Класична та умовна симетрія нелінійних хвильових рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

КЛАСИЧНА ТА УМОВHА СИМЕТРІЯ HЕЛІHІЙHИХ ХВИЛЬОВИХ РІВHЯHЬ

Подошвелев Юрій Георгійович

УДК 517.9

01.01.03 - математична фізика

Київ - 2001

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

СЄРОВ Микола Іванович,

завідувач кафедри вищої математики

Полтавського Технічного університету

імені Юрія Кондратюка

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

КЛІМИК Анатолій Ульянович

професор, зав. Відділом

Інституту теоретичної фізики

ім. М.М. Боголюбова НАН України

доктор фізико-математичних наук

ЦИФРА Іван Михайлович

провідний науковий співробітник

Інституту геофізики

ім. С.I. Суботіна НАН України

Провідна установа:

Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б. І. Вєркіна НАН України (м. Харків)

Захист відбудеться 03.04.2001 р. о 15.00

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01

в Інституті математики НАН України за адресою:

01601 Київ-4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці

Інституту математики НАН України.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Романюк А.С.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Принципи симетрії відіграють фундаментальну роль у природознавстві. Зокрема, симетрія лежить в основі законів збереження енергії, імпульсу, моменту кількості руху, котрі є наслідком однорідності, ізотропності чотиривимірного простору-часу. Симетрію в математичній і теоретичній фізиці розглядають як принцип, за допомогою якого з множини допустимих моделей (рівнянь, співвідношень) реальних процесів відбираються найбільш адекватні. Усі основні рівняння математичної фізики (рівняння Лапласа, Д'Аламбера, Шредінгера, Ліувілля, Дірака, Максвела і т.д.) інваріантні відносно достатньо широких груп перетворень.

Однією з центральних проблем сучасного теоретико-групового аналізу диференціальних рівнянь є розробка ефективних алгоритмів побудови широких класів точних розв'язків нелінійних багатовимірних диференціальних рівнянь із частинними похідними. Оскільки переважна більшість диференціальних рівнянь, які зустрічаються в застосуваннях, мають широку симетрію, то базовим принципом при розробці таких алгоритмів є застосування ідеї редукції. Найбільш широко вживаним є метод симетрійної редукції, який запропонував Софуc Лі наприкінці минулого сторіччя. Основною ідеєю цього методу є редукція диференціального рівняння з частинними похідними до диференціальних рівнянь з меншою кількістю незалежних змінних за допомогою спеціальних підстановок -- анзаців. Фундаментальне відкриття С. Лі полягало в тому, що складні нелінійні умови інваріантності диференціальних рівнянь відносно перетворень із групи, можна у випадку неперервних груп замінити еквівалентними, але більш простими лінійними умовами, котрі відображують ”інфінітезимальну інваріантність” диференціальних рівнянь відносно складових цієї групи. Майже для кожної, важливої з точки зору фізики, системи диференціальних рівнянь ці умови інфінітезимальної симетрії -- так звані визначальні рівняння повної групи симетрії системи -- можна розв'язати в замкнутому вигляді, і, таким чином, найбільш загальна група неперервних симетрій системи може бути визначена явно.

Коли знайдена повна група симетрій системи диференціальних рівнянь, то процедура побудови повної (у деякому сенсі) множини нееквівалентних анзаців зводиться до інтегрування інволютивних систем диференціальних рівнянь із частинними похідними першого порядку. Симетрія диференціальних рівнянь застосовується для:

1. знаходження інваріантних розв'язків;

2. розмноження розв'язків;

3. класифікації диференціальних рівнянь відносно даної групи перетворень;

4. знаходження законів збереження, інтегралів руху і т.д.

На початку 90-х років обмеженість класичного підходу Лі стала загально-очевидною, оскільки існували приклади редукцій диференціальних рівнянь, які не можна було одержати в рамках цього підходу. Крім того, методи теорії Лі не є досить ефективними для дослідження диференціальних рівнянь із вузькою симетрією. Ці та ряд інших проблем стимулювали пошук узагальнених підходів до побудови точних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь.

Перші кроки в напрямку введення поняття умовної симетрії були зроблені Блюменом і Коулом ще у 1969 році. Проте, нетривіальні приклади таких симетрій для нелінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними з'явились значно пізніше в роботах П. Олвера.

У роботах В. І. Фущича та його учнів М. І. Сєрова, І.М. Цифри й інших, була запропонована концепція умовної симетрії диференціальних рівнянь, в рамках якої були побудовані широкі класи розв'язків, котрі не можна отримати в рамках класичного підходу.

Після введення умовної симетрії, актуальною стала задача дослідження з цієї точки зору всіх основних диференціальних рівнянь математичної фізики та їх узагальнень.

Зв'язок роботи з науковими програмами, темами. Робота проводилась згідно із загальним планом відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України (науково-дослідна робота “Аналітичні та симетрійні методи дослідження диференціальних моделей математичної фізики", № держреєстрації 0198U001993). Дисертацію присвячено симетрійній класифікації, редукції та побудові точних розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь і їх систем гіперболічного типу. При цьому використовувалися класичний метод Лі, та метод умовних симетрій.

Мета і задачі роботи. Метою даної роботи є застосування класичного методу симетрійної редукції та методу умовних симетрій для класифікації, пошуку інваріантів, проведення редукції та знаходження точних розв'язків нелінійних хвильових диференціальних рівнянь.

Методика досліджень. В роботі використовуються теоретико-алгебраїчні методи математичної фізики та методи теорії диференціальних рівнянь.

Наукова новизна. Основні результати, отримані в дисертації, наступні:

1. За допомогою ізоморфізму алгебри AC(m, k) до алгебри Лоренцa AO(m+1, k+1), при m=k=1,2 були знайдені інваріанти цієї алгебри. Їх використання дало змогу редукувати рівняння Д'Аламбера та систему рівнянь ейконалу і знайти їх точні розв'язки.

2. Запропоноване узагальнення нелінійного рівняння Д'Аламбера, яке описує нелінійні хвильові процеси у випадку циліндричної симетрії. Встановлені умови, при яких воно залишається інваріантним відносно конформної алгебри. На відміну від класичного узагальнення, при вимозі конформної інваріантності, показник степеня нелінійності не залежить від розмірності самого рівняння.

3. Побудовані формули розмноження розв'язків циліндрично-симетричного рівняння Д'Аламбера.

4. Проведена класифікація нелінійностей, при яких зберігається інваріантність відносно алгебри Галілея узагальненої системи рівнянь Бюргерса.

5. Досліджена умовна інваріантність узагальненої системи рівнянь ейконалу, яка використана для побудови його точних розв'язків.

6. Проведене повне дослідження Q-умовної симетрії нелінійного одновимірного хвильового рівняння акустики. Для даного рівняння знайдені нові оператори Q-умовної симетрії, на основі яких побудовані його точні розв'язки в неелементарних функціях.

7. Проведене досліджена Q-умовної симетрії нелінійного двовимірного хвильового рівняння акустики як відносно одного оператора, так і відносно системи двох операторів. Знайдені оператори використані при побудові анзаців та знаходженні його точних розв'язків.

8. Знайдені ряд операторів умовної симетрії класичного узагальнення рівняння Д'Аламбера. За допомогою цих операторів побудовано інваріанти, проведена редукція та знайдені точні розв'язки.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані результати є новими і можуть бути використані при розв'язуванні ряду конкретних задач гідродинаміки й акустики, а також теорії диференціальних рівнянь із частинними похідними.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності та постановка задач належать науковому керівнику -- М. І. Сєрову. Доведення всіх результатів дисертації проведене особисто автором.

Апробація роботи. Результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на семінарах відділу прикладних досліджень Інституту математики НАН України, на ІI Міжнародній конференції “Асимптотичні та якісні методи теорії нелінійних коливань” (Київ, 1997), на II Міжнародній конференції “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, 1997), на ІІІ Боголюбовських читаннях (Київ, 1997).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-6].

Структура і обсяг роботи. Робота викладена на 112 сторінках, складається зі вступу, двох розділів, висновків, списку літератури, що містить 106 найменувань.

симетрія нелінійний диференціальний рівняння

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність і важливість теми дисертації, розкриваються напрямки досліджень.

У першому розділі здійснено пошук інваріантів конформних алгебр AC(1, 1) та AC(2, 2). Основна складність при їх знаходженні полягає в тому, що не існує загальних методів розв'язування систем нелінійних диференціальних рівнянь, котрі виникають у ході пошуку. Цю проблему вдалося розв'язати, використавши ізоморфізм між конформною алгеброю AC(m, k) та алгеброю Лоренца AO(m+1, k+1). Знайдені інваріанти, застосовні при знаходженні точних розв'язків диференціальних рівнянь та систем, які володіють відповідною симетрією. Розділ містить нелінійне узагальнення рівняння Д'Аламбера, яке є інваріантним відносно конформної алгебри AC(1, n-1) На відміну від класичного узагальнення, при вимозі конформної інваріантності, показник степеня не залежить від розмірності самого рівняння. Також у розділі висвітлюється розв'язок задачі про симетрійну класифікацію узагальненої системи рівнянь Бюргерса для двох функцій ua =ua (x0, x1, x2) a=1,2 Встановлено, що при найширшій симетрії дана система може бути зведена за допомогою елементарних перетворень до нелінійного узагальнення рівняння Шредінгера.

У підрозділі 1.1 досліджується конформна алгебра АС(1, 1) з базисними операторами

<¶a, Jab=xa¶b-xb¶a, D=xa¶a+ x2¶2 +0,5(N+1)u ¶u, Ka=2xaD-(xbxb-x22)¶a>, (1)

де a,--b,--g--- довільна константа. Інваріантами конформної алгебри (1) будуть перші інтеграли системи диференціальних рівнянь Лагранжа-Ейлера:

dx0 /x0= dx1 /x1= dx2 /x2=du/h, (2)

де xm=xm(x, u), h=h(x, u) -- координати інфінітезимального оператора алгебри (1). Основна складність полягає в тому, що не існує загальних методів розв'язування систем вигляду (2). Але дану систему можна звести до лінійної, використовуючи ізоморфізм між конформною алгеброю AC(m, k) та алгеброю Лоренца AO(m+1, k+1). У випадку m=k=1 вона розпадається на дві підсистеми: перша з них а друга в матричній формі має вигляд

(3)

Вигляд розв'язків системи (3) залежить від коренів характеристичного рівняння det[A-lE] (E -- одинична матриця) та рангу матриці A-?E. Знайдені дев'ять нееквівалентних розв'язків системи (2), які використані при пошуку інваріантів w1, w2.

У підрозділі 1.2 із метою знаходження інваріантів конформної алгебри АС(2,2) з базисними операторами:

<¶A, JAB=xA¶B-xB¶A, D=xA¶A, KA=2xAD-xBxB¶A>,

де A,B=0,1,2,3, застосовується підхід, розглянутий у підрозділі 1.1 даного розділу. Щоб розв'язати нелінійну систему звичайних диференціальних рівнянь Лагранжа-Ейлера типу (2), скористаємося ізоморфізмом між алгебрами AC(2, 2) та AO(3, 3)=<Jab>, a,b=1…6. При ізоморфному переході отримаємо лінійну однорідну систему, котра в матричній формі матиме вигляд (3), причому матриці Z і A мають розмірності 6ґ1 і 6ґ6 відповідно. В даному випадку у зв'язку з великою розмірністю системи (3) виникають значні ускладнення при її розв'язуванні. Даний підрозділ містить повне дослідження цієї системи і встановлено, що існує п'ятнадцять нееквівалентних випадків її розв'язків. За допомогою цих розв'язків знаходяться інваріанти алгебри AC(2,2k).

Відомо, що нелінійне узагальнення рівняння Д'Аламбера

u=F(x, u) (4)

інваріантне відносно алгебри AC(1, n) якщо F=lu(n+3)/(n-1), n№1. У підрозділі 1.3 розглянуто рівняння

u+Nun/xn =F(u), (5)

яке описує нелінійні хвильові процеси у випадку циліндричної симетрії. Встановлено умови, при яких рівняння (5) конформно-інваріантне. Доведена наступна теорема.

Теорема 1. Рівняння (5) при N№0 інваріантне відносно конформної алгебри AC(1, n-1):

<¶a, Jab=xa¶b-xb¶a, D=xa¶a+ xn¶n +0,5(1-n-N)u ¶u, Ka=2xaD-(xbxb-x2n)¶a>,

тоді і тільки тоді, коли

F=luk, N=1-n+4/(k-1), k№1 (6)

де l i k- довільні константи.

У випадку n=2 і за умови (6) симетрія рівняння (5) застосована для знаходження його точних розв'язків. Наведемо деякі з них:

u(x)=(-l(k-1)2(x2-x21+1)2/8(k+1))1/(1-k), k№1

u(x)=(-l(k-1)2{(x2-x21+1)2+4(bx)2}/16)1/(1-k), k№1.

Одержані розв'язки розмножуються за допомогою перетворень інваріантності рівняння (5). Ці перетворення є такими:

де -- довільні сталі.

В середовищі з дисипацією рівняння Бюргерса

u0+uu1=u11, (7)

описує поведінку квазіпростої хвилі. Слід зазначити, що рівняння (7), як відомо, нелокальною заміною Коула-Хопфа зводиться до лінійного рівняння теплопровідності, симетрія якого досить відома.

У підрозділі 1.4 розглянуто узагальнення рівняння (7) на випадок двох функцій ua =ua (x0, x1, x2) a=1,2 наступною системою:

u10+u1u11+u2u12=F1(Du1, Du2),

u20+u1u21+u2u22=F2(Du1, Du2), (8)

де F1, F2 -- деякі гладкі функції, F1№constant, F2?constant, D-- оператор Лапласа. Наступна теорема визначає симетрію системи (8) у залежності від вигляду функцій F1, F2.

Теорема 2. Максимальна алгебра інваріантності системи рівнянь (8) визначається наступними операторами:

якщо F1, F2 -- довільні гладкі функції;

-- деякі константи, які одночасно не дорівнюють нулю;

якщо

де j a -- довільні гладкі функції;

n, la -- довільні сталі, a=0,1,2.

Другий розділ дисертації присвячений дослідженню умовної симетрії нелінійного рівняння Д'Аламбера, рівняння акустики та системи рівнянь ейконалу. Одержані симетрії даних рівнянь застосовані для побудови їх точних розв'язків.

Одним з основних рівнянь геометричної оптики, а також рівнянням характеристик для хвильового рівняння є рівняння ейконалу

umum=m, (9)

де u=u(x), m=0…n; m -- довільна стала. В літературі детально вивчені симетрійні властивості цього рівняння, проведена редукція та побудовані класи його точних розв'язків. Зокрема, відомо, що рівняння (9) інваріантне відносно конформної алгебри AC(1, n+1) при m=1, а відносно алгебри AC(2, n) при m=-1. Дія цих алгебр визначена в n+1--вимірному просторі Пуанкаре-Мінковського R(1, n+1).

У підрозділі 2.1 розв'язана задача узагальнення рівняння (9) на випадок системи рівнянь для функцій u1, u2. Доведені наступні твердження.

Теорема 3. Максимальною алгеброю інваріантності систем рівнянь

u1mu1,m=1,

u2mu2,m=-1, (10)

u1mu1,m=1,

u2mu2,m=-1, (11)

є розширена алгебра Пуанкаре яка породжується операторами

<¶m, ¶u1, ¶u2, Jmn=xm¶n-xn¶n, D=xm¶m+ua¶ua>,

Теорема 4 Система рівнянь (10) при додатковій умові

u1mu2,m=0, (12)

умовно інваріантна відносно конформної алгебри AC(2, n+1) з операторами

<¶A, JAB=xA¶B-xB¶A, D=xA¶A, KA=2xAD-xBxB¶A>, (13)

де xn+1єu1, xn+2єu2, A,B=0…n+2, причому метричний тензор gAB має сигнатур (+, +, -, …, -, -).

Теорема 5. Система рівнянь (11) при додатковій умові (12) умовно інваріантна відносно конформної алгебри AC(3, n) з операторами (13), причому сигнатура метричного тензора gAB має вигляд (+, +, +, -, …, -).

У випадку n=1 система рівнянь (10), при умові (12), має вигляд

(u10)2+(u11)2=1,

(u20)2+(u21)2=-1, (14)

u10u20-u11u21=0.

Симетрія системи (14) застосована для знаходження її точних розв'язків. Наведемо деякі з них:

w-amxm=m1(z-bmxm),

aAxA=m2(z-bmxm);

де w, z -- інваріанти конформної алгебри AC(2, 2), am, bm, m1, m2 -- довільні сталі.

У підрозділі 2.2 розглянуте нелінійне одновимірне хвильове рівняння

u00=uu11, (15)

яке описує реальні процеси акустики. Використовуючи вимогу Q-умовної інваріантності рівняння (15), котра має вигляд:

де -- продовження оператора Q, r1, r2 -- деякі функції, отримано як відомі, так і деякі інші оператори Q-умовної інваріантності даного рівняння. Справедливі наступні теореми.

Теорема 6. Рівняння (15) Q-умовно інваріантне відносно операторів:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

де I1=тdx0 /Г2, Г(x0)- функція Вейєрштрасса, L(x0)- функція Ламе; k, ci, - довільні сталі.

Теорема 7. Рівняння (15) Q-умовно інваріантне відносно оператора

якщо функція ?(x0) -- розв'язок рівняння c -- довільна стала.

Оператори, що визначаються теоремами 6, 7, застосовані при знаходженні точних розв'язків рівняння (15); випишемо деякі з них:

u=0,5x2Г(x0)+c1x1L1(x0)тdx0 /L1(x0)+c2L1(x0)-L(x0),

u=[(c1x1+lc2)ch(lI2)+ (c2x1+lc1)sh(lI2)]t+(0,5x2+c)Г(x0)-L(x0), c<0,

I2=тdx0 /t2, l=|c|1/2.

У підрозділі 2.3 досліджується Q-умовна симетрія двовимірного нелінійного хвильового рівняння акустики

u00=u(u11+u22) (16)

Дослідження проведено як відносно одного оператора

Q=A(x, u)¶0+Ba(x, u)¶a+C(x, u)¶u,

так і відносно двовимірної алгебри операторів

Qa=Aa(x, u)¶0+Bab(x, u)¶a+Ca(x, u)¶u,

де a,b=1,2. Одержані оператори Q, Qa використані при побудові анзаців та знаходженні точних розв'язків рівняння (16).

Підрозділ 2.4 містить дослідження умовної симетрії рівняння (16) при n=1, якщо додатковою умовою є система двох рівнянь

umum=G(w, u), Qu=0, (17)

Q=am¶m+H(w, u)¶u, (18)

G, H-- довільні гладкі функції, w=ax; am -- довільний сталий вектор, m=0,1.

Теорема 8. Рівняння (16) інваріантне відносно оператора (18) при умові (17), якщо функції F, G, H задовольняють систему

Hw+0,5Gu=F, a2Gw+HGu-2(GHu+HHw)=0. (19)

Застосовано метод Фур'є для пошуку розв'язків системи (19), які використані при знаходженні точних розв'язків (16).

У висновках коротко сформульовано основні результати дисертації.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі знайдені інваріанти конформної алгебри AC(m, k) при m=k=1,2. Їх використання дало змогу редукувати нелінійне циліндрично-симетричне хвильове рівняння та систему рівнянь ейконалу для двох функцій і знайти їх точні розв'язки.

Запропоноване нелінійне узагальнення рівняння Д'Аламбера яu+Nun/xn =F(u), яке описує нелінійні хвильові процеси у випадку циліндричної симетрії. Встановлено, що при F=luk, N=1-n+4/(k-1), де l i k№1 -- довільні константи, воно є інваріантним відносно конформної алгебри AC(1, n-1). На відміну від класичного узагальнення, при вимозі конформної інваріантності, показник степеня нелінійності не залежить від розмірності самого рівняння. У випадку n=2 симетрію нелінійного циліндрично-симетричного хвильового рівняння використано при побудові точних розв'язків та формул їх розмноження.

Проведена симетрійна класифікація нелінійного узагальнення системи рівнянь Бюргерса для двох функцій ua =ua (x0, x1, x2) a=1,2. Встановлено, що при найширшій симетрії дана система може бути зведена за допомогою елементарних перетворень до нелінійного узагальнення рівняння Шредінгера.

Досліджена умовна інваріантність узагальненої системи рівнянь ейконалу, яка використана для побудови його точних розв'язків.

Досліджена Q-умовна інваріантність нелінійних одно- та двовимірного рівнянь акустики. Для них знайдено нові точні розв'язки в неелементарних функціях.

Знайдено ряд операторів умовної симетрії для класичного узагальнення рівняння Д'Аламбера. За допомогою цих операторів побудовано інваріанти, проведена редукція та знайдені точні розв'язки.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В НАСТУПНИХ РОБОТАХ:

1. Фущич В.І., Сєров M.I., Подошвелев Ю.Г. Конформна симетрія нелінійного циліндрично-симетричного хвильового рівняння // Доп. НАН України. -- 1998. -- № 4. -- С. 64-68.

2. Сєров М.І. Подошвелев Ю.Г. Глєба А.В. Симетрійні властивості систем рівнянь Гамільтона // Міжнародна конференція "ASYM-97", Київ 1997. -- С. 157-158.

3. Фущич B.I., Сєров M.I., Подошвелев Ю.Г. Конформна інваріантність системи рівнянь ейконалу // Доп. НАН України. -- 1999. -- №.1 -- С. 43-47.

4. Сєров M.I., Подошвелев Ю.Г. Умовна симетрія квазілінійного хвильового рівняння відносно конформної алгебри // Доп. НАН України. -- 1999. -- №12. -- С. 35-38.

5. Podohvelev Y.G. The symmetry of generalized Burgers system // Proc. of the Second Intern. Conf. "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics". -- Kyiv, 1997. -- V.2. -- P. 470-472.

6. Подошвелев Ю.Г. Q-умовна інваріантність рівняння акустики // Праці Інституту математики НАН України. -- Київ, 1998. -- т. 19. -- С. 174-177.

ПОДОШВЕЛЕВ Ю.Г. Класична та умовна симетрія нелінійних хвильових рівнянь. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 -- математична фізика. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2001.

Захищається дисертація, присвячена дослідженню симетрійних властивостей нелінійних хвильових рівнянь.

Проведена класифікація ряду хвильових рівнянь відносно конформних алгебр. Досліджені їх симетрийні властивості. Ліївська та умовна симетрії були використані для знаходження інваріантів конформних алгебр AC(1, 1), AC(2, 2). За допомогою інваріантів були побудовані анзаци і проведена редукція цих рівнянь до звичайних диференціальних рівнянь або до диференціальних рівнянь в частинних похідних із меншою кількістю змінних. Знайдені нові класи точних розв'язків деяких рівнянь математичної фізики, а також побудовані формули розмноження розв'язків.

Ключові слова: симетрія, інваріантність, алгебра Лі, алгебра Галілея, алгебра Пуанкаре, конформна алгебра, нелінійний, рівняння, система, розв'язок, інваріант, анзац, редукція, оператор.

ПОДОШВЕЛЕВ Ю.Г. Классическая и условная симметрия нелинейных волновых уравнений. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 -- математическая физика. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2001.

Защищается диссертация, посвященная исследованию симметрийных свойств нелинейных волновых уравнений.

Проведена классификация ряда волновых уравнений относительно конформных алгебр. Исследованы их симметрийные свойства. Лиевская и условная симметрии были использованы для нахождения инвариантов конформных алгебр AC(1, 1) и AC(2, 2). С помощью инвариантов были построены анзацы и проведена редукция этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям или к дифференциальным уравнениям в частных производных с меньшим количеством переменных. Найдены новые классы точных решений некоторых уравнений математической физики, а также построены формулы размножения решений.

Ключевые слова: симметрия, инвариантность, алгебра Ли, алгебра Галилея, алгебра Пуанкаре, конформная алгебра, нелинейный, уравнения, система, решение, инвариант, анзац, редукция, оператор.

PODOSHVELEV Y.G. Classical and Conditional Symmetry of Nonlinear wave Equations. -- Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences, speciality 01.01.03 -- mathematical physics. -- Institute of Mathematics National Academy of Sciences, Kyiv, 2001.

This thesis is devoted to investigation of symmetry properties of nonlinear wave equations. The classification of a number of wave equations was conducted with respect conformal algebras. The symmetry properties were investigated. Lie's and conditional summaries were used for finding invariants of the conformal algebras AC(1, 1) and AC(2, 2). These invariants were used for building anzatses and reduction equations to ordinary or partial differential equations with a lesser number of unknown values. New classes of exact solutions of some equations and formulae of generating solutions are received.

Key words: symmetry, invariance, Lie algebra, algebra of Galilei, algebra of Poincare, conformal algebra, nonlinear, equation, system, solution, invariant, anzats, reduction, operator.

Размещено на Allbest.ru