetric relative to planes. An approximate method to construct solutions an appropriate spectral problems with spectral parameter in both the equations and boundary conditions to offered. The spectral problems describe longitudinal and transverse motions of the system. When assuming that cross-sections of the shell keep planar shape and are perpendicular to their axis, a simplified statement of the problem is stated. It allows for exact solutions. The systematic analysis of natural frequencies and modes is conducted. The applicability limits of the simplified model are established. The variational method to calculate approximate solutions of the problem on free axisymmetric and not axisymmetric oscillations of the cylindrical shell with two elastic beams rigidly attached to the butts is developed. By utilizing the method of the initial Cauchy parameters the solution of simplified problem cylindrical insertion is substituted by an equivalent beam with constant elastic - mass properties is presented. In the framework of both the original and simplified problem definition the behaviour of natural frequencies and modes are studied for both longitudinal and transverse oscillations of the elastic system. Effect of width, length and position of the shell in the system on natural oscillations are investigated. It is shown, that accounting for shell-like motions of cylindrical insertion one leads in many cases to significant changes of natural frequencies and modes with respect to simplified problems. in comparison with the simplified statement of problem.

Keywords: free oscillations, cylindrical shell with rigid body, cylindrical shell with elastic beams, variational method.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми та ступінь дослідженості тематики. Складні механічні конструкції, що являють собою різного роду поєднання оболонкових елементів з абсолютно твердими та пружними тілами, широко використовуються в енергомашинобудуванні, авіабудуванні, ракетобудуванні та в інших галузях промисловості та будівництва. Більшість дефектів та руйнувань в таких конструкціях виникають внаслідок дії змінних в часі навантажень, особливо коли має місце зближення спектрів частот збурюючих сил та власних коливань системи. Тому визначення форм і частот вільних коливань, як основних характеристик пружних систем, є першим етапом динамічного розрахунку.

Огляд літературних джерел свідчить про те, що більшість досліджень присвячено коливанням оболонок, на бічній поверхні яких закріплені тверді тіла та зосереджені маси. Задачі про динамічну поведінку оболонок обертання з приєднаними до їх торцевих перерізів абсолютно твердими та пружними тілами відносяться до числа малодосліджених задач як в плані побудови математичних моделей розглядуваних механічних систем, так і в плані розробки методів знаходження наближених розв'язків відповідних крайових задач. При певних геометричних та фізичних параметрах вказаних пружних систем їх коливання можуть бути описані за допомогою спрощених моделей, які базуються на гіпотезі плоских поперечних перерізів для деформацій оболонки. Хоча спрощені таким чином математичні моделі оболонкових конструкцій набули широкого використання в практиці сучасного машинобудування, межі застосувань подібних наближень на основі теоретичних досліджень практично не обговорювалися.

Таким чином, проблема теоретичного моделювання вільних коливань оболонок з приєднаними абсолютно твердими та пружними тілами і розробки методик побудови наближених розв'язків відповідних граничних задач на власні значення є актуальною як в науковому, так і в практичному плані.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Представлені в дисертації дослідження є частиною науково-дослідних робіт за комплексними темами, які проводилися в Міжгалузевому науково-дослідному інституті проблем механіки "Ритм" при Національному технічному університеті України "КПІ". При виконанні цих науково-дослідних робіт автор розробив пакет прикладних програм та розв'язав коло задач про динаміку розглядуваних конструкцій в умовах їх вільних коливань.

Мета і задачі дисертаційної роботи полягають в наступному:

- побудувати математичні моделі власних коливань пружних систем, які складаються із кругової циліндричної оболонки з приєднаними до її торців абсолютно твердого тіла та пружних балок, що мають дві взаємно перпендикулярні площини симетрії, лінія перетину яких співпадає з поздовжньою віссю оболонки;

- розробити ефективні чисельно-аналітичні методи розв'язування граничних задач, що описують осесиметричні та неосесиметричні коливання розглядуваних конструкцій;

- дослідити основні закономірності впливу геометричних та фізичних параметрів на частоти і форми власних коливань зазначених пружних систем та встановити межі застосування спрощених постановок розглядуваних задач, які базуються на гіпотезі плоских поперечних перерізів для деформацій оболонки.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі:

- вперше здійснено теоретичне моделювання взаємодії кругової циліндричної оболонки з приєднаним до одного з її торців абсолютно твердим тілом під дією зосереджених та розподілених навантажень загального вигляду в інтегро-диференціальній та варіаційній формах та доведено їх еквівалентність;

- сформульовано спектральні граничні задачі, що описують вільні осесиметричні та неосесиметричні коливання кругової циліндричної оболонки з приєднаними до її торців абсолютно твердим тілом або пружних балок, та запропоновано новий підхід до побудови їх наближених аналітичних розв'язків;

- побудовано алгоритми розрахунку частот та форм коливань розглядуваних конструкцій, які базуються на точних розв'язках спрощених постановок задач, та розроблено рекомендації по їх застосуванню;

- розв'язано ряд нових задач, на основі яких виявлені основні закономірності впливу вхідних параметрів розглядуваних пружних систем на їх частоти і форми поздовжніх і поперечних коливань.

Побудова наближених розв'язків зазначених вище граничних задач базується на застосуванні прямих методів математичної фізики до їх еквівалентних варіаційних формулювань. Такий підхід дозволяє уникнути апріорного виконання досить складних силових і моментних граничних умов в місцях спряження оболонки з розглядуваними елементами і дає можливість будувати наближені розв'язки для оболонки зі змінними пружно-масовими характеристиками. Запропоновані системи базисних функцій та представлення для переміщень оболонки забезпечують високу точність та ефективність знаходження динамічних характеристик розглядуваних пружних систем.

Достовірність одержаних в дисертації результатів забезпечується використанням незалежних підходів при виведенні основних співвідношень; практичною збіжністю запропонованих алгоритмів та контрольованою точністю всіх виконаних на ПЕОМ обчислень; узгодженістю частинних результатів та висновків з відомими літературними джерелами; відсутністю протиріч між встановленими закономірностями та фізичними міркуваннями і теоретично обґрунтованими фактами, кількісною та якісною узгодженістю результатів, які отримано в строгій та спрощеній постановках задач.

Практичне значення одержаних результатів полягає в побудові математичних моделей і розробці методик дослідження взаємодії кругової циліндричної оболонки з приєднаними до її торців абсолютно твердих та пружних елементів в умовах їх вільного коливання; в можливості застосування отриманих результатів і створених обчислювальних програм в практиці конструкторських робіт.

Апробація роботи. Матеріали дисертації оприлюднено на Українському математичному конгресі, присвяченому 200-річчю з дня народження М.В. Остроградського "Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки" (м. Київ, 21 - 23 серпня 2001 року), на IX міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука "Диференціальні та інтегральні рівняння, їх застосування" (м. Київ, 16 - 19 травня 2002 року).

В повному обсязі робота обговорювалася на сумісному семінарі НАН України і Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники - академік НАН України В.Т. Грінченко, член-кореспондент НАН України А.Ф. Улітко) (м. Київ, 2002 рік); на науковому семінарі "Математичні проблеми механіки та обчислювальна математика" при Інституті математики НАН України (керівники - академік НАН України І.О.Луковський, член-кореспондент НАН України В.Л. Макаров) (м. Київ, 2003 рік).

Публікації та особистий внесок здобувача. Зміст дисертаційної роботи викладено в п'яти наукових працях і двох тезах доповідей на конференціях. В одній публікації, яка підготовлена у співавторстві, здобувачем виконано виведення основних рівнянь та співвідношень, аналітичні перетворення та чисельна реалізація запропонованого алгоритму. Співавторам належить постановка задачі та ідея побудови її наближеного розв'язку.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 148 сторінок, у тому числі 31 рисунок, 10 таблиць та бібліографічний список із 126 найменувань.

Основний зміст роботи

У вступі наведено загальну характеристику, актуальність та мету роботи, її новизну та практичну значимість, достовірність результатів, короткий зміст дисертації.

Перший розділ присвячений короткому огляду сучасних методів розрахунку коливань оболонок та викладенню відомостей про розвиток досліджень з динаміки оболонок, до яких приєднані абсолютно тверді та пружні тіла. Основні положення теорії пластинок та оболонок викладені в узагальнюючих монографіях В.В. Болотіна, В.З. Власова, О.Л. Гольденвейзера, О.М. Гузя, М.О. Кільчевського, А.І. Лур`є, Х.М. Муштарі, В.В. Новожилова, К.Ф. Черниха та інших. Розробці методів розрахунку стійкості та коливань оболонкових конструкцій присвячені праці І.Я. Аміро, А.Е. Бабаєва, О.І. Беспалової, Н.В. Валішвілі, А.Т. Василенка, Е.І. Григолюка, Я.М. Григоренка, В.Т. Грінченка, В.І. Гуляєва, В.А. Заруцького, А.В. Кармішина, В.Г. Карнаухова, І.Ф. Киричка, В.Д. Кубенка, В.В. Мелешка, І.Т. Селезова, А.Ф. Улітко, В.П. Шмакова, М.О. Шульги та інших.

Особливе місце в розрахунковій практиці посідають задачі про коливання оболонок з приєднаними до них тим чи іншим чином різного роду твердими та пружними тілами. Теоретичному та експериментальному вивченню коливань підкріплених оболонок обертання з приєднаними до їх бічної поверхні зосередженими масами та твердими тілами присвячені роботи І.Я. Аміро, В.А. Заруцького, О.С. Каірова, А.І. Лиходіда, А.А. Малініна, А.М. Носаченка, В.Г. Паламарчука та інших. До числа перших робіт, в яких досліджено поздовжні та крутильні коливання циліндричної оболонки з зосередженими масами на її торцях, належать праці В.Е. Бреславського. Дослідженню вільних коливань попередньо деформованої безмоментної оболонки обертання із гіперпружного матеріалу з приєднаним до одного з її торцевих перерізів твердим дископодібним тілом присвячені роботи В.С. Кладиноги та В.А. Троценка. Точні розв`язки задач про власні коливання кругової циліндричної оболонки з приєднаними до її торців пружними балками побудовано в роботах Ю.Ю. Швейка, А.Д. Брусиловського та Л.М. Мельникової. Теорія коливань конструкцій, що несуть пружні резервуари з рідиною, запропонована в роботі Б.І. Рабіновіча, В.П. Шмакова, та В.С. Кобичкіна. Робота В.А. Петровського та Ю.Н. Мокроусова присвячена наближеному математичному моделюванню осесиметричного вібраційного поля в пружних оболонках з приєднаними до їх торців абсолютно твердими тілами при локальному імпульсному навантаженні на систему.

Наведений короткий огляд літературних джерел свідчить про те, що задачі про динамічну поведінку оболонок з приєднаними до їх торцевих перерізів абсолютно твердими та пружними тілами відносяться до числа малодосліджених задач і мають певний науковий і практичний інтерес.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячений побудові математичної моделі взаємодії кругової циліндричної оболонки з абсолютно твердим тілом, яке жорстко прикріплене до одного з її торців, а також розробці наближених методів розрахунку власних коливань механічної системи.

Ґрунтуючись на основних положеннях технічної теорії оболонок В.З. Власова та статики абсолютно твердого тіла, отримана інтегро-диференціальна постановка задачі про визначення рівноважного стану циліндричної оболонки та твердого тіла при дії на них малого навантаження загального вигляду. Вважається, що тіло має дві взаємно-перпендикулярні площини симетрії, лінія перетину яких співпадає з поздовжньою віссю оболонки Oz. Координатні площини Oxz та Oyz співпадають з площинами симетрії системи, а початок координат О вибирається в площині торцевого перерізу оболонки, вільного від твердого тіла. Серединна поверхня оболонки відноситься до ортогональної системи криволінійних координат z і , де - полярний кут. З цими координатами пов`язано локальний ортогональний базис Дарбу . Для описання переміщень твердого тіла вводиться прямокутна система координат Cxcyczc, з ортами та початком в центрі інерції твердого тіла. Вважається, що до твердого тіла прикладені зосереджена в точці С сила

та момент

відносно цієї точки, а також розподілене навантаження на оболонку

.

Рівноважний стан системи під дією прикладених сил характеризується вектором переміщень точок серединної поверхні оболонки

та векторами поступального переміщення центра мас твердого тіла

та його малого кута повороту

навколо цього центра.

Умови рівноваги серединної поверхні оболонки дають наступні відомі рівняння відносно її переміщень:

Тут - товщина, радіус, модуль пружності та коефіцієнт Пуассона матеріалу оболонки відповідно.

Враховуючи зв`язок між ортами і ортами системи координат Cxcyczc та замінюючи згідно з кінематичною гіпотезою Кірхгоффа крутильний момент М 12 на торці оболонки статично еквівалентною розподіленою поперечною силою , після обчислення головного вектора сил та головного моменту відносно точки С, що діють на тверде тіло, отримані наступні рівняння рівноваги твердого тіла:

Де відповідно меридіональна, зсувна, та узагальнена поперечна погонні сили на контурі L оболонки з приєднаним твердим тілом; M1 - погонний згинаючий момент в меридіональній площині оболонки; lc - відстань вздовж осі Oz від точки C до торцевого перерізу оболонки, на якому закріплене тверде тіло.

Таким чином, відшукання збуреного стану розглядуваної механічної системи під дією згаданих сил і моментів зводиться до розв'язання рівнянь оболонки (1) разом з рівняннями рівноваги твердого тіла (2) та умовами спряження (3) з врахуванням умов закріплення вільного від твердого тіла торця оболонки.

З рівняння (4), враховуючи умови (3), традиційними методами варіаційного числення отримані рівняння рівноваги оболонки та твердого тіла при малих відхиленнях системи від її початкового стану. Цим доведено еквівалентність сформульованої вище крайової задачі варіаційному рівнянню (4) при виконанні умов (3). Слід зауважити, що рівняння рівноваги твердого тіла (2) є природними граничними умовами для відповідного функціоналу на класі функцій, що задовольняють геометричні умови спряження (3).

Спираючись на принцип Даламбера та на виведені співвідношення, сформульовано крайові задачі на власні значення, що описують вільні коливання розглядуваної механічної системи. Малість параметрів руху системи та умови її симетрії дозволяють загальний рух розкласти на незалежні складові в напрямку і навколо поздовжньої осі, а також у двох взаємно перпендикулярних площинах.

При цьому показано, що сумісні коливання тіла і оболонки можливі тільки при . При числі хвиль в круговому напрямку оболонки, що перевищує одиницю, коливання системи відбуваються так, як і у випадку жорсткого кріплення контуру оболонки в місці приєднання твердого тіла - тіло нерухоме, а оболонка здійснює просторові рухи.

Проаналізовані ускладнення, з якими доводиться стикатись при розв'язанні сформульованих спектральних задач, де частотний параметр входить як в самі рівняння, так і в граничні умови, та обґрунтовано доцільність застосування варіаційного методу при побудові їх наближених розв'язків. У випадку неосесиметричних коливань розглядуваної механічної системи в площині Oxz вихідна крайова задача в безрозмірних величинах зводиться до еквівалентної задачі відшукання стаціонарних значень функціоналу.

Побудова систем базисних функцій та функцій здійснювалась на класі поліноміального представлення шуканих розв'язків з врахуванням умов (7) та умов жорсткого кріплення торця оболонки при z=0. Звертає на себе увагу той факт, що на відміну від традиційного методу Рітца побудовані представлення (8) для шуканих розв'язків у випадку не є незалежними, оскільки вони містять в собі спільні сталі та , що підлягають визначенню надалі.

Необхідні умови екстремуму функціоналу (6) призводять до розв'язання однорідної алгебраїчної системи рівнянь відносно вектора та параметра :

Таким чином, задача визначення власних частот і форм неосесиметричних коливань оболонки з приєднаним тілом звелась до обчислення квадратур з наступним розв'язанням узагальненої алгебраїчної задачі на власні значення. Вибрані базисні функції в розкладах (8) дозволяють отримати стійкий обчислювальний процес при . Одначе, для відносно довгих та тонких оболонок такої кількості членів розкладу може не вистачити для отримання розв'язків з високою точністю. Тому для цих випадків запропоновано системи координатних функцій з використанням поліномів Лежандра, які дозволяють проводити обрахунки з необхідною точністю для досить широкого діапазону геометричних та фізичних параметрів системи.

Запропонована спрощена постановка розглядуваної задачі, яка базується на припущеннях, що поперечні перерізи оболонки при деформуванні залишаються плоскими і перпендикулярними до її осі симетрії, а нормальні напруження на площадках, паралельних осі, - малі. Для виведення рівнянь руху системи за цих припущень використовується варіаційний принцип можливих переміщень. Отримана крайова задача на власні значення допускає побудову її точного розв'язку, що призвело до досить простого алгоритму розрахунку зв'язаних коливань тіла і оболонки.

Запропонована вище методика побудови наближених розв'язків спектральних крайових задач далі поширена на випадок осесиметричних коливань розглядуваної механічної системи. Побудовано точні розв'язки задачі про крутильні коливання оболонки з тілом та спрощеної задачі на основі гіпотези плоских перерізів про поздовжні коливання системи.

За допомогою запропонованих алгоритмів проведено розрахунки та аналіз власних коливань механічної системи "тіло - оболонка". При цьому вважалось, що до оболонки приєднане тверде тіло, що має форму кругового циліндра радіуса R, а безрозмірні параметри системи набували наступних значень: = 0.3; h = 0.01; lc = 0.5. Довжина оболонки l, маса тіла та граничні умови на вільному від твердого тіла торці оболонки варіювались. В табл.1 наведено результати розрахунку перших п'яти нижчих частот неосесиметричних коливань (n = 1) розглядуваної системи при l = 4, m0 = 100 і умовах жорсткого закріплення оболонки при z = 0 в залежності від числа членів N у розкладах (8). Дані в таблиці свідчать про відносно швидку збіжність послідовностей Рітца. При зменшенні відносної довжини оболонки збіжність обчислень покращується по відношенню до результатів табл.1. Однак, при l10 десять координатних функцій забезпечують прийнятну для практичних застосувань точність розрахунків.

Таблиця 1
N	1	2	3	4	5
3	0.01574	0.12695	0.32523	0.61877	0.81494
4	0.01500	0.12681	0.32491	0.57754	0.81054
5	0.01495	0.12637	0.32272	0.57739	0.76240
6	0.01480	0.12636	0.32271	0.57617	0.76237
7	0.01479	0.12631	0.32201	0.57616	0.76122
8	0.01474	0.12630	0.32200	0.57588	0.76121
9	0.01474	0.12630	0.32175	0.57588	0.76106
10	0.01474	0.12630	0.32175	0.57582	0.76105

Проаналізована поведінка перших власних частот та форм коливань оболонки при зміні маси тіла. Збільшення маси тіла призводить до зниження частот системи та до суттєвої зміни конфігурації власних форм. При цьому перша і друга частоти наближаються до нуля, а інші до своїх граничних значень, які відповідають частотам коливань оболонки з обома закріпленими торцями.

Аналогічні розрахунки отримано для випадку, коли вільний від твердого тіла торець оболонки є незакріпленим. Зроблено висновок, що граничні умови закріплення системи істотно впливають на межі застосування прощеної постановки задачі. Наведені таблиці мінімальних частот циліндричної оболонки з жорстко закріпленими торцями та з одним закріпленим, а другим вільним при n > 1 (тіло нерухоме) для широкого діапазону вхідних параметрів оболонки. Порівняння даних цих таблиць з пересічними даними інших авторів, отриманими на основі точного розв'язання розглядуваних задач на власні значення, свідчить про їх повне співпадання. Досліджено також спільні осесиметричні коливання оболонки і приєднаного до неї твердого тіла. Для випадку, коли вільний від твердого тіла торець оболонки жорстко закріплений, встановлено, що розрахунок першої частоти системи за спрощеною постановкою задачі можна проводити у всьому діапазоні відносних довжин оболонки. В той же час, точність відшукання вищих частот системи за такою розрахунковою схемою істотно залежить від довжини оболонки.

Третій розділ роботи присвячено розробці наближених методів розрахунку вільних осесиметричних та неосесиметричних коливань механічної системи, що складається із двох балок і кругової циліндричної оболонки, яка їх з`єднує, та дослідженню впливу вхідних параметрів системи на її частоти і форми коливань як в строгій, так і в спрощеній постановках задачі. Передбачається, що балки володіють двома взаємно-перпендикулярними площинами симетрії, лінією перетину яких є вісь Oz, що співпадає з поздовжньою віссю оболонки. Вважаючи, що при коливаннях система рухається в одній із зазначених вище площин симетрії, виведені кінематичні граничні умови, що накладаються на переміщення та кути повороту оболонки і балок в місцях їх жорсткого кріплення. Для одержання вихідних рівнянь та силових граничних умов спряження використовується варіаційний принцип можливих переміщень. Для кожної з балок та оболонки вводяться свої системи координат, які пов'язані з вільними від оболонки торцями балок та лівим торцем оболонки відповідно. В результаті задача визначення неосесиметричних коливань розглядуваної пружної системи зводиться до сумісного інтегрування рівнянь теорії циліндричних оболонок та балок:

Таким чином, власні коливання розглядуваної пружної системи, як і для випадку оболонки з приєднаним твердим тілом, розпадаються на два типи коливань. Перший тип коливань характеризується поперечними рухами балок при одночасному деформуванні серединної поверхні оболонки з числом хвиль в круговому напрямку, що дорівнює одиниці. Для другого типу коливань (n>1) оболонка здійснює просторові неосесиметричні коливання в площині симетрії, тоді як балки залишаються нерухомими. Знаходження мінімальної частоти системи зводиться до визначення частот вищевказаних типів коливань.

Для випадку, коли товщина, згинна жорсткість оболонки та пружно-масові характеристики балок є постійними величинами, в роботі Ю.Ю. Швейка, А.Д. Брусиловського та А.Д. Мельникової побудовано на основі методу Ейлера точні розв'язки розглядуваних задач на власні значення. Задача зведена до знаходження коренів характеристичного рівняння восьмого порядку та до розв'язання частотного рівняння для однорідної алгебраїчної системи дванадцятого порядку. Слід зауважити, що на кожному кроці ітераційного процесу знаходження однієї частоти вільних коливань системи можливі різні комбінації коренів характеристичного рівняння (в тому числі комплексних), що призводить до різних структур загального розв'язку системи і, як наслідок, до різних форм частотних рівнянь. Все це ускладнює алгоритм побудови розв'язків розглядуваних задач, в той час як отримані на цій основі результати відіграють важливу роль при побудові їх наближених розв'язків.

В даній роботі побудовано наближені аналітичні розв'язки вказаних крайових задач, які базуються на зведенні їх до відповідних еквівалентних варіаційних задач з наступним застосуванням для їх розв'язання узагальненого методу Рітца. Запропонований підхід може бути застосований і до випадку, коли оболонка має змінні по її довжині товщину та згинну жорсткість.

Представлення (14) задовольняють кінематичні умови спряження при довільних значеннях сталих . Розв'язки для переміщень балок відшукуються на класі функцій, які точно задовольняють їхні рівняння та відповідні граничні умови на вільних від оболонки торцях. В результаті задача зводиться до відшукання стаціонарних значень функціоналу відносно вектора , де С 1, С 2 та D1, D2 - вільні сталі в частинних розв`язках для переміщень першої та другої балки відповідно. Представлення (14) для функцій Un(), Vn() та Wn() у випадку n=1 не є незалежними, оскільки вони містять в собі спільні сталі С 1, С 2 та D1, D2. В силу цих обставин, формування елементів однорідної алгебраїчної системи на основі традиційного підходу призводить до досить громіздких їх виразів, що значно ускладнює розрахункову схему задачі.

Запропонований спосіб формування алгебраїчних систем (9) має ту перевагу, що він дозволяє з єдиних позицій відносно просто будувати елементи матриць A і B і є досить зручним при програмуванні розробленого алгоритму на ПЕОМ.

Далі в роботі наведена спрощена постановка вихідної задачі, в якій оболонка замінюється еквівалентною балкою з сталими по її довжині погонною масою та згинною жорсткістю. В результаті, задача зведена до розрахунку власних коливань неоднорідної балки з кусково-сталими пружно-масовими характеристиками. Для побудови точних розв'язків цієї спектральної задачі використовується метод початкових параметрів Коші в матричній формі, який на відміну від інших методів дозволяє знаходити частоти та форми власних коливань пружної системи, використовуючи частотний визначник, порядок якого не залежить від номера тону коливань та кількості однорідних ділянок балки.

В наступному підрозділі роботи сформульована крайова задача на власні значення, яка описує поздовжні коливання циліндричної оболонки з приєднаними до неї пружними балками. При побудові наближених аналітичних розв'язків розглядуваної спектральної задачі на основі її еквівалентного варіаційного формулювання використовуються точні розв'язки для переміщень балок.

На основі отриманих алгоритмів наведені результати розрахунків неосесиметричних та осесиметричних коливань розглядуваної пружної системи. Для випадку неосесиметричних коливань системи вважалось, що торці балок жорстко закріплені і їх пружно-масові характеристики рівні між собою. Довжина циліндричної оболонки, її товщина і місце розташування в системі варіювалися. В усіх розрахунках були прийняті наступні значення безрозмірних параметрів:

Проаналізовано збіжність послідовних наближень в методі Рітца для оболонок різної відносної довжини. Зазначено, що запропоновані базисні функції та форма представлення шуканих розв'язків забезпечують можливість проведення розрахунків для широкого діапазону параметрів системи.

Всі обчислення проводились також з використанням спрощеної розрахункової схеми, в якій циліндрична оболонка замінювалася еквівалентною балкою. Результати розрахунків показали, що у всіх випадках для першого типу коливань пружної системи виконується нерівність , де та - частоти коливань, обчислені відповідно в строгій і спрощеній постановці задачі.

Проведений аналіз впливу товщини оболонки на частоти та свідчить про те, що зменшення товщини оболонки супроводжується збільшенням розбіжності в цих частотах. Наведено також залежності згаданих частот від місця розташування оболонки в системі.

Вплив довжини циліндричної оболонки на перші три частоти (суцільні лінії) та (штрихові лінії) при 1 = 2; R/h = 900.Звертає на себе увагу досить складна поведінка частот пружної системи в залежності від параметра . Далі в роботі наведено детальний аналіз впливу вхідних параметрів системи на її першу частоту на основі наближеної розрахункової схеми. При цьому встановлено, що немонотонний характер поведінки частот від довжини циліндричної вставки обумовлений складним взаємовпливом геометричних, жорсткісних і масових характеристик системи.

При різних параметрах системи наведено амплітудні значення форм вільних коливань, які отримано по оболонковій та балковій розрахункових схемах. Показано, що порядок розбіжностей в формах коливань при цьому відповідає порядку розбіжностей в частотах коливань системи.

При цьому для z < 9 зображена функція 1(z), а для z > 9 - W1(z) і відповідні їм перші похідні, які розраховано по оболонковій (суцільні лінії) та балковій (штрихові лінії) розрахункових схемах. З цього рисунка видно, що в досить вузькій зоні оболонки, яка близька до приєднаної балки, спостерігаються різкі зміни як по формі коливань, так і по її похідній, що свідчить про складний напружено-деформівний стан оболонки на цій ділянці. Ширина цієї зони і змінюваність переміщень та кутів повороту оболонки залежить від перепаду жорсткостей складових елементів конструкції у вузлах їхнього стикування. Відповідно до постановки задачі в точці z = 9 виконуються умови неперервності форм коливань та їх похідних. В свою чергу, спрощена розрахункова модель розглядуваної системи зазначений примежовий ефект не відображає. Таким чином, балкова модель конструкції може задовільно описувати форми коливань в цілому, за винятком локальних деформацій конструкції в місцях спряження оболонки з балками.

На конкретних прикладах показана можливість підбору згинної жорсткості при незмінній погонній масі центральної ділянки балки, при якій частота буде збігатися з частотою . При цьому підібрані жорсткості балки виявляються різними для різних форм коливань.

Порівняння нижчих частот зазначених вище першого та другого типів коливань пружної системи свідчить про те, що співвідношення між ними визначається товщиною та довжиною циліндричної оболонки. Найнижчою частотою системи може бути частота, яка відповідає як першому, так і другому типу коливань.

Аналогічний аналіз розглядуваної динамічної системи проведено і на випадок її поздовжніх коливань. Наведено результати розрахунків частоти спільних коливань системи як в рамках строгої постановки задачі, так і за спрощеною моделлю, в якій оболонка замінялась ділянкою балки з постійними погонною масою і жорсткістю на розтяг-стиск. При цьому вважалось, що торці балок жорстко закріплені. На прикладі пружної системи, в якій приєднані балки мали фіксовану однакову довжину, а довжина циліндричної вставки варіювалась, було показано, що розбіжність між частотами та зменшується зі збільшенням довжини оболонки.

Таким чином, точність представлення неосесиметричних та осесиметричних коливань розглядуваної пружної системи спрощеною моделлю та межі її застосування в кожному конкретному випадку повинні визначатися шляхом порівняння отриманих результатів з результатами розрахунку, який базується на рівняннях теорії оболонок.

Основні результати і висновки роботи полягають в наступному:

1. Побудована математична модель взаємодії кругової циліндричної оболонки з приєднаним до одного з її торців абсолютно твердим тілом, що має дві взаємно перпендикулярні площини симетрії, під дією зосереджених та розподілених малих навантажень загального вигляду в інтегро-диференціальній і варіаційній формах та доведено їх еквівалентність.

2. Сформульовано крайові задачі на власні значення з параметром як в рівняннях, так і в граничних умовах, які описують вільні поздовжні та поперечні коливання розглядуваної системи, та запропоновано наближений метод побудови їх розв'язків в аналітичній формі. Розроблений на цій основі алгоритм дає можливість розраховувати нижчі частоти та форми власних коливань системи з високою точністю при відносно невеликій кількості наближень.

3. Наведено детальний аналіз частот і форм власних коливань системи при різних умовах кріплення вільного від твердого тіла торця оболонки як в строгих, так і в спрощених постановках задач, що базуються на гіпотезі плоских поперечних перерізів. Показано, що розбіжність в цих частотах та формах коливань падає зі збільшенням відносної довжини оболонки. Встановлено, що наявність твердого тіла на торці оболонки призводить до появи в системі досить низьких частот, які зменшуються зі збільшенням маси твердого тіла.

4. Запропоновано наближений метод розрахунку вільних неосесиметричних та осесиметричних коливань пружної системи, що складається із кругової тонкостінної циліндричної оболонки і приєднаних до її торців двох пружних балок. Порівняння наближених розв'язків з розв'язками, які отримані іншими авторами на основі точного розв'язання спектральної задачі, свідчить про досить високу ефективність запропонованого варіанту варіаційного методу. Розроблений підхід до побудови наближених розв'язків розглядуваних задач на власні значення дозволяє проводити розрахунки і у випадку, коли оболонка і балки мають змінні пружно-масові характеристики.

5. Показано, що як і у випадку оболонки з приєднаним твердим тілом, неосесиметричні коливання розглядуваної пружної системи розпадаються на два незалежних типи коливань. Перший тип коливань обумовлений зв'язаними коливаннями блок і оболонки при числі її хвиль в круговому напрямку, що дорівнює одиниці. При другому типі коливань оболонка здійснює просторові неосесиметричні коливання з числом хвиль в круговому напрямку більшому від одиниці, тоді як балки при цьому залишаються нерухомими. Мінімальна частота системи може бути визначена після знаходження найменших частот вказаних типів коливань.

6. На основі методу початкових параметрів Коші наведено точний розв'язок розглядуваної задачі в спрощеній її постановці, в якій циліндрична вставка замінена еквівалентною балкою з постійними пружно-масовими характеристиками.

7. В рамках строгої та спрощеної постановок задач проведено дослідження поведінки частот та форм власних осесиметричних та неосесиметричних коливань пружної системи в залежності від товщини, довжини та місця розташування оболонки в системі.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Trotsenko Yu. V. On equilibrium equations of cylindrical shell with attached rigid body //Nonlinear Oscillations. - 2001. - 4, № 3. - P. 422-431

2. Троценко Ю.В. Осесиметричні коливання циліндричної оболонки з твердим тілом //Вісн. Київ. нац. уні-ту імені Тараса Шевченка. - 2001. - Вип. №5. - С. 371-375

3. Карпачев Ю.А., Троценко В.А., Троценко Ю.В. Собственные неосесимметричные колебания цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом // Акустичний вісник. - 2001. - 4, №1. - С. 44-59

4. Троценко Ю.В. Cвободные колебания цилиндрической оболочки, соди-няющей две упругие балки // Акустичний вісник. - 2002. - 5, № 2. - С. 54 - 72

5. Троценко Ю.В. Продольные колебания балок, соединенных между собой цилиндрической оболочкой // Вопросы механики и ее приложеня. - К.: Ин-т математики НАН Украины, 2002. - С.304 - 320. - (Труды Ин-та математики НАН Украины; Т. 44).

6. Карпачев Ю.А., Троценко В.А., Троценко Ю.В. Свободные колебания цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом // Тези доп. Укр. мат. конгресу, присвяченого 200-річчю з дня народження М.В. Остроградського, "Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки" (21-23 серпня 2001 р., Київ). - С. 22

7. Троценко Ю.В. Поперечные колебания цилиндрической оболочки, соединяющей две упругие балки //Матеріали. IX Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука "Диференціальні та інтегральні рівняння, їх застосування" (16-19 травня 2002 р., Київ). - С. 196

Размещено на Allbest.ru