Дозвуковое и сверхзвуковое течения газов (основы газодинамики)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Адиабатически установившееся течение газа

2. Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля

3. Уравнение состояния

4. Удельные теплоемкости газа

5. Первый закон термодинамики. Энтальпия. Энтропия

6. Характеристики заторможенного потока. Газодинамические функции

7. Волна разрежения

8. Скачок уплотнения

9. Гиперзвуковые течения. Формула Ньютона

Введение

При скоростях движения жидкости сравнимых со скоростью звука или их превышающих, на первый план выдвигаются эффекты, связанные с сжимаемостью жидкости. Такое движение на практике наблюдается в газах. Поэтому о гидродинамике больших скоростей говорят обычно как о газодинамике.

Чаще всего в газодинамике приходится иметь дело с очень высокими значениями чисел Рейнольдса. За исключением отдельных случаев ( наиболее ярким из которых является отрыв сверхзвукового потока ) при высоких значениях числа Рейнольдса вязкость оказывается не существенной для движения газа практически во всем пространстве. Поэтому в газодинамике часто газ рассматривают как идеальную жидкость.

Движение газа имеет существенно различный характер в зависимости от того, является оно дозвуковым или сверхзвуковым.

С изучением сверхзвуковых течений связано решение ряда практических проблем, возникающих при создании самолетов, ракет, турбин, снарядов, аэродинамических труб для получения потоков со сверхзвуковыми скоростями.

1. Адиабатическое установившееся течение газа

Изучение движения газов с высокими скоростями, достигающими скорости звука, является предметом газовой динамики. Одной из фундаментальных задач последней является исследование течений без учёта сопротивлений и в отсутствие теплообмена (т.е.) адиабатических. В этих условиях уравнение баланса удельной энергии имеет вид

.

Уравнение адиабаты идеального газа представим в виде

.

Будем отмечать в дальнейшем индексом "0" величины, характеризующие газ, находящийся в покое, или, как говорят в газодинамике, в заторможенном состоянии, подставим в уравнение неразрывности гиперзвуковой газ ньютон

и после интегрирования

.

При установившемся течении весовой расход газа во всех сечениях по длине газопровода одинаков в течение всего процесса движения.

Следовательно, при установившемся течении

,

что является выражением условия неразрывности при движении газа (и также сжимаемых жидкостей). В трубопроводе постоянного сечения одинаковой по длине трубопровода будет также весовая скорость

.

Изменение в удельном весе (плотности) идеального газа при изменении давления и температуры выражаются законом Клайперона-Менделеева

,

где Т - абсолютная температура газа, R - газовая постоянная.

В технике имеют особое значение изотермическое и адиабатическое течения газа. При изотермическом (Т=const) течении идеального газа зависимость между давлением и плотностью имеет вид

,

при адиабатическом

,

где - показатель адиабаты, c_p - удельная теплоёмкость газа при постоянном давлении, c_v - удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме.

Имея в виду последнее соотношение, можно записать

,

получаем

.

Имея в виду, что v = 0 при p=p₀ (состояние покоя), найдём:

,

или

.

2. Уравнение Гюгонио. Сопло Лаваля

Запишем уравнение Бернулли в дифференциальной форме

.

Преобразуем уравнение Бернулли для газа так, чтобы можно было ввести число Маха. Имеем

,

квадрат скорости звука , тогда

.

Поделим на a², получим

,

или в окончательном виде

,

где M - число Маха.

Другим уравнением, необходимым для анализа течений газа в трубе переменного сечения, является уравнение неразрывности, или сохранения массы.

Будем рассматривать одномерное установившееся течение газа вдоль трубы переменного сечения, при этом предположим, что параметры потока газа, такие, как скорость потока, давление и плотность, одинаковы во всех точках каждого из конечных сечений, перпендикулярных к оси трубы.

Это предположение довольно хорошо соответствует действительности для элементарной трубки тока, но его применяют и для труб конечных размеров, используя средние величины по сечениям трубы.

Через каждое поперечное сечение трубы в случае одномерного течения проходит за 1 с масса газа m=Sv, где S - площадь поперечного сечения трубы, v - скорость течения газа, - плотность газа. При установившемся течении через все поперечные сечения должна пройти одна и та же масса газа, т.е.

.

Прологарифмируем это уравнение сохранения массы. Получим

.

Считая переменными величины S, v, , возьмём полные дифференциалы от обеих частей. Имеем

.

Это и есть уравнение неразрывности для установившегося одномерного течения идеального газа в трубе переменного сечения.

Из уравнения неразрывности и уравнения Бернулли исключим величину. Получим

.

Это уравнение носит название уравнения Гюгонио.

Используя уравнение Гюгонио, проанализируем характер возможных течений газа в трубе переменного сечения.

Из уравнений следует:

1) при M<1, что соответствует дозвуковым течениям, знаки величин dS и dv противоположны, т.е. там, где возрастает S, в направлении течения скорость должна убывать, и наоборот,

2) для сверхзвуковых течений M>1, знаки dS и dv одинаковы, т.е. сверхзвуковой поток расширяется противоположно дозвуковому. Чтобы увеличить его скорость, трубу следуeт расширить,

3) при M = 1 имеем dS = 0, т.е. в этом случае S достигает максимума или минимума. Можно показать, что M = 1 может быть только в самом узком сечении трубы, где S=S_min.

Выводы о характере течений газа в трубах переменного сечения нашли применение в конструкциях сопел современных ракетных двигателей и аэродинамических трубах больших скоростей. Для получения больших сверхзвуковых скоростей выходящего из сопла газа следует сначала сопло сужать, чтобы получить звуковую скорость газа в узком сечении сопла, а затем сопло надо расширять для дальнейшего увеличения скорости выходящего из него газа.

3. Уравнение состояния

Опыт показывает, что между основными параметрами, характеризующими состояние газа (давлением, плотностью и температурой), существует определённая зависимость.

Уравнение , устанавливающее связь между этими параметрами, называется уравнением состояния.

Поэтому состояние любого газа определяется двумя параметрами (например, плотностью и температурой), так как третий параметр (давление) можно найти из уравнения состояния.

Для идеального газа уравнение состояния можно записать в виде

,

где R - газовая постоянная, зависящая от относительной молекулярной массы газа m. Для воздуха m = 29, .

Под идеальным газом принято понимать газ, в котором взаимодействие молекул между собой осуществляется посредством упругих столкновений, а линейный размер молекулы по сравнению со средним молекулярным расстоянием мал.

Существенное отличие свойств воздуха от свойств идеального газа наблюдается при высоких давлениях и низких температурах.

4. Удельные теплоёмкости газа

Рассмотрим некоторый произвольный термодинамический процесс. Количество теплоты dq, подведенное к 1 кг газа в этом процессе, выразим через приращение температуры газа dT:

.

Множитель c, представляющий собой количество теплоты, необходимое для подогрева 1 кг газа на 1 град в данном процессе, называется удельной теплоёмкостью.

Удельная теплоёмкость существенно зависит от характера процесса.

Рассмотрим теплоёмкости, соответствующие процессам, происходящим при постоянном объёме c_V и давлении c_p. Зависимость между удельными теплоёмкостями идеального газа c_V и c_p определяется следующим соотношением

.

В термодинамике и газодинамике важное значение имеет отношение теплоёмкостей . Величина k зависит от структуры молекулы газа. Так, для идеальных одноатомных газов k = 1.66, для двухатомных газов, в том числе и для воздуха, k = 1.4.

5. Первый закон термодинамики

Пусть некоторое количество газа находится в равновесии. Обозначим через dQ количество подведённой к газу извне теплоты. В общем случае подвод теплоты приводит к изменению внутренней энергии газа dU и объёма. При изменении объёма газ совершает внешнюю работу, равную dL=pdV. Поэтому

,

или, относя все величины к 1 кг массы газа, получаем

,

где dq - суммарная теплота, подведенная к 1 кг массы газа извне, du - изменение внутренней энергии 1 кг массы газа, - работа, затрачиваемая на расширение ( 1 - объём, занимаемый 1 кг массы газа).

При постоянном объёме dV = 0, dQ=dU или dq=du, т.е. вся теплота, подводимая к газу, тратится на увеличение его внутренней энергии. Поэтому

.

Пренебрегая зависимостью c_V от температуры и имея в виду, что при T=0 u = 0, имеем

.

Внутренняя энергия является одной из функций состояния газа.

Используя формулы

.

Уравнение является математическим выражением первого закона термодинамики.

Энтальпия. Введём ещё одну функцию состояния i, определяемую соотношением

.

Или, пренебрегая изменением c_p,

.

Эта функция называется энтальпией. Из определения энтальпии следует, что её приращение di представляет собой приращение теплоты dq в процессе p=const. Имея это в виду, из первого закона термодинамики , интегрируя его в предположении p=const, получим

.

Используя уравнение состояния и соотношение , имеем

.

Энтропия. При изучении течения газа часто используют понятие энтропии. Эта функция определяется дифференциальным соотношением

.

Найдём связь между энтропией и энтальпией

,

из первого закона термодинамики

следует

.

При скоростях движения жидкости сравнимых со скоростью звука или их превышающих, на первый план выдвигаются эффекты, связанные с сжимаемостью жидкости. Такое движение на практике наблюдается в газах. Поэтому о гидродинамике больших скоростей говорят обычно как о газодинамике.

Чаще всего в газодинамике приходится иметь дело с очень высокими значениями чисел Рейнольдса. За исключением отдельных случаев ( наиболее ярким из которых является отрыв сверхзвукового потока ) при высоких значениях числа Рейнольдса вязкость оказывается не существенной для движения газа практически во всем пространстве. Поэтому в газодинамике часто газ рассматривают как идеальную жидкость.

Движение газа имеет существенно различный характер в зависимости от того, является оно дозвуковым или сверхзвуковым.

С изучением сверхзвуковых течений связано решение ряда практических проблем, возникающих при создании самолетов, ракет, турбин, снарядов, аэродинамических труб для получения потоков со сверхзвуковыми скоростями.

6. Характеристики заторможенного потока. Газодинамические функции

Параметры газа, соответствующие нулевой скорости потока, называются параметрами торможения. Давление, плотность, температура и энтальпия, соответствующие этому состоянию называются давлением, плотностью, температурой и энтальпией торможения и обозначаются p_o, _o, T_o, i_o. Соотношение между местными параметрами потока и параметрами торможения определяются с помощью газодинамических функций , , .

Аргументом газодинамических функций является число Маха

или коэффициент скорости . Где V - местная скорость потока, а - скорость звука в газе, - критическая скорость звука. Установим связь между числом Маха и коэффициентом скорости. Запишем уравнение энергии в виде

.

Разделим уравнение на , получим

.

Отсюда

или разрешив относительно числа Маха, имеем

.

Для вывода газодинамических функций запишем уравнение энергии

.

Умножим уравнение на и учтем, что . В результате имеем

.

Уравнение состояния газа , записанное для параметров торможения , позволяет получить соотношение

.

Из уравнения адиабаты по аналогии для параметров торможения имеем

.

Из последних трех равенств имеем

, .

Воспользуемся теперь выражением для газодинамической функции , запишем

,

.

Газодинамические функции широко используются для расчета изэнтропических течений газа. Во многих учебниках по газовой динамике они представлены в виде таблиц. Из выражений для газодинамических функций при М = = 1 критические параметры газа могут быть найдены через параметры торможения p_o, _o, T_o

, , .

При практических расчетах используют еще одну газодинамическую функцию, называемую удельным секундным расходом q :

.

Воспользовавшись выражением для газодинамической функции а также связью между критическими параметрами и параметрами торможению, учитывая , имеем

.

Нетрудно заметить, что при = 0 и получим q=0. В первом случае расход равен нулю, так как газ неподвижен. Во втором случае p = = T = 0.

7. Волна разрежения

Слабые возмущения в газе распространяются со скоростью звука, влияние слабого изменения давления, вызываемого помещенным в равномерный сверхзвуковой поток источником возмущений ( например, телом ) не может распространятся вверх по потоку, а сносится вниз по потоку со скоростью большей скорости звука, оставаясь внутри так называемого конуса возмущений.

Далее за этой плоскостью поток поворачивается, расширяясь внутри угловой области, образованной пучком плоских фронтов возмущений ( характеристик ), до тех пор, пока не станет параллельным направлению стенки после излома. Если стенка между двумя прямолинейными участками искривляется непрерывно, то поворот потока происходит постепенно в последовательности прямых характеристик, исходящих из каждой точки искривленного участка стенки. Параметры газа постоянны вдоль прямых характеристик. Такие течения называются течениями Прадтля-Майера. Рассматриваемое течение имеет свойства конических, так как физические величины на любом из лучей не зависят от расстояния до центра разворота.

Будем считать течение потенциальным. Скорость в произвольной точке D в пределах сектора разворота удобно разложить на компоненты V_s и V_r , направленные вдоль луча и по нормали к нему. При этом V_s нормальная к линии возмущения компонента скорости всегда звуковая V_s = a . Параметры газа на линиях возмущения не зависят от угла ( отсчитывается от нормали к передней линии угла разворота, поэтому потенциал течения в секторе АОВ можно представить в виде :

.

Найдем компоненты скорости

,

.

Решение задачи обтекания выпуклого угла состоит в нахождении зависимости газодинамических характеристик потока от их значений в набегающем потоке и угла поворота потока .

Рассмотрим в начале случай М = 1. Воспользуемся уравнением энергии

,

где . Учитывая, что , получим

.

С учетом связи компонент скорости, имеем

.

Разделяя переменные, получим

.

Здесь . Проинтегрируем предыдущее уравнение

.

Так как при =0, то с=0.

.

Найдем зависимость . Представим через компоненты скорости:

.

Откуда получаем

видно, что

.

Так как , то . Приравнивая соотношения для , получим искомую зависимость :

. (*)

Затем определяют суммарный угол поворота:

.

Пользуясь той же формулой, по известному _с определяют М₂. Из выражения (*) следует, что по мере увеличения число Маха растет. Можно получить предельный угол поворота звукового потока, при котором он ускоряется до М= . Подставляя М= в (*), имеем

.

При k = 1.4 _m= 129^o30`.

На практике такой разворот реализовать невозможно. В результате действия сил вязкости при определенных значениях наступает отрыв потока.

8. Скачок уплотнения

Одним из существенных свойств сверхзвукового потока является возможность существования ударных волн. Ударная волна или скачок уплотнения - это область сверхзвукового течения, в которой происходит резкое уменьшение его скорости и рост давления, температуры плотности и энтропии. Толщина ударной волны мала - порядка средней длины свободного пробега молекул. При решении многих задач газовой динамики толщиной ударной волны пренебрегают.

Ударная волна, скачок уплотнения, распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью тонкая переходная область, в которой происходит резкое увеличение плотности, давления и скорости газа. Ударные волны возникают при взрывах, при сверхзвуковых движениях тел. Ударная волна, в которой вектор скорости набегающего потока направлен по нормали к поверхности разрыва параметров, называется прямым скачком уплотнения. В прямом скачке уплотнения линия тока не изменяет своего направления, поэтому течение можно считать одномерным. Косым скачком называется такое течение, вектор скорости направлен под острым углом к фронту ударной волны. При косом скачке уплотнения происходит поворот вектора скорости на некоторый угол . Плоскость разрыва параметров (скачка) располагается по отношению к вектору скорости набегающего потока под углом . При обтекании сверхзвуковым потоком клина течение вдоль боковой поверхности клина отделяется от набегающего потока плоским скачком уплотнения, идущим от вершины клина. При углах раскрытия клина, больших некоторого предельного, скачок уплотнения становится криволинейным, отходит от вершины клина и за ним появляется область с дозвуковой скоростью течения газа. Такая картина течения характерна для сверхзвукового обтекания тел с тупой головной частью.

Классическим примером возникновения и распространения ударных волн в газе - это сжатие газа в трубе поршнем. Если поршень вдвигается в газ медленно, то по газу со скоростью звука распространяется, акустическая ( упругая ) волна сжатия. Если скорость поршня соизмерима со скоростью звука, возникает ударная волна. Скорость распространения ударной волны по невозмущенному газу больше скорости движения частиц газа, которая совпадает со скоростью поршня.

При теоретических исследованиях толщиной ударной волны пренебрегают, фронт ударной волны заменяют поверхностью разрыва, считают, что при прохождении через ударную волну параметры газа изменяются скачком.

Значения параметров газа по обе стороны скачка связаны соотношениями, вытекающими из законов сохранения массы, импульса и энергии:

где - соответственно давление, плотность и удельная внутренняя энергия газа, индексом 1 отмечены параметры до ударной волны, 2 - за ударной волной.

Исключая из равенств скорости, можно получить уравнение ударной адиабаты

где - удельный объем, - удельная энтальпия.

Если известны термодинамические свойства вещества, т.е. функция или , то ударная адиабата дает зависимость конечного давления от конечного объема при ударном сжатии газа из начального состояния , т.е. зависимость

.

При переходе через ударную волну энтропия вещества s меняется, причем скачок энтропии для данного вещества определяется только законами сохранения, которые допускают существование двух режимов : скачка сжатия ( ₂ > ₁ , p₂ > p₁) и скачка разрежения ( ₂ < ₁ , p₂ < p₁). Однако в соответствии со вторым началом термодинамики реально осуществляется только тот режим, при котором энтропия возрастает. В обычных веществах энтропия возрастает только в ударных волнах сжатия, поэтому ударная волна разрежения не реализуется (теорема Цемплена).

Ударная волна распространяется по невозмущенному газу со сверхзвуковой скоростью v₁ > a₁ ( где а₁ - скорость звука в невозмущенном газе ) тем большей, чем больше интенсивность ударной волны, т.е. чем больше (p₂ - p₁)/ p₁. При стремлении интенсивности ударной волны к нулю скорость ее распространения стремится к а₁ . Скорость ударной волны относительно сжатого газа, находящегося за ней, является дозвуковой : v₂ < a₂ ( где а₂ - скорость звука в cжатом газе за ударной волной ).

В идеальном газе с постоянными теплоемкостями уравнение состояния имеет предельно простой вид: , , где - показатель адиабаты, отношение теплоемкостей при постоянных давлении и объеме, R - универсальная газовая постоянная, - молекулярный вес. Уравнение ударной адиабаты можно получить в явном виде:

.

При ударном сжатии газа для данного изменения V необходимо большее изменение р, чем при адиабатическом сжатии. Это является следствием необратимости нагревания при ударном сжатии, связанного, в свою очередь, с переходом в тепло кинетической энергии потока, набегающего на фронт ударной волны. В силу соотношения

,

следующего из системы уравнений, связывающей параметры на ударной волне, скорость ударной волны определяется наклоном прямой, соединяющей точки начального и конечного состояния ( рис. 65 ).

Параметры газа на ударной волне можно связать с числом Маха M=v_в/a₁:

,

,

.

В пределе для сильных ударных волн при М, получаем:

, .

9. Гиперзвуковые течения. Формула Ньютона

Гиперзвуковыми называются такие течения, при которых числа Маха в набегающем потоке существенно превышает единицу. Обтекание тел при больших сверхзвуковых скоростях вызывает значительное повышение температуры и плотности в сжатом слое в окрестности наветренной части поверхности тела. В газе начинается диссоциация, ионизация и другие процессы, приводящие к тому, что отношение удельных теплоемкостей стремится к единице. Толщина возмущенной области, расположенной между скачком и телом, уменьшается, так как угол скачка стремится к углу наклона поверхности. Молекулы невозмущенного течения тормозятся только в момент столкновения с поверхностью.

Корпускулярную теорию взаимодействия газа с обтекаемым телом, близкую к гиперзвуковому приближению, предложил еще в XVII веке И. Ньютон.

Согласно теории Ньютона, газообразная среда состоит из одинаковых и не взаимодействующих между собой частиц, расположенных на равных расстояниях друг от друга. Скорость движения частицы до столкновения с поверхностью равна скорости невозмущенного потока, при столкновении частицы с элементом поверхности нормальная составляющая ее скорости становится равной нулю, а касательная составляющая при этом остается неизменной. Давление в данной точке при этом зависит только от ориентации соответствующего элемента поверхности по отношению к вектору скорости невозмущенного потока, а форма остальной части тела не влияет на давление в заданной точке.

Теория Ньютона не дает возможности определить давление на участках поверхности, находящихся в аэродинамической тени.

Выведем формулу для определения коэффициента давления. Рассмотрим элемент поверхности dS с местным углом атаки . Масса частиц, сталкивающихся в единицу времени с элементом поверхности равна VSindS. До столкновения с поверхностью проекция количества движения этой массы на направление нормали к элементу поверхности выражается в виде V²Sin²dS. После соударения с поверхностью нормальная составляющая количества движения равняется нулю. На основании теоремы импульсов изменении количества движения, происходящем в результате столкновения частиц с поверхностью, равно импульсу действующих сил

Около криволинейной выпуклой поверхности на частицы газа действуют центробежные силы, которые уменьшают давление на поверхность. Поправка к формуле Ньютона, учитывающая влияние центробежных сил, была предложена Буземаном.

Размещено на Allbest.ru