Гранична задача відновлення потенціалу за значеннями модуля його градієнта

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна Академія наук України Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна

УДК 550.831:550.838

ГРАНИЧНА ЗАДАЧА ВІДНОВЛЕННЯ ПОТЕНЦІАЛУ ЗА ЗНАЧЕННЯМИ МОДУЛЯ ЙОГО ГРАДІЄНТА

04.00.22 - ГЕОФІЗИКА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико - математичних наук

Якимчик Андрій Іванович

Київ 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в відділі глибинних процесів Землі і гравіметрії Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна Національної академії наук України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор ЧОРНИЙ Арнольд Володимирович, Інститут геофізики НАН України, головний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент ЗАЗУЛЯК Петро Михайлович, Національний університет “Львівська політехніка”, декан геодезичного факультету

доктор фізико-математичних наук КОРЧАГІН Ігнат Миколайович, Інститут геофізики НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна установа - Національна гірнича академія, кафедра геофізики, МОН України, м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться “8“ листопада 2001 року о 10 годині на засіданні спеціалізованої ради Д 26.200.01 при Інституті геофізики ім. С. І. Субботіна НАН України за адресою: 03680, Київ - 142, проспект Палладіна, 32.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України.

Автореферат розіслано “1“ жовтня 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор геологічних наук М.І. ОРЛЮК

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Для розв'язування важливих теоретичних і прикладних задач наук про Землю, що виникають при вивченні її фігури, внутрішньої її будови, глибинних геодинамічних процесів і т. п., а також задач, пов'язаних з рухом штучних апаратів в навколоземному просторі потрібно знати розподіл значень потенціалу сили тяжіння, значень градієнта цього потенціалу або ж значень модуля цього градієнта. Такий розподіл можна отримати на основі фундаментальних властивостей функцій, які описують гравітаційну взаємодію, і даних вимірювань. Властивості потенціалу та його похідних добре вивчені і створена загальна теорія для відновлення потенціалу в глобальній області за слідами потенціалу або слідами його похідних на границі області. На жаль, ми не маємо точних граничних даних для реалізації класичної схеми відновлення в глобальній області потенціалу у вигляді розв'язку однієї з граничних задач Діріхле, Неймана або змішаної для рівняння Лапласа. Насправді, до цього часу не знайдено способу вимірювання гравітаційного потенціалу, а вимірювання його похідних на поверхні Землі занадто дорого коштують. В той же час накопичені в великих об'ємах дані гравіметричних і аеромагнітних спостережень, що являють собою значення модуля градієнта потенціалу. В класичних задачах ці дані можуть бути використані тільки як наближені граничні умови, що забезпечує, в кінцевому підсумку, визначення потенціалу з гарантованою точністю лише в локальній області достатньо малої міри. Спроби відновлення потенціалу в глобальній області на цьому шляху приречені на невдачу. Пов'язано це з тим, що розв'язки відповідних граничних задач визначаються в кожній малій області з точністю до деякої невизначеної постійної, яка залежить безпосередньо від розмірів і форми малої області. В зв'язку з цим для "склеювання" локальних розв'язків відсутні будь-які розумні критерії. Тому задача про відновлення потенціалу за значеннями модуля його градієнта видається дуже актуальною.

Зв'язок з науковими планами. В основу дисертації покладено результати досліджень автора у відповідності з науково-тематичною плановою роботою відділу глибинних процесів Землі та гравіметрії Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України:

Гранична задача про відновлення потенціалу за модулем його градієнта та її використання в геодезичній гравіметрії і в теорії інтерпретації гравітаційних і магнітних аномалій; п. 1.1. Історія проблеми; п. 1.2. Характеризація сили тяжіння; п. 1.3. Оцінка відхилення розв'язків задачі Діріхле для рівняння аномалій сили тяжіння і для рівняння Лапласа; п. 1.6. Обчислення аномальних висот (1996 - 2000 р.р., номер держ. регістр. О 196 U 004 773).

Метою роботи є розробка основ теорії головної задачі гравіметрії про відновлення потенціалу притягання в необмеженій замкнутій області за значеннями модуля його градієнта, які задані на границі області в припущенні, що відшукуваний потенціал близький до заданого.

Основні задачі формулюються так:

1. Довести, що за значеннями модуля градієнта потенціалу неможливо сконструювати точні граничні умови для будь-якої лінійної класичної задачі теорії потенціалу, в тому числі і для задачі Стокса - Молоденського для рівняння Лапласа.

2. Показати, що похибка трансформацій аномалій модуля градієнта потенціалу як гармонічних функцій залежить від кривини еквіпотенціальних поверхонь поля, амплітуди аномалій і міри області, в якій виконується дана трансформація.

3. Встановити коректну розв'язуваність лінійних інтегральних рівнянь другого роду з компактними операторами, що мають великі ядра, і довести збіжність послідовності розв'язків до функції, яка однозначно породжує шуканий потенціал.

4. Провести математичне тестування методу розв'язання нелінійної граничної задачі відновлення потенціалу за модулем його градієнта на ЕОМ.

Наукова новизна. В роботі обгрунтовується теза, що методи обробки та інтерпретації гравітаційних і аеромагнітних аномалій, які розвинуті на базі теорії гармонічних функцій і успішно застосовуються у розвідувальній геофізиці, можуть виявитися мало ефективними при дослідженні глибинної регіональної структури Землі. Запропонована нова постановка нелінійної граничної задачі відновлення потенціалу притягання в необмеженій замкнутій області за значеннями модуля його градієнта на границі області при умові близькості потенціалу до заданого. Обгрунтовується спосіб відновлення потенціалу притягання у вигляді граничної функції послідовності розв'язків задач Неймана для рівняння Лапласа, що визначають збурюючий потенціал. Послідовність збурюючих потенціалів генерується послідовністю розв'язків лінійних інтегральних рівнянь другого роду з компактними операторами, що мають великі ядра. Для відшукання розв'язків цих рівнянь рекомендується новий спосіб, в основу якого покладено побудову "малого" ядра. градієнт модуль лінійний рівняння

Достовірність і обгрунтованість одержаних результатів визначається детальним логіко - аналітичним розглядом проблеми відновлення потенціалу за модулем його градієнта, починаючи з формулювання і математичного обгрунтовування розв'язування задачі, доведень відповідних теорем і закінчуючи побудовою обчислювальних алгоритмів. Основні результати сформульовані у вигляді доведених лем, теорем та їх висновків. Їх справедливість перевірена частково в обчислювальних експериментах на ЕОМ при розв'язуванні тестових задач.

Практичне значення проведених досліджень визначається в першу чергу їх спрямованістю на розв'язання важливих проблем прикладного характеру як в геодезичній гравіметрії для уточнення фігури Землі, так і в граві - і магніторозвідці для підвищення ефективності інтерпретації гравітаційних і магнітних аномалій. В аспекті прикладної цінності належить також відмітити розробку алгоритмів і складання реалізуючих їх на ЕОМ програм для обчислення потенціалу притягання в необмеженій замкнутій області за значеннями модуля його градієнта на границі області.

Особистий внесок автора. Самостійно одержані результати, що описані у всіх чотирьох главах дисертації, за виключенням лем 4.1, 4.2 і 4.3. Нова постановка нелінійної граничної задачі відновлення потенціалу притягання в необмеженій замкнутій області за значеннями модуля його градієнта на границі області (п. 3.1), а також питання розв'язання задачі, що розглядається, викладені на основі відповідних поповнень спільних з А. В. Чорним журнальних статей.

Апробація результатів. Основні положення і результати роботи доповідались на 28-й сесії Міжнародного семінару "Питання теорії та практики геологічної інтерпретації гравітаційних, магнітних і електричних полів" (Київ, 29 січня - 2 лютого 2001 року).

Публікації. Основні положення і результати дисертації висвітлені в 6-и статтях, опублікованих в журналах "Доповіді НАН України", "Геофизический журнал", "Geophysical Journal" і в одному збірнику тезисів.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох глав, висновків, списку літератури із 121 найменування, 6 рисунків і 1 таблиці; обсяг роботи 121 сторінка, з них 107 сторінок тексту.

Робота виконувалась протягом 1995-2001 р. р. у відділі глибинних процесів Землі та гравіметрії Інституту геофізики ім. С. І. Субботіна НАН України під керівництвом доктора фізико-математичних наук, професора А. В. Чорного, якому автор висловлює глибоку подяку та щиру вдячність за всебічну допомогу, консультації і повсякденну увагу до роботи. Автор вдячний академіку НАН України В. І. Старостенку за доброзичливе ставлення і суттєву допомогу в проведенні досліджень. Автор висловлює свою подяку С. В. Грищенку (Київський міжнародний університет цивільної авіації) та А. А. Роговцову (Інститут загальної та неорганічної хімії ім. В. І. Вернадського) за допомогу на протязі всього дослідного періоду, а також А. Ю. Савекіну і В. Д. Меленівському (ЗАТ "Екопромгаз") за підтримку в проведенні досліджень. Автор глибоко вдячний батькам за їх терпіння і підтримку на протязі тривалого часу підготовки даної роботи.

Зміст роботи

1. Загальні відомості про граничну задачу відновлення потенціалу за значенням модуля його градієнта

В главі викладена коротка історія дослідження проблеми. Описана предметна модель задачі і зв'язані з нею поняття. За предметну вибирається досить проста модель Землі у вигляді абсолютно твердого тіла, що рухається рівномірно по своїй орбіті та обертається навколо своєї осі з постійною кутовою швидкістю (без прецесії і нутації). Позначимо через G- обмежену область точок тривимірного евклідового простору, зайнятого масами Землі (за виключенням мас її нерухомої газової оболонки), через G+ - необмежене доповнення цієї області, вільне від яких би то не було гравітуючих об'єктів, а через ¶G - границю, що ототожнюється з фізичною поверхнею Землі. Міри кожної з підмножин любої з областей (тобто відстані, кути, площі, об'єми) у відповідності з прийнятою моделлю Землі залишаються весь час незмінними. Введемо прямокутну декартову систему координат з початком в центрі Землі, осі Ox1 і Ox2 розташуємо довільно в екваторіальній її площині, а вісь Ox3 спрямуємо за віссю її обертання. Потенціал сили тяжіння Землі за умови, що маси M(x) мають густину s(x), x О G-, можна записати у вигляді

, (1)

де W(x) є потенціал відцентрової сили, f - гравітаційна стала. Напруженість гравітаційного поля визначається вектором

,

ортогональним еквіпотенційній поверхні що проходить через точку x. Напрям n(x) виберемо як внутрішню нормаль до поверхні ¶Wx, а величину напруженості g(x), тобто значення модуля градієнта потенціалу, задамо у вигляді

. (2)

Лема 1. Добуток двох функцій u(x) і n(x), x О D, класу C(2)(D) буде гармонічною в області D функцією w(x)=u(x)n(x), якщо кожна з цих функцій гармонічна і їх градієнти u(x) і n(x) ортогональні один до одного в D.

Висновок. Модуль градієнта потенціалу (сили тяжіння) не задовольняє рівнянню Лапласа ні в одній точці області G+.

Теорема 1. Якщо потенціал сили тяжіння W(x) породжується масами з густиною s(x) класу , розподіленими в області G-, котра як абсолютно тверде тіло, близьке до тіла обертання, обертається навколо своєї осі Ox3 з постійною кутовою швидкістю w, то модуль градієнта потенціалу в усьому евклідовому просторі задовільняє наступному диференціальному співвідношенню:

. (3)

2. Оцінка відхилення розв'язків задачі Діріхле для рівняння аномалій сили тяжіння і для рівняння Лапласа

Розглянемо, як відрізняються одна від одної функції u(x) і n(x) в деякому околі G(x) точки x О G+ в метриці простору неперервних функцій C(G(x)), якщо вони одержані продовженням граничних значень аномалій сили тяжіння , y О G(x), у вигляді розв'язків відповідних задач Діріхле для рівняння аномалій сили тяжіння:

(4)

і рівняння Лапласа:

(5)

Тут під рівнянням аномалій сили тяжіння мається на увазі співвідношення (3) теореми 1 з заданим для нормального поля коефіцієнтом, а під аномаліями сили тяжіння - різниця

яка являє собою нормальну похідну збурюючого потенціалу, що відтворює відхилення реального потенціалу сили тяжіння від нормального. За нормальний приймається потенціал U(x) деякої області достатньо простої геометрії, яка не дуже відхиляється від області G- і обертається разом з нею навколо однієї і тієї ж осі з постійною кутовою швидкістю, виповненої масами, рівними масам в G- і розподіленими в на відміну від розподілу в G- "правильно" в якомусь сенсі. Близькість областей характеризується близькістю їх границь ¶G0 і ¶G, яка, в свою чергу, визначається конкретною мірою відхилення поверхні ¶G0 від земного рельєфу.

Один із двох способів, запропонованих для розв'язання поставленої задачі, полягає в тому, що для відшукання відхилення , один від одного розв'язків u(y) і n(y) задач (4) і (5) з одними і тими ж граничними умовами можна сформулювати таку граничну задачу:

(6)

Реалізуючи цей спосіб, замінимо задачу для рівняння Пуасона відповідною граничною задачею для рівняння Лапласа. Це можна зробити на підставі того, що задача Діріхле для рівняння Пуасона завжди має частинний розв'язок у вигляді потенціалу об'ємних мас з густиною, рівною в даному випадку - .

В метриці простору неперервних функцій одержуємо оцінку

. (7)

Отримані співвідношення були використані для оцінки точності різних трансформацій гравітаційних аномалій, здійснюваних за правилами перетворення гармонічних функцій. Наприклад, якщо вибрати за локальну область зрізаний двома сферичними поверхнями круглий конус з вершиною в центрі Землі, менша та більша (по площі) основи якого віддалені від центра на відстані R=R1 -200 і R1=6371,1км відповідно, то похибка буде коливатися в межах (мГал) при зміні діаметра більшої основи конуса від 110 до 2200 км.

3. Постановка і розв'язання нелінійної граничної задачі задачі відновлення потенціалу

Якщо , - модулі градієнтів відповідних потенціалів, то згодом припускається, що розподіл густини , і область вибрані настільки вдало, що як функції g(x) і g(x), так і функції q(x) і c(x) досить мало в прийнятій метриці відрізняються одна від одної і неважко бачити, що

. (8)

Вважаючи заданими сімейства нормальних еквіпотенційних поверхонь і , параметризованих точкою x простору , а також сімейства внутрішніх нормалей g(x) і до поверхонь і в точці x спільно з рівнянням поверхні Землі класу поверхонь Ляпунова, в якому однозначно вираховуються внутрішні нормалі m(x) до поверхні ¶G, визначимо ще збурюючий потенціал у вигляді відхилення реального потенціалу сили тяжіння Землі від її нормального потенціалу.

Очевидно, що при вдалому виборі модельного потенціалу збурюючий потенціал буде складати невелику долю потенціалу притягання.

Формулювання задачі: визначити потенціал притягання V(x) тілом G- в заданій точці x області G+ за значеннями модуля його градієнта q(x), які задані в довільній точці x границі ¶G області і належать класу C(¶G), тобто треба розв'язати наступну нелінійну граничну задачу:

, (9)

при

Якщо б на поверхні Землі крім значень модуля градієнта потенціалу сили тяжіння g(x) і нормалі m(x) до ¶G вимірювався також і напрям градієнта n(x), то нелінійну граничну задачу (9) можна було б переформулювати до виду лінійної задачі Неймана для рівняння Лапласа:

(10)

при

де

Одначе напрям n(x) градієнта потенціалу нам невідомий. Припустимо, що нормальний потенціал сили тяжіння вибрано вдало. Тоді потенціал притягання можна відновити в замкнутій області за допомогою послідовних наближень

, ; (11)

, ,

кожне з яких знаходиться аналогічно розв'язку граничної задачі (10) таким чином. Спочатку за визначеними на попередньому i-1 - ому кроці процесу наближень спрямовуючих косинусів нормалі e(x) обчислюємо на границі ¶G у відповідності з формулою (8) наступне i - е наближення сили притягання q(i)(x) і значення функцій

,

,

Лема 2. Якщо границя ¶G обмеженої області є поверхнею Ляпунова, то справедливі рівності

де , .

Теорема 2 (єдиності). Якщо для будь-якої функції , x О ¶G, із обмеженої в C(¶G) множини інтегральне рівняння (14) має неперервні розв'язки , x О ¶G, то число цих розв'язків не більше одного.

Теорема 3. Інтегральний оператор задачі (14), який задається рівністю

x О ¶G

і ставить у відповідність неперервній функції функцію , є компактним (цілком неперервним) оператором.

Теорема 4 (існування). Якщо однорідне інтегральне рівняння

в просторі неперервних функцій має тільки тривіальні розв'язки, то відповідне йому неоднорідне інтегральне рівняння (14) має розв'язок при будь-якій правій частині, що належить обмеженій множині в C(¶G).

Теорема 5. Якщо K -- лінійний цілком неперервний оператор, то множина значень V(E-K) оператора E-K замкнута в C(¶G) і оператор E-K неперервно обернений.

Зауважимо, що для обернення оператора E-K не можна використовувати відомий ряд Неймана внаслідок наявності умови

,

яка має місце для будь-якої замкнутої поверхні Ляпунова і витікає з леми 2. Проте, розв'язуваність на C(¶G) неоднорідного інтегрального рівняння (14) випливає, зокрема, з можливості представлення ядра оператора у вигляді суми двох ядер, одне з яких буде ядром скінченного рангу (виродженим), а друге -- "малим" ядром. Наявність такої можливості дозволяє запропонувати один оптимальний із множини інших алгоритм розв'язання лінійного інтегрального рівняння другого роду з компактним оператором.

Теорема 6 (стійкості). Якщо неперервні функції , які слугують правими частинами неоднорідних лінійних інтегральних рівнянь з оператором A=E-K, небагато відрізняються одна від одної в сенсі виконання нерівності при достатньо малому e>0, то відповідні їм розв'язки цих рівнянь являють собою неперервні функції і мало відрізняються між собою, тобто задовільняють умову , де c<? -- цілком визначена постійна.

Позначимо через e2(x) квадрат відношення модуля градієнта збурюючого потенціалу до модуля градієнта нормального.

Теорема 7. Якщо функцією e2(x) можна знехтувати в порівнянні з функцією e(x), то послідовність розв'язків граничних задач (12) - (13) збігається до збурюючого потенціалу області G-.

4. Двовимірна нелінійна гранична задача відновлення потенціалу

Як тестовий приклад розглянемо нелінійну граничну задачу відновлення потенціалу за значеннями модуля його градієнта для R(2) ј

Результати тестового прикладу дозволяють вважати запропонований спосіб відновлення потенціалу притягання в необмеженій замкнутій області за значеннями модуля його градієнта на границі області за умови близькості потенціалу до заданого цілком працездатним.

Основні результати роботи

Наукові результати проведених досліджень зводяться в основному до наступного.

1°. Описана математична модель задачі і пов'язані з нею поняття. Доведено, що за значеннями модуля градієнта потенціалу не можна сконструювати точні граничні дані ні для однієї із лінійних класичних задач теорії потенціалу, в том числі і задачі Стокса - Молоденського для рівняння Лапласа або задачі Діріхле для рівняння сили тяжіння.

2°. Показано, що похибка трансформацій аномалій модуля градієнта потенціалу, як гармонічних функцій залежить від кривини еквіпотенційних поверхонь поля, амплітуди аномалій і міри області, в якій виконується дана трансформація. Одержані співвідношення, які використані для оцінки точності трансформацій гравітаційних аномалій, виконаних за правилами перетворення поля гармонічних функцій.

3°. Запропонована нова постановка нелінійної граничної задачі відновлення потенціалу притягання в необмеженій замкнутій області за значеннями модуля його градієнта на границі області за умови близькості потенціалу до заданого. В дисертації рекомендується і обгрунтовується спосіб розв'язання задачі у вигляді послідовності розв'язків задач Неймана для рівняння Лапласа, які визначають збурюючий потенціал.

4°. Послідовність збурюючих потенціалів генерується послідовністю розв'язків лінійних інтегральних рівнянь другого роду з компактними операторами, що мають великі ядра. Встановлена коректна розв'язуваність даного класу рівнянь і розглянуто алгоритм розв'язання цих рівнянь, в основу якого покладено побудову "малого" ядра. Доведена збіжність послідовності розв'язків задач Неймана до функції, що однозначно породжує шуканий потенціал.

5°. Проілюстрована на чисельному прикладі ефективність запропонованого способу відновлення потенціалу притягання за значеннями модуля його градієнта у випадку двох змінних.

Основні положення дисертації опубліковано в наступних роботах

1. О восстановлении потенциала по значениям модуля его градиента // Докл. НАН Украины. 1999, № 10. С. 121-125 (соавтор А. В. Черный).

2. Восстановление потенциала по значениям модуля его градиента 1 // Геофиз. журн. 1999. 21, № 3. С. 55-72 (соавтор А. В. Черный).

3. Восстановление потенциала по значениям модуля его градиента 2 // Геофиз. журн. 2000. 22, № 6. С. 166-183 (соавтор А. В. Черный).

4. О способе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода // Докл. НАН Украины. 2000, № 12. С. 156-159.

5. О корректной разрешимости линейных интегральных уравнений второго рода с оператором, обладающим большим ядром // Докл. НАН Украины. 2001, № 1. С. 144-147 (соавтор А.В. Черный).

6. О сходимости последовательности приближений к потенциалу притяжения // Докл. НАН Украины. 2001, № 2. С. 139-143 (соавтор А.В. Черный).

7. Нелинейная граничная задача восстановления потенциала по модулю его градиента // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Материалы 28 - сессии Международного семинара им. Д. Г. Успенского, Киев, 29 января - 2 февраля 2001 г. Москва: ОИФЗ РАН, 2001 г., С. 141.

Аннотация

Якимчик А. И. Граничная задача восстановления потенциала по значениям модуля его градиента. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 04.00.22 - геофизика. - Институт геофизики им. С. И. Субботина НАН Украины, Киев, 2001.

Диссертация посвящена разработке теории и методов решения задачи восстановления потенциала по значениям модуля его градиента при условии близости потенциала к заданному.

Изложена краткая история исследования проблемы. Дана характеризация силы тяжести. Доказано, что по значениям модуля градиента потенциала нельзя сконструировать точные граничные условия для любой линейной классической задачи теории потенциала, в том числе и для задачи Стокса - Молоденского для уравнения Лапласа. Показано, что погрешность трансформаций аномалий модуля градиента потенциала как гармонических функций зависит от кривизны эквипотенциальных поверхностей поля, амплитуды аномалий и меры области, в которой выполняется данная трансформация. Утверждается, что методы обработки и интерпретации гравитационных и аэромагнитных аномалий, развитые на базе теории гармонических функций и используемые с успехом в разведочной геофизике, могут оказаться мало эффективными при изучении глубинной региональной структуры Земли.

Предложена для разрешения кризиса новая постановка нелинейной граничной задачи восстановления потенциала притяжения в неограниченной замкнутой области по значениям модуля его градиента на границе области при условии близости потенциала к заданному. Рекомендован и строго обоснован способ решения задачи в виде предела последовательности решений граничных задач Неймана для уравнения Лапласа, определяющих возмущающий потенциал. Последовательность возмущающих потенциалов генерируется последовательностью решений линейных интегральных уравнений второго рода с компактными операторами, обладающими большими ядрами. Установлена корректная разрешимость данного класса уравнений и доказана сходимость последовательности решений задач Неймана к функции, однозначно порождающей искомый потенциал.

Рассмотрены постановка и решение нелинейной граничной задачи восстановления потенциала по значениям модуля его градиента для . Проиллюстрирована на численном примере эффективность предложенного способа восстановления потенциала для случая двух переменных.

Ключевые слова: потенциал, модуль градиента, граничная задача Неймана, уравнение Лапласа, оператор, приближения.

Анотація

Якимчик А.І. Гранична задача відновлення потенціалу за значеннями модуля його градієнта. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 04.00.22 - геофізика. - Інститут геофізики ім. С. І. Субботіна НАН України, Київ, 2001.

Дисертація присвячена розробці теорії і методів розв'язання задачі відновлення потенціалу за модулем його градієнту за умови близькості потенціалу до заданого. Обгрунтовується запропонований спосіб відновлення потенціалу у вигляді граничної функції послідовності розв'язків задач Неймана для рівняння Лапласа, що визначають збурюючий потенціал. Послідовність збурюючих потенціалів генерується послідовністю розв'язків лінійних інтегральних рівнянь другого роду з компактними операторами, що мають великі ядра. Встановлена коректна розв'язуваність даного класу рівнянь і доведена збіжність послідовності розв'язків задач Неймана до функції, яка однозначно породжує шуканий потенціал.

Ключові слова: потенціал, модуль градієнта, гранична задача Неймана, рівняння Лапласа, оператор, наближення.

Annotation

Yakimchik A.I. Boundary problem of the reconstructing of the potential from the modulus of its gradient. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 04.00.22 - geophysics. - Institute of geophysics named after S. I. Subbotin, NASU, Kyiv, 2001.

The thesis for a candidate's degree is devoted to development of a theory and solution methods of problem for potential recovery by the modulus of its gradient provided that potential is similar to given one. The method of the potential recovery as the limit of the succession of the boundary problems of Neumann's for the Laplace's equation that define a disturbing potential was proposed. The succession of the disturbing potential is generated by the succession of the solutions of linear integral equations of the second kind with compact operators having large cores. A correct solubility of the equation of type given is established, and the convergence of succession of the Neumann's solutions problems to function unique generating the desired is proved.

Key words: potential, modulus of gradient, Neumann's boundary problem, Laplace's equation, operator, approximation.

Размещено на Allbest.ru