Основы гидравлики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Основные физические свойства жидкостей: Модель сплошной среды. Плотность жидкости. Сжимаемость капельной жидкости. Температурное расширение капельных жидкостей

Жидкость - сплошная среда, обладающая способностью легко изменять свою форму под действием внешних сил.

По своим механическим свойствам жидкости разделяют на два класса:

1. Малосжимаемые (капельные).

2. Сжимаемые (газообразные).

Жидкость как всякое физическое тело имеет молекулярное строение.

Расстояние между молекулами во много раз превосходит размеры самих молекул и соответствует от 10^-7 до 10^-8 см, а длина свободного пробега молекул газа при атмосферном давлении равна 10^-5 см.

Поэтому жидкости и газы воспринимаются как сплошные среды, имея прерывистую структуру.

Это обстоятельство позволяет ввести гипотезу сплошности, то есть применить модель, обладающую свойством непрерывности. Гипотеза о непрерывности или сплошности среды рассматривает механические характеристики жидкой среды (скорость, плотность, давление и т.д.) как функции координат точки в пространстве и во времени.

Основной динамической характеристикой среды является плотность распределения массы по объему или просто плотность среды, которая в произвольной точке А определяется соотношением:

,

где M - масса, заключенная в малом объеме W, включая точку А.

Единицами измерения плотности являются кг/м³ в системе СИ и кгсc²/м⁴ в технической системе.

Вес жидкости G, приходящийся на единицу объема W, называется удельным весом:

.

Единица измерения удельного веса в системе СИ Н/м³.

Сжимаемость. При сжатии реальные жидкости незначительно уменьшаются в объёме. Под действием давления сжимаемость жидкости характеризуется коэффициентом объемного сжатия _V, , представляющим собой относительное изменение объема жидкости на единицу изменения давления:

,

где W - первоначальный объем жидкости; dW -изменение этого объема при изменении давления на величину dp.

Знак “минус” в формуле обусловлен тем, что положительному приращению давления p соответствует отрицательное приращение объема W.

Температурное расширение - свойство жидкостей изменять свой объём. Температурное расширение капельных жидкостей характеризуется коэффициентом температурного расширения



, C^-1:

,

где dW -изменение этого объема при повышении температуры на величину dt.

2. Основные физические свойства жидкостей: Вязкость жидкости. Закон Ньютона для вязкости. Вискозиметр Энглера

Вязкость - это способность жидкости оказывать сопротивление скольжению одного слоя относительно другого.

Если рассмотреть, как распределяются скорости различных слоёв жидкости по сечению потока, то можно легко заметить, что чем дальше от стенок потока, тем скорость движения частиц больше. У стенок потока скорость движения жидкости равна нулю. Иллюстрацией этого является рисунок, так называемой, струйной модели потока. На рисунке применены следующие обозначения:

Медленно движущийся слой жидкости «тормозит» соседний слой жидкости, движущийся быстрее, и наоборот, слой, движущийся с большей скоростью, увлекает (тянет) за собой слой, движущийся с меньшей скоростью. Силы внутреннего трения появляются вследствие наличия межмолекулярных связей между движущимися слоями.



S= -касательное напряжение,возникающее между слоями жидкости.

Касательные напряжения возникающие между слоями жидкости будут пропорциональны градиенту скрорости.

Существуют динамическийµ коэфт вязкости [].

=.И кинематический[м²/c].Этот коэффициент представляет собой отношение динамического коэффициента вязкости жидкости к её плотности.

На практике вязкость жидкостей определяется вискозиметрами, из которых наиболее широкое распространение получил вискозиметр Энглера. Вискозиметр Энглера - прибор для определения вязкости нефтепродуктов.

Перевод градусов Энглера в единицы кинематической вязкости (стоксы) производится по таблице или по эмпирической формуле:

.



3. Основы гидростатики. Гидростатическое давление

Гидростатика является разделом прикладной механики жидкости и газа, в котором изучаются законы равновесия жидкости.

Вследствие текучести жидкости в ней не могут действовать сосредоточенные силы, а возможно лишь действие сил, непрерывно распределенных по ее объему (массе) или по поверхности. Поэтому внешние силы, действующие на рассматриваемый объем жидкости, разделяют на массовые (объемные) и поверхностные.

Массовые силы пропорциональны массе жидкого тела или (для однородных жидкостей) его объему.

К ним относятся сила тяжести и силы инерции.

Поверхностные силы проявляются на граничных поверхностях рассматриваемого жидкого тела.

Поверхностную силу, действующую нормально к какой-либо площадке, называют силой давления.

Поверхностная сила, действующая по касательной к площадке, является силой сопротивления.

Сила сопротивления проявляется только при движении жидкости, а сила давления - как при движении, так и при покое жидкости.

Рассмотрим произвольный объем жидкости W (рис. 2.1), находящейся в равновесии под действием внешних сил P и ограниченной поверхностью S.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.1.

Проведем секущую плоскость а-а, делящую объем W на две части 1 и 2. Отбросим часть 1 и заменим распределенными по площади силами р_i, одна из которых р приходится на долю площади .

Напряжение сжатия _с, возникающее при этом, определяется как частное от деления силыр на площадь :

(2.1)

Напряжение _с принято называть средним гидростатическим давлением; предел отношения при 0 называется гидростатическим давлением в точке:

. (2.2)

Единица измерения давления Па. Это давление, вызываемое силой в 1Н, равномерно распределено по поверхности площадью в 1м² .

Так как эта единица очень мала, то на практике давление измеряют в килопаскалях (1 кПа = 10³ Па) или мегапаскалях (1 МПа = 10⁶ Па).

4. Основная теорема гидростатики

Гидростатическое давление в точке не зависит от направления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям.

Докажем, что р_х = р_у = р_z = р_n, где р_х, р_y, р_z, р_n - представляют собой гидростатическое давление соответственно в направлении координатных осей ox, oy, oz и в некотором произвольном направлении N-N (рис. 2.2).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.2

Выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, малый объем в форме тетраэдра с ребрами dx, dy, dz, соответственно параллельными координатным осям, и с массой

dm = ,

где - плотность жидкости.

Представим, что жидкость внутри тетраэдра - в виде твердого тела. Это не изменяет условий равновесия.

Воспользуемся известными уравнениями статики твердого тела, а именно уравнениями проекций сил и уравнениями моментов:

(2.3)



Учитывая, что при стягивании тетраэдра в точку, уравнения моментов такой системы удовлетворяются тождественно, а действующие на него силы сводятся к системе сил, проходящих через одну и ту же точку.

Таким образом, остается только три проекции сил:

(2.4)

К действующим силам относятся поверхностные и массовые (объемные) силы.

К поверхностным силам относятся силы давления жидкости, окружающей элементарный тетраэдр.

Таких сил будет четыре (по числу граней).

На грань АВС действует сила

, (2.5)

где р_х - среднее гидростатическое давление для треугольника АВС с площадью .

Сила dP_x параллельна оси ox, направлена в противоположную сторону оси и, следовательно, войдет в уравнение со знаком «плюс».

Силы dP_y и dP_z, действующие на грани ABD и ACD, соответственно параллельны осям oy и oz и их проекции на ось ox равны нулю.

Четвертая сила dP_n - сила давления на грань ВСD равна:



, (2.6)

где р_n - среднее гидростатическое давление для грани BCD;

d - площадь этой грани.

Проекция этой силы на ось ox:

. (2.7)

Эта сила направлена в отрицательную сторону оси ox.

Произведение dcos(N,ox) представляет собой проекцию площади треугольника BCD на плоскость уoz и равно:

. (2.8)

Тогда проекция силы dP_n на ось ox численно равна:

. (2.9)

Аналогично можно записать проекции силы dP_n на оси oy и oz:

(2.10)

Массовые силы, действующие на тетраэдр, приводятся к равнодействующей dR, образующей с координатными осями углы , , и равной:



, (2.11)

где dm -масса тетраэдра, равная:

,

где -плотность жидкости;

dxdydz - объем тетраэдра;

j - ускорение объемной силы (в частном случае ускорение свободного падения).

Обозначим проекции ускорения j по координатным осям x, y, z, т.е. примем, что

Тогда проекции объемной силы dR равны:

(2.12)

Запишем сумму проекций всех сил на ось ox с учетом уравнений (2.12):



. (2.13)

Или после сокращения на dydz:

.

Пренебрегая dxX как бесконечно малым относительно p_x и p_n, получаем p_x - p_n = 0 или p_x = p_n.

Аналогично p_y = p_n и p_z = p_n.

Следовательно,

p_x = p_y = p_z = p_n. (2.14)

Что и надо было доказать.

Таким образом, гидростатическое давление в точке по любому направлению оказывается одинаковым, т.е. не зависит от направления действия.

5. Условие равновесия жидкости

Жидкость может сохранять свое равновесное состояние в том случае, если внешние силы, действующие в точках граничной поверхности, направлены только по внутренним нормалям к этой поверхности.

Очевидно, что действие силы давления по внешней нормали приводит к нарушению равновесия, т.к. жидкость не оказывает сопротивления растягивающим силам.

Касательные силы возникают при движении жидкости, поэтому при равновесии жидкости, находящейся в покое, они равны нулю.

Следствие. Так как гидростатическое давление одинаково по всем направлениям в данной точке, а в различных точках данного объема жидкости в общем случае различно, то

(2.15)

В общем случае, когда изменяется атмосферное давление во времени:

6. Основное дифференциальное уравнение гидростатики

при равновесии жидкости имеем три дифферен-циальных уравнения:

(2.19)

Система уравнений (2.19) равновесия жидкости относится как к несжимаемой, так и к сжимаемой жидкости.

Эта система уравнений впервые была получена Эйлером в 1755 г.

Умножая первое уравнение (2.19) на dx и последующие на dy и dz, после суммирования получаем:

, (2.20)



где dx, dy, dz -дифференциалы координат, а не ускорений X, Y, Z.

Так как гидростатическое давление р является функцией только координат, т.е. независимых переменных x, y, z, то первый трехчлен уравнения (2.20) как сумма всех трех частных дифференциалов представляет собой полный дифференциал.

Следовательно,

. (2.21)

Это уравнение является основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости.Так как dp есть полный дифференциал, то для однородной жидкости (при = const) и трехчлен (Xdx + Ydy + Zdz) - тоже полный дифференциал некоторой функции U(x,y,z).

Следовательно,

. (2.22)

Частные производные функции U(x, y, z) взятые по x, y, z равны проекциям ускорений массовых сил на соответствующие оси:

(2.23)

Рассматривая X, Y, Z не как проекции ускорения, а как проекции объемной силы, отнесенной к единице массы, назовем функцию U = f(x, y, z) потенциальной, или силовой функцией.равновесие жидкости возможно только в том случае, когда массовые силы имеют потенциал.Уравнение (2.21) содержит две неизвестные величины p и .Так для газов. (2.24)Для несжимаемой жидкости характеристическое уравнение имеет вид: В этом случае плотность можно считать известной, тогда уравнение (2.24) не требуется.

7. Закон Паскаля

Закон Паскаля описывается формулой давления:

закона Паскаля- давление, которое возникает на граничной поверхности жидкости, находящейся в равновесии, передается всем частицам этой жидкости по всем направлениям без изменения передаваемого давления.

На законе Паскаля основан принцип действия различных гидравлических устройств, с помощью которых давление передается на расстояние.

К таким устройствам относятся: гидравлические прессы, гидроподъемники, гидродомкраты, гидравлические аккумуляторы, гидравлические тормозные системы, гидромультипликаторы и др.

Принципиальная схема пресса представлена на рис 2.10.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2.10



К поршню площадью F приложена сила Р₁, которая передается жидкости, создавая давление р₁:

.

По закону Паскаля давление передается на поршень площадью F₂, создавая полезную силу, под действием которой прессуется материал:

.

Следовательно

(2.40)

Или

. (2.41)

Из формулы (2.41) видно, что отношение усилий на малом и большом поршнях пропорционально квадрату отношения диаметров поршней.

Например, если диаметр большого поршня в десять раз больше диаметра малого поршня, то полезное усилие на большом поршне будет в 100 раз больше, чем на малом.



8. Основные понятия и определения кинематики и динамики жидкости

Кинематика жидкости изучает связь между геометрическими характеристиками движения и времени (скоростью и ускорением).

Динамика жидкости (или гидродинамика) изучает законы движения жидкости как результат действия сил.

Классификация видов движения жидкости основана на ряде признаков.

По характеру протекания процесса:

1. Неустановившееся движение жидкости - движение, изменяющееся во времени, т.е. скорость и давление в данной точке изменяются с течением времени. (истечение из резервуара при его опорожнении.)

2. Установившееся движение жидкости - это такое, при котором в любой точке пространства скорость и давление не изменяются ни по направлению, ни по величине.

Установившееся движение может быть равномерным и неравномерным.

Равномерным движением называется такое, при котором скорости в сходственных точках двух смежных сечений равны между собой, а траектории частиц - прямолинейны и параллельны оси ох, т.е. поле скоростей не изменяется вниз по течению.

Ускорение частиц жидкости при этом равно нулю.

Неравномерное движение - это движение, не удовлетворяющее определению равномерного движения,т.е.параметры движения потока будут переменными.

Равномерное и неравномерное движение может быть напорным и безнапорным. При напорном жидкость соприкасается с твердой стенкой

(р > р_атм) по всему периметру своего сечения, а при безнапорном - лишь по части периметра, причем при условии, что .

При поступательном движении частиц жидкости наблюдается их вращательное движение. Такое движение называется вихревым.

Поступательное движение в направлении одной координаты называется одномерным движением жидкости.

; р = р(х) - установившееся одномерное движение жидкости;

; р = р(х,t) - неустановившееся одномерное движение жидкости.

Если параметры жидкости при движении изменяются в направлении двух координат, то движение называется двухмерным:

;

р = р(х, у)

или

;

р = р(х, у, t).

При изменении параметров жидкости по трем координатам движение называется трехмерным:

;

р = р(х, у,z).



9. Гидравлические элементы потока. Геометрические характеристики потока

Живым сечением потока называется поперечное сечение потока, нормальное к направлению движения и ограниченное его внешним контуром.

Смоченным периметром называется длина контура живого сечения, на которой жидкость соприкасается с твердыми стенками.

Гидравлическим радиусом называется отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру :

.

Траектория - линия, по которой движется некоторая частица М.

Линия тока - кривая, проходящая через такие частицы, скорость которых в данный момент времени направлена по касательной к этой линии (рис. 3.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.1



Система линий тока характеризует направление течения потока в данный момент времени (рис. 3.2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.2

При неустановившемся движении жидкости линии тока изменяют свою форму и расположение, а картина движения изменяется во времени.

При неустановившемся движении линия тока и траектория не совпадают друг с другом (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Две различные линии тока во всех случаях не пересекаются между собой. Так, полная скорость в точке А, скорость u (см. рис. 3.3) направлены по касательной к линии С-С и, следовательно, линия а-а не является линией тока.

Линия отмеченных точек - линия, на которой в данный момент времени лежат частицы жидкости, прошедшие в свое время через одну и ту же начальную точку.

Иллюстрацией такой линии может служить линия расположения поплавков, последовательно выпущенных из одной и той же точки.

10. Трубка тока и элементарная струйка

Трубкой тока называется трубчатая поверхность бесконечно малого поперечного сечения, образованная системой линий тока, проходящих через точки бесконечно малого замкнутого контура (рис. 3.4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.4

Жидкость, протекающая внутри этой трубки, называется элементарной струйкой. Элементарная струйка изолирована от окружающей массы жидкости. Очевидно, жидкость не может протекать через боковую поверхность трубки тока, так как на ней u_n = 0. Совокупность элементарных струек представляет собой поток конечных размеров. Струйная модель потока жидкости упрощает теоретические исследования движения жидкости.

Основные свойства элементарной струйки:

1. Скорость и площади сечений элементарной струйки могут меняться вдоль струйки, скорости же в пределах одного сечения элементарной струйки вследствие малости площадки одинаковы.

2. Жидкость не может протекать через боковую поверхность элементарной струйки, так как на основании определения линии тока в любой точке поверхности элементарной струйки скорость направлена по касательной к поверхности.

Объем жидкости, проходящей в единицу времени через данное поперечное сечение струйки, называется элементарным расходом.

За время dt (рис. 3.5) все частицы из сечения 1-1 переместятся на расстояние в сечении 1-1. Здесь u - скорость движения частиц. Объем жидкости между сечениями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.5



За единицу времени проходит количество жидкости в объеме, равном:

. (3.1)

Единица измерения м³/с. Массовый расход , кг/с. Весовой расход , Н/с.

11. Расход и средняя скорость потока. Условие неразрывности, или сплошности движения жидкости

Поток представляет собой совокупность элементарных струек (рис. 3.6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расход потока Q - объем жидкости V, протекающей за единицу времени t через живое сечение щ.



Средняя скорость потока - воображаемая, фиктивная скорость потока, одинаковая для всех точек данного живого сечения, с которой через живое сечение проходил бы расход, равный фактическому.

При неравномерном движении средняя скорость в различных живых сечениях по длине потока различна. При равномерном движении средняя скорость по длине потока постоянна во всех живых сечениях.

Условие неразрывности, или сплошности движения жидкости:

Условие неразрывности струи: при стационарном течении несжимаемой жидкости через любые сечения трубки тока, каждую секунду протекают одинаковые объемы жидкости, равные произведению площади сечения на среднюю скорость движения ее частиц

Условие неразрывности струи предусматривает, что струи жидкости нигде не имеют разрывов. Частицы жидкости при стационарном течении движутся по линиям тока, поэтому боковую поверхность трубки тока жидкость не пересекает. Дт в трубку тока вошел объем жидкости V, то такой же объем за такое же время Дт должен выйти из трубки тока.

Для двух сечений 1-1 и 2-2 элементарной струйки в установившемся движении (рис. 3.7) можно записать:

.



Видно, что dQ₁ > dQ₂ по условию несжимаемости и dQ₁ < dQ₂ по условию сплошности движения.

Следовательно, условие неразрывности имеет вид dQ₁ = dQ₂ или u₁d₁ = u₂d₂.

То .

Таким образом, при установившемся движении жидкости расход в любом сечении потока остается неизменным.

12. Методы исследования движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера

Существует два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Метод Лагранжа изучает изменение положения в пространстве отдельных частиц жидкости, т.е. траектории их движения.

Метод Эйлера изучает поле скоростей, т.е. картину движения частиц жидкости в отдельных точках пространства в данный момент времени.

Метод Лагранжа в гидродинамике используется редко, ввиду его сложности. Обычно изучение движения основано на методе Эйлера, суть которого заключается в следующем.

Метод основан на понятии местной скорости или скорости в точке в данный момент времени.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.8

В общем случае местные скорости различны в один и тот же момент времени (рис. 3.8) в разных точках. Они могут изменяться во времени в каждой точке.

Проекции скорости на оси координат можно записать в виде функций:

(3.5)

Функция (3.5) характеризует поле скоростей движущейся жидкости.

Используя метод Эйлера, можно выразить ускорение а жидкой частицы в соответствии с физическим смыслом:

.

Если учесть, что для движущейся частицы ее координаты являются функциями времени:

,

то проекции скорости будут сложными функциями времени:

Используя правило дифференцирования сложных функций, для проекций полного ускорения получим:

(3.6)

Учитывая, что для движущейся жидкости

,

преобразуем функции (3.6) к виду:

(3.7)



где ; ; - индивидуальные или субстанциональные производные;

; ; - локальные производные, выражающие изменение во времени вектора u в фиксированной точке пространства;

- конвективная производная вектора u.

Эта величина выражает изменение скорости в пространстве в данный момент времени. При установившемся движении локальные ускорения равны нулю.

13. Уравнение Эйлера

По основному закону механики равнодействующая всех внешних сил, действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение, с которым движется это тело:

. (3.8)

Выделим в потоке жидкости элементарный объем в форме параллелепипеда (рис. 3.9) и запишем основное уравнение (3.8) в проекциях по осям:

(3.9)



Рис. 3.9

Для первого уравнения (3.9) найдем массу

.

Ускорение вдоль оси Ох равно первой производной скорости по времени t, т.е. :

.

Учитывая, что ,

где ,

получим



. (3.9а)

На выделенную элементарную массу действуют поверхностные силы давления и объемные силы (или массовые), т.е. в силу dR_x включаются эти силы.

Рассмотрим проекцию силы давления на боковую грань АВСD и АВСD:

,

где р и р - среднее гидростатическое давление для указанных граней:

.

Тогда . Сила dP₂ войдет в основное уравнение со знаком «минус», т.е. в сумму проекций сил давления на боковые грани:

. (3.10)

Проекция объемной силы dFx определяется выражением:

, (3.11)



где Х - проекция ускорения объемной силы;

- плотность жидкости;

dxdydz = dV - объем параллелепипеда.

Проекция равнодействующей с учетом выражений (3.10) и (3.11) имеет вид:

. (3.12)

Подставляя выражение (3.9а) в уравнение (3.12), получим:

После сокращения на , т.е. отнеся уравнение к единице массы, получим:

. (3.13)

Аналогично составив выражения для сил dRy и dRz и для dma_y и dma_z, получим три уравнения Эйлера:

(3.14)



14. Интегрирование уравнения Эйлера для установившегося движения жидкости

При установившемся движении частные производные по времени равны нулю, т.е.

.

В этом случае движение жидкости может быть вихревым.

Запишем уравнение Эйлера в следующем виде:

(3.15)

Умножим первое уравнение на dx, второе на dy и третье на dz; здесь dx, dy и dz являются проекциями элементарного перемещения.

Тогда, для первого уравнения будем иметь:

. (3.16)

Учитывая, что ; и , преобразуем правую часть уравнения (3.16) к виду:



где выражение в скобках представляет полный дифференциал проекции скорости на ось ox т.е.

. (3.17)

С учетом уравнения (3.17) первое уравнение запишем в виде

. (3.17а)

Оставшиеся два уравнения записываются по аналогии:

(3.17б)

(3.17в)

Сложив почленно уравнения (3.17а, б, в), после некоторых преобразований получим:



Здесь u² представляет полную скорость в данной точке.

Левую часть уравнения можно представить в виде силовой функции U(x, y, z) и полного дифференциала dp, т.е.

И

;

тогда имеем

Или

. (3.18)

После интегрирования уравнения (3.18) получаем:



. (3.19)

15. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли может быть получено путем суммирования элементарных струек.

Рассмотрим движение жидкости в канале переменного сечения при следующих допущениях:

1. Поток движущейся жидкости установившийся, т.е. , и подчиняется основному закону гидростатики: .

2. Затраты энергии на преодоление сопротивлений движению вязкой жидкости учитываются между сечениями потока величиной

(рис. 3.11).

3. Кинетическая энергия определяется через среднюю скорость потока:

,

где n -число струек;

u -скорость в любой струйке.



Размещено на http://www.allbest.ru/

4. Жидкость несжимаема .

Умножив все члены уравнения для элементарной струйки, с учетом потерь энергии на , получим:

Суммируя по площади живого сечения, имеем:

(3.22)

Рассмотрим каждый член уравнения отдельно.

Выражения и представляют собой кинетическую энергию всей массы жидкости, протекающей в единицу времени через поперечные сечения 1-1 и 2-2.

С учетом допущения

и

. (3.23)

Однако .

Объясняется это тем, что есть арифметическая сумма произведений расходов отдельных элементарных струек dQ на квадраты их действительных скоростей u².

Произведение - суммарный расход потока:

,

умноженный на среднюю скорость потока:



- коэффициент Кориолиса.

С учетом того, что и , получим

.

Обычно коэффициент Кориолиса определяется опытным путем на основании измерений скорости в различных точках исследуемого потока. Коэффициент всегда больше единицы.

Для так называемого ламинарного режима движения жидкости в цилиндрической трубе коэффициент = 2, а для турбулентного

= 1,045-1,10.

Рассмотрим выражение второго члена уравнения (3.22), представляющего собой потенциальную энергию потока:

. (3.24)

Третий член уравнения (3.22) представляет собой сумму работ сил сопротивления.

Подразумевая под Э1-2 осредненное значение потерь удельной энергии, получим:

. (3.25)



Подставляя выражения (3.23) и (3.25) в уравнение (3.22), получим:

Сокращая на Q, после преобразования имеем:

Или

, (3.26)

где - потери напора, м.

В общем виде уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости принимает форму

, (3.27)

где - подразумеваемая средняя скорость потока.

При практических расчетах часто принимают = 1, тем самым пренебрегают неравномерностью распределения скоростей.



16. Режимы движения жидкости

При движении реальных жидкостей в различных гидросистемах требуется точная оценка потерь напора на преодоление гидравлических сопротивлений. Точный учёт этих потерь во многом определяет надёжность технических расчётов. Кроме того, это позволяет найти экономически целесообразное инженерное решение, обладающее достаточной степенью совершенства. Для этого необходимо иметь ясное представление о механизме движения жидкости.

В процессе исследований известный физик Рейнольдс в 1883 году подтвердил теорию о существовании двух режимов движения жидкости. Это прежде всего ламинарный режим движения жидкости, соответствующий малым скоростям. Ламинарное движение можно рассматривать как движение отдельных слоёв жидкости, происходящее без перемешивания частиц.

При более высоких скоростях движения жидкости наблюдается турбулентный режим («турбулентус» по-латыни - вихревой). Такое движение называют беспорядочным.

Для оценки режима движения жидкости Рейнольдс ввёл безразмерный критерий Re, который учитывает влияние скорости v, диаметра (характерного размера) , плотности , а также динамической вязкости :

или,



где = - кинематическая вязкость.

Граница существования того или иного режима движения жидкости определяется двумя критическими значениями числа Re: нижним и верхним .

Так, при > Re возможен только ламинарный режим, а при < Re - только турбулентный режим, при < Re < наблюдается неустойчивое состояние потока.

При расчётах принято исходить из одного критического значения числа Re = 2320, что приводит к большей надёжности в гидравлических расчётах. Критерий Рейнольдса удобен тем, что может применяться для формы живого сечения через гидравлический радиус. Например, для круглого сечения

.

Тогда

. (3.28)

Для сечения прямоугольной формы со сторонами b и h



.

Тогда .

Критерий Рейнольдса является как бы мерой отношения кинематической энергии жидкости к работе сил вязкого трения. От критерия Рейнольдса в общем случае зависят все безразмерные коэффициенты, входящие в расчётные зависимости, которые применяются в практике гидравлических расчётов.

17. Гидравлические сопротивления

При движении реальных жидкостей в различных гидросистемах требуется точная оценка потерь напора на преодоление гидравлических сопротивлений. Точный учёт этих потерь во многом определяет надёжность технических расчётов. Кроме того, это позволяет найти экономически целесообразное инженерное решение, обладающее достаточной степенью совершенства. Для этого необходимо иметь ясное представление о механизме движения жидкости.

В процессе исследований известный физик Рейнольдс в 1883 году подтвердил теорию о существовании двух режимов движения жидкости. Это прежде всего ламинарный режим движения жидкости, соответствующий малым скоростям. Ламинарное движение можно рассматривать как движение отдельных слоёв жидкости, происходящее без перемешивания частиц.

При более высоких скоростях движения жидкости наблюдается турбулентный режим («турбулентус» по-латыни - вихревой). Такое движение называют беспорядочным.

Для оценки режима движения жидкости Рейнольдс ввёл безразмерный критерий Re, который учитывает влияние скорости v, диаметра (характерного размера) , плотности , а также динамической вязкости :

или

,

где = - кинематическая вязкость.

Граница существования того или иного режима движения жидкости определяется двумя критическими значениями числа Re: нижним и верхним .

Так, при > Re возможен только ламинарный режим, а при < Re - только турбулентный режим, при < Re < наблюдается неустойчивое состояние потока.

При расчётах принято исходить из одного критического значения числа Re = 2320, что приводит к большей надёжности в гидравлических расчётах. Критерий Рейнольдса удобен тем, что может применяться для формы живого сечения через гидравлический радиус. Например, для круглого сечения

.

Тогда



. (3.28)

Для сечения прямоугольной формы со сторонами b и h

.

Тогда .

Критерий Рейнольдса является как бы мерой отношения кинематической энергии жидкости к работе сил вязкого трения. От критерия Рейнольдса в общем случае зависят все безразмерные коэффициенты, входящие в расчётные зависимости, которые применяются в практике гидравлических расчётов.

18. Потери напора при равномерном движении

Рассмотрим равномерное движение в трубопроводе при следующих условиях:

1. Ускорение потока равно нулю, следовательно, силы инерции отсутствуют.

2. Средние скорости во всех поперечных сечениях одинаковы.

3. Местные сопротивления отсутствуют. Существуют сопротивления по длине, вызывающие соответствующие потери напора на трение (рис. 3.16).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3.16

4. Закон распределения давления между сечениями 1-1 и 2-2 подчиняется гидростатическому, т.е. .

5. На объём жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 действуют силы внешнего давления Р₁ и Р₂ (Р = р), сила тяжести и сила сопротивления движению .

Пользуясь принципом Д'Аламбера, напишем уравнение динамического равновесия для массы жидкости, заключённой между сечениями 1-1 и 2-2 на оси х:

. (3.29)

В состав активных сил входят:

1. Сила земного притяжения , проекция которой на ось х равна: .

2. равнодействующие сил давления Р₁ и Р₂ приложены в центрах тяжести сечений 1-1 и 2-2 и равны: и .

3. Нормальные силы к оси х равны и противоположно направ-лены, поэтому проекции сил N...N равны нулю.

Силы сопротивления F_сопр определяются по касательным напряжениям на стенке канала. Эти силы направлены параллельно оси потока в сторону, обратную движению жидкости.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обозначим силу сопротивления на элементарную площадку d через dF, тогда для участка трубы имеем:

. (3.33)

После интегрирования, принимая ( может изменяться по периметру) в выражении (3.33), получим

, (3.34)

где ₀ - среднее значение касательного напряжения на стенке

С учётом уравнений (3.32) и (3.34) запишем уравнение динамического равновесия в виде



.

Разделив члены уравнения (3.35) на , получим

. (3.36)

Обозначим отношение , после преобразования выражения (3.36), имеем

. (3.37)

Сравним уравнение Бернулли, записанное для сечений 1-1 и 2-2:

. (3.38)

Так как при равномерном движении , то из сопоставления уравнений (3.37) и (3.38) находим

. (3.39)

Учитывая, что (где i - гидравлический уклон), преобразуем выражение (3.39) к виду

Или

. (3.40)

Это уравнение академик Н.Н. Павловский назвал основным уравнением равномерного движения.

Опытным путём Шези установлено, что величина пропорциональна квадрату скорости, т.е.

, (3.41)

Подставим равенство (3.41) в выражение (3.39), получим формулу Вейсбаха .

Учитывая, что , преобразуем формулу Вейсбаха к виду

.

Обозначим , получим



, (3.42)

Формула (3.42) именуется формулой Дарси-Вейсбаха. Она используется для расчёта трубопроводов.

Учитывая, что и , получим

.

Отсюда

.

Обозначив , м/с, получим формулу Шези

,

где С С - коэффициент Шези.

Формула Шези получила широкое применение в расчётах открытых потоков.

На графике (рис. 3.18) показана зависимость потерь на трение в зависимости от скорости движения жидкости .



Отклонения от квадратичного закона учитываются тем, что коэффициенты и С ставятся в косвенную зависимость от скорости. Поэтому основная задача при определении потерь на трение при равномерном движении жидкости сводится к определению коэффициентов и С при известной скорости движения жидкости.

19. Способы определения потерь напора при равномерном движении жидкости

Основной формулой при расчёте напорных трубопроводов является формула Дарси-Вейсбаха:

,



а при расчёте течений в открытых руслах - формула Шези:

.

Применение этих формул связано с определением коэффициентов и С.

При ламинарном движении жидкости коэффициент для труб определяется по формуле

. (3.43)

Впервые наиболее исчерпывающие данные о значении были получены Никурадзе. Результаты показаны на рис. 3.19.

В пределах прямой 1 коэффициент зависит не от шероховатости стенок трубы, а от числа Re (см. формулу 3.43). Прямая 2 представляет зависимость для гидравлических гладких труб, у которых шероховатость меньше толщины ламинарного пристенного слоя.

Коэффициент для гидравлических гладких труб определяется по формуле Блазиуса (прямая 2):

(3.44)

Между линиями 2 и линией 3 слева располагается зона А, в которой зависит как от числа Рейнольдса, так и от шероховатости поверхности стенок труб.

Для определения в этой области может применяться формула А. Д. Альтшуля:

, (3.45)

где k_э k_э - эквивалентная равномерно зернистая шероховатость, опред определяемая опытным путем.

В области Б коэффициент зависит только от шероховатости.

Для определения в этой области рекомендуется формула Никурадзе

, (3.46)

где r - радиус трубы;

- обсолютная шероховатость стенок трубы.

Сущеструют формулы Ф. А. Шевелёва, Н. З. Френкеля, Л. А. Тепакса, Б. Н. Шифринсона, Н. Ф. Фёдорова и других.



20. Местные гидравлические сопротивления

Местные сопротивления вызываются фасонными частями, арматурой и другими элементами трубопровода. При движении жидкости на местных сопротивлениях изменяется величина и направление скорости.

Потери, связанные с преодолением местных сопротивлений, пропорциональны кинетической энергии потока:

, (3.47)

Где _м - коэффициент местных сопротивлений зависит не только от вязкости и скорости движения основного потока, но главным образом от геометрической формы и размеров сопротивления

При турбулентном режиме движения жидкости потери h_м зависят только от геометрических характеристик сопротивления.

Рассмотрим вопрос о потере напора при внезапном расширении трубопровода (рис. 3.20). Часть энергии в этом случае расходуется на сложное циркуляционное движение жидкости в кольцевом пространстве между струёй и стенками трубы за сечением 1-1.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Вследствие отрыва потока и связанного с ним вихреобразования на участке трубы между сечениями 1-1 и 2-2 наблюдаются значительные потери напора.

Учитывая, что давление на торцевой стенке АВ практически равно давлению на выходе из узкой части трубы р₁, найдём величину потерь по уравнению Бернулли:

(3.48)

Из теоремы импульсов для сечений 1-1 и 2-2 можно записать:

(3.49)

Пренебрегая силами трения на участке 1-2 и учитывая, что , после деления на обеих частей уравнения (3.49) получим:



или

. (3.50)

Подставляя выражение (3.50) в уравнение (3.48), найдём:

или

. (3.51)

То есть, потери напора при внезапном расширении равны скоростному напору от потерянной скорости. Выражение (3.51) называется теоремой, или формулой Борда.

Формулу (3.51) можно привести к виду:

.



С учётом того, что ₁₁ =₂₂ и , получим:

- относится к скорости ₁;

- относится к скорости ₂.

Суммарные потери напора в трубопроводе постоянного диаметра

.

21. Гидравлический расчет истечения жидкостей. Общая характеристика истечения

Истечение жидкостей из отверстий и насадков имеет большое практическое значение, поскольку они применяются при решении многих технических задач. Например, в различных двигателях внутреннего сгорания при подаче топлива, при опорожнении цистерн и различных ёмкостей, при конструировании сопел и форсунок, где необходима строгая дозировка и расход жидкости, а также гидромониторных и эжекторных установках, разрабатывающих грунты, гидротехнических сооружениях, содержащих затворы или отверстия для сброса воды.

Истечение жидкости может происходить при постоянном и переменном напорах, через малое или большое отверстие, через насадки различной конструкции. Кроме того, истечение может быть свободным в атмосферу или вакуум и под уровень (затопленное истечение).

При выходе струи из отверстия струя претерпевает сжатие. Сжатое сечение струи находится примерно на 0,5d от стенки резервуара.

Отношение площади струи в сжатом сечении к площади всего отверстия называется коэффициентом сжатия струи:

. (4.1)

Значение коэффициента сжатия струи зависит от характера деформации потока.

В этой связи различают совершенное и несовершенное, полное и неполное сжатие.

Совершенным сжатием называется такое, при котором ни свободная поверхность, ни близлежащие стенки не влияют на сжатие струи. Расстояние до ближайшей стенки должно быть в три (3) раза больше диаметра отверстия ( = 3d).

Сжатие будет несовершенным, если это условие не соблюдается. Коэффициент сжатия при совершенном сжатии меньше, чем при несовершенном.

Если струя имеет равномерное сжатие по периметру, то сжатие называется полным, в противном случае сжатие называется неполным. Неполное сжатие будет иметь отверстие, расположенное на дне резервуара или у боковой поверхности.

Коэффициент сжатия для боковых отверстий больше, чем для отверстий с полным сжатием.

Для получения того или иного гидравлического эффекта к отверстию присоединяются так называемые насадки, длина которых = (3-4)d. Обычно насадки применяются для увеличения пропускной способности отверстия, получения компактной струи и т. д.



22. Истечение жидкости из отверстия в тонкой стенке

Рассмотрим истечение жидкости из круглого отверстия диаметром d₀ в вертикальной тонкой стенке сосуда (рис. 4.1)

Стенка считается тонкой, если её толщина < 0,2d₀ и не влияет на условия истечения. Основной задачей истечения является определение скорости истечения и расхода жидкости при следующих условиях:

1. Процесс истечения установившийся, т.е. p₁ = const.

2. Сжатие струи - полное и совершенное.

3. В сжатом сечении давление подчиняется гидростатическому закону распределения.

4. Скорости в верхних и нижних точках отверстия не отличаются между собой и коэффициент Кориолиса = 1.

Для определения скорости истечения напишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, учитывая, что плоскость сравнения проходит через центр тяжести отверстия, т.е. z₁ = z₂ = 0:



. (4.2)

Анализ уравнения (4.2) показывает, что р₀ в сжатом сечении можно принять равным атмосферному.

Потери напора между сечениями 1-1 и 2-2 определяются по формуле Вейсбаха

, (4.3)

где _вх - коэффициент сопротивления отверстия.

Траектория полёта струи при истечении жидкости при небольших скоростях и небольших высотах падения, когда можно пренебречь сопротивлением окружающего струю воздуха и принять форму струи параболической, показана на рис. 4.2.

Без большой погрешности можно считать, что частица жидкости за сжатым сечением n-n движется по инерции: по оси x - равномерно, по оси z - равноускоренно, поэтому закон движения частицы жидкости можно записать в следующем виде:

: (4.9)

Отсюда .

Расход жидкости равен произведению скорости в сжатом сечении на площадь живого сечения:.

Так как для малых отверстий коэффициент сжатия = 0,64, а коэффициент скорости = 0,97, то, в соответствии с формулой (4.12),

= = 0,640,97 = 0,62.

Учитывая зависимость от , можно найти также зависимость = f(n, _вх).

Опытами установлено, что коэффициент существенным образом изменяется в зависимости от формы, размеров отверстия и от напора. Причём, с увеличением размеров отверстия коэффициент расхода уменьшается, а с увеличением напора уменьшается влияние размеров отверстия на коэффициент .

При неполном сжатии коэффициент расхода определяется по формулам:

- для круглых отверстий;

- для прямоугольных отверстий;



здесь ₀ - коэффициент расхода для аналогичного отверстия при полном сжатии;

n - часть периметра отверстия, где отсутствует сжатие;

р - полный периметр отверстия.

Если сжатие несовершенное или неполное, то коэффициенты и определяются с поправками по формуле Н. Е. Жуковского:

,

где -угол, определяемый из выражения:

здесь Н - глубина погружения нижней кромки отверстия; a - высота отверстия.

При совершенном сжатии , что хорошо согласуется с опытными данными.

Н1-Н2 (рис. 4.3) при р1 = р2.

При истечении жидкости из затопленного отверстия, как показали многочисленные исследования, коэффициенты , , будут мало отличаться от коэффициентов при истечении жидкости в атмосферу, но в качестве напора будет действовать разность напоров

Расчётные формулы имеют вид:

23. Истечение при переменном напоре

Задача об истечении жидкости при переменном напоре сводится к определению времени опорожнения или наполнения всего или некоторой части сосуда, в зависимости от начального наполнения, формы и размеров сосуда и отверстия.

Подобные задачи встречаются при расчётах наполнения и опорожнения резервуаров, цистерн, водохранилищ, бассейнов, шлюзовых камер и др.

При переменном напоре имеет место неустановившееся движение жидкости, что делает неприемлемым обычное уравнение Бернулли. Поэтому полное время истечения разделяют на бесконечно малые промежутки, в течение которых напор считается постоянным, а истечение жидкости - установившимся. Это позволяет использовать для решения полученные выше зависимости и приводит к достаточно точным результатам.

Рассмотрим простейший пример истечения жидкости в атмосферу через донное отверстие площадью из открытого вертикального цилиндрического сосуда, одинакового по всей высоте поперечного сечения F (рис. 4.4).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть за время dt через отверстие вытекло dQ жидкости, равное

,

где Н - напор на уровне элементарного элемента dH, который можно считать постоянным;

- коэффициент расхода (изменяющейся в зависимости от напора, формы и размеров отверстия).

В действительности, за это время уровень жидкости в сосуде опустится на dH и объём жидкости в нём изменится на .

Вследствие неразрывности движения жидкости

Или



.

Отсюда

. (4.19)

Полное время опорожнения сосуда определим в результате интегрирования уравнения (4.19):

,

где Н_н - начальный напор жидкости в сосуде.

Меняя пределы интегрирования в правой части уравнения, принимая и вынося постоянные за знак интеграла, получим

. (4.20)

Умножив и разделив правую часть уравнения (4.20) на , получим

. (4.21)

Из выражения (4.21) следует, что при сохранении постоянного напора в сосуде тот же объём жидкости пройдёт через отверстие за время t, вдвое меньшее, чем t, т.е. t = 2t.

Формула (4.20) применима и для случая истечения жидкости из отверстия в боковой стенке сосуда. В этом случае напор Н_н отсчитывается от центра тяжести площади отверстия.

При частичном опорожнении сосуда применяется следующая зависимость:

. (4.22).

24. Истечение жидкости через насадки

Насадком называется короткая труба длиной = (3-4)d цилиндрической, конической и коноидальной форм. Присоединение насадка к отверстию в тонкой стенке изменяет вытекающий из сосуда расход и оказывает влияние на время опорожнения сосуда, дальность полета струи и т.д. Аналогичное явление наблюдается при истечении из отверстия в толстой стенке, т.е. когда = (3-4)d.

Характер течения жидкости в различных насадках имеет много общего. Рассмотрим истечения жидкости через внешний цилиндрический насадок (насадок Вентури) (рис. 4.5).

При наличии острой кромки возникает сжатие струи на входе в насадок. Максимальное сжатие образуется на расстоянии от плоскости входа в отверстие, равном 0,5d.

Площадь сжатого сечения потока _с = , причем числовое значение коэффициента сжатия зависит от условий входа. В частности, для рассматриваемого случая (круглое отверстие с острой кромкой) приближенно можно принять = 0,64.

После сжатого сечения струя расширяется, заполняя поперечное сечение полностью, выходя из него полным сечением. Рассмотрим соотношение скоростей и давлений в сжатом сечении и на выходе из насадка (см. рис. 4.5). Давление на выходе из насадка равно атмосферному, а скорость - меньше скорости в сжатом сечении. Тогда, согласно уравнению Бернулли, давление в сжатом сечении должно быть меньше атмосферного, т.е. в сжатом сечении образуется вакуум.

Наличие в сжатом сечении вакуума существенно меняет картину истечения. В этом случае жидкость из резервуара изливается в область вакуума, что сопоставимо с увеличением напора и объясняет увеличение действительного расхода. Для доказательства найдем расчетные зависимости для скорости истечения и расхода жидкости через насадок.

Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2. Для следующих условий истечения:

1. Движение жидкости в насадке установившееся.

2. Входная кромка круглого отверстия - острая, что приводит к сжатию струи, коэффициент сжатия