Размещено на http:www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный горный институт

им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра механики

Расчетно-графическая работа №2

Вариант - 16

По дисциплине: Основы теории упругости и теории колебаний

Тема: Собственные колебания консервативной системы с одной степенью свободы вблизи положения устойчивого равновесия

Выполнил:

студент гр. НГ-06-3 Ширшиков А. В.

Проверил:

Профессор Горшков Л.К.

Санкт - Петербург

2009 год

Расчетная схема колебательного механизма

l/3

D 3

B

O₁

6

R₂

2

r₂

O C

Рис. 1. Расчетная схема колебательного механизма

Введенные обозначения:

1 - груз, прикрепленный в точке к свисающей с бицилиндра (2) нити; 3 - тонкий однородный стержень, 6 - стержень, массой которого можно пренебречь. колебание механизм кинетический

Исходные данные:

Заданная величина	Обозначение	Значение	Размерность
Масса груза		6
Масса бицилиндра		12
Масса стержня		2
Малый радиус бицилиндра		0,05
Большой радиус бицилиндра		0,15
Радиус инерции бицилиндра		0,1
Коэффициент жесткости пружины		1500
Длина стержня		0,6
Начальное отклонение груза по вертикали от положения его статистического равновесия		0,0048
Проекция начальной скорости груза на вертикальную ось		0,036
Коэффициент уменьшения собственных колебаний системы		4	-

1. Свободные колебания

Уравнение Лагранжа записывается в следующем виде:

,

т.к. система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату принимается отклонение груза от положения статистического равновесия вниз.

1.1 Кинетическая энергия всей системы

Груз движется поступательно, следовательно, его кинетическая энергия равна

,

где - неизвестная скорость перемещения груза 1, равная обобщенной скорости .

Бицилиндр 2 вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью . Радиус инерции бицилиндра . Теперь можно найти кинетическую энергию бицилиндра:

.

Стержень 3 вращается вокруг неподвижной оси , тогда его кинетическая энергия равна . Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, известен: . Для нахождения угловой скорости стержня рассмотрим точки и , которые движутся с одинаковыми скоростями. Тогда . Отсюда искомая угловая скорость . Таким образом, кинетическая энергия стержня

.

Теперь можно найти кинетическую энергию всей системы:

.

Выражение, стоящее в скобках называется приведенной массой системы и обозначается . Причем . Для данного случая она будет иметь значение

.

Итак, кинетическая энергия системы равна

.

1.2 Потенциальная энергия всей системы

Она определяется работой сил тяжести системы и силы упругости пружины на перемещение системы из отклоненного положения, когда груз имеет координату , в положение статического равновесия. При таком отклонении вес блока работы не совершает, поэтому потенциальная энергия всей системы равна

,

где - потенциальная энергия пружины.

Потенциальная энергия груза

,

так как груз отклоняется из положения статистического равновесия вниз при положительном .

Потенциальная энергия стержня определяется: .

Рис. 2 Схема перемещения стержня

Поскольку рассматриваются малые колебания системы и угол весьма мал, дугу перемещения точки В можно считать прямой линией. В теории малых колебаний большая точность не нужна, так как потенциальную энергию необходимо вычислять с точностью до величин второго порядка малости относительно обобщенной координаты.

Из рисунка 2 видно, что .

Таким образом, имеем

Потенциальная энергия пружины

,

где

- это перемещение точки из положения, соответствующему условию ; - статическая деформация пружины.

Из рис. 2 видно, что

.

Получаем

.

Тогда потенциальная энергия всей системы будет равна

.

В положении равновесия, то есть, при , первая производная от потенциальной энергии вблизи устойчивого равновесия равна нулю. То есть

.

Найдем первую производную

.

Тогда

Выразим из полученного соотношения , имеем

Подставляя полученное соотношение в выражение для потенциальной энергии системы, имеем

Выражение, стоящее в скобках называется квазиупругим коэффициентом и обозначается . Причем . Для данного случая будет иметь значение

Таким образом, потенциальная энергия системы равна

.

Запишем еще раз уравнение Лагранжа:

.

Для использования уравнения Лагранжа необходимо найти производные от кинетической и потенциальной энергий.

Исходные функции:

 и .

Необходимые производные:

, , ,.

В результате получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний:

где - круговая частота собственных колебаний,

Решение дифференциального уравнения

,

где и - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями:

I. При ;

II. При .

При :

Для использования второго начального условия возьмем производную от уравнения:

.

При : .

Тогда

В итоге получаем закон колебаний в окончательном виде в первой форме

Решение уравнения в удобном для построения графика виде:

График свободных колебаний системы

2. Затухающие колебания

Исследование затухающих колебаний проводится на той же схеме с включением в нее вязкого сопротивления и заданием удельного коэффициента демпфирования

Тогда круговая частота затухающих колебаний будет равна

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний будет выглядеть так:

,

где , - коэффициент демпфирования.

Получаем:

Закон затухающих колебаний:

где и - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями:

I. При ;

II. При .

При ;

Для использования второго условия найдем производную от уравнения затухающих колебаний:

:

При :

.

Получаем



Для удобства построения графика представим полученное уравнение в виде

,

где - текущая амплитуда затухающих колебаний;

Найдем начальную амплитуду затухающих колебаний

.

Тогда

.

Начальная фаза затухающих колебаний

Получаем окончательный вид затухающих колебаний

.

Период затухающих колебаний

.

Абсолютная частота затухающих колебаний

.

Абсолютный декремент затухания:

.

Логарифмический декремент затухания:

.

Контрольные соотношения:

1)

2)

3)

4) .

Неравенства подтверждают корректность расчетов.

График затухающих колебаний

Размещено на Allbest.ru