Парадоксы в квантовой механике

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

В начале ХХ века выяснилось, что классическая механика Ньютона имеет ограниченную область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она не приемлема при скоростях движения тел, сравнимых со скоростью света. Здесь ее заменила релятивистская механика, построенная на основе СТО и ОТО. Во-вторых, было обнаружено две группы явлений, свидетельствующих о неприменимости механики Ньютона и классической электродинамики к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установленной на опыте двойственной природой света - его дуализмом, т.е., проявлением светом свойств, как частицы, так и волны. Вторая группа явлений связана с невозможностью объяснить на основе классических представлений существования устойчивых атомов, а также их оптические спектры. Установления связи между этими группами явлений и попытки их объяснений и привели, в конечном счете, к открытию законов квантовой механики.

Первые квантовые представления были введены в 1900 г. М. Планком (M. Planck) при объяснении теплового излучения абсолютно чёрного тела, который предположил, что свет испускается не непрерывно. Как это следовало из классической теории излучения, а определенными дискретными порциями излучения - квантами. От работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся в 1927 г. окончательной формулировкой квантовой механики в двух ее формах.

Первое направление, основанное на представлении частиц в виде волны, представлено в нерелятивистской форме - в теории Шредингера (E. Schrodinger) и в релятивистской форме - в теории П. Дирака (P.A.M. Dirac). Вторая линия развития (также являющаяся обобщением теории Планка) была развита в работах Никольсона и Бора, которые применили идею квантования энергии к строению атома. Согласно модели Никольсона в центре атома находится положительно заряженное ядро, вокруг которого на квантованных орбитах вращаются отрицательно заряженные электроны в виде колец. В модели Бора электроны выглядели, как точечные элементарные частицы. Для объяснения устойчивости атома Бор предположил, что излучение фотонов электронами в атоме подчиняется квантовым законам, связанным с постоянной Планка. Таким образом, можно говорить о том, что квантовая механика - теория, устанавливающая способ описания и законы движения физических систем. Для которых величины, характеризующие систему и имеющие размерность действия, оказываются сравнимы с постоянной Планка:

,

или:

.

В настоящее время считается, что этому условию удовлетворяет движение элементарных частиц и макроквантовые эффекты в сверхтекучем гелии.

Физической основой квантовой механики являются постулаты о корпускулярно-волновом дуализме и принципе суперпозиции состояний. В этом случае теория движения микрочастиц учитывает наличие у них волновых свойств. Отказ от полностью детерминированного описания движения отдельной частицы и переход к вероятностному описанию, адекватному принципу суперпозиции состояний, позволяет совместить волновые и корпускулярные свойства материи. Однако подчеркнем, что в вероятностном описании квантовой механики лежит чуждое классической теории вероятности понятие амплитуды вероятности. Как любая теория, построенная на постулатах, квантовая механика породила и свои парадоксы. Некоторые из них по существу ставят в тупик развитие науки в целом. Например, длина волны де Бройля (первый парадокс):

где m - масса тела, v - его скорость.

Данное определение длинны волны являющаяся фундаментальным понятием квантовой механики и имеет смысл вероятности нахождения тела во всем объеме, определяемом . Если m - масса электрона, а v стремится к нулю, то электрон с определенной вероятностью можно найти в объеме, соизмеримом с галактикой. При этом, если будет произведена регистрация его в этом объеме, то электрон вынужден будет свернуться в регистрируемую точку с бесконечно большой скоростью. Таким образом, в квантовой механике автоматически вводится принцип дальнодействия. То есть, постулируется, что волна вероятности может распространяться с бесконечно большой скоростью.

Второй парадокс квантовой механики связан с возможностью одновременного нахождения элементарной частицы сразу в двух или более местах, то есть, наличие корреляции между различными измерениями в разных точках, разделенных пространственно подобными интервалами - парадокс Эйнштейна-Подольского-Розина. Он фактически также подразумевает скорость вероятности, значительно превышающую скорость света. Согласно соотношению неопределённости Гейзенберга, нет возможности одновременно точно измерить координату частицы и её импульс. Предполагая, что причиной неопределённости является то, что измерение одной величины вносит принципиально неустранимые возмущения в состояние и производит искажение значения другой величины, можно предложить гипотетический способ, которым соотношение неопределённостей можно обойти.

Допустим, две одинаковые частицы и образовались в результате распада третьей частицы . В этом случае, по закону сохранения импульса, их суммарный импульс должен быть равен исходному импульсу третьей частицы , то есть, импульсы двух частиц должны быть связаны. Это даёт возможность измерить импульс одной частицы () и по закону сохранения импульса рассчитать импульс второй (), не внося в её движение никаких возмущений. Теперь, измерив координату второй частицы, можно получить для этой частицы значения двух неизмеримых одновременно величин, что по законам квантовой механики невозможно. Исходя из этого, можно было бы заключить, что соотношение неопределённостей не является абсолютным, а законы квантовой механики являются неполными и должны быть в будущем уточнены.

Если же законы квантовой механики в данном случае не нарушаются, то измерение импульса одной частицы равносильно измерению импульса второй частицы. Однако это создаёт впечатление мгновенного воздействия первой частицы на вторую в противоречии с принципом причинности.

Для точности понимания следует ввести понятие соотношение неопределённости Гейзенберга. Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных измерений двух некоммутирующих наблюдаемых. Они справедливы как для идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана, так и для неидеальных измерений.

Согласно принципу неопределённостей у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение и скорость (импульс). Принцип неопределённости уже в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, применим и в случае, когда ни одна из двух крайних ситуаций (полностью определенный импульс и полностью неопределенная пространственная координата - или полностью неопределенный импульс и полностью определенная координата) не реализуется.

Пример: частица с определённым значением энергии, находящаяся в коробке с идеально отражающими стенками; она не характеризуется ни каким-либо определённым «положением» или пространственной координатой. Волновая функция частицы делокализована на всё пространство коробки, то есть ее координаты не имеют определенного значения, локализация частицы осуществлена не точнее размеров коробки, ни определённым значением импульса (учитывая его направление).

Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного измерения любой величины (для многомерных величин тут подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины. Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно измерить её координату (это ограничение называется стандартный квантовый предел для координаты).

Соотношение неопределенностей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие некоего свойства преобразования Фурье.

Существует точная количественная аналогия между соотношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может одновременно иметь и точное значение времени его фиксации, как его имеет очень короткий импульс, и точного значения частоты, как это имеет место для непрерывного (и в принципе бесконечно длительного) чистого тона (чистой синусоиды). Временноме положение и частота волны математически полностью аналогичны координате и (квантово-механическому) импульсу частицы. Что совсем не удивительно, если вспомнить, что:

,

то есть импульс в квантовой механике - это и есть пространственная частота вдоль соответствующей координаты.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало, и поэтому соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне реальных практических погрешностей наших приборов или органов чувств.

Таким образом, сформулируем принцип неопределенности Гейзенберга. Если имеется несколько (много) идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности - это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического отклонения координаты и среднеквадратического отклонения импульса, мы найдем что:

,

где h - приведённая постоянная Планка.

Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей - состояние может быть таким, что может быть измерен с высокой точностью, но тогда будет известен только приблизительно, или наоборот может быть определён точно, в то время как - нет. Во всех же других состояниях и , и могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

Третий парадокс - нелокальное воздействие на частицу, эффект Ааронова-Бома. Здесь движение частицы не определяется локальным действием на него силовых полей, т.е. электрон также размыт в пространстве по вероятности и интерферирует сам с собой. Основным недостатком квантовой механики, также как и классической является возможность точного аналитического решения только для системы двух взаимодействующих тел. Точных аналитических решений для системы из трех или более тел уравнение Шредингера не имеет. Фактически единственными точными решениями уравнения Шредингера являются осциллятор и водородоподобный атом. Уже при переходе к описанию энергетического состояния гелия и, тем более, других атомов, возникли непреодолимые математические сложности, аналогичные ньютоновскому описанию движения планет в солнечной системе. Поэтому, также были разработаны приближенные методы квантовой механики - теория возмущений. С помощью этой теории приближенно удалось рассчитать спектры атомов и молекул. Но на этом квантовая механика себя исчерпала. В рамках квантовой механики была предпринята попытка Великого объединения, т.е. объединить четыре известных взаимодействия: сильное, слабое, электромагнитное и гравитационное, представив их квантовыми полями. Здесь поле представляет собой своеобразный синтез понятия классического поля типа электромагнитного и поля вероятности квантовой механики. По современным представлениям квантовое поле является наиболее фундаментальной и универсальной формой материи, лежащей в основе всех ее конкретных проявлений. Тем самым, возник новый физический объект - квантовое поле, удовлетворяющее уравнениям классической электродинамики, но имеющее своими значениями квантово-механические операторы. Однако и здесь, как и в целом в квантовой механике, возникли серьезные математические трудности, по существу связанные с неадекватностью используемой картины мира с существующей. В существующих курсах и учебниках по физике, астрономии и космологии в большинстве случаев отсутствует постановка проблемы парадоксов и необходимости их решения. Без понимания этого невозможно говорить о развитии астрономии и классической физики как науки дальше.

Четвертый парадокс - дифракция электронов - процесс рассеяния электронов на совокупности частиц вещества, при котором электрон проявляет волновые свойства. Данное явление называется корпускулярно-волновым дуализмом, в том смысле, что частица вещества(в данном случае взаимодействующие электроны) может быть описана, как волна.

При выполнении некоторых условий, пропуская пучок электронов через материал можно зафиксировать дифракционную картину, соответствующую структуре материала. Поэтому процесс дифракции электронов получил широкое применение в аналитических исследованиях различных материалов. Методы изучения строения вещества, основанные на рассеянии ускоренных электронов на исследуемом образце, иногда называют электронографией. Электронография схожа с рентгеноструктурным анализом и нейтронографией. Гипотеза де Бройля, сформулированная в 1924 году предсказала, что частицы также как и фотоны должны иметь волновой характер. Формула де Бройля была подтверждена тремя годами позднее для электронов (которые имеют массу покоя) с наблюдением электронной дифракции в двух независимых экспериментах Томсона и Джозефа Дэвиссона, за которые они впоследствии получили Нобелевскую премию по физике.

Пятый парадокс - Парадокс Клейна - возникает при рассмотрении задачи о туннелировании релятивистской частицы через высокий потенциальный барьер. При решении уравнения Дирака вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер, высота которого больше, чем удвоенная энергия покоя частицы, стремится к единице, независимо от высоты барьера.

Общепринятое объяснение парадокса лежит в плоскости квантовой теории поля. Так, уравнение Дирака описывает не движение отдельной частицы, а эволюцию во времени квантового поля, в котором будут присутствовать и античастицы. Поэтому при наличии сильных полей будет происходить рождение пар и вновь родившиеся частицы могут возникать и за барьером.

75-летний парадокс был рассмотрен численно в 2004 году физиками из университета Иллинойса. С использованием компьютерного моделирования в квантовой теории поля было показано, что электрон полностью отражается от барьера, а в барьере создаются электрон-позитронные пары.

Шестой парадокс - квантовый эффект Зенона (квантовый парадокс Зенона) - метрологический парадокс квантовой механики, заключающийся в том, что время распада метастабильного квантового состояния некоторой системы с дискретным энергетическим спектром прямо зависит от частоты событий измерения её состояния. В предельном случае нестабильная частица в условиях частого наблюдения за ней никогда не может распасться.

Впервые предсказан в 1954 году Аланом Тьюрингом, позже, в 1957 году, советским физиком Леонидом Халфиным; в 1978 году американские физики Байдьянат Мизра и Джордж Сударшан описали эффект, назвав его именем древнегреческого мыслителя Зенона Элейского. Название эффекта восходит к апории Зенона о полёте стрелы.

Квантовый эффект Зенона для вероятности переходов между атомными уровнями (сверхтонкое расщепление основного состояния пяти тысяч ионов 9Be+, накопленных в ловушке Пеннинга и охлаждённых до 250 мК) был экспериментально обнаружен в конце 1989 года Дэвидом Вайнлендом и его группой в Национальном институте стандартов и технологий(Боулдер, США). Приложение радиочастотного резонансного поля переводило атомы в верхнее состояние двухуровневой системы; однако когда одновременно с этим измерялось состояние атомов с помощью УФ излучения, переход в возбуждённое состояние подавлялся в хорошем соответствии с теоретическим предсказанием.

Рассматривая историю развития квантовой механики, невозможно пройти мимо одного из ее основателей Эрвина Рудольфа Йозефа Александра Шрёдингера, австрийского физика-теоретика. Наибольшую популярность получил его знаменитый эксперимент с кошкой. В оригинальной статье Шрёдингера эксперимент описан так: «Можно построить и случаи, в которых довольно бурлеска. Некий кот заперт в стальной камере вместе со следующей адской машиной (которая должна быть защищена от прямого вмешательства кота): внутри счётчика Гейгера находится крохотное количество радиоактивного вещества, столь небольшое, что в течение часа может распасться только один атом, но с такой же вероятностью может и не распасться; если же это случится, считывающая трубка разряжается и срабатывает реле, спускающее молот, который разбивает колбочку с синильной кислотой. Если на час предоставить всю эту систему самой себе, то можно сказать, что кот будет жив по истечении этого времени, коль скоро распада атома не произойдёт. Первый же распад атома отравил бы кота. Пси-функция системы в целом будет выражать это, смешивая в себе или размазывая живого и мёртвого кота (простите за выражение) в равных долях.

Типичным в подобных случаях является то, что неопределённость, первоначально ограниченная атомным миром, преобразуется в макроскопическую неопределённость, которая может быть устранена путём прямого наблюдения. Это мешает нам наивно принять «модель размытия» как отражающую действительность. Само по себе это не означает ничего неясного или противоречивого. Есть разница между нечётким или расфокусированным фото и снимком облаков или тумана».

Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдение, то его состояние описывается суперпозицией (смешением) двух состояний - распавшегося ядра и нераспавшегося ядра, следовательно, кот, сидящий в ящике, и жив, и мёртв одновременно. Если же ящик открыть, то экспериментатор может увидеть только какое-нибудь одно конкретное состояние - «ядро распалось, кот мёртв» или «ядро не распалось, кот жив».

Вопрос стоит так: когда система перестаёт существовать как смешение двух состояний и выбирает одно конкретное? Цель эксперимента - показать, что квантовая механика неполна без некоторых правил, которые указывают, при каких условиях происходит коллапс волновой функции, и кот либо становится мёртвым, либо остаётся живым, но перестаёт быть смешением того и другого. волновой суперпозиция квантовый гейзенберг

Поскольку ясно, что кот обязательно должен быть либо живым, либо мёртвым (не существует состояния, промежуточного между жизнью и смертью), то это будет аналогично и для атомного ядра. Оно обязательно должно быть либо распавшимся, либо нераспавшимся.

Оригинальная статья вышла в 1935 году. Целью статьи было обсуждение ЭПР парадокса, опубликованного Эйнштейном, Подольским и Розеном ранее в том же году. Статьи ЭПР и Шредингера обозначили странную природу «квантовой запутанности» (нем. Verschrankung, англ. quantum entanglement, введенный Шредингером термин), характерной для квантовых состояний, являющихся суперпозицией состояний двух систем (например, двух субатомных частиц). В копенгагенской интерпретации система перестаёт быть смешением состояний и выбирает одно из них в тот момент, когда происходит наблюдение. Эксперимент с котом показывает, что в этой интерпретации природа этого самого наблюдения - измерения - определена недостаточно. Некоторые полагают, что опыт говорит о том, что до тех пор, пока ящик закрыт, система находится в обоих состояниях одновременно, в суперпозиции состояний «распавшееся ядро, мёртвый кот» и «нераспавшееся ядро, живой кот», а когда ящик открывают, то только тогда происходит коллапс волновой функции до одного из вариантов. Другие догадываются, что «наблюдение» происходит, когда частица из ядра попадает в детектор; однако (и это ключевой момент мысленного эксперимента) в копенгагенской интерпретации нет чёткого правила, которое говорит. Когда это происходит, и потому эта интерпретация неполна до тех пор, пока такое правило в неё не введено, или не сказано, как его можно ввести. Точное правило таково: случайность появляется в том месте, где в первый раз используется классическое приближение.

Таким образом, мы можем опираться на следующий подход: в макроскопических системах мы не наблюдаем квантовых явлений (кроме явления сверхтекучести и сверхпроводимости); поэтому, если мы накладываем макроскопическую волновую функцию на квантовое состояние, мы из опыта должны заключить, что суперпозиция разрушается. И хотя не совсем ясно, что значит, что нечто является «макроскопическим» вообще, про кота точно известно, что он является макроскопическим объектом. Таким образом, копенгагенская интерпретация не считает, что до открытия ящика кот находится в состоянии смешения живого и мёртвого.

Многомировая интерпретация Эверетта и совместные истории. В многомировой интерпретации квантовой механики, которая не считает процесс измерения чем-то особенным, оба состояния кота существуют, но декогерируют. Когда наблюдатель открывает ящик, он запутывается с котом и от этого образуются два соответствующие живому и мёртвому коту состояния наблюдателя, которые не взаимодействуют друг с другом. Тот же механизм квантовой декогеренции важен и для совместных историй. В этой интерпретации только «мёртвый кот» или «живой кот» могут быть в совместной истории. Другими словами, когда ящик открывается, Вселенная расщепляется на две разные вселенные, в одной из которых наблюдатель смотрит на ящик с мёртвым котом, а в другой - наблюдатель смотрит на живого кота. Космолог Макс Тегмарк предложил вариацию опыта с котом Шрёдингера под названием «машина для квантового самоубийства». Он рассматривает эксперимент с котом с точки зрения самого кота и утверждает, что таким образом можно экспериментально различить копенгагенскую и многомировую интерпретации. Другая вариация эксперимента - это опыт с другом Вигнера. Физик Стивен Хокинг однажды воскликнул: «Когда я слышу про кота Шрёдингера, моя рука тянется за ружьём!» Он перефразировал известное высказывание, принадлежащее одному из героев пьесы «Шлагетер» Ганса Йоста: «Wenn ich 'Kultur' hore, entsichere ich meinen Browning!» («Когда я слышу слово „культура“, то снимаю с предохранителя свой браунинг!») Фактически Хокинг и многие другие физики придерживаются мнения, что «Копенгагенская школа» интерпретации квантовой механики подчёркивает роль наблюдателя безосновательно. Окончательного единства среди физиков по этому вопросу всё ещё не достигнуто. Распараллеливание миров в каждый момент времени соответствует подлинному недетерминированному автомату в отличие от вероятностного, когда на каждом шаге выбирается один из возможных путей в зависимости от их вероятности.

Таким образом, можно говорить, что квантовая механика - раздел, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине спостоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики. Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием повседневных объектов, квантовые эффекты в основном проявляются только в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику. В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля.

Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать все явления на уровне молекул, атомов, электронов и фотонов. Квантовая механика адекватно описывает основные свойства и поведение атомов, ионов, молекул, конденсированных сред, и других систем с электронно-ядерным строением. Квантовая механика также способна описывать поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц, однако более точное релятивистски инвариантное описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики.

Основными понятиями квантовой кинематики являются понятия наблюдаемой и состояния.

Основные уравнения квантовой динамики - уравнение Шрёдингера, уравнение фон Неймана, уравнение Линдблада, уравнение Гейзенберга и уравнение Паули.

Уравнения квантовой механики тесно связаны со многими разделами математики, среди которых: теория операторов, теория вероятностей, функциональный анализ, операторные алгебры, теория групп.

Размещено на Allbest.ru