Теорія дисипативного колективного руху в атомних ядрах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна Академія наук України

Науковий центр Інститут ядерних досліджень

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

ТЕОРІЯ ДИСИПАТИВНОГО КОЛЕКТИВНОГО РУХУ В АТОМНИХ ЯДРАХ

Спеціальність: Фізика ядра, елементарних частинок і високих енергій

Іванюк Федір Олексійович

Київ, 2001 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Колективний рух в атомних ядрах проявляється в різноманітних формах - від коливних і обертових збуджень в парно-парних ядрах та гігантських резонансів до процесів з великою зміною форми ядра, які відбуваються при зіткненні важких іонів з ядрами і при поділі ядер. Особливу увагу викликають дисипативні властивості цих процесів - перетворення частини енергії колективного руху у внутрішнє збудження (перехід в тепло).

Явище дисипації енергії було введене в ядерну фізику Крамерсом ще в 1940 році в роботі, присвяченій дослідженню швидкості протікання хімічних реакцій. Поділ ядра розглядався в цій роботі по аналогії з рухом броунівської частинки. Було показано, що врахування взаємодії броунівської частинки із в'язким середовищем призводить до зменшення швидкості розпаду в порівнянні з виразом Бора-Уілера, який був запропонований на рік раніше, і в якому в'язкість колективного руху не враховувалась.

Однак, теорія Бора-Уілера була настільки успішною, що робота Крамерса протягом кількох десятиріч залишалась без уваги. Тільки в 70-х роках з розвитком техніки прискорення важких іонів та дослідженням глибоко не пружних реакцій, в яких відбувається передача значного числа нуклонів, кутового імпульсу та енергії збудження, проблема дисипації енергії знову привернула увагу фізиків.

Поряд з реакціями глибоко не пружних передач інформацію про ядерне тертя отримували з експериментів з поділу ядер, в яких за допомогою вимірів повної кінетичної енергії фрагментів поділу було показано, що під час руху від сідлової деформації до місця розриву відбувається незворотна передача частини колективної кінетичної енергії у внутрішні ступені свободи фрагментів поділу.

Ще одним підтвердженням наявності значних сил ядерного тертя, які суттєво сповільнюють процес поділу, стало відкрите у 80-ті роки перевищення числа легких частинок і гамма-квантів, що вилітають з ядра в процесі поділу, над оцінками на базі статистичної моделі.

Варто відмітити, що інформацію про колективні моди ізоскалярного типу отримують з експериментальних даних, в основному з поділу ядер, досить непрямим способом. Наприклад, шляхом порівняння числа легких частинок чи гамма-квантів, що випромінюються в процесі поділу, з розрахунками в рамках певних теоретичних моделей. Останні повинні мати як мінімум дві складові: опис самої динаміки за допомогою рівнянь типу Фоккера-Планка чи Ланжевена, що дає змогу розрахувати траєкторію руху, та врахування механізму емісії легких частинок чи гамма-квантів. Кожна з цих частин досить складна сама по собі. Незважаючи на складність проблеми, вдається отримати з експериментальних даних інформацію про колективні коефіцієнти колективного руху. Найбільш цікавою є інформація про дисипативні властивості, представлена або самим коефіцієнтом тертя "y", або його комбінацією з іншими кінетичними коефіцієнтами: зведеним коефіцієнтом тертя:

- відношенням до масового параметра М, або фактором згасання:

Де:

С є жорсткістю потенційної енергії. Існує кілька робіт, в яких було проведено такий аналіз. В (Hilscher D., Gontchar I.I., Rossner H., 1994) наведено підбірку результатів про величину зведеного коефіцієнта тертя, отриманих з аналізу багатьох експериментів з поділу ядер. В роботі (Hofman D.J., Back B.B., Paul P., 1995) виконано аналіз залежності фактора згасання ? від енергії збудження або температури на основі даних про множинність гамма-променів, зареєстрованих при поділі ядра Th. Як видно з порівняння, проведеного в роботі (Hilscher D., Gontchar I.I., Rossner H., 1994), різні теоретичні підходи дають результати для коефіцієнта тертя, які відрізняються в межах одного-двох порядків величини, що свідчать не тільки про складність проблеми ядерної дисипації, а і про необхідність більш уважного аналізу та розвитку надійних моделей і методів розрахунку коефіцієнта тертя та інших кінетичних коефіцієнтів.

Розуміння механізму ядерної дисипації буде сприяти встановленню правильних уявлень про природу колективного руху в атомних ядрах. Розвиток мікроскопічного підходу, який дасть змогу пояснити різноманітні експериментальні дані про величину ядерної дисипації і, особливо, її залежність від величини енергії збудження, і був завданням роботи, викладеної в даній дисертації.

Актуальність теми. Увага до досліджень колективного руху у важких атомних ядрах та ядерних системах, що утворюються в процесі злиття важких іонів з ядрами, суттєво зросла протягом останнього часу у зв'язку із експериментами по синтезу надважких елементів (Hofmann S., Muenzenberg G., 2000), зокрема, у зв'язку з нещодавнім успішним синтезом елементів з числом протонів Z = 114 та Z = 116 в ОІЯД, м. Дубна (Оганесян Ю.Ц., 1999).

Успіх експериментів у Дубні привернув увагу до реакцій злиття-поділу при невисоких енергіях збудження. Найбільш успішні теоретичні моделі для опису таких реакцій базуються на розв'язку рівнянь Ланжевена для колективних змінних (параметрів деформації) Q?, які задають форму поверхні об'єднаної ядерної системи. Уся інформація про структуру ядра міститься в коефіцієнтах цього рівняння, потенційній енергії та кінетичних коефіцієнтах: тензорах тертя, маси і дифузії.

В існуючих розрахунках тільки потенційна енергія визначається досить точно на основі методу оболонкових поправок (Струтинский В.М., 1966). Для тензорів тертя і маси М як правило використовують величини, отримані в макроскопічних моделях (“стіночна формула” Святецького для тертя і метод Вернера-Уілера для масового параметра), а тензор дифузії виражається через коефіцієнт тертя за допомогою співвідношення Ейнштейна:

Ці методи приводять до досить простих виразів для тертя та маси. Однак, як самі величини, так і їх залежність від колективних змінних та енергії збудження не є надійними, оскільки в макроскопічних моделях повністю ігноруються оболонкові ефекти та сили спарювання, які набувають особливого значення при невисоких енергіях збудження. Зокрема, помічене Гофманом, Баком і Паулем різке збільшення тертя при:

- неможливо пояснити ні за допомогою тертя “стіночної формули”, яке практично не залежить від температури, ні в рамках гідродинамічного тертя, яке зменшується з ростом температури як Т². Таким чином, не викликає сумніву необхідність створення мікроскопічного підходу для визначення і розрахунків кінетичних коефіцієнтів колективного руху.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації розвинута теоретична модель, яка дозволяє на мікроскопічному рівні проводити розрахунки кінетичних коефіцієнтів, що визначають динаміку процесів з великою перебудовою стану ядра - коефіцієнтів тертя, масових параметрів, жорсткості потенційної енергії. Модель природним чином враховує оболонкові ефекти, сили спарювання, залежність ширини одночастинкових рівнів, яка виникає внаслідок зіткнень нуклонів, від енергії збудження.

Вперше вдалось врахувати вплив на кінетичні коефіцієнти таких тонких структурних ефектів як залежність ширини одночастинкових рівнів від спарювальної взаємодії, обертання об'єднаної системи, відновлення симетрій, порушених спарювальною та коріолісовою взаємодією, узгодження деформації середнього поля та розподілу густини нуклонів у ядрах. Вперше виконані багаточислені розрахунки кінетичних коефіцієнтів з реалістичними потенціалами скінченої глибини (потенціал Вудса-Саксона) для складних конфігурацій, які ядерна система набуває в процесі поділу чи злиття. Показано, що:

а) при не дуже високих енергіях збудження коефіцієнт тертя збільшується з ростом енергії збудження;

б) спарювальна взаємодія зменшує коефіцієнт тертя практично до нуля;

в) кінетичні коефіцієнти досить стабільні по відношенню до кутового обертання в широкому діапазоні кутових моментів за умови, що усунуто нефізичні компоненти, які виникають внаслідок порушення обертової симетрії гамільтоніана ядра коріолісовою взаємодією;

г) величина кінетичних коефіцієнтів при невеликих температурах та їх залежність від температури суттєво відрізняються від відповідних результатів, отриманих в макроскопічних моделях (“стіночна формула” для тертя і метод Вернера-Уілера для масового параметра), що робить невиправданим використання макроскопічних кінетичних коефіцієнтів для опису колективного руху при невисоких енергіях збудження;

д) розраховане значення коефіцієнта тертя та його залежність від температури добре узгоджуються із значеннями, отриманими шляхом аналізу наявних експериментальних даних.

Практичне значення одержаних результатів. Використання кінетичних коефіцієнтів, отриманих в дисертації, дає змогу проводити реалістичні розрахунки еволюції ядерних систем, розподілів фрагментів поділу по масах та енергії, числа легких частинок, випромінених в процесі поділу, перерізів злиття та поділу ядер, ймовірності утворення залишку випаровування та ін.

Кінетичні коефіцієнти, отримані в рамках викладеного в дисертації підходу, використовуються в даний час в розрахунках динаміки реакцій злиття-поділу шляхом розв'язку рівнянь Ланжевена для змінних форми ядерної системи.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковано в наведених нижче роботах. В роботах, виконаних у співавторстві, здобувач брав безпосередню участь на усіх етапах роботи: у формулюванні проблеми, розв'язку поставленої задачі, розробці методів наближених розв'язків та створенні програм для ЕОМ, проведенні чисельних розрахунків, аналізі отриманих результатів, підготовці робіт до публікації. Деякі публікації з співавторами є подальшим розвитком самостійних робіт здобувача. Усі найбільш важливі результати дисертації, перераховані у висновках, отримані особисто здобувачем.

Апробація результатів дисертації.

Основні результати дисертації обговорювались та доповідались на 36-38, 40, 43, 44, 47-51 Всесоюзних (Міжнародних з 1992 р.) нарадах з ядерної спектроскопії та структури атомного ядра (1986-1988, 1990, 1993, 1994, 1997-2001), на 13 і 25 Міжнародних мазурських школах з ядерної фізики (Польща, м. Миколайки, 1985, м. Пяски, 1997), на нараді Київ - Краків - Росендорф - Ржеж (Польща, м. Краків, 1986), на Міжнародній конференції “50-та річниця поділу ядер” (Ленінград, 1989), на міжнародних конференціях “Колективні стани в атомних ядрах” (м. Дубна, 1992, 1999), на російсько-німецькій нараді “Колективні моди в поділі ядер” (м. Дубна, 1996), на 3, 4-й Київських міжнародних школах з ядерної фізики (м. Київ, 1992, 1994), на 4-й Міжнародній конференції “Динамічні аспекти поділу ядер” (Словаччина, м. Братіслава, 1998), на Міжнародній нараді “Транспорт в скінчених багаточастинкових системах” (Італія, м. Тренто, 2000), а також були представлені на Міжнародній конференції з ядерної фізики “Колективний рух в атомних ядрах” (Італія, м. Месіна, 1996), на 3, 4-му Симпозіумах з ядерної фізики (Франція, м. Тур, 1997, 2000).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 22-х статтях у наукових журналах, в 2-х рецензованих збірниках наукових праць, в 5-х роботах у матеріалах і тезах міжнародних конференцій та в 1-му препринті. Список робіт наведений в кінці автореферату.

Структура дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, шести додатків і списку використаних джерел. Вона написана на 326 сторінках, включаючи 79 рисунків та одну таблицю. Список використаних джерел містить 218 пунктів. На початку кожного розділу робиться короткий вступ, а в кінці приводяться основні результати, отримані в даному розділі.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі до дисертації обґрунтована актуальність теми дисертації, сформульована мета і постановка задачі, відмічена новизна роботи, її наукове і практичне значення. Коротко викладені основні експериментальні та теоретичні результати по темі дисертації. Пояснюється структура дисертації, наведені основні результати, отримані в дисертації, і їх апробація.

Розділ 1 присвячений в основному дослідженню статичних і динамічних властивостей атомних ядер в рамках краплинної моделі. При цьому маються на увазі процеси, які супроводжуються великою перебудовою атомних ядер, такі, наприклад, як поділ чи злиття ядер (так звані процеси з великою амплітудою деформації). Спроби описати такі процеси за допомогою хвильових функцій, що залежать від координат окремих нуклонів, виявляються безуспішними через велике число нуклонів, які беруть участь в процесі, що призводить до великих труднощів із розрахунками на обчислювальних машинах. Більш успішний підхід до опису колективної динаміки може бути оснований на введенні в ролі незалежних динамічних змінних параметрів деформації, які задають форму поверхні ядерної системи, і розв'язку динамічних рівнянь типу Фоккера-Планка або Ланжевена для цих змінних. Так як розв'язок динамічних рівнянь все ще вимагає значних затрат машинного часу, бажано обмежитись мінімальним числом динамічних змінних, які давали б досить повну і гнучку параметризацію форми ядра. Ясно, що зменшення числа динамічних змінних є великим спрощенням задачі. Успіх моделі в значній мірі залежить від того, наскільки реалістичним є клас фігур, що задається вибраною параметризацією.

Зручний критерій для вибору параметризації форми ядра можна знайти в ранніх роботах Струтинського (Струтинський В.М., 1962, Strutinsky V.M., Lashchenko N.Ya., Popov N.A., 1963 енергії при заданій деформації. Маючи профільну функцію, неважко розрахувати краплинну енергію ядра чи енергію деформації.

В розділі 2 сформульовано мікроскопічний підхід для опису дисипативних явищ, який використовує так зване наближення часу релаксації для одночастинкової матриці густини. Виведено формули для коефіцієнта тертя та масового параметра, виконано чисельні розрахунки і проаналізовано залежність коефіцієнта тертя і масового параметра від температури і деформації.

Важливість дисипативних явищ відома в теорії поділу ядер протягом багатьох років. Вклади в коефіцієнт тертя дають як зіткнення між нуклонами, так і зіткнення нуклонів з рухомою поверхнею ядра.

Підходи, основані на цих двох механізмах, приводять або до так званої двотільної дисипації, або до “стіночної формули”. Залежність коефіцієнта тертя від температури у цих двох підходах повністю різна: “стіночне тертя” практично не залежить від температури, а двотільна в'язкість зменшується при зростанні температури як Т².

Розвинутий у розділі 2 мікроскопічний підхід дає змогу одночасно врахувати обидва механізми дисипації.

Підрозділи 2.1-2 мають оглядовий характер. В підрозд. 2.1 описано узагальнення методу залежного від часу Хартрі-Фока шляхом врахування зіткнень між нуклонами. Тут виводиться рівняння для залежних від часу чисел заповнення, в якому враховується інтеграл зіткнень.

В підрозд. 2.2 виконано лінеаризацію інтеграла зіткнень та виведено рівняння для одночастинкової матриці густини у так званому наближенні часу релаксації.

В підрозд 2.3 введено колективні параметри, які задають форму поверхні ядра і отримано класичне рівняння руху цих параметрів. Вважається, що одночастинковий гамільтоніан h залежить від часу не безпосередньо, а через параметри деформації. Воно має вигляд класичного рівняння руху із змінною масою і тертям.

Кінетичні коефіцієнти цього рівняння (коефіцієнт тертя y і масовий параметр M), виражаються через такі мікроскопічні величини як одночастинкові енергії, числа заповнення, матричні елементи від похідних середнього поля ядра по параметрах деформації. Колективна сила є похідною по деформації від колективної потенційної енергії.

Отримані тут коефіцієнт тертя і масовий параметр складаються з двох компонент, які роблять внески у недіагональні (по одночастинкових станах) і діагональні матричні елементи оператора F.

Встановлено, що в діагональній компоненті y2 присутні нефізичні духові вклади, які виникають внаслідок порушення умови збереження числа частинок. Усунення духових вкладів приводить до зменшення діагонального компонента y2 приблизно на порядок.

В розділі 3 розроблено мікроскопічний підхід для визначення кінетичних коефіцієнтів для процесів типу поділу ядер або реакцій злиття-поділу, який використовує теорію лінійного відгуку та локальне осциляторне наближення (Hofmann H. et al, 1976-1977). Виведено явні вирази для функції відгуку та розроблено методи її чисельних розрахунків. Сформульовано метод визначення кінетичних коефіцієнтів шляхом апроксимації колективної функції відгуку функцією відгуку згасаючого осцилятора.

Проведено чисельні розрахунки потенційної енергії, жорсткості потенційної енергії, коефіцієнтів тертя та масових параметрів для багатьох ядер залежно від форми ядра та енергії збудження. Показано, що розрахована величина зведеного коефіцієнта тертя, а також його залежність від температури і енергії збудження добре узгоджується з наявними експериментальними даними.

В розділі 4 досліджено вплив спарювання і оболонкових ефектів на колективну потенційну енергію і кінетичні коефіцієнти, що особливо важливо при невеликих енергіях збудження, зокрема на фінальній стадії реакцій злиття, які використовуються в експериментах по синтезу надважких елементів. Для дослідження впливу спарювання теорію модифіковано в основному у двох аспектах: модель незалежних частинок замінено на модель незалежних квазічастинок, а ширину одночастинкових рівнів замінено відповідною величиною для квазічастинок. Причому параметр щілини спарювання розглядається як незалежна динамічна змінна, така ж, як і параметри деформації ядра.

ВИСНОВКИ

В висновках перераховано найбільш важливі результати, отримані в дисертації.

Сформульовано модель для опису колективного руху великої амплітуди у важких атомних ядрах. В моделі використовуються теорія лінійного відгуку і реалістичні потенціали середнього поля типу деформованого потенціалу Вудса-Саксона, які добре описують квазістатичні властивості ядер. В моделі природним чином враховуються оболонкові ефекти, сили спарювання, залежність ширини одночастинкових рівнів від залишкової взаємодії та енергії збудження.

Модель дає змогу розрахувати на мікроскопічному рівні кінетичні коефіцієнти, які визначають динаміку процесів з великою перебудовою стану ядра (коефіцієнти тертя, масові параметри, жорсткість потенційної енергії). В моделі враховано вплив таких структурних ефектів як обертання об'єднаної ядерної системи, залежність ширини одно квазічастинкових рівнів від величини сили спарювання. Показано необхідність відновлення властивостей симетрії гамільтоніана, що порушуються обертанням або спарювальною взаємодією.

Виконано розрахунки потенційної енергії, жорсткості потенційної енергії, коефіцієнтів тертя та масових параметрів для багатьох важких ядер залежно від енергії збудження і форми, яку ядро набуває в процесі поділу чи злиття.

Показано, що розрахована величина зведеного коефіцієнта тертя (відношення коефіцієнта тертя до масового параметра), а також його залежність від температури і деформації добре узгоджуються з результатами аналізу експериментальних даних.

Показано, що спарювальна взаємодія приводить до значного зменшення ширини одно квазічастинкових рівнів і, відповідно, до зменшення коефіцієнта тертя.

Установлено, що коефіцієнт тертя збільшується з ростом температури в інтервалі. При масовий параметр набуває значення, близького до масового параметра безвихрової нестисливої рідини. Для таких температур коефіцієнт тертя має величину, близьку до тертя “стіночної формули”. При невеликих збудженнях кінетичні коефіцієнти відрізняються в декілька разів від відповідних величин, розрахованих в рамках мікроскопічних моделей (“стіночна формула” для коефіцієнта тертя і модель безвихрової нестисливої рідини для масового параметра).

Досліджено залежність кінетичних коефіцієнтів від колективного обертання ядер. Встановлено, що при температурах, більших за, як коефіцієнт тертя, так і масовий параметр нечутливі до обертання. Для температур знайдено незначний ріст тертя і маси при збільшенні частоти обертання. Розроблено метод усунення нефізичних вкладів в кінетичні коефіцієнти, що виникають через порушення законів збереження числа частинок і моменту кількості руху при не досить строгому врахуванні сил спарювання і обертання. атомний кінетичний фізика

В наближенні часу релаксації виведено рівняння руху для змінних, які задають форму поверхні ядра та отримано вирази для коефіцієнтів цього рівняння (для коефіцієнта тертя і масового параметра). Показано, що недіагональна (по одночастинкових станах) і діагональна компоненти коефіцієнта тертя проявляють залежність від енергії збудження, характерну для одно- і двотільного механізмів дисипації.

Досліджено вплив обертання на форму деформованих ядер в краплинній моделі ядра. Показано, що зміна форми ядра (при фіксованому видовженні), пов'язана з обертанням, дуже мала.

Отримано відносно прості вирази для оболонкової поправки до краплинної енергії збуджених ядер при наявності сил спарювання. Проведені розрахунки показують, що оболонкова поправка зменшується як з ростом температури, так і з збільшенням щілини спарювання.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛІДЖЕННЯ У ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Ivanyuk F.A., Ivascu M.S., Poenaru D.N. Shell and pairing corrections // Particle emission from nuclei. - Boca Raton: CRC Press Inc. - 1989. - Vol. 1.

2. Radionov S.V., Ivanyuk F.A., Kolomietz V.M., Magner A.G. Viscosity effects at the nuclear descent from the fission barrier // Збірник наукових праць Інституту ядерних досліджень. - Київ: ІЯД НАНУ. - 2001. - №1(3). - C. 19-30.

3. Hofmann H., Ivanyuk F.A., Yamaji S. Strutinsky smoothing and the macroscopic limit of collective motion // Proceedings of 4th Int. School on Nuclear Physics. - Kiev: Vneshtorgizdat. - 1994. - P. 77-91.

4. F.A. Ivanyuk F.A., Kosenko G.I., Oganessian Yu.Ts., Pashkevich V.V. Fusion dynamics of massive nuclei // Proceedings of Tours Symposium on Nuclear Physics III,. - New York: World Scientific. - 1997. - P. 165-170.

5. Ivanyuk F.A. The shell effects in the collective transport coefficients // Proceedings. of Int.Conf.on Nucl. Phys. "Nuclear shells - 50 years". -Singapore: World Scientific. - 2000. - P. 456-465.

6. Yamaji S., Hofmann H., Ivanyuk F.A. Microscopic description of damped collective motion // Proceedings of Tours Symposium on Nuclear Physics IV. - New York: World Scientific. - 2001. - P. 399-410.

7. Strutinsky V.M., Abrosimov V.I., Ivanyuk F.A. Towards CRAMOLA, the cranking model for large amplitudes // Z. Physik. - 1982. - Vol. A306, №3.

8. Ivanyuk F.A. Shell corrections for finite depth potentials.3 // Z. Phys. A - Atoms and Nuclei. - 1984. - Vol. 316, №3. - P. 233-237.

9. Иванюк Ф.А. Свойства статической функции Вигнера для системы частиц в потенциале Вудса-Саксона // УФЖ. - 1987. - Т. 32, №9. - C. 1309-1315.

10. Ivanyuk F.A. The Adiabatic Cranking Model for Large Amplitudes // Z.Physik. A - Atoms and Nuclei. - 1989. - Vol. 334, №4, - P. 69-75.

11. Струтинский В.М., Иванюк Ф.А., Пашкевич В.В. Сильнодеформированные состояния вращающихся ядер // Известия АН СССР (сер. физ.). - 1988. - Т. 52., - 5. - С. 834-837.

12. Алешин В.П., Иванюк Ф.А. О форме промежуточных систем в реакциях слияния-деления // Известия АН СССР (сер. физ.). - 1990. - Т. 54, №5. С. 861-867.

13. Иванюк Ф.А. Уравнение коллективного ядерного движения в тау-приближении // Ядерная физика. - 1989. - Т. 49, №3. С. 655-663.

14. Strutinsky V.M., Ivanyuk F.A., Vydrug-Vlasenko S.M. Towards a macroscopic generator coordinate method // Z. Phys. A - Hadrons and Nuclei. - 1992. - Vol. 341, №3. - P. 267-274.

15. Kiderlen D., Hofmann H., Ivanyuk F.A. Dynamical aspects of thermal nuclear properties // Nucl. Phys. - 1992. - Vol. A550, №3. - P. 473-506.

16. Hofmann H., Ivanyuk F.A. From microscopic to macroscopic nuclear collective dynamics // Z. Phys. A - Hadrons and Nuclei. - 1993. - Vol. 344. - P. 285-290.

17. Коломиец В.М., Магнер А.Г., Иванюк Ф.А. Вариационный принцип для макроскопической динамики больших деформаций ядер // Известия АН СССР (сер. физ.) - 1993. - Т. 57, №10. - С. 26-33.

Размещено на Allbest.ru