Взаємодія циліндричної оболонки і сферичного тіла в стисливій рідині

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут механіки НАН України ім. С. П. Тимошенко

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата

фізико-математичних наук

Взаємодія циліндричної оболонки і сферичного тіла в стисливій рідині

01.02.04. - механіка деформівного твердого тіла

ДЗЮБА ВІКТОРІЯ ВІКТОРІВНА

УДК 534.14

Київ - 2001

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України

Науковий керівник член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Кубенко Веніамін Дмитрович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, заступник директора інституту з наукової роботи

Офіційні опоненти доктор фізико-математичних наук, професор Селезов Ігор Тимофійович, Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу

кандидат фізико-математичних наук Жук Ярослав Олександрович, Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, докторант

Провідна установа Інститут проблем машинобудування ім. А. М. Підгорного НАН України

Захист відбудеться 11.09.2001 року о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою 03057, Київ, вул. П.Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України

Автореферат розісланий 01.08.2001 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук Жук О.П.

Анотації

циліндричний сферичний рідина стисливий

Дзюба В. В. Взаємодія циліндричної оболонки і сферичного тіла в стисливій рідині. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04. - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, Київ, 2001.

Дисертація присвячена розробці ефективного підходу до розв'язування задач про взаємодію сферичного і циліндричного (жорсткого або тонкої пружної оболонки) тіл у стисливій рідині. Розглянуто внутрішню вісесиметричну (циліндрична оболонка заповнена акустичним середовищем і містить сферичне тіло, що коливається на її вісі) та зовнішню (взаємодія циліндричного і сферичного тіл у безмежному акустичному просторі) задачі.

Дослідження спирається на можливість представлення частинного розв'язку рівняння Гельмгольца, яке записане у циліндричних координатах, за допомогою частинних розв'язків у сферичних координатах, та навпаки. Це дозволяє, використовуючи принцип суперпозиції, записувати загальний розв'язок як в циліндричних, так і в сферичних координатних системах та задовольняти граничним умовам на поверхні кожного тіла. В результаті задачі зводяться до дослідження і розв'язування нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих сталих, які входять в розв'язки рівнянь у вигляді ряда із розділеними змінними.

Визначено гідродинамічні характеристики рідини та характеристики деформування оболонки.

Ключові слова: кругова циліндрична оболонка, сферичне тіло, що коливається, ідеальна стислива рідина, теореми додавання циліндричних функцій, співвідношення, що дозволяють перетворювати циліндричні хвильові функції в сферичні та навпаки.

Дзюба В. В. Взаимодействие цилиндрической оболочки и сферического тела в сжимаемой жидкости. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04. - механика деформируемого твердого тела. - Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2001.

Диссертация посвящена разработке эффективного подхода к решению задач о взаимодействии сферического и цилиндрического (жесткого или тонкой упругой оболочки) тел в сжимаемой жидкости. Исследование опирается на использование соотношений, позволяющих преобразовывать цилиндрические волновые функции в сферические и наоборот. Это позволяет, используя принцип суперпозиции, записать общее решение как в цилиндрических, так и в сферических координатных системах и удовлетворить граничным условиям на поверхности каждого тела. В работе рассмотрены внутренняя (цилиндрическая оболочка заполнена акустической средой и содержит колеблющееся сферическое тело) и внешняя (взаимодействие цилиндрического и сферического тел в безграничном акустическом пространстве) задачи.

Диссертация состоит из четырех разделов.

В первом разделе сделан обзор литературы по теме диссертации и освещено состояние проблемы решения пространственных многосвязных задач гидроупругости.

Во втором разделе приведена общая постановка краевых задач гидроупругости и изложен метод их решения. Данный метод основан на использовании метода разделения переменных, теорем сложения специальных функций, а также на возможности представления частного решения уравнения Гельмгольца, записанного в цилиндрических координатах, через частные решения того же уравнения в сферических координатах, и наоборот. Это дает возможность удовлетворять граничным условиям на поверхностях рассматриваемых тел. В результате краевые задачи сводятся к исследованию и решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которых имеют вид несобственных интегралов от цилиндрических функций.

Третий раздел посвящен решению внутренней осесимметричной задачи. Рассматривался бесконечно длинный круговой цилиндрический сосуд (неподвижная жесткая полость либо тонкая упругая оболочка), заполненный идеальной сжимаемой жидкостью и содержащий сферическое тело, поверхность которого колеблется гармонически по заданному закону. Предполагалось, что источник сферической формы расположен на оси полости. Поведение жидкости описывалось уравнением Гельмгольца, а движение тонкой упругой цилиндрической оболочки - уравнениями линеаризованной теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява.

Полученная в результате решения задачи с помощью вышеупомянутого метода бесконечная система решалась методом редукции, обоснование применения которого в работе приводится.

Выполнено решение осесимметричных задач о пульсациях и об осцилляциях сферического тела внутри цилиндрической полости, заполненной идеальной сжимаемой жидкостью. Исследовались гидродинамические характеристики этой жидкости (давление и скорость), а также характеристики деформированного состояния тонкой упругой цилиндрической оболочки. Сравнивались гидродинамические характеристики жидкости в упругой оболочке с соответствующими характеристиками жидкости, заполняющей жесткую цилиндрическую полость. Также производилось сравнение с задачами о колебаниях сферы в безграничной жидкости. При этом исследовалось влияние геометрических размеров рассматриваемых тел, физических свойств жидкости и частоты колебаний сферы на указанные характеристики.

На основе полученных числовых результатов установлено предельное отношение радиусов сферического тела и цилиндрической полости, начиная с которого влияние цилиндрических стенок на гидродинамические характеристики жидкости вблизи поверхности сферического тела можно не учитывать. Также сделан вывод о возможности появления так называемых “местных резонансов” (аномалий Вуда).

Четвертый раздел посвящен исследованию установившихся во времени процессов взаимодействия колеблющегося по заданному закону сферического тела с жестким цилиндром и упругой цилиндрической оболочкой в безграничной сжимаемой жидкости.

Граничная задача сведена к исследованию и решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Установлено, что данная система принадлежит классу систем нормального типа, поэтому её решение было найдено с помощью метода редукции. На основании построенного потенциала скоростей жидкости определены гидродинамические характеристики жидкости и прогибы цилиндрических оболочек.

Для конкретных физических и геометрических параметров проведен численный анализ гидродинамических и упругих характеристик рассматриваемой системы “сферическое тело - сжимаемая жидкость - цилиндрическое тело”. Изучены особенности распределения полей давления и скоростей жидкости, а также прогибов цилиндрических оболочек, в зависимости от характерных геометрических размеров рассматриваемых тел и механических характеристик.

Предложенные методики позволяют исследовать поля скоростей и давлений сжимаемой жидкости, а также деформированное состояние круговых цилиндрических оболочек с наперед заданной точностью.

Ключевые слова: круговая цилиндрическая оболочка, колеблющееся сферическое тело, идеальная сжимаемая жидкость, теоремы сложения цилиндрических функций, соотношения, позволяющие преобразовывать цилиндрические волновые функции в сферические и наоборот.

Dziuba V. V. Interaction of the cylindrical shell and spherical body in compressible liquid. - Manuscript.

Thesis for a Candidate's Degree in Physics and Mathematics by the speciality 01.02.04. - mechanics of deformable solid. - S. P. Timoshenko Institute of mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2001.

The dissertation is devoted to an efficient approach for solving problems on spherical and cylindrical (rigid or the thin elastic shell) bodies interaction in compressible liquid. The internal axis symmetrical (the cylindrical shell is loaded by the acoustic medium and contains the spherical body, which vibrates on its axis) and external (the interaction of the cylindrical and spherical bodies in the infinite acoustic space) tasks are considered.

The investigation is based on the possibility of representing particular solutions of the Helmholtz equation written in cylindrical coordinates with the help of particular solutions in spherical coordinates, and vice versa. It is permit the general solution to be written both in the cylindrical and spherical coordinate systems with help of the superposition technique and the boundary conditions on the surfaces of the every body to be satisfied. As a result, the problems are reduced to investigating and solving infinite systems of linear algebraic equations for defining unknown constants, which consist in the equation solutions, written as a series with the separate variables.

The hydrodynamic characteristics of the liquid and the shell deformation characteristics have been defined.

Key words: the circular cylindrical shell, vibrating spherical body, ideal compressible liquid, the additional theorems for cylindrical functions, the expressions, which assume the cylindrical wave functions to be transformed in the spherical and vice versa.

1. Загальна характеристика роботи

Дисертаційна робота присвячена дослідженню питань динамічної взаємодії циліндричної оболонки (жорсткого циліндра) та сферичного тіла в стисливій рідині із врахуванням їх взаємовпливу.

Актуальність і ступінь дослідженості тематики. Розвиток певних галузей сучасної техніки, розробка ряда інтенсивних технологічних процесів призводять до необхідності вивчення динаміки взаємодії твердих або пружних тіл (оболонок) в рідині. Суттєвий практичний і науковий інтерес представляють процеси віброперемішування та локалізації, тобто спрямований рух тіл, обумовлений коливанням рідини, та формування в рідині їх локальних накоплень. Це знаходить практичне застосування при інтенсифікації деяких виробничих процесів: очищення і дегазації рідких середовищ, флотаційного збагачення руд, аерації, розпилення, поліпшення умов теплообміну, а також в технологіях відновлення добування нафти в закупорених шпарах і т. ін. Тіла та газові частки, що знаходяться в рідині, під час дії вібраційних або акустичних навантажень можуть оказувати значний вплив на функціонування окремих вузлів силових установок та агрегатів, що містять таку рідину або знаходяться в ній. У зв'язку з цим виникає необхідність дослідження акустичних та гідродинамічних процесів у рідинному середовищі, яке взаємодіє з пружними елементами конструкцій, з метою вдосконалення конструкційних характеристик устатковання та запобігання небажаних ефектів у таких механічних системах.

Сучасні досягнення в галузі гідропружності стали можливі завдяки фундаментальним працям Н. Є. Жуковського, Л. І. Сєдова, М. А. Лаврентьєва, В. В. Новожилова, М. А. Кільчевського, А. С. Вольміра та інших вчених.

Значний внесок в розвиток зазначеного напрямку механіки зроблен сучасною українською школою і в першу чергу такими фахівцями, як О. М. Гузь, В. М. Буйвол, В. Д. Кубенко, В. Т. Грінченко, І. Т. Селезов, Л. Г. Лейко, О. П. Жук.

Важливою складовою частиною загальної проблеми про взаємодію тіл із середовищем являються багатозв'язні задачі.

Дифракція електромагнітних хвиль в багатозв'язних тілах досліджувалася Є. А. Івановим, акустичних хвиль - Є. Л. Шендеровим. Монографії О. М. Гузя, В. Т. Головчана, В. Д. Кубенко, М. А. Черевко присвячені систематичному викладенню результатів вивчення дифракції пружних хвиль в багатозв'язних тілах. Застосований тут метод рядів при використанні теорем додавання для відповідних хвильових функцій дозволив звести вихідні крайові задачі до дослідження і розв'язку нескінченних систем алгебраїчних рівнянь. В закордонній літературі при розв'язанні задач подібного роду застосовується так званий “метод нульового поля”, або “метод Т-матриці”. Такими дослідженнями займалися P. C. Waterman, S. Olsson, E. B. Magrab, M. L. Rumerman, C. L. Scandrett та ін.

Характерною особливістю переважної більшості розв'язаних задач є обов'язкова однотипність граничних поверхонь, що обумовлено можливістю використання теорем додавання спеціальних функцій при записі загального розв'язку в координатній системі кожного тіла. Стосовно задач гідропружності, розглядалася взаємодія систем або тільки сферичних, або тільки циліндричних тіл

в ідеальних стисливій та нестисливій рідинах, а також у в'язкому середовищі. В останні роки у працях В. Д. Кубенко, Л. А. Крук, В. А. Савіна досліджувалася динаміка взаємодії сферичного і циліндричного тіл в нестисливій рідині. Разом з тим, дослідження взаємодії таких тіл із врахуванням їх взаємовпливу в стисливій рідині до цього часу не проводилися. Тому розробка ефективного підходу до розв'язання задач про взаємодію циліндричного (жорсткого або пружної оболонки) та сферичного тіл в стисливій рідині є актуальною проблемою і має теоретичне і практичне значення.

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у подальшому розвитку методів дослідження гідропружних систем на випадок стисливої рідини, в створенні програмного забезпечення й у розв'язанні задач про усталені процеси взаємодії циліндричного (жорсткого або пружної оболонки) та сферичного тіл в стисливій рідині із врахуванням їх взаємовпливу, а також у дослідженні характерних механічних ефектів. Для досягнення поставленої мети необхідно:

зробити постановку задач гідропружності, які моделюють усталені процеси взаємодії нескінченної циліндричної порожнини та пружної оболонки, заповнених ідеальною стисливою рідиною, із сферичним тілом, що коливається на їх вісях за заданим законом;

зробити постановку задач гідропружності, моделюючих усталені процеси взаємодії нескінченного кругового циліндра (жорсткого та пружної оболонки) із сферичним тілом, що коливається за заданим законом, у безмежній стисливій рідині;

розробити аналітичні підходи до розв'язку зазначених задач, які дозволяють проводити необхідні розрахунки з контрольованою точністю;

дослідити отримані аналітичні розв'язки та розробити алгоритм їх чисельної реалізації на ПК;

побудувати графіки гідродинамічних характеристик рідини, а також характеристик деформування тонкої пружної циліндричної оболонки в залежності від геометричних розмірів тіл, що розглядаються, фізичних властивостей рідини та частоти коливань сфери;

на основі порівняльного аналізу виявити характерні механічні ефекти.

Наукова новизна роботи полягає в тому, що в ній вперше дано постановки задач про взаємодію сферичного тіла, що коливається, із жорсткою та тонкою пружною циліндричними оболонками у стисливій рідині, розроблено підхід до отримання точного розв'язку цих задач, виконано дослідження нескінченних систем алгебраїчних рівнянь, які виникають при їх розв'язуванні, а також проведено дослідження процесів взаємодії вказаних тіл.

Достовірність основних наукових положень і отриманих результатів підтверджується використанням (при моделюванні процесів взаємодії) класичних моделей механіки рідин і теорії пружності тонкостінних тіл, а також коректністю зроблених постановок крайових задач і застосуванням розробленого аналітичного підходу до їх розв'язку, який дозволяє контролювати точність обчислень.

Теоретичне значення і практича цінність полягає в тому, що створені розрахункові алгоритми і виявлені механічні закономірності процесів взаємодії у вищезазначених гідропружних системах можуть бути використані при вдосконаленні існуючих і проектуванні нових інженерних споруд, які містять рідину, що коливається, або знаходяться в ній.

Реалізація і впровадження результатів. Результати дисертаційної роботи були використані в НДР (держреєстраційні № 0100U002624, № 0199U000900), виконаних у відділі теорії коливань Інститута механіки НАН України.

Особистий внесок здобувача. В роботах [3 - 8], опублікованих у співавторстві, науковому керівнику належать співучасть у подальшому розвитку методів дослідження гідропружних систем, що складаються із сферичного та циліндричного тіл і стисливої рідини, постановка задач та обговорення результатів; Л.А. Крук виконано дослідження гідропружних систем, що складаються із сферичного та циліндричного тіл і нестисливої рідини; А.В.Кузьмою отримано розв'язок задачі про взаємодію напівнескінченної циліндричної порожнини (пружної оболонки), заповненої стисливою рідиною, із сферою, що коливається на її осі. Дисертанту належать співучасть у подальшому розвитку методів дослідження гідропружних систем, що складаються із сферичного та циліндричного тіл і стисливої рідини, розробка аналітичних розв'язків поставлених задач за допомогою розвинутого методу, дослідження нескінченних систем алгебраїчних рівнянь, які виникають при їх розв'язуванні, розробка алгоритму чисельної реалізації отриманих аналітичних розв'язків на ПК, розв'язання конкретних задач та аналіз результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

наукових семінарах відділу теорії коливань Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України (м. Київ, 2000 - 2001 р.р.);

науковій конференції “Gesellschaft fьr angewandte Mathematik und Mechanik” (Німеччина, Gцttingen, квітень 2000 р.);

VII міжнародній конференції “Flow-Induced Vibration” (Швейцарія, Luzerne, червень 2000 р.);

міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (м. Київ, січень 2001 р.).

Публікації. По матеріалам дисертації опубліковано 8 наукових робіт [1 - 8], в тому числі [1, 3 - 6] у фахових виданнях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел.

Загальний обсяг дисертації становить 124 сторінки, друкованих на комп'ютері, у тому числі 73 рисунка, бібліографічний список із 134 найменувань.

2. Основний зміст

У вступі характеризується сучасний стан наукової проблеми, що їй присвячено дисертаційну роботу, обгрунтовується актуальність вибраної теми. Сформульовано мету та задачі дослідження, розкривається наукова новизна та практичне значення одержаних результатів. Наведено короткий зміст дисертації та дані про апробацію її результатів.

У першому розділі викладено огляд літератури за темою дисертації.

Другий розділ складається з двох підрозділів.

В першому підрозділі викладено загальну постановку крайових задач гідропружності.

Гідропружні системи, що розглядаються в даній роботі, складаються із нескінченної кругової циліндричної жорсткої або тонкої пружної оболонки, товщина стінки якої , та сферичного тіла радіуса , які взаємодіють в ідеальній стисливій рідині щільності . Сфера коливається всередині циліндричного об'єму, заповненого рідиною, або в безмежному акустичному середовищі (рис.1).

Дослідження динамічної поведінки цих гідропружних систем зводиться до сумісного розв'язку рівнянь, що моделюють рух ідеальної стисливої рідини та тонких пружних оболонок.

В якості таких моделей обрано рівняння теорії акустичного наближення, які дозволяють розглянути значно ширший диапазон частот зовнішнього навантаження, аніж рівняння нестисливої рідини:

, (1)

, (2)

, (3)

де - оператор Лапласа; - швидкість звуку в рідині; - час; - хвильовий потенціал швидкостей рідини; - швидкість рідини; - її тиск, а також рівняння теорії тонких пружних оболонок, яка базується на гіпотезах Кірхгофа-Лява:

Тут - компоненти вектора зміщень точок серединної поверхні оболонки; - зовнішнє навантаження з боку рідини; - щільність матеріала оболонки; - коефіцієнт Пуасона; - модуль пружності.

Вихідну систему диференційних рівнянь необхідно доповнити граничними умовами:

заданим рухом на поверхні сфери:

, (5)

де - закон її коливань;

нульовою швидкістю рідини на поверхні жорсткого циліндра:

; (6)

рівністю швидкостей рідини і оболонки:

, (7)

а також умовою в обмеженому об'ємі:

(8)

або умовами випромінення:

, . (9)

У загальному випадку руху необхідно враховувати ще й початкові, або граничні умови за часом. Для усталених процесів, які саме розглядаються в даній роботі, початкові умови не формулюються (часовий множник далі будемо пропускати у всіх виразах).

В другому підрозділі розділу 2 викладено метод розв'язку багатозв'язних задач гідропружності, згідно якому здійснюються наступні кроки:

1). Із кожною граничною поверхнею зв'язується “місцева” система координат таким чином, щоб гранична поверхня співпадала з однією із координатних поверхонь. Розглядаються дві “основні” системи коордінат: циліндрична та сферична , а також дві “допоміжні” - сферична та циліндрична система коордінат (рис.1).

2). Загальний розв'язок для всієї області, яку займає система, знаходиться у вигляді суми розв'язків для окремих однозв'язних областей:

. (10)

3). Розв'язок вихідних рівнянь у вигляді ряда із розділеними змінними, до якого входять невідомі сталі, представляється в кожній з “основних” координатних систем.

, , (11)

- потенціал швидкостей, обумовлений присутністю сфери; - хвильове число; - невідомі коефіцієнти.

Збурення, що вносяться в середовище циліндричним тілом (жорстким або тонкою пружною оболонкою) визначає потенціал

, (12)

де в області, зовнішній до циліндра,

всередині циліндричної області;

- невідомі функції, які підлягають визначенню.

4). За допомогою співвідношень, що дозволяють виражати циліндричні хвильові функції через сферичні та навпаки а також теорем додавання циліндричних функцій ( - одна з циліндричних функцій: або ; - кут, під яким із центру первісної координатної системи бачимо центр системи, до якої переходимо),

загальний розв'язок для всієї системи тіл записується в координатній системі кожного тіла у вигляді ряда із розділеними змінними цієї же системи координат:

в циліндричній системі координат він має вигляд

(17)

;

у зовнішній до циліндра області;

всередині циліндричної області,

в сферичній системі координат - набуває вигляду

. (18)

5). За допомогою виразів (17) та (18) задовольняються умови на граничних поверхнях.

В третьому розділі розглянуто задачу про взаємодію нескінченної жорсткої та тонкої пружної циліндричної оболонки, яка заповнена ідеальною стисливою рідиною, із коливаючимся за заданим законом сферичним тілом, геометричний центр якого знаходиться на осі циліндру. Розділ складається з п'яти підрозділів.

В першому підрозділі третього розділу на підставі загальної постановки крайових задач гідропружності, викладеної в підрозділі 2.1, дано постановку вказаної задачі.

Для розв'язку просторових багатозв'язних задач гідропружності здійснено перехід до безрозмірних величин

(19)

Далі будуть використовуватися тільки безрозмірні величини, тому рисочку над змінними у виразах будемо відкидати.

Рух ідеальної стисливої рідини описується хвильовим рівнянням (1), яке для усталених процесів із експоненціальною залежністю від часу і в безрозмірних величинах, введених співвідношеннями (19), приймає вигляд

, (20)

де - задана частота коливань сфери.

Необхідно знайти розв'язок рівняння (20), який би задовольняв граничним умовам

- на поверхні сфери:

, (21)

V(0)- закон її коливань;

- на поверхні жорсткого циліндра:

; (22)

- на поверхні оболонки:

, (23)

де - прогин циліндричної оболонки (вважаємо позитивним у напрямку до центру кривізни оболонки).

Циліндрична оболонка знаходиться під дією симетричного відносно осі навантаження з боку рідини

. (24)

Тому рівняння її руху (4) можна переписати у безрозмірному вигляді на випадок вісесиметричного деформування наступним чином:

(25)

C_M- швидкість звуку в матеріалі оболонки.

Для того, щоб виразити прогини оболонки через шуканий хвильовий потенціал, застосуємо до рівнянь (25) перетворення Фур'є по . В результаті, за допомогою співвідношень (3), (24) одержуємо цей зв'язок:

, (26)

де .

Другий підрозділ розділу 3 присвячено побудові потенціалу швидкостей рідини в циліндричному об'ємі. На підставі викладеної в підрозділі 2.2 методики цей потенціал шукаємо у вигляді (10) при виконанні слідуючих умов: при ; при . В даній постановці задачі:

За допомогою співвідношень (13), (14) кожний з цих виразів можна записати в системі координат, пов'язаній з іншим тілом, і отримати кінцево представлення загального потенціалу в циліндричному об'ємі в циліндричних та сферичних координатах. Граничні умови на поверхнях розглядаємих тіл, а також властивість ортогональності поліномів Лежандра дозволяють отримати нескінченну систему алгебраїчних рівнянь

(27)

де ,

а коефіцієнти для непарних сум незалежно від постановки задачі, а для парних сум вони дорівнюють:

у випадку жорсткої порожнини;

для тонкої пружної циліндричної оболонки.

Таким чином, розв'язання складної багатозв'язної задачі зводиться до дослідження і розв'язування нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь (27) відносно невідомих сталих, які входять в розв'язки рівнянь у вигляді ряда із розділеними змінними.

В третьому підрозділі розділу 3 представлено дослідження нескінченної системи алгебраїчних рівнянь (27) на предмет її належності класу систем нормального типа. Доведено, що дана система є системою нормального типа, і може бути розв'язана методом редукції.

Четвертий підрозділ розділу 3 містить результати чисельних розрахунків розглянутої задачі та їх аналіз.

При чисельному розв'язанні задачі швидкість звуку в рідині приймалася рівною , її густина - . Припускалося, що щільність рідини і матеріалу оболонки співвідносяться як , а коефіцієнт Пуасона матеріалу дорівнює його модуль пружності - .

Досліджувалися гідродинамічні характеристики рідини, що заповнює циліндричний об'єм, а також характеристики деформування тонкої пружної циліндричної оболонки. Розглядалося два типи руху сфери:

пульсації за законом , (28)

осциляції згідно закону . (29)

При цьому вивчався вплив геометричних розмірів розглядаємих тіл, фізичних властивостей рідини та частоти коливань сфери на вказані характеристики.

Проводилося порівняння з відповідними характеристиками нестисливої рідини, що заповнює циліндричний об'єм, а також з характеристиками стисливої при наявності в ній тільки сферичного тіла, що коливається.

При обчисленні всіх характеристик в якості множників нормування використовувалися параметри стисливої рідини.

На рис.2 - 4 представлено розподіл абсолютних значень тиску стисливої рідини по поверхні сфери. Суцільні криві на цих графіках відповідають випадку коливань сфери всередині пружної оболонки товщини , штрихові - випадку її коливань всередині жорсткого циліндра, а штрих пунктирні - випадку коливань сфери в безмежному акустичному середовищі.

Рис.2 ілюструє вплив величини радіуса сферичного тіла, що пульсує із частотою всередині циліндричного об'єму, а рис.3, 4 - вплив частоти пульсацій (рис.3) або осциляцій (рис.4) сфери радіуса на вказаний розподіл тиску.

Вплив фізичних властивостей рідини на її гідродинамічні характеристики розглянуто на рис.5. Суцільні криві на представленій ілюстрації відповідають випадку стисливої рідини, а штрихові - нестисливої. Приймалося, що поверхня сферичного тіла радіуса осцилює за законом (29) з різними частотами всередині жорсткого циліндра.

Спостерігається відхил абсолютних значень тиску рідини на поверхні пульсуючої (рис.2) всередині циліндричного сосуда сфери від їх значень при русі сфери в безмежному середовищі. Цей відхил суттєво збільшується по мірі зростання радіуса сферичного тіла, а для невеликих значень цього радіуса (одна десята радіуса циліндра) є знехтувано малим, що дозволяє проводити обчислення без врахування розмірів циліндричної порожнини (оболонки).

Як показують наведені вище характеристики, із зростанням частоти графічні залежності модуля тиску рідини (рис.3, 4) від кутової координати набувають більш складного характеру. Зокрема, при частоті пульсацій і частоті осциляцій сфери радіуса вказані характеристики мають значне (в декілька разів) зростання амплітуди. Ця обставина, очевидно, свідчить про можливість виникнення так званих “місцевих резонансів”. У нестисливій рідині (рис.5) подібні явища не спостерігалися.

В п'ятому підрозділі розділу 3 викладено висновки по розділу 3.

В четвертому розділі розглянуто задачу про взаємодію сферичного тіла, що коливається за заданим законом, із нескінченним жорстким циліндром та пружною циліндричною оболонкою в стисливій рідині, що заповнює безмежний об'єм. Розділ складається з п'яти підрозділів.

У першому підрозділі розділу 4 зроблено постановку цієї задачі. Вихідна система рівнянь в даному випадку складається з рівняння Гельмгольца (20) та рівнянь руху оболонки (4), записаних для усталених процесів і в безрозмірних величинах, введених співвідношеннями (19).

Граничні умови мають вигляд (21) - (23), тільки в даній постановці задачі необхідно враховувати залежність від кутових координат , а закон коливань поверхні сфери представляти у вигляді

В даній постановці задачі оболонка знаходиться під дією гідродинамічного навантаження

В другому підрозділі розділу 4 наведено побудову точного аналітичного розв'язку вказаної задачі за методом, викладеним в підрозділі 2.2. Хвильовий потенціал шукаємо у вигляді (10) при виконанні слідуючих умов на нескінченності: і при .

Окремі складові загального потенціалу визначаються формулами (11), (12), записаними в безрозмірних величинах, які введено співвідношеннями (19).

Послідовним застосуванням теорем додавання циліндричних функцій (15), (16), а також співвідношень (13), (14) одержуємо представлення загального потенціалу в системі координат кожного тіла.

Виконання граничних умов на поверхнях розглядаємих тіл, властивість ортогональності сферичних та тригонометричних функцій дозволяють отримати нескінченну систему алгебраїчних рівнянь

В третьому підрозділі розділу 4 представлено дослідження нескінченної системи алгебраїчних рівнянь (32) на предмет її належності класу систем нормального типа. Доведено, що дана система є системою нормального типа, і може бути розв'язана методом редукції.

Четвертий підрозділ розділу 4 містить результати чисельних розрахунків розглянутої задачі та їх аналіз. Параметри рідини та матеріалу оболонки розглядалися такими ж, як у попередньому розділі.

Рис.6, 7 ілюструють вплив відстані між сферою і циліндром (жорстким або пружною оболонкою), а також частоти пульсацій по закону (28) сферичного тіла, радіус якого складає одну другу радіуса циліндра, на гідродинамічні характеристики стисливої рідини. Суцільні криві на цих графіках відповідають випадку коливань сфери поруч із пружною оболонкою товщини , штрихові - випадку її коливань біля жорсткого циліндру, а штрих пунктирні - випадку коливань сфери в безмежному акустичному середовищі. На них показано розподіл абсолютних значень гідродинамічного тиску рідини в області, що обмежена поверхнями сферичного та циліндричного тіл.

Спостерігається відхил абсолютних значень тиску стисливої рідини (рис.6, 7), що відповідають пульсаціям сфери в безмежному акустичному середовищі при наявності циліндричного тіла (жорсткого або пружної оболонки), від їх значень при русі сфери в безмежному середовищі без циліндра. Цей відхил суттєво зростає по мірі зменшення відстані між сферою та циліндром, а також із збільшенням частоти коливань поверхні сферичного тіла.

В п'ятому підрозділі розділу 4 викладено висновки по розділу 4.

Висновки

1. Розвинуто математичний підхід до розв'язання внутрішньої вісесиметричної і зовнішньої задач про динамічну взаємодію нескінченної циліндричної тонкої пружної оболонки (жорсткої порожнини) і сферичного тіла, що коливається, в ідеальній стисливій рідині.

2. Отримано точний аналітичний розв'язок (у вигляді рядів Фур'є) даних задач.

3. Обгрунтовано застосування методу редукції при розв'язанні нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, до яких зводяться вказані граничні задачі.

4. Проведено обчислення гідродинамічних характеристик стисливої рідини та деформівного стану циліндричної оболонки. Досліджено вплив геометричних розмірів тіл, що взаємодіють, частоти коливань поверхні сфери, фізичних властивостей рідини на вказані характеристики.

5. Проведеним дослідженням встановлено, що:

при пульсаціях і осциляціях сферичного тіла всередині як жорсткого циліндра, так і тонкої пружної оболонки, заповнених стисливою рідиною, спостерігаються “місцеві резонанси”;

при коливаннях сферичного тіла всередині як жорсткого циліндра, так і тонкої пружної оболонки, заповнених нестисливою рідиною, “місцеві резонанси” не спостерігаються;

при частотах коливань з певного диапазона () сферичного тіла, радіус якого складає, по крайній мірі, не більше одної десятої радіуса циліндричної порожнини (оболонки), гідродинамічні характеристики рідини поблизу поверхні сфери можна визначити з деякою похибкою як характеристики коливань цієї сфери у безмежному акустичному просторі, тобто без враховування присутності циліндра.

6. Запропоновані методики дають можливість досліджувати поля швидкостей і тисків стисливої рідини, а також деформівний стан циліндричних оболонок із наперед заданою точністю.

7. Розвинутий в роботі метод точного побудування потенціалу швидкостей рідини дозволяє в подальшому вивчати деякі прикладні та технологічні процеси, такі, як віброперемішування, флотація, локалізація частинок в рідині, технології відновлення добування нафти в закупорених шпарах на підставі більш точних вихідних даних.

Список опублікованих праць

1. Дзюба В. В. Акустическое поле в жестком цилиндрическом сосуде при возбуждении пульсирующей сферой // Докл. НАН Украины. - 2000. - № 11. - С. 58 - 65.

2. Дзюба В. В. Построение потенциала скоростей идеальной сжимаемой жидкости в цилиндрическом сосуде, содержащем колеблющуюся по заданному закону сферу // Праці Міжнар. конф. “Моделювання та оптимізація складних систем” (МОСС - 2001). - Том 2. - Київ: Київський нац. ун-т ім. Т. Шевченка. - 2001. - С. 101 - 103.

3. Кубенко В. Д., Дзюба В. В. Акустическое поле в жестком цилиндрическом сосуде при возбуждении колеблющейся по заданному закону сферой // Прикл. механика. - 2000. - Т.36, № 6. - С. 88 - 97.

4. Кубенко В. Д., Дзюба В. В. Взаимодействие тонкой упругой цилиндрической оболочки, заполненной сжимаемой жидкостью, с колеблющейся сферой. Внутренняя осесимметричная задача / / Прикл. механика. - 2001. - Т.37, № 2. - С. 87 - 95.

5. Кубенко В. Д., Дзюба В. В. Взаимодействие тонкой упругой цилиндрической оболочки и пульсирующей сферы в безграничной акустической среде // Теор. и прикл. механика. - 2001. - Вып.33. - С. 144 - 159.

6. Кубенко В. Д., Дзюба В. В. Поле давления в акустическом пространстве, содержащем жесткое цилиндрическое тело и колеблющуюся по заданному закону сферу // Прикл. механика. - 2000. - Т.36, № 12. - С. 108 - 120.

7. V. Kubenko, V. Dziuba, A. Kuz'ma. Internal problems of acoustic interaction between spherical and cylindrical surfaces // Book of abstracts of the Annual Scientific Conference “Gesellschaft fьr angewandte Mathematik und Mechanik” (GAMM 2000). - Gцttingen. - 2000. - P. 81.

Размещено на Allbest.ru