Использование реберных моделей при изучении законов Кирхгофа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Использование реберных моделей при изучении законов Кирхгофа

Выполнила:

студентка 3 курса

Санкт-Петербург

2011

Содержание

электрический цепь кирхгоф

Введение

1. Теоретический материал

1.1 Первый закон Кирхгофа

1.2 Второй закон Кирхгофа

2. Реберные модели

3. Теоретический расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

3.1 Построение системы уравнений

3.2 Матричный метод

3.3 Применение математического пакета MathCAD для расчета электрических схем

4. Примеры решения задач

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

Введение

С середины XIX века началось активное исследование свойств электрических цепей, и результаты этих исследований быстро находили практические применения. Базовые правила расчета простых цепей, такие как закон Ома, были уже достаточно хорошо проработаны. Проблема состояла в том, что из проводов и различных элементов электрических цепей технически уже можно было изготовлять весьма сложные и разветвленные сети -- но никто не знал, как смоделировать их математически, чтобы рассчитать их свойства. Кирхгофу удалось сформулировать правила, позволяющие достаточно просто анализировать самые сложные цепи, и законы Кирхгофа до сих пор остаются важным рабочим инструментом специалистов в области электронной инженерии и электротехники.

В данной работе рассматриваются способы решения экспериментальных задач, основанных на использовании реберных моделей.

1. Теоретический материал

Законы Кирхгофа -- соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного и квазистационарного тока. Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Применение правил Кирхгофа к цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов, и соответственно, найти значение токов на всех ветвях цепи. Законы сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году.

Оба закона Кирхгофа формулируются достаточно просто и имеют понятную физическую интерпретацию. Первый закон гласит, что если рассмотреть любой узел цепи (то есть точку разветвления, где сходятся три или более проводов), то сумма поступающих в цепь электрических токов будет равна сумме исходящих, что, вообще говоря, является следствием закона сохранения электрического заряда. Например, если вы имеете Т-образный узел электрической цепи и по двум проводам к нему поступают электрические токи, то по третьему проводу ток потечет в направлении от этого узла, и равен он будет сумме двух поступающих токов. Физический смысл этого закона прост: если бы он не выполнялся, в узле непрерывно накапливался бы электрический заряд, а этого никогда не происходит.

Второй закон не менее прост. Если мы имеем сложную, разветвленную цепь, ее можно мысленно разбить на ряд простых замкнутых контуров. Ток в цепи может различным образом распределяться по этим контурам, и сложнее всего определить, по какому именно маршруту потекут токи в сложной цепи. В каждом из контуров электроны могут либо приобретать дополнительную энергию (например, от батареи), либо терять ее (например, на сопротивлении или ином элементе). Второй закон Кирхгофа гласит, что чистое приращение энергии электронов в любом замкнутом контуре цепи равно нулю. Этот закон также имеет простую физическую интерпретацию. Если бы это было не так, всякий раз, проходя через замкнутый контур, электроны приобретали или теряли бы энергию, и ток бы непрерывно возрастал или убывал. В первом случае можно было бы получить вечный двигатель, а это запрещено первым началом термодинамики; во втором -- любые токи в электрических цепях неизбежно затухали бы, а этого мы не наблюдаем.

Самое распространенное применение законов Кирхгофа мы наблюдаем в так называемых последовательных и параллельных цепях. В последовательной цепи (яркий пример такой цепи -- елочная гирлянда, состоящая из последовательно соединенных между собой лампочек) электроны от источника питания по серии проводов последовательно проходят через все лампочки, и на сопротивлении каждой из них напряжение падает согласно закону Ома.

В параллельной цепи провода, напротив, соединены таким образом, что на каждый элемент цепи подается равное напряжение от источника питания, а это означает, что в каждом элементе цепи сила тока своя, в зависимости от его сопротивления. Примером параллельной цепи является -- лампа «лесенкой»: напряжение подается на шины, а лампы смонтированы на поперечинах. Токи, проходящие через каждый узел такой цепи, определяются по второму закону Кирхгофа.

Число ветвей и узлов имеет существенное значение для расчета разветвленных электрических цепей. Ветвью электрической цепи называют такой ее участок, который состоит только из последовательно включенных источников э.д.с. и вдоль которого протекает один и тот же ток. При обходе по соединенным ветвями узлам можно получить замкнутый контур электрической цепи. Итак, правила Кирхгофа служат для составления систем уравнений, из которых можно находить силы тока для разветвленных цепей любой сложности.

Рассмотрим подробнее первый и второй законы Кирхгофа.

1.1 Первый закон Кирхгофа

Для формулировки законов Кирхгофа, как уже было сказано выше, в электрической цепи выделяются узлы -- точки соединения трёх и более проводников и контуры -- замкнутые пути из проводников. При этом каждый проводник может входить в несколько контуров.

Первое правило Кирхгофа относится к узлам цепи и гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Это правило вытекает из уравнения непрерывности, то есть, в конечном счете, из закона сохранения заряда, который требует, чтобы сумма сил токов, входящих в узел, была равна сумме сил токов, выходящих и з него. Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько же из него и вытекает.

При составлении суммы следует обговорить, какими брать направления сил токов. Например, силы токов, изображаемые стрелками с направлением от узла, берутся со знаком «минус», а силы токов, изображаемые стрелками с направлением к узлу, со знаком «плюс». Можно, конечно, брать обратные знаки, это не изменит соответствующих уравнений, важно лишь для всех узлов применять одно и то же правило.

Рис. 1

1.2 Второй закон Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру и связывает между собой э. д. с., действующие в этом контуре, и падения напряжения на сопротивлениях, входящих в данный контур. Исходя из принципа электрического равновесия, можно сделать логический вывод, что в установившемся режиме, когда токи в контуре не изменяются, все э. д. с. уравновешиваются падениями напряжения.

В самом деле, если предположить, что сумма э. д. с. превышает сумму падений напряжения, то ток в цепи должен возрасти. Наоборот, если сумма падений напряжения превышает сумму э. д. с., то ток должен уменьшиться. Таким образом, алгебраическая сумма э. д. с., действующих в любом замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех участках этого контура - это и есть формулировка второго закона Кирхгофа.

Математически второй закон Кирхгофа выражается формулой:

При составлении уравнений на второй закон Кирхгофа также следует учитывать направления токов и э.д.с.. Для этого выбирают какое-либо направление обхода контура (обычно направление движения часовой стрелки) и считают положительными те э. д. с., которые создают токи в направлении, совпадающем с направлением обхода, и падения напряжения, создаваемые токами, направление которых совпадает с направлением обхода.



Рис. 2

2. Реберные модели

Электрическую схему можно представить в виде реберной модели -- многогранника, в котором узлы будут вершинами, а сопротивления -- ребрами.

а) б)

Рис. 3. Пример построения такой модели:

а) схема электрической цепи, б) соответствующая ей реберная модель

Не следует забывать о правильном изображении клемм подключения источника. Например, обеим схемам на Рис. 4 соответствует реберная модель -- пирамида, но подключение происходит по разному. Схеме а) соответствует пирамида в), а схеме б) пирамида г) соответственно:

а б

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

в г

Рис. 4

3. Теоретический расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

3.1 Построение системы уравнений

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним - напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b, следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только (y - 1) уравнений являются независимыми друг от друга.

Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b - (y - 1) = b - y +1.

Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 5). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.

Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y - 1 = 4 - 1 = 3 уравнения, а по второму b - y + 1 = 6 - 4 + 1 = 3, также три уравнения.

Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 5). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.



Рис. 5

Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа:

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.

3.2 Матричный метод

Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме на рис. 6, в которой два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I₁₁ , а в правой (также по часовой стрелке) -- контурный ток I₂₂ . Для каждого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением R₅) течет сверху вниз ток I₁₁ - I₂₂ . Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.



Рис. 6

Для первого контура:

а) (R₁ + R₂)I₁₁ + R₅(I₁₁ - I₂₂) = E₁ + E₅ или

б) (R₁ + R₂ + R₅ )I₁₁ + (- R₅ )I₂₂ = E₁ + E₅ ;

Для второго контура:

- R₅(I₁₁ - I₂₂) + (R₃ + R₄)I₂₂ = - E₅ - E₄

или (- R₅)I₁₁ + (R₃ + R₂ + R₅ )I₂₂ = - E₄ - E₅ .

В уравнении б) множитель при токе I₁₁, являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R₁₁, множитель при токе I₂₂ (сопротивление смежной ветви, взятой со знаком минус), - через R₁₂.

Перепишем эти уравнения следующим образом:

Здесь:

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₅; E₁₁ = E₁ + E₅; R₁₂ = R₂₁ = - R₅; R₂₂ = R₃ + R₄ + R₅;

E₂₂ = - E₄ - E₅,

Где R₁₁ -- полное или собственное сопротивление первого контура; R₁₂ -- сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; E₁₁ -- контурная э.д.с. первого контура, равная алгебраической сумме э.д.с. Этого контура (в нее о знаком плюс входят те э.д.с., направления которых совпадают с направлением обхода контура); R₂₂ -- полное или собственное сопротивление второго контура; R₂₁ -- сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; E₂₂ -- контурная э.д.с. второго контура.

Если в схеме больше двух контуров, например, три, то система уравнений выглядит следующим образом:

В матричной форме:

[R] [I] = [E];

Рекомендуется для однообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке.

В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями R₁, R₂ схемы рис. 6), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с сопротивлением R₅ протекающий сверху вниз ток равен разности I₁₁ - I₂₂.

Если в электрической цепи имеется n независимых контуров, то число уравнений тоже равно n.

Общее решение системы n уравнеий относительно тока I_kk:

где определитель системы.

Алгебраическое дополнение ?_km получено из определителя ? путем вычеркивания k-го столбца и m-ой строки и умножения полученного определителя на (-1)^k+m.

Если из левого верхнего угла определителя провести диагональ в его правый нижний угол (главная диагональ) и учесть, что R_km = R_mk, то можно убедиться в том, что определитель делится на две части, являющиеся зеркальным отображением одна другой. Это свойство определителя называют симметрией относительно главной диагонали.

В силу симметрии определителя относительно главной диагонали ?_km = ?_mk.

Расчет электрических схем матричным методом удобно производить в математическом пакете MathCAD.

3.3 Применение математического пакета MathCAD для расчета электрических схем

Задание: рассчитать все токи в схеме:

Рис. 7

Запишем уравнения по первому и второму законам Кирхгофа:

По данным системы уравнений составляем матрицу сопротивлений и матрицу напряжений:



Для решения уравнения типа RI = E используется встроенная конструкция lsolve(R,E). В результате решения получим вектор токов.

Расчет в пакете MathCAD, решение будет выглядеть так:

4. Примеры решения задач

Составить схему уравнений для определения токов в электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 8.

Рис. 8

Решение:

Будем считать, что ЭДС и напряжения с их направлениями, а также сопротивления известны. Поскольку данная цепь имеет пять ветвей с неизвестными токами, необходимо составить пять уравнений. Выбрав положительные направления токов I1, I2, I3, I4 и I5 для узлов а и б, а также для контуров агда, абга и бвгб при обходе последних по часовой стрелке, получим:

Метод контурных токов дает возможность упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом законов Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений, которые приходится решать совместно.

Любая разветвленная электрическая цепь состоит из нескольких смежных контуров. Например, в электрической цепи (рис. 8) таких контуров три: абвга, бдвб и аедба. Каждый контур имеет несмежные ветви, принадлежащие лишь данному контуру, и смежные ветви, принадлежащие также соседним контурам. Так, контур абвга имеет несмежную ветвь вга и две смежные ветви аб и бв.

Допустим, что в каждом контуре (рис. 9) имеется некоторый контурный ток, одинаковый для всех элементов контура. На рисунке 9 контурные токи обозначены II, III и IIII.

Положительные направления контурных токов могут быть выбраны произвольно. Наложим на контурные токи следующее условие: контурные токи должны быть равны по абсолютному значению токам несмежных ветвей соответствующих контуров.

Рис. 9

Если выбрать положительное направление тока несмежной ветви совпадающим с контурным током, то ток ветви должен быть равен контурному току; если же направить ток несмежной ветви против контурного тока, то он должен быть равен контурному току со знаком «-».

Так, токи в несмежных ветвях цепи будут равны:

II = II; I3 = -III; I6 = - IIII; I2 = I1 + I3 = II - III; I4 = II + IIII; I5 = IIII + III.

Видно, что со знаком «+» должен быть взят тот контурный ток, направление которого совпадает с направлением тока смежной ветви; контурный ток, направленный в противоположную сторону, должен быть взят со знаком «-».

Уравнение по второму закону Кирхгофа при включении в него контурных токов в общем случае имеет вид:

Для рассматриваемой цепи (рис. 9) уравнения будут:

2. В схеме (рис. 10) известны: E₁ = 10 В, E₂ = 20 В, E₃ = 30 В, R = 1 Ом, I₁ = 1 А, I₂ = 2 А. Определить напряжения U₁₂, U₃₄, U₁₃, U₂₄, U₁₄, U₂₃.

Рис. 10

Решение:

Считаем направления обходов контуров совпадающими с направлениями искомых напряжений. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура и выразим напряжения:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. В схеме электрической цепи, приведенной на рисунке 11, определить токи в ветвях, пользуясь законами Кирхгофа. Параметры элементов цепи: R₁ = 50 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 50 Ом, R₄ = 80 Ом, E₁ = 50 В, E₂ = 400 В.

Рис. 11

Решение:

Выбираем произвольно положительные направления искомых токов ветвей и обозначаем их на схеме. Составляем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1. Выбрав направления обходов контуров, составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. Получаем систему из трех уравнений:

Решаем полученную систему уравнений с помощью определителей:

Находим значения токов:

Заключение

В ходе курсового проектирования был произведен расчет цепи с помощью закона Кирхгофа разными методами: построением системы уравнений, матричным методом и применением математического пакета MathCAD.

Также в виде реберной модели представили электрические схемы.

Список использованной литературы

1. Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов: Основы теории цепей, 1989.

2. Бессонов Л.А.: Теоретические основы электротехники: Электрические цепи, 1978.

3. Савельев И.В.: Курс общей физики, т. 2. Электричество и магнетизм, 1982.

4. Матвеев А.Н., т. 3. Электричество и магнетизм, 1983.

5. Доброжанова Н.И., Трубникова В.Н.: Применение законов Ома и Кирхгофа к расчету линейных электрических цепей постоянного тока: Практикум по ТОЭ, 2003.

6. Щербакова Ю.В.: Электроника и электротехника.

7. Л.А. Бессонов: Теоретические основы электротехники, 1996.

8. http://electricalschool.info/.

9. http://electrofaq.com/.

10. http://elementy.ru/.

11. http://kaf-elteh.narod.ru/.

12. http://stoom.ru/.

Приложение

Примеры электрических схем и эквивалентных им реберных моделей

1)

2)

3)

4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

6)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на Allbest.ru