Определение моментов инерции тел вращения методом крутильных колебаний. Проверка теоремы Гюйгенса–Штейнера
Изучение законов динамики вращательного движения твердого тела. Экспериментальное измерение момента инерции простейших тел вращения и проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера. Вывод формулы для расчета момента инерции тел вращения методом крутильных колебаний.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 08.05.2014 |
| Размер файла | 1,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
Школа естественных наук
Определение моментов инерции тел вращения методом крутильных колебаний. Проверка теоремы Гюйгенса - Штейнера.
Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 1.3
Владивосток 2013
УДК53(о76.5)
ББК 22.36
0-60
Определение моментов инерции тел вращения
0-60 методом крутильных колебаний. Проверка теоремы Гюйгенса - Штейнера.
0-61 Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 1.3 по дисциплине «физический практикум»// сост. В.Е. Полищук, Р.Ф. Полищук. - Владивосток: Издательский дом Дальневост. федерал. ун-та, 2013-с.12.
Пособие, подготовленное на кафедре общей физики Школы естественных наук ДВФУ, содержит методические указания к выполнению лабораторной работы по механике с целью экспериментального изучения момента инерции твердых тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Для студентов ДВФУ всех специальностей.
УДК 53(076.5)
ББК 22.36
Составители Полищук В.Е., Полищук Р.Ф.
Целью данной лабораторной работы является изучение законов динамики вращательного движения твердого тела, экспериментальное измерение момента инерции простейших тел вращения и проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Основные понятия вращательного движения твердого тела.
Кроме понятия материальной точки, в механике используется модельное понятие абсолютно твердого тела - тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Такое тело можно рассматривать как систему жестко закрепленных материальных точек.
Любое сложное движение твердого тела всегда можно разложить на два основных вида движения - поступательное и вращательное.
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная через любые две точки тела, остается параллельной самой себе во все время движения (рис.1). При таком движении все точки твердого тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые перемещения и проходят одинаковый путь. Следовательно, поступательное движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки, масса которой равна массе тела m и применять к нему второй закон Ньютона динамики материальной точки, т.е.
, (1)
где - результирующая всех внешних сил, действующих на тело, - импульс (количество движения) тела.
Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения тела. При вращательном движении все точки тела движутся с одной и той же угловой скоростью и угловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения. Однако, как показывает опыт, при вращательном движении твердого тела вокруг закрепленной оси, масса уже не является мерой его инертности, а сила - недостаточна для характеристики внешнего воздействия. Кроме того, опыты показывают, что ускорение при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения; зависит не только от силы, но и от точки ее приложения и направления действия. Поэтому, для описания вращательного движения твердого тела введены новые динамические характеристики такие, как момент силы, момент импульса и момент инерции тела. При этом следует иметь в виду, что существует два разных понятия этих величин: относительно оси и относительно любой точки О (полюса, начала), взятой на этой оси.
Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора проведённого из точки О в точку приложения результирующей силы , на вектор этой силы:
(2)
Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой расположены вектора и , а его направление относительно этой плоскости определяется правилом векторного произведения или правилом буравчика. Согласно правила век-торного произведения, вектор направлен перпендикулярно к плоскости, содержащей векторы и , в такую сторону, чтобы при рассматривании с его конца вектор мог быть совмещен с вектором путем вращения против часовой стрелки в сторону меньшего угла. Согласно правила правого буравчика (рис.2), при вращении его ручки в направлении от к в направлении меньшего угла , поступательное движение буравчика определит направление вектора .
При применении этих правил удобно начала векторов и совместить в одной точке. Можно, например, перенести вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом вектора в точке 0 (на рис.2 этот вектор изображен пунктиром).
Вектора, направление которых связывают с направлением вращения (угловая скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса и т.п.), называют псевдовекторами или аксиальными в отличие от обычных векторов (скорость, радиус-вектор, ускорение и т.п.), которые называют полярными или истинными.
Величина вектора момента силы (численное значение момента силы) определяется согласно формуле векторного произведения (2), т.е. , где угол между направлениями векторов и . Величина p= r·Sinб называется плечом силы (рис.2). Плечо силы р - это кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы .
Моментом силы относительно оси, называется проекция на эту ось вектора момента силы, найденного относительно любой точки, принадлежащей этой оси. Ясно, что относительно оси момент силы является скалярной величиной. В системе СИ момент силы измеряется в Н·м. Для введения понятия момента импульса тела, введем сначала это понятие для материальной точки, принадлежащей вращающемуся твердому телу.
Моментом импульса материальной точки Дmi относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки О в точку нахождения массы Дmi, на вектор импульса этой материальной точки:
, ( 3)
где - импульс материальной точки.
Моментом импульса твердого тела (или механической системы) относительно неподвижной точки О называется вектор , равный геометрической сумме моментов импульса относительно этой же точки О всех материальных точек данного тела, т.е. .
Моментом импульса твердого тела относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса тела относительно любой точки, выбранной на данной оси. Совершенно очевидно, в этом случае момент импульса является скалярной величиной. В системе СИ момент импульса измеряется в .
Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность же тел при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции тела I относительно оси вращения или точки. Момент инерции, как и масса, величина аддитивная, скалярная.
Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая скалярная величина, равная сумме произведений масс материальных точек (на которые можно разбить все тело) на квадраты расстояний каждой из них до оси вращения:
, (4)
где I -момент инерции материальной точки.
Моментом инерции тела относительно точки О называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой материальной точки данного тела на квадрат ее расстояния до точки О. Расчетная формула момента инерции аналогична формуле (4). В системе СИ момент инерции измеряется в кг·м2.
Момент инерции твердого тела зависит от массы тела, формы и размера тела.
Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
Каждая из материальных точек вращающегося твердого тела будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а центры всех этих окружностей будут лежать на этой оси. При этом все точки тела в данный момент времени имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение.
Рассмотрим i-материальную точку, масса которой Дmi, а радиус окружности, по которой она движется, ri. На нее действуют как внешние силы со стороны других тел, так и внутренние силы - со стороны других материальных точек, принадлежащих этому же телу. Разложим результирующую силу , действующую на материальную точку массы Дmi, на две взаимно перпендикулярные составляющие силыи , причем так, чтобы вектор силы совпадал по направлению с касательной к траектории движения частицы, а сила - перпендикулярна к этой касательной (Рис.3). Совершенно очевидно, что вращение данной материальной точки обусловлено только касательной составляющей силы , величину которой можно представить в виде суммы внутренней и внешней сил. В этом случае для материальной точки Дmi второй закон Ньютона в скалярном виде будет иметь вид:
(5)
С учетом того, что при вращательном движении твердого тела вокруг оси, линейные скорости движения материальных точек по круговым траекториям различны по величине и направлению, а угловые скорости w для всех этих точек одинаковы (и по величине и направлению), заменим в уравнении (5) линейную скорость на угловую (vi=wri):
. (6)
Введем в уравнение (6) момент силы, действующей на частицу. Для этого умножим левую и правую части уравнения (6) на радиус ri, который по отношению к результирующей силе является плечом:
(7)
Тогда получим:
, (8)
где каждый член в правой части уравнения (8) есть момент соответствующей силы относительно оси вращения. Если в это уравнение ввести угловое ускорение вращения материальной точки массы Дmi относительно оси (=) и ее момент инерции ДIi относительно этой же оси(=ДIi), то уравнение вращательного движения материальной точки относительно оси примет вид:
ДIi·= (9)
Аналогичные уравнения можно записать для всех других материальных точек, входящих в данное твердое тело. Найдем сумму этих уравнений с учетом того, что величина углового ускорения для всех материальных точек данного вращающегося тела будет одинаковой, получим:
. (10)
Суммарный момент внутренних сил равен нулю, так как каждая внутренняя сила, согласно третьему закону Ньютона, имеет равную по величине, но противоположно направленную себе силу, приложенную к другой материальной точке тела, с таким же плечом. Суммарный момент - есть вращающий момент М всех внешних сил, действующих на вращающееся тело. Сумма моментов инерции =I определяет момент инерции данного тела относительно оси вращения. После подстановки указанных величин в уравнение (10) окончательно получим:
I=M. (11)
Уравнение (11) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно оси. Так как =, а момент инерции тела относительно данной оси вращения является постоянной величиной и, следовательно, его можно внести под знак дифференциала, то уравнение (11) можно записать в виде:
. (12)
Величина Iw=L (13)
называется моментом импульса тела относительно оси. C учетом (13) уравнение (12) можно записать в виде:
(14)
Уравнения (11-14) носят скалярный характер, и применяются только для описания вращательного движения тел относительно оси. При описании вращательного движения тел относительно точки (или полюса, или начала), принадлежащей данной оси, указанные уравнения соответственно записываются в векторном виде:
(11*); (12*); (13*); (14*).
При сравнении уравнений поступательного (1) и вращательного (11-14) движений тела видно, что при вращательном движении вместо силы в уравнениях стоит ее момент, вместо массы тела - момент его инерции, вместо импульса (или количества движения) - момент импульса (или момент количества движения).
Из уравнений (14) и (14*) следует, соответственно, уравнение моментов относительно оси и относительно точки:
dL=Mdt (15); (15*).
Согласно уравнению моментов относительно оси (15) - изменение момента импульса тела dL относительно неподвижной оси равно моменту импульса внешней силы Mdt, действующей на тело относительно этой же оси. Относительно точки уравнение моментов (15*) формулируется: изменение вектора момента импульса относительно точки равно импульсу момента вектора силы, действующего на тело, относительно этой же точки.
Из уравнений (15) и (15*) вытекает закон сохранения момента импульса твердого тела как относительно оси, так и относительно точки. Из уравнения (15) следует: если суммарный момент всех внешних сил М относительно оси равен нулю (M=0, следовательно и dL=0), то момент импульса этого тела относительно оси его вращения остается постоянной величиной (L=Const).
Относительно точки: если суммарный вектор момента всех внешних сил относительно точки вращения О остается неизменным, то вектор момента импульса этого тела относительно этой же точки О остается постоянным.
В данной лабораторной работе определяются моменты инерции для простейших тел вращения. Под телом вращения понимается объемное тело, возникающее при вращении плоской фигуры, ограниченной произвольной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Тело вращения всегда имеет ось симметрии. Простейшими примерами тел вращения являются:
шар - образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза;
цилиндр - образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из его сторон;
конус - образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из его катетов и т.п.
В рассматриваемой лабораторной работе методом крутильных колебаний определяются моменты инерции для тел: сферы, диска, стержня, полого и сплошного цилиндров. Кроме того, экспериментально проверяется теорема Гюйгенса-Штейнера. Эта теорема позволяет определить момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы тела, если известен момент инерции данного тела относительно оси проходящей через центр масс и параллельной относительно искомой оси.
Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр массы данного тела, равен моменту инерции этого тела относительно оси, проходящей через его центр массы и параллельной первой оси, плюс произведение массы данного тела на квадрат расстояния между этими осями: I = Io + m?2, где I - момент инерции тела относительно искомой оси, (не проходящей через центр массы тела), Iо момент инерции тела относительно оси проходящей через центр массы и параллельной первой оси, m- масса тела, ? - расстояние между осями.
Вывод рабочей формулы для расчета момента инерции тел вращения методом крутильных колебаний.
Крутильный маятник в данной работе состоит из спиральной пружины, закрепленной в штативе. С пружиной жестко скреплена ось, свободно вращающаяся в штативе. На ось крепится тело, момент инерции которого определяется. Если эту систему вывести из положения равновесия, повернув тело на некоторый угол ц и отпустить, то возникнут крутильные колебания тела. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент силы, приостанавливающий отклонение тела от состояния равновесия, а затем сообщающий телу обратное движение. Возвращающий момент силы М обусловлен упругими силами, возникающими в спиральной пружине.
Как показывают эксперименты, в области упругих деформаций кручения, угол поворота спиральной пружины прямо пропорционален проекции момента силы М на ось вращения z (Мz), т.е.
Мz = - G?ц (16).
колебание гюйгенс штейнер инерция
Коэффициент пропорциональности G называется угловым коэффициентом упругости спиральной пружины. Из уравнения (11) следует: Мz = Iz?, где = - угловое ускорение, Iz - момент инерции тела относительно вращающейся оси установки. Следовательно,
Мz = Iz? (17).
Из (16 ) и (17) следует равенство: Iz? = - G?ц. Или
+ = 0 (18)
Уравнение (17) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, которое можно переписать в следующем виде
+щ2ц = 0, (19)
Где
щ2 = (20)
Уравнение (18) соответствует гармоническому осциллятору и описывает его гармонические колебания, в данном случае колебания углового смещения маятника относительно его положения равновесия. Из решения дифференциального уравнения (18) следует, что колебания крутильного маятника являются гармоническими ц = цо?Sin(щ?t +б), где цо - амплитуда углового смещения, равная начальному угловому отклонению маятника, а щ- циклическая частота колебаний, которая связана с периодом колебаний соотношением
щ = (21)
Из уравнений (20) и (21) вытекает рабочая формула экспериментального определения момента инерции Iz для предложенных тел вращения и проверки теоремы Гюйгенса - Штейнера:
Iz =I= , (22)
Подготовка и выполнение лабораторной работы
Рис. 4 Общий вид экспериментальной установки и исследуемых тел
Как видно из рабочей формулы (22) основными параметрами при экспериментальном определении моментов инерции указанных выше тел, является период колебаний тела Т и угловой коэффициент упругости спиральной пружины G. В данной лабораторной работе угловой коэффициент экспериментально уже определен по методике, описанной на стр.12 и имеет значение.
Измерение моментов инерции тел
1. На все исследуемые тела прикрепите узкий листок бумаги, шириной не более 3 мм. (рис.5).
2. Закрепите исследуемое тело на вращающемся валу, скрепленном с пружиной.
3. Установите штатив с пружиной и закрепленным твердым телом так, чтобы листок находился под световым барьером (рис.5).
Размещено на http://www.allbest.ru/
4. Для светового барьера выберите режим измерений .
5. Отклоните исследуемое тело от положения равновесия приблизительно на 90о и отпустите его, предварительно нажав на кнопку «Set» датчика светового барьера. Световой барьер измерит промежуток времени, равный периоду колебаний системы.
6. Для проведения повторных измерений сбросьте показания счетчика светового барьера, нажав на кнопку «Set». Через последующий цикл колебательного движения датчик вновь покажет значение периода колебаний системы.
7. Для каждого исследуемого тела сделать 5-7 измерений периода колебаний. По формуле (22) рассчитать моменты инерции исследуемых тел, Для каждого тела данные измерений заносить в отдельную таблицу. Определить средние значения и доверительный интервал для каждого исследованного тела. При расчете моментов инерции тел использовать (предварительно экспериментально найденную) величину углового коэффициента упругости спиральной пружины, равной: G= 0,0241±0,0009 Н·М/РАД.
Таблица № 1
Определение момента инерции однородного цилиндра
|
№пп |
Ti,с |
,c |
Ti,c |
м2 |
м2 |
|||||
|
1 |
||||||||||
|
2 |
||||||||||
|
…. |
||||||||||
|
…. |
||||||||||
|
5-7 |
По данным таблицы найдите среднее значение периода и по формуле Стьюдента . По средним значениям и по формуле (22) определите среднее значение момента инерции, измеряемого тела: . По данным таблицы по нижеприведенной формуле определите доверительный интервал при косвенных измерениях момента инерции цилиндра (и других тел)
Аналогичные таблицу и вычисления момента инерции выполнить и для других (предложенных преподавателем) тел.
Экспериментальная проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.
1. Закрепите диск с угловой шкалой на вращаемся валу так, чтобы его центральное отверстие совпадало с осью вращения. (Рис.6).
2. Отклоните диск от положения равновесия приблизительно на 90о и отпустите его.
Размещено на http://www.allbest.ru/
3. С помощью светового барьера (датчика времени) измерьте период колебаний диска 5-7 раз. Определите среднее значение периода колебаний и доверительный интервал.
4. Используя просверленные в диске (по его диаметру) отверстия, повторите пункты 2 и 3, последовательно изменяя место крепления диска к валу. По формуле (22) рассчитайте моменты инерции диска для всех измерений, проделанных в пунктах 3-4. Данные пунктов 3,4,5 занести в таблицу.
5. По данным таблицы построить график зависимости момента инерции I вращающегося диска от квадрата расстояния d2 между осью вала и центром диска. Используя график, сделайте вывод о справедливости теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр массы тела. Расчет инерции ненагруженной платформы. Проверка теоремы Штейнера. Экспериментальное определение момента энерции методом крутильных колебаний, оценка погрешностей.
лабораторная работа [39,3 K], добавлен 01.10.2014Определение скорости пули методом физического маятника. Объём и плотности тела, вычисление погрешностей. Определение момента инерции и проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний. Модуль сдвига при помощи крутильных колебаний.
лабораторная работа [125,8 K], добавлен 27.02.2011Методика определения момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс. Экспериментальная проверка аддитивности момента инерции и теоремы Штейнера. Зависимость момента инерции от массы тела и ее распределения относительно оси вращения.
контрольная работа [160,2 K], добавлен 17.11.2010Определение коэффициентов трения качения и скольжения с помощью наклонного маятника. Изучение вращательного движения твердого тела. Сравнение измеренных и вычисленных моментов инерции. Определение момента инерции и проверка теоремы Гюйгенса–Штейнера.
лабораторная работа [456,5 K], добавлен 17.12.2010Изучение зависимости момента инерции от расстояния масс от оси вращения. Момент инерции сплошного цилиндра, полого цилиндра, материальной точки, шара, тонкого стержня, вращающегося тела. Проверка теоремы Штейнера. Абсолютные погрешности прямых измерений.
лабораторная работа [143,8 K], добавлен 08.12.2014Определение момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс, экспериментальная проверка аддитивности момента инерции и теоремы Штейнера методом трифилярного подвеса. Момент инерции тела как мера инерции при вращательном движении.
лабораторная работа [157,2 K], добавлен 23.01.2011Определение и физический смысл момента инерции. Моменты инерции простейших 1-D, 2-D и 3-D тел. Рассмотрение теоремы Гюйгенса-Штейнера о параллельных и перпендикулярных осях. Свойства главных центральных осей инерции и примеры использования симметрии тела.
презентация [766,1 K], добавлен 30.07.2013Методы определения моментов инерции тел правильной геометрической формы. Принципиальная схема установки. Момент инерции оси. Основное уравнение динамики вращательного движения. Измерение полных колебаний с эталонным телом. Расчёт погрешностей измерений.
лабораторная работа [65,1 K], добавлен 01.10.2015Применение стандартной установки универсального маятника ФПМО-4 для экспериментальной проверки теоремы Штейнера и определения момента инерции твердого тела. Силы, влияющие на колебательное движение маятника. Основной закон динамики вращательного движения.
лабораторная работа [47,6 K], добавлен 08.04.2016Экспериментальное изучение динамики вращательного движения твердого тела и определение на этой основе его момента инерции. Расчет моментов инерции маятника и грузов на стержне маятника. Схема установки для определения момента инерции, ее параметры.
лабораторная работа [203,7 K], добавлен 24.10.2013
