Статика, кінематика, динаміка

Знайти головний вектор та головний момент системи сил, зображеної на мал., якщо сили = 85 Н, = 75 Н, = 115 Н, = 140Н, прикладені у вершинах прямого паралелепіпеда з ребрами = 6 м, = 4 м, = 4 м. Вектори та зобразити у декартових координатах у зручних масштабах.

Розв'язання.

Головний вектор та головний момент системи сил визначаються як:

,

.

Для головного вектора в нашому випадку отримуємо

.

Щоб знайти , визначимо алгебраїчні компоненти головного вектора, проектуючи вектори сил , , та на вісі , та . Тоді отримуємо:

,

,

Тут - кут між силою та ребром DL. Тригонометричні функції цього кута знаходимо з прямокутного трикутника ADL, який є подібним до трикутника сил зі сторонами , та :

,

.

Таким чином, необхідні компоненти сили визначаються як:

= 115·4/ = 81.6 (Н),

= 115·4/ = 81.6(Н).

Підставляючи дані задачі в (1) - (3), отримаємо:

= 75(Н),

= 85-81.6+140 = 143.4 (Н),

= 81.6 = 81.6 (Н).

Це дозволяє знайти модуль головного вектора системи сил

= = = 181 (Н).

Напрямні косинуси головного вектора сили знайдемо за формулами:

=75/181= 0,41

= 143,4/181= 0,79

=81,6/181= 0,45.

Визначимо головний момент системи сил, обчислюючи моменти сил відносно осей. Нагадаємо, що момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо лінія дії сили перетинає вісь або паралельна їй. В нашому прикладі

= 0, = 0, = 0, = 0,

бо ці сили перетинають відповідні осі; та

= 0, = 0, = 0, = 0, = 0,

оскільки ці сили паралельні вказаним осям.

Запишемо вирази для компонентів вектора головного моменту, беручі до уваги точки прикладання та нарями сил. Нагадаємо, що алгебраїчне значення моменту сили додатне, коли сила може викликати обертання проти руху стрілки годинника (дивлячись з додатного напряму відповідної осі), а якщо за рухом стрілки годинника - то від'ємне.

Обчислення дають:

= = -573.6(Н·м),

(Н·м),

(Н·м).

Модуль головного моменту знайдемо за теоремою Піфагора

= (H*м).

Напрямні косинуси цього вектора знайдемо за формулами:

Знайдені вектори і та їхні компоненти зображені на рис (масштаб скорочення по осі відносно осей та - 1:2). Z

2. Задача 2 (С2). Визначення центру ваги пласких однорідних тіл

Методика виконання задачі

Теоретичні відомості

Сила ваги - сила з якого тіло притягується до Землі.

Сили ваги, що діють на кожну окрему елементарну частинку паралельні між собою.

Центром ваги тіла називають центр паралельних сил ваги всіх елементарних частинок цього тіла.

Для плоских перерізів координати центра ваги знаходять за допомогою формул:

де Аі - площа окремого плоского перерізу (фігури на які розбита основна фігура);

Хі, уі - координати центра ваги окремого плоского перерізу (фігури);

УАі - площа всього плоского перерізу (фігури);

а) центр ваги трикутникаб) центр ваги прямокутника

в) центр ваги півкола

Центр ваги трикутника (точка С) знаходиться в точці перетину його медіан (медіана - відрізок, що з'єднує вершину трикутника та середину протилежної сторони);

Хс=1/3 a; Yс=1/3 b

Центр ваги прямокутника знаходиться в точці перетину його діагоналей (точка С)

Координати центру ваги прямокутника (Хс, Yс):

Хс = а/2; Yc = b/2

Центр ваги півкола (точка С) знаходиться в точці, що належить його осі симетрії.

Yс=4R /3р; Хс=0.

При розв'язуванні задачі необхідно використовувати формули знаходження площин простих фігур:

А=1/2 а b - площа прямокутного трикутника

А=аb - площа прямокутника

А=рR2 - площа кола

А=рR2/2 - площа півкола

Задача

Визначити центр ваги наданого плоского перерізу, зображеного на рисунку, відносно заданих осей координат. Розміри перерізу надані в міліметрах

Скористуємося методом групування та розділимо наданий плоский переріз на прості плоскі фігури центр ваги яких нам відомий:

А=20

1. Позначимо центри ваги кожної простої фігури на рисунку

1) Центр ваги трикутника 1 точка С1. Знайдемо її координати за формулою:

Хс = (1/3*20)=6,6мм

Yc = (1/3*20)=6,6мм

Визначимо координати точки С1 відносно заданих осей координат ОX та ОY.

Х1 =

Y1

С1

2) Центр Ваги прямокутника 4 - є центр перетину діагоналей і лежить на початку координат, тобто С2 (0;0)

3) Центр ваги трикутника 3 точка С3. Знайдемо її координати за формулою:

Хс =(1/3*2а)=(40*1/3)=13,3 мм

Yc =(1/3*2а)=(40*1/3)=13,3 мм

Визначимо координати точки С1 відносно заданих осей координат ОX та ОY

Х3 =

Y3=

С3

4) Центр ваги кола 3 точка С4 - є центром кола,та належить початку осі координат, тобто С4(0;0)

2. За допомогою відомих формул обчислення площин, обчислимо площі наданих п'яти фігур:

1) А=аb - площа прямокутника

2) А=рR - площа кола:

3) А=1/2 а b - площа прямокутного трикутника

Порахуємо площі:

А1 =

А3 =

А4

Формули для наданої плоскої фігури матимуть вигляд:

;

Підставимо обчислені значення величин, отримуємо:

Відповідь: С

3. Завдання С 3 (статика). Плоска система сил. Визначення реакцій в'язей

Задача

На брус з ломаною віссю АВ діють пари сил, момент якої дорівнює М, рівномірно розподілене навантаження інтенсивності q, а в точці D прикладена зосереджена сила . Визначити реакції опор, якщо М=12 кН. м; q=2 кН/м; Р=20 кН. Розміри та кут показані на рис

Дано:

М=10 кН.м

q=4 кН/м

Р=20 кН

RАУ-?

RAX-?

MА-?

Розв'язання. Задачу розв'язуємо у наступній послідовності:

1. За умовою задачі виділяємо тіло, рівновага якого розглядається і показуємо його окремо. Згідно з умовою задачі тілом, рівновага якого розглядається, є брус з ломаною віссю АВ

2. Покажемо на рис діючи на цей брус задані активні сили і реакції відкинутих в'язей.

Активними силами є зосереджена сила , пара сил з моментом М і розподілене навантаження інтенсивності q.

Дію рівномірного розподіленого навантаження інтенсивності q заміняємо дією рівнодійної сили

кН.

В'язами, накладеними на брус АВ є опори у вигляді циліндричного шарніра А, дію якого замінимо реакцією і реактивним моментом М, і рухомого шарніра, дію якого замінимо реакцією

Система заданих активних сил , , пара сил з моментом М, невідомі реакції в'язей , і реактивний момент , складають зрівноважену довільну плоску систему сил, показану на рис.

3. На брус АВ діє плоска довільна система сил, рівняння рівноваги якої у вибраних осях ХАУ:

1. ; ;

2. ; ;

3..

Розв'язуючи цю систему рівнянь, отримаємо:

з рівняння 1

;

з рівняння 2

з рівняння 3

Відповідь: кН; кН; кН.м.

4. Кінематика 1. Визначення кінематичних характеристик плоского криволінійного руху точки

Методика розв'язання задачі

2. Визначаємо компоненти швидкості

, , .

та знаходимо її модуль

.

3. Визначаємо компоненти прискорення

, ,

та знаходимо його модуль

.

4. Знаходимо алгебраїчне значення тангенціального прискорення

.

5. Знаходимо модуль нормального прискорення

.

6. Визначаємо радіус кривизни траєкторії

.

Задача

Визначення швидкостей і прискорень точок твердого тіла при поступальному і обертальному рухах.

За даними рівняннями прямолінійного поступального руху тягара 1 визначити і показати на малюнку швидкість, дотичне, нормальне та повне прискорення точки М механізму, якщо тягар пройшов шлях S.

Необхідно знати:

1. Основну теорему поступального руху тіла.

2. Формули, що за заданим законом S=S(t) поступального прямолінійного руху тіла визначають його швидкість і прискорення.

3. Формули, що за заданим законом обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі =(t) визначають його кутову швидкість і кутове прискорення.

4. Формули, за якими визначається швидкість і прискорення будь-якої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі.

5. Якщо обертання від одного тіла до другого передасться безпосереднім дотиком або за допомогою ременя, тоді кути обертання цих тіл (коліс), їх кутові швидкості і кутові прискорення обернено пропорційні їх радіусам (числам зубців Z):

.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати прості рухи твердого тіла.

2. Диференціювати різні функції.

3. Геометрично складати вектори.

Задача

За заданим рівнянням прямолінійного руху вантажу 1 визначити швидкість, обертальне, доцентрове і повне прискорення точки М механізму (рис.5.1) в той момент часу, коли шлях, пройдений вантажем, дорівнює S=0,3 м. Задано: R2=1м, r2=0.45м, r3=5см, x=10+30t2.

Розв'язання.

Тіло 1 здійснює поступальний рух, а тіла 2 і 3 - обертальні рухи.

1) Знайдемо швидкість вантажу

.

2) Оскільки трос нерозтяжний, то швидкість точки К колеса 2 дорівнює швидкості вантажу V1. Тоді, кутова швидкість тіла 2 визначиться за формулою:

.

3) Кутову швидкість колеса 3 знайдемо за співвідношенням:

.

Звідки

.

4) Кутове прискорення тіла 3 визначимо за формулою:

.

5) Швидкість точки М дорівнює:

.

Вектор швидкості напрямлений перпендикулярно до радіуса r3 в сторону обертання колеса 3

6) Обертальне і доцентрове прискорення точки М визначимо за формулами:

Вектор обертального прискорення співпадає за напрямом з вектором швидкості , оскільки обертання коліс прискорене, оскільки щ і е мають однакові знаки. Вектор доцентрового прискорення напрямлений по радіусу від точки М до центра колеса 3.

Повне прискорення точки визначимо за формулою:

.

7) Визначимо момент часу ф, коли шлях S, пройдений вантажем 1, дорівнює 30 с

Звідки

8) Значення всіх кінематичних характеристик руху точки М для моменту часу =0,58 c будуть відповідними.

Відповідь:

6. Задача К. 3. Знаходження МЦШ та швидкостей точок тіла, Методика розв'язання задачі