Дослідження умов існування одного класу інваріантних співвідношень рівнянь динаміки твердого тіла

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА МЕХАНІКИ

01.02.01 - Теоретична механіка

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

«Дослідження умов існування одного класу інваріантних співвідношень рівнянь динаміки твердого тіла»

Міронова Олена Михайлівна

Донецьк - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Донецькому національному університеті

Н а у к о в и й к е р і в н и к: доктор фізико-математичних наук,

професор Горр Геннадій Вікторович,

Донецький національний університет,

завідуючий кафедрою вищої математики

та методики викладання математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

Лесіна Марія Юхимівна,

професор кафедри вищої математики Донецького національного технічного університету.

Кандидат фізико-математичних наук,

Коваль Віктор Іванович,

декан заочного факультету,

Державний інститут штучного інтелекту

(м.Донецьк).

Провідна установа: Інститут механіки ім.. С.П.Тимошенка НАН України

Захист відбудеться 20.09.2002 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул.. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул.. Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 19.08.2002 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Ковалевський О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню умов існування одного класу інваріантних співвідношень у задачах динаміки твердого тіла. Розглянуто три найбільш відомі задачі. Перша задача - задача про рух тіла під дією потенційних і гіроскопічних сил, яка описана диференційними рівняннями Д. Гріолі - М.П. Харламова. Друга задача - задача про рух намагніченого і зарядженого твердого тіла у силовому полі, яке є суперпозицією магнітного, електричного і ньютонівського полів. Третя задача - задача про рух твердого тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

Актуальність теми. Динаміка твердого тіла з нерухомою точкою як розділ теоретичної механіки, виступає основою багатьох напрямів загальної механіки і технічних дисциплін. Вона широко застосовується в математичному моделюванні руху об'єктів сучасної техніки, тому що моделі абсолютно твердого тіла, гірастату і системи пов'язаних тіл є основними при розрахунку і конструюванні кораблів, вагонів, маніпуляторів, літаків.

Ж. Даламбер першим розглянув одну з найскладніших задач небесної механіки - задачу про прецесії і нутацію осі Землі. Л. Ейлер сформулював загальну постановку задачі про рух твердого тіла в полі сили ваги. Значних результатів у класичній задачі одержали Ж. Лагранж, С. Пуассон, Л. Пуансо, К. Якобі, Ж. Ліувіль, В. Гесс, С.В. Ковалевська, Г.Г. Аппельрот, Н.Е. Жуковський, В.О. Стеклов, О.М. Ляпунов, С.О. Чаплигін, В.В. Голубєв, Д. Гріолі, П.В. Харламов та інші.

Особливістю задач динаміки тіла є високий порядок системи диференційних рівнянь руху і наявність великої кількості параметрів. В силу того, що праві частини цих рівнянь багаточлени за основними змінними, для фіксованої точки простору параметрів задача Коші має одне розв'язання. На підставі перших інтегралів рівнянь Г. Кірхгофа (геометричного інтеграла і інтеграла енергії) можна зробити висновок про те, що розв'язання задачі Коші обмежено, і тому ця інформація недостатня для задач механіки. Основна її мета полягає в дослідженні руху тіла, чого неможливо досягти без конструктивного розв'язання для значень точки параметричного простору з деякої області.

Класичний підхід одержання конструктивного рішення полягає в знаходженні ще одного додаткового інтеграла рівнянь. Тоді на підставі методу останнього множника Якобі інтегрування рівнянь Ейлера-Пуассона (у загальному випадку Кірхгофа-Пуассона) зводиться до квадратур. У класичній задачі встановлено тільки три випадки існування додаткового інтеграла (Л. Ейлера, Ж.Л. Лагранжа, С.В. Ковалевської). Є. Хюссон, П. Бургатті, О.М. Ляпунов довели, інших випадків додаткових перших інтегралів рівнянь. В.В. Козлов переконався у неіснуванні аналітичного інтеграла, а С.Л. Зіглін сформулював остаточний результат неінтегрованості рівнянь Ейлера-Пуассона.

Для диференційних рівнянь класу Г.Кірхгофа одержано пять випадків додаткових інтегралів (Г. Кірхгофа - П.В. Харламова, А. Клебша, О.М. Ляпунова, В.О. Стеклова). В.В. Козлов та Д.О. Онищенко встановили неінтегрованість диференційних рівнянь Г. Кірхгофа. Таким чином одержати нові розв'язки в цьому напрямку неможливо.

Зазначимо, що наближені методи базуються на методі малого параметра і застосовуються для аналізу швидких та повільних рухів тіла. Кількісні методи стали використовуватись тільки останнім часом і тільки, як правило, для диференційних рівнянь Ейлера-Пуассона (О.В. Борисів, І.С. Мамаїв).

Ефективним підходом у дослідженні задач динаміки твердого тіла став підхід П.В. Харламова, що ґрунтується на одержанні частинних розв'язків рівнянь руху. Такий підхід дозволяє одержати інформацію про інтегральну різноманітність диференційних рівнянь для точок параметричного простору, які належать до деякої області. Для реалізації свого підходу П.В. Харламов не тільки розвинув метод інваріантних співвідношень, але і вказав метод кінематичного тлумачення руху тіла. Він вважав, що розв'язання задачі складається з аналітичного розв'язання і геометричного аналізу властивостей тіла.

П.В. Харламовим, співробітниками та його учнями (Є.І. Харламовою, А.Й. Докшевичем, Г.В. Горром, О.О. Ілюхіним, О.М. Ковальовим, О.Я. Савченко, Г.В. Мозалевською, М.Ю. Лесіною, Б.І. Коносевичем, Є.В. Поздняковичем) побудовано велику кількість нових частинних розв'язків як у задачах про рух гірастата у полі сили ваги, так і в різних її узагальненнях.

Дана дисертаційна робота продовжує цілу низку досліджень у вказаному напрямку.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами. Дослідження з дисертаційної роботи проводились відповідно до плану наукових досліджень кафедри вищої математики і методики викладання математики Донецького національного університету на 2001-2005 рр. З теми -г-01/38, рег. № 0101U005722 - “Метод інваріантних співвідношень у побудові розв'язань рівнянь динаміки твердого тіла”.

Дослідження з дисертаційної роботи проводились відповідно до плану наукових досліджень відділів технічної і прикладної механіки ІПММ НАН України на 2001-2005 рр. З держбюджетної теми - 0196U002837 - “Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем стійкості управління і динаміки взаємодіючих тіл”, яка виконувалась згідно з постановою Президії НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є дослідження умов існування інваріантних співвідношень у задачах динаміки твердого тіла і побудови нових розв'язків рівнянь руху.

Для реалізації цієї мети в роботі поставлено такі завдання:

Дослідити умови існування одного ІС диференційних рівнянь Д. Гріолі - М.П. Харламова, яким описано рух твердого тіла під дією потенційних і гіроскопічних сил.

Знайти умови існування трьох ІС спеціального виду у диференційних рівнянь Г. Кірхгофа.

Вивчити поліноміальні розв'язки диференційних рівнянь руху твердого тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

Одержати умови існування трьох ІС спеціального виду диференційних рівнянь тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

Наукова новизна одержаних результатів.

У межах розв'язку зворотної задачі знайдено необхідні і достатні умови існування одного ІС нульового шару у диференційних рівнянь Д. Гріолі - М.П. Харламова (задача І).

У межах розв'язку прямої задачі одержано необхідні умови існування одного ІС нульового шару у диференційних рівнянь Д. Гріолі - М.П. Харламова (задача І).

Розроблено метод дослідження умов існування трьох ІС спеціального виду у диференційних рівнянь класу Г. Кірхгофа (задача ІІ). Одержано нове рівняння другого порядку на одну функцію.

На основі розв'язуваного рівняння одержано один частинний розв'язок диференційних рівнянь Г. Кірхгофа.

Подано оцінку значень максимальних степенів поліноміальних розв'язків у диференційних рівнянь руху тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона (задача ІІІ).

У задачі ІІІ одержано три нових розв'язки поліноміального виду.

Вивчено умови існування трьох ІС спеціального виду у диференційних рівнянь ІІ порядку на одну функцію Вказано новий розв'язок даної задачі.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані в ІПММ НАН України (м. Донецьк), в Донецькому національному університеті, в Інститутах механіки і математики НАН України (м. Київ) у дослідженні властивостей руху тіла в одержаних випадках інтегрованості рівнянь руху, а також у вивченні збурених рухів тіла.

Особистий внесок здобувача. У роботі [1,4] пошукачу належать результати щодо редукції системи диференційних рівнянь Г. Кірхгофа до одного диференційного рівняння другого порядку.

У роботах [3,5] пошукачу належать результати щодо побудови нових розв'язків рівнянь Кірхгофа на основі дозвільного рівняння.

У роботі [6] пошукачу належать результати дослідження умов існування одного ІС в межах розв'язку прямої і зворотної задач динаміки.

У роботі [9] пошукачу належать результати щодо побудови нового розв'язку у задачах про рух твердого тіла в магнітному полі.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації апробовані:

на V міжнародній конференції “Математичні моделі фізичних процесів і їх властивості” (Таганрог, 1999 р.),

на VII міжнародній конференції “Стійкість, управління і динаміка твердого тіла” (ICSD-99) (Донецьк 1999 р.),

на семінарі кафедри вищої математики Донецького національного університету,

на спільному семінарі відділу прикладної механіки і відділу технічної механіки ІПММ НАН України,

на XXXVIII Всеросійській науковій конференції з проблем математики, інформатики, фізики, хімії та методики викладання природничонаукових дисциплін (Москва 2002).

Публікації. Результати опубліковано у статтях [3-9], тезах конференцій [1,2, 10].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, 6 розділів, висновку та списку літератури із 173 найменувань. Загальний обсяг роботи 131 машинописні сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи і сформульовано завдання дослідження.

У першому розділі дається огляд літератури з теми дисертації.

У другому розділі розглянуто моделі і методи розв'язання задач динаміки твердого тіла.

У пункті 2.1 наведено диференційні рівняння Д. Гріолі - М.П. Харламова і рівняння Г. Кірхгофа. Описано механічну модель тіла в силовому полі, яке є суперпозицією електричного, магнітного і ньютонівського полів.

Пункт 2.2 присвячено характеристиці рівнянь руху тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

У пункті 2.3 викладено метод інваріантних співвідношень запропонований П.В. Харламовим. Вказано зв'язок між цим методом і методом Т. Леві-Чивіти.

У пункті 2.4 містяться стислі довідки з теорії еліптичних функцій Якобі.

В третьому розділі досліджуються умови існування одного інваріантного співвідношення у диференційних рівнянь Д. Гріолі - М.П. Харламова.

Пункт 3.1 розглянуто диференційні рівняння Д. Гріолі - М.П. Харламова

інваріантний поліноміальний розв'язок рівняння

,

,

.

Рівняння (1), (2) описують рух твердого тіла з нерухомою точкою під дією потенційних і гіроскопічних сил. Введено такі позначення: - вектор моменту кількості руху тіла; - одиничний вектор осі симетрії силового поля; - гіраційний тензор, - градієнти функцій .

У пункті 3.2 подано результати Л.Н. Орєшкіної. Вона розглянула умови існування рівнянь (1), (2) з інтегралами (3) трьох ІС

,

де - задані функції, і отримала умову

.

Таким чином, Л.Н. Орєшкіна розв'язала зворотну задачу динаміки.

У дисертації в пункті 3.3 досліджено властивості перших інтегралів (3).

У пункті 3.4. наведено приклади ІС: описано розв'язки Кірхгофа, Харламова, Гесса, Горячева-Чаплигіна, Гріолі. У пункті 3.5. припущено, що для рівнянь (1)-(3) задано одне ІС

.

У дисертації обчислено похідну від (6): і до неї підставлено похідні і з рівнянь (1), (2). У пункті 3.6 розглянуто умови існування у рівнянь (1), (2) одного ІС (6) нульового шару без використання перших інтегралів. При цьому припускається, що розв'язується зворотна задача, тобто функції , підлягають визначенню

У пункті 3.7 розглянуто ІС загального виду. Узагальнено результати, одержані у попередніх пунктах.

Пункт 3.8 присвячено аналізу результатів розділу 3.

Розділ 4 присвячено дослідженню у диференційних рівнянь Г. Кірхгофа частинних розв'язків, які характеризуються трьома інваріантними співвідношеннями. Ці рівняння можна одержати з рівнянь (1), (2), поклавши в них =0 і

де іs - постійні вектори, В і С - постійні симетричні матриці третього порядку. Тоді з (1)-(3) випливає

, .

Рівняння (15), (16) належать до рівнянь класу Г.Кірхгофа і описують рух зарядженого і намагніченого гірастата в силовому полі, яке є суперпозицією електричного, магнітного і ньютонівського полів.

У дисертації співвідношення (15)-(17) розглянуто за умов

aij= 0 (ij), a11 = a1, a22 = a2, a33 =a3, Bi j= 0 (ij), B11 = B1, B22= B2, B33 = B3,

C ij= 0 (ij), C11 = C1, C22 = C2, C33 = C3, = ( л1,0,0), = (s1,0,0). (18)

Тобто припущено, що вектори узагальненого центра мас і гірастатичного моменту колінеарні і напрямлені до головної осі в тілі.

У пункті 4.1 поставлено задачу про інтегрування рівнянь (15), (16) за умов (18) у випадку, коли одержані рівняння припускають три інваріантних співвідношення

x1=ц1(н1), x2=н2ц2(н1), x3=н3ц3(н1),

де 1 - допоміжна змінна. Якщо функції цi(н1) (i=1,2,3) відомі, то рівняння Пуассона з (16) інтегрується у квадратурах

Інтегрування рівнянь Пуассона розглянуто в пункті 4.2.

У пункті 4.3 дисертації замість рівнянь (15), (16) розглянуто еквівалентну їм систему, що складається з рівнянь (20), (21) і рівнянь

()(н1)= [(a3 - a2)ц2(н1)ц3(н1)+a2B3ц2(н1) - a3B2ц3(н1)+

+(C3 - C2)],

н1ц1(н1)+ш(н1)ц2(н1)+(1 - - ш(н1))ц3(н1)=,

a1(н1)+a2ш(н1)(н1)+a3(1 - - ш(н1))(н1)= ,

де

1=a1(0ш(н1)+n0+n1н1+n2), 2=4a1(0ш(н1)+m0+m1н1+m2),

0=B2 - B3, n1=- 2л1, n2=B1 - B3, 0=C3 - C2, m1=2s1, m2=C3 - C1.

У формулах (26) n0 і m0 - довільні постійні, введені замість k і Е.

Пункт 4.4 присвячено висновку щодо двох диференційних рівнянь на функції (1), (1).

У пункті 4.5 інтегрування рівнянь (22)-(25) зведено до інтегрування одного рівняння відносно функції (1) .

У пункті 4.7 проведено порівняння результатів, одержаних у дисертації і результатів щодо побудови розв'язків рівнянь Г. Кірхгофа, вказаних іншими авторами.

Розділ 5 присвячено розгляду задачі про рух твердого тіла у магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

У пункту 5.1 подано постановку задачі. Диференційні рівняння цієї задачі такі

,

,

де х - момент кількості руху тіла, - одиничний вектор, що вказує напрямок магнітного поля, а - гіраційний тензор, - гірастатичний момент, s - вектор узагальненого центру мас, D=aB, В і С - постійні симетричні матриці третього порядку. Рівняння (37), (38) припускають тільки два перших інтеграли

.

Це відрізняє дану задачу від задач, які описано рівняннями Г.Кірхгофа (15), (16).

У п'ятому розділі досліджено умови існування у рівнянь (37), (38) поліноміальних рішень класу Стеклова-Горячева-Ковалевського у випадку, коли матриці а, В, С мають діагональну структуру, а вектори і s напрямлені головною віссю в тілі:.

Рівняння (37), (38) записано у змінних i=аiхi, i і замість компонент гіраційного тензора введено компоненти вектора : 1 = p, 2 = q, 3 = r,

q2=Q(p)=bkpk, r2=R(p)=cipi, 1 = (p)= ajpj,

2=q(p),3=r(p), (p)=

Раніше розв'язок (40) у даній задачі розглядали тільки припускаючи, що рух тіла має властивість ізоконічності (Г.В. Горр, Н.Г. Суворова).

Основним завданням у вивченні розв'язків (40) є оцінка максимальних значень n, m, ?, m1, n1 поліномів, вказаних в (40). З цією метою у п. 5.2 дисертації розглянуто характерні випадки.

Показано, що при m1 = n1 =о максимальні степені Q(p), R(p), ц(p) такі: m = n = 2, ? = 1. Виписано умови існування таких розв'язків, наведено приклад розв'язуваності цих умов і для них виписано розв'язки

У випадку n1>0, m1 =0 доведено, що n=2, m=3, =2. Записано умови існування розв'язків і подано приклад їх розв'язання. При цьому співвідношення (40) такі

-

Розглянуто випадок =1. Доведено, що мають місце два варіанти: n1= m1 =2, n= m=2; n1= m1 =2, n= m=1, які ведуть до розв'язків, що є окремими випадками розв'язання В.О. Самсонова.

У випадку >1 показано, що можливими є такі варіанти

1) n1= m1 =2, n= m=1, =2; 2) n1= m1 =1, n= m=2, =2

У пункті 5.3 докладно розглянуто другий випадок з (44). Знайдено умови існування розв'язку і наведено приклади

q2=Q(p)=b2p2+b1p+b0, r2=R(p)=c2p2+c1p+c0,

н1=a2p2+a0, н2=q(q1p+g0), н3=r(f1p+g0),

.

Умови на параметри вибрано так

B1=2b, B2=3b, B3=4b, у0=2м0 bу1,

b1=b1(s1,0), c1=c1(s1,0), a0=a0(s1,0), b0=b0(s1,0), c0=c0(s1,0),

.

З (45), (46) витікає, що всі змінні задачі виражаються через еліптичні функції часу. Цікаво зазначити основні умови на параметри

С1=С2=С3, В1(А2-А3)+ В2(А3-А1)+В3(А1-А2)=0.

Друга умова з (47) аналогічна до умови В.О. Стеклова в задачах про квадратичні перші інтеграли для рівнянь Г.Кірхгофа.

У розділі 6 вивчаються умови існування у диференційних рівнянь (37), (38) розв'язків, які характеризуються трьома інваріантними співвідношеннями (19). Як і при вивченні рівнянь Г.Кірхгофа вважають, що виконуються умови (18), де Вi - компоненти матриці В.

У пункті 6.1 розглянуто диференційні рівняння (38), (39) перетворені на рівняння на функції цi(н1),(н1),(н1).

У пункті 6.2 до інваріантних співвідношень додають ще одне співвідношення

а3ц3(н1)- а2ц2(н1)=м0,

З перших інтегралів (39), одного з рівнянь Пуассона і рівності (48) одержано функції цi(н1)

ц1(н1)=[м0u2+2м0a1a3н1ш(н1)- 2a1a2a3л1+2ka1a2a3н1],

ц3(н1)= [- a2м0н1+2a1м0ш(н1)- 2a1a2л1н1+2ka1a2],

де 1 - допоміжна змінна , ш(н1)=(н1) і

u1=a1(a3- a2)ш(н1)+a2(a3- a1)+a1a2,

u2=a1(a3- a2)ш(н1)- a1a2+a1a2.

Використовуючи динамічні рівняння, що витікають з (15) і рівняння (49) у дисертації одержано два розв'язуваних рівняння на функцію ш(н1)

.

У п. 6.3 одержано новий розв'язок

ш(н1)=(н1)=б0+б1н1+б2,=(1- б0)- б1н1- (1+б2),

x1=ц1(н1), x2=н2ц2(н1), x3= н3ц3(н1). ц1(н1)=в0+в1н1+г1,

ц2(н1)=г0+г1н1, ц3(н1)=е0+г1н1,

.

Умови на параметри випишемо не в повному вигляді

У пункту 6.4 досліджено умови існування узагальнених розв'язків класу (51). Тобто, знято обмеження (52). Показано, що такі рішення динамічно неможливі.

Пункт 6.5 присвячено порівнянню розв'язків (30)-(36) і (50), (52).

У пункті 6.5 в одному окремому випадку розв'язок (51), (52) виражений через еліптичні функції часу.

Висновки. Вивчено умови існування одного ІС у диференційних рівнянь задачі I. Досліджено три ІС спеціального виду у диференційних рівнянь задач II і III, одержано розв'язувальне рівняння і побудовано нові розв'язки. Розглянуто умови існування у диференційних рівнянь задачі III поліноміальних рішень класу Стеклова- Горячева- Ковалевського.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Горр Г.В., Миронова Е.М. Об одной редукции уравнений обобщенной задачи динамики твердого тела //Тезисы докладов УП Межд. Конф. “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (ICSD-99).- Донецк: ИПММ НАН Украины.-1999.-С.23.

Миронова Е.М. Об одной редукции системы дифференциальных уравнений обобщенной задачи динамики твердого тела //Тезисы докладов 5-ой Межд. Конф. 28-30 июня 1999, Таганрог,-с.74.

Горр Г.В., Миронова Е.М. Об одном классе частных решений уравнений движения гиростата в поле потенциальных и гироскопических сил//Труды ИПММ НАН Украины. - 2000. - Т.5. - С.29-37.

Горр Г.В., Миронова Е.М. Об одной редукции системы дифференциальных уравнений обобщенной задачи динамики //Вісник Донецького університету. Сер.А: Природничі науки.- 2000.-Вип.1.-С.32-35.

Горр Г.В., Миронова Е.М. Новые решения в задаче о движении тела в поле потенциальных и гироскопических сил//Доповіді Національної академії наук України.-2001.-№4.-С.41-48.

Горр Г.В., Миронова Е.М. Свойства одного класса инвариантных соотношений обобщенных уравнений динамики // Прикладная математика и механика. - 2001. - Т.65, Вып.3. - С.426-435.

Миронова Е.М. О решении уравнений движения тела в магнитном поле на основе полиномиальных решений //Прикладная механика.-2001.-Т.37, №2.-С.105-113.

Миронова Е.М. Одно инвариантное соотношение обобщенных уравнений динамики //Вісник Донецького університету. Сер.А: Природничі науки.- 2001.-Вип.1.-С.55-59.

Миронова Е.М., Лосева Н.Н. Новое решение уравнений движение твердого тела в магнитном поле//Труды ИПММ НАН Украины. - 2002. - Т.7. - С.151-155.

Миронова Е.М. Новое решение уравнений движения твердого тела в магнитном поле.// Тезисы докладов XXXVIII Всероссийской научной конференции. - Москва 14-17 мая 2002 г. С.50.

АНОТАЦІЇ

Міронова О.М. Дослідження умов існування одного класу інваріантних співвідношень рівнянь динаміки твердого тіла. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.02.01 - Донецький національний університет Міністерства освіти і науки України.

Дисертація присвячена дослідженню умов існування інваріантних співвідношень в трьох задачах динаміки твердого тіла з нерухомою точкою. У першій задачі - задачі про рух тіла в полі потенційних і гіроскопічних сил, що описуються диференційними рівняннями Д. Гріолі - М.П. Харламова, розв'язані пряма і зворотна задачі дослідження умов існування в рівняннях руху одного інваріантного співвідношення. У другій задачі - задачі про рух твердого тіла в силовому полі, яке є суперпозицією електричного, магнітного та ньютонівського полів, досліджено умови існування у диференційних рівняннях Г. Кірхгофа трьох інваріантних співвідношень спеціального виду. Одержано один новий розв'язок диференційних рівнянь руху. У третій задачі - задачі про рух тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона знайдено умови існування поліноміальних розв'язків класу Стеклова-Горячева-Ковалевського. Знайдено три нових частинних розв'язків задачі. У диференційних рівняннях задачі ІІІ визначено умови існування трьох інваріантних співвідношень спеціального виду, вказано новий розв'язок рівнянь руху.

Ключові слова: тверде тіло, інваріантне співвідношення, точний частинний розв'язок, умови існування, задача Кірхгофа, ефект Барнетта-Лондона, рівняння Д. Гріолі - М.П. Харламова.

АННОТАЦИИ

Миронова Е.М. Исследование условий существования одного класса инвариантных соотношений уравнений динамики твердого тела. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - Донецкий национальный университет Министерства образования и науки Украины.

Диссертация посвящена исследованию условий существования инвариантных соотношений в трех задачах динамики твердого тела с неподвижной точкой. В первой задаче - задаче о движении тела в поле потенциальных и гироскопических сил, описываемой дифференциальными уравнениями Д. Гриоли - М.П. Харламова, решены прямая и обратная задачи исследования условий существования у уравнений движения одного инвариантного соотношения. Во второй задаче - задаче о движении твердого тела в силовом поле, которое является суперпозицией электрического, магнитного и ньютоновского полей, изучены условия существования у дифференциальных уравнений Г. Кирхгофа трех инвариантных соотношений специального вида. Получено одно новое решение дифференциальных уравнений движения. В третьей задаче - задаче о движении тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона найдены условия существования полиномиальных решений класса Стеклова-Горячева-Ковалевского. Найдено три новых частных решения задачи. У дифференциальных уравнений задачи III определены условия существования трех инвариантных соотношения специального вида, указано новое решение уравнений движения.

Ключевые слова: твердое тело, инвариантное соотношение, точное частное решение, условия существования, задача Кирхгофа, эффект Барнетта-Лондона, уравнения Д. Гриоли - М.П. Харламова.

ANNOTATION

Mironova H.M. The investigation of the conditions of one class invariant correlations of rigid body dynamics equations. - Маnuscript.

A thesis for the Candidate degree of physic-mathematical science on specialty 01.02.01. - Donetsk National University of Ministry of Education Science of Ukraine.

The thesis is devoted to the investigation of the conditions of invariant correlations existence in three sums of a rigid body dynamics with an immovable point. The first sum touches upon the problem of the motion of a rigid body in the field of potential and gyroscopic forces. The sum is explained by the D. Grioli - M.P. Kharlamov differential equations. The existence of an invariant correlation in the equations of motion is investigated in direct and indirect sums. The second sum touches upon the problem of the motion of a rigid body in a force field, which is a super position of electric, magnetic and the Newton fields. The existence conditions of three invariant correlations of a particular type in the G. Kirhgof differential equations are examined in the second sum. There was found one new solution of differential equations of motion. The third sum touches upon the problem of the motion of a rigid body in a magnetic field, taking into account the Barnett-London effect. The existence conditions of polynomial solutions of the Steklov-Goriachev-Kovalevskiy class are found in the third sum. There were found three new solutions of the sum. The existence conditions of three invariant correlations of a particular type are defined in differential equations of the third sum. There was pointed out a new solution of motion equations.

Key words: a rigid body, invariant correlations, an exact solution, existence conditions the Kirhgof sum, the Barnett-London effect, the D. Grioli-M.P. Kharlamov equations.

Размещено на Allbest.ru