Iмовiрнiстно-феноменологiчний пiдхiд у статистичнiй фізиці фрактально неупорядкованих конденсованих середовищ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нацiональна Академiя наук України

Науково-технологiчний концерн "Iнститут монокристалiв"

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

доктора фiзико-математичних наук

Спецiальнiсть 01.04.02 Теоретична фізика

Iмовiрнiстно-феноменологiчний пiдхiд у статистичнiй фізиці фрактально неупорядкованих конденсованих середовищ

Вiрченко Юрiй Петрович

Харкiв 2000

Дисертацiя є рукописом.

Дисертацiя виконана в Iнститутi монокристалiв НАН України, Науково-технологiчний концерн "Iнститут монокристалiв" м. Харкiв.

Науковий консультант: акад. НАН України Пелетминський С.В.

Офiцiйнi опоненти: доктор фiзико-математичних наук Петров Е.Г., завiдувач вiддiлом в Iнститутi теоретичної фiзики iм. Н.Н. Боголюбова;

доктор фiзико-математичних наук Яценко О.О., провiдний спiвробiтник в Iнститутi теоретичної фiзики ННЦ ХФТI; доктор фiзико-математичних наук Єрмолаєв О.М., завiдувач кафедрою теоретичної фізики Харкiвського нацiонального унiверситету;

Провiдна организацiя: Донецький Державний Унiверситет, фiзичний факультет, кафедра теоретичної фiзики

Захист вiдбудеться 27 вересня 2000р. о 14 годині на засiданнi Спецiалiзованої вченої ради Д 64.169.01 в Iнститутi монокристалiв НАН України.

Адреса: 61001, м. Харкiв, пр. Ленiна, 60.

З дисертацiєю можна ознайомитися в бiблiотецi Iнституту монокристалiв НАН України.

Автореферат розiсланий 27 серпня 2000р.

Вчений секретар Спецiалiзованої ради Д 64.169.01 кандидат технiчних наук Атрощенко Л.В.

1. Загальна характеристика роботи.

фізика конденсований флуктуація гiббсiвський

Актуальнiсть теми.

При дослідженні методами статистичної механіки неупорядкованих систем, які є реалiстичними моделями конденсованих середовищ, завжди приходиться вирішувати питання про iмовiрнiстне моделювання стохастичної структури, на якій розглядається випадкове поле, що вивчається (наприклад, поле намагнiченостi, якщо атоми середовища мають магнiтний момент). Для середовищ, неупорядкованість яких є наслiдком метастабільності їх термодинамічного стану, що має дуже великий час релаксації до істинної рівноваги, вказане моделювання з необхідністю приходиться здійснювати на основі феноменологiчних уявлень, залучаючи адекватні чисто статистичні аргументи. При цьому стохастична геометрія вказаних систем може бути вельми різноманітною. У найпростішому випадку, неупорядкованість пов'язана з порушеннями кристаличної гратки випадково розташованими з малою густиною - чужорiдними домішками, вакансіями і т.ін. Їх розташування у теорії твердого тiла описують, як правило, пуассонiвським точковим випадковим полем з відповідною густиною. Протилежний, у смислі математичних засобів, що використовуються, випадок реалізується при описі гетерогенно неупорядкованих структур. Точковi випадкові поля у цьому випадку є т.з. сепарабельнi поля. Зокрема, такі стохастичні моделі використовуються при описі полiкристалiчних структур.

Разом з тим, як відомо, у природі широко зустрічаються конденсованi середовища, просторова конструкцiя яких представляє собою проміжний випадок, як з математичної точки зору, так і за фізичним змiстом. Неупорядкованість їх геометрії неможливо охарактеризувати значеннями малого числа величин розмiрностi довжини, а, навпаки, вони характеризуються широким спектром масштабів, який змінюється від міжатомних відстаней до макроскопiчних розмірів. Про такi середовища природнє говорити, що вони є фрактально неупорядкованими.

Прикладами фрактально неупорядкованих середовищ, для яких у дисертації розробляється формалізм статистичної механіки, є такі, що, наприклад, створюють сильно пористi (губчатi), зокрема, порошковi структури, колоїди i т.iн.

Не дивлячись на те, що математична теорія фракталiв має тривалу iсторiю, та вже солідний стаж нараховує практика застосування фрактальных структур у теоретичній фізиці, проблема статистичного опису просторової структури вказаних середовищ та, більш того, побудова статистичної механіки фізичних полів на них залишається мало розробленою. Причини такого положення лежать у неординарнiй математичній природі таких геометричних конструкцій, як точковi випадкові поля з дробною величиною фрактальної розмiрностi.

У дисертації розглядаються iдеалiзованi геометричні моделі неупорядкованих середовищ, коли просторовий розподіл речовини у них створює ефективну просторову структуру з надзвичайно малим об'ємом в порівнянні з об'ємом, що займається пустотами. У цьому випадку, для характеризації розташування неупорядкованого середовища, можна ввести таку метричну характеристику, як фрактальна розмiрнiсть, відміна якої від розмiрностi фізичного простору приводить, як відомо, до появи самоподібних функціональних залежностей локальних фізичних характеристик середовища від розмірів областей, по яким здійснюється усереднення.

До цього часу icнує декілька фундаментальних досліджень у математичної теорії фракталiв, у яких вивчається задача побудови розподілу імовірностей для стохастичних фракталiв. Між тим ці дослідження не орієнтовані на фізичні застосування. Тому, їх результати не можуть бути використані для побудови статистичного опису фрактально неупорядкованих середовищ. При описі таких середовищ необхідно потурбуватись про те, щоб розподіл імовірностей мав властивостi, наявність яких диктується фізичними міркуваннями. Так, у наслiдок просторової однорідності середовищ необхідна стохастична трансляцiйна iнварiантнiсть випадкових точкових множин, що їх описують. Важливо також, щоб фрактальна розмiрнiсть цих випадкових множин самоусереднювалась, оскільки вона, феноменологiчно, є достовірним параметром, що виміряється. Окрім того, необхідне існування на стохастичнiй фрактальнiй структурі такої міри, конструкція якої б не залежала від випадковості реалізації стохастичного фракталу. У роботі такі міри називаються мірами, що мають невипадковий тип. Наявність такої міри дозволяє вводити густину розподілення для кожної фізичної величини на стохастичному фракталi, тобто вводити для кожної з них відповідну локальну характеристику.

Проблема конструктивного моделювання стохастичних фракталiв, що мають вказанi властивостi, є чисто геометричною. Проте, без її вирішення неможливо навіть ставити задачу математичного моделювання розподілу фізичних величин на фрактально неупорядкованих середовищах. Якщо ж стохастичнi фрактали задовiльняють перерахованим вимогам, то найбiльш природній метод представлення полів на них полягає у тому, щоб визначати їх інтегральні значення у кожної як завгодно малої області простору занурення фракталу. Проте, при цьому, зогляду на випадковiсть геометричної структури фракталу, ці інтегральні значення також є випадковими, тобто є випадковими полями. У зв'язку з цим, виникає задача конструктивного (феноменологiчного) моделювання випадкових полів на стохастичних фракталах. Користуючись аналогією зi статистичною механікою, можна вважати, що найбільш загальний та найбільш природній шлях для цього полягає у побудові феноменологiчного функцiоналу вільної енергії (або ентропiї), пов'язаної з кожним випадковим розподілом фізичного флуктуацiонного поля на стохастичному фракталi, та визначення на його основі розподілу імовірностей Гiббса. Випадкові поля, визначені згідно цьому принципу, у роботі називаються гiббсiвськими, а сам формалізм їх побудови - флуктуацiйною статистичною механікою. Очевидно, що конкретна реалiзацiя описаного шляху побудови гiббсiвських полів вимагає визначення функціонального iнтегралу по значеннях полів на стохастичному фракталi, для можливості обчислення відповідних статистичних сум. Виявляється, що визначення та методи конкретного обчислення таких функціональних iнтегралiв тісно пов'язані з аналогічними задачами рівнонаважної статистичної механіки гратчастих систем та конструктивної квантової теорії поля. Проте, до цього часу, цей напрямок розроблено цілком недостатньо.

Виходячи зі сказаного вище, розробка методiв iмовiрнiстного опису просторової конструкцiї фрактально неупорядкованих середовищ та методiв розрахунку статистичних характеристик гiббсiвських випадкових полiв на них, коли ураховуються кореляцiї пов'язанi з взаємодiєю, уявляється досить актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планам, темами.

Дослiдження проводились в Харкiвському фiзико-технiчному iнститутi, а з 1994 року в Iнститутi монокристалiв НАН України вiдповiдно до планiв науководослiдних робiт у рамках тем, якi перелiченi далi: тема "Анiзотроп" 1994-1996 рр. за наказом ТКМТПП України вiд 22.03.94 №52; тема "Хаос" 1995-1997 рр. за постановою Бюро ОФТПМ вiд 6.06.95 №10; тема "Структура" 1997-1998 рр. за наказом Мiннауки України вiд 17.03.97 №72; тема "Хаос-2" 1998-2000 рр. - 12.05.98 № 8; тема "Фрактал" 1998-2000 рр. - 12.05.98 №8.

Мета дисертацiї.

Згідно з актульнiстю вирішення описаної проблеми, метою роботи була побудова флуктуацiйної статистичної механiки полiв на стохастичних cтруктурах, що моделюють физичнi середовища i якi проявляють, з геометричної точки зору, фрактальний тип неупорядкованостi.

Для досягнення цiєї мети передбачалося:

1. Дати метод iмовiрнiстного опису точкових випадкових полiв - стохастичних фракталiв з дробною розмiрнiстю.

2. На основi цього методу зконструювати стохастичнi фрактали, якi є стохастично трансляцiйно iнварiантнi i якi б мали невипадкову фрактальну розмiрнiсть.

3. Визначити на таких фракталах мiру невипадкового типу таку, щоб середнi значення фiзичних величин у малих просторових областях, зайнятих точками фракталу, залежали б самоподiбним чином вiд розмiрiв цих областей.

4. На основi стохастичного iнтегралу за цiєю мiрою ввести клас функцiоналiв вiльної енергiї, якi б задовiльняли умовi термодинамiчної стiйкостi.

5. Зконструювати стохастичний функцiональний iнтеграл на фракталi i, на його основi, ввести статистичнi суми, що пов'язанi з функцiоналами вiльної енергiї.

6. На основi функционалiв вiльної енергiї i статистичних сум, з ними пов'язаних, ввести гiббсiвськi випадковi поля на стохастичному фракталi.

7. Розробити метод наближеного обчислення статистичних характеристик гiббсiвських полів на фракталi за допомогою дiаграмної техніки рахування відповідних функціональних iнтегралiв.

Наукова новизна отриманих результатiв:

У дисертацiї одержано такi новi результати:

1. Знайдено клас феноменологiчних гамiльтонiанiв скалярного гiббсiвського випадкового поля на гратках, для яких існують граничні термодинамічні стани, та встановлено, що точки фазових перетворень для цих станів складають множину не загального положення у просторі параметрів кожного з гамiльтонiанiв цього класу.

2. Побудовано розклад, що збiгається, за зворотним радіусом взаємодії для характеристичного функцiоналу гiббсiвського випадкового поля на гратках. Дана оцінка радіусу збіжності цього розкладу.

3. Доведена теорема про неможливість існування стохастичних фракталiв, що є водночас стохастично трансляцiйно інваріантними та самоподібними.

4. Запропоновано метод iмовiрнiстного опису стохастичних фракталiв на основi клiткових подрiбнень простору та введення масштабного випадкового процесу.

5. Визначено клас стохастичних фракталiв з маркiвським подрібненням. Для цього класу точкових структур доведена теорема про самоусереднюваннiсть їх фрактальної розмiрностi, для якої одержана явна формула. На стохастичних фракталах вказаного типу побудовано стохастичний iнтеграл.

6. Визначено i дослiджено динамiчнi системи фрактальної фрагментацiї.

7. Побудовано функціональний iнтеграл на стохастичних фракталах з маркiвським подрібненням та дiаграмна техніка його обчислення.

Теоретичне та практичне значення отриманих результатiв.

Теоретична та практична значимiсть отриманих результатiв обумо-влюються тим, що розробленi теоретичнi методи, котрi дозволяють, у межах статистичної фiзики, проводити математичне моделювання властивостей середовищ, якi мають фрактальний тип неупорядкованостi.

Особистий внесок автора.

Дисертацiя являє собою узагальнення результатiв дослiджень, що проведенi особисто автором або з його визначальною участю. Дисертант є автором (або співавтором) більш 120 публикацій. У списку, який мiстить-ся у кiнцi автореферату, приведені ті з них (за вийнятком тез доповідей на конференціях), на основі яких написано текст дисертації. Що стосується наукових праць з цього списку, якi виконанi у спiвавторствi, особистий внесок автора полягає в загальнiй постановцi задачi, розробцi методу дослiдження, виконаннi аналiтичних розрахункiв. При одержаннi наукових результатiв в роботах, що вказанi, дисертант:

- знайшов клас аналiтичних гамiльтонiанiв скалярного поля, для яких довiв iснування граничних термодинамичних станів, при наявності понадгаусового убування розподілу імовірностей для значень поля у фазовому просторi одного вузла; показав, що точки фазових переходів у просторі параметрів гамiльтонiану складають множину не загального положення (гiббсiвське правило фаз); побудував розклад за зворотним радіусом взаємодії для систем з некомпактним фазовим простором та оцінив область збіжності цього розкладу [1], [4], [21], [38];

- виконав доведення математичних тверджень, що стосуються унiмодальностi розподiлiв iмовiрностей [5], [13], [15], [16], [20], [21], [22], [23];

- удосконалив метод обчислення функцiональних iнтегралiв по мiрах, що пов'язанi з випадковими процесами та полями [7], [9], [10], [11], [12], [17], [18];

- запропонував метод побудови розподiлу iмовiрностей ансамблю випадкових точкових множин на основi клiткових подрiбнень простору та введення випадкового масштабного процесу, що описує заповнення клiток точками ансамблю [24], [25];

- ввiв поняття стохастичного фракталу з фрактальною розмiнiстю, що самоусереднюється та який має невипадковий тип фрактальної міри; визначив клас моделей стохастичних фракталiв з маркiвським подрібненням; одержав формулу, що виражає фрактальну рoзмiрнiсть через параметри розподілу імовірностей; довiв теорему про неможливість існування точкових випадкових полiв, що являються одночасно стохастично трансляцiйно інваріантними та самоподібними [25], [26];

- побудував формалізм статистичної механіки гiббсiвських випадкових полів на стохастичних фракталах, що являються стохастичними фракталами з маркiвським подрібненням; у межах цiєї конструкції, побудував кластерний розклад для характеристичного функцiоналу випадкового поля [13], [15], [26], [37], [39].

Апробацiя роботи.

Матерiали роботи доповiдалися i обговорювались на:

· III Всесоюзном совещании по избранным проблемам статистической физики, Москва, 1982;

· Всесоюзной конференции "Статистические методы в теории передачи и преобразования сигналов", Киев, 1988;

· Советско-Чешском симпозиуме "Физика магнитных доменов и фазовые переходы", Донецк, 1988;

· XI Всесоюзном семинаре "Теория информации", Ульяновск 1989;

· Международной конференции "Nonlinear World", Киев, 1989;

· Международном Симпозиуме "Generation of Large-Scale Structures in Continuous Media", Пермь-Москва, 1990;

· 3d Max Born's Simposium, Sobotka Castle (Wroclaw),1993;

· а також на наукових семiнарах в iн-те радiовимiрювань (Харкiв), iн-те прикладної математики (Донецьк), iн-те фiзики атмосфери АН СРСР (Москва) та у Нацiональному науковому центрi ХФТI (Харькiв).

Публiкацiї.

Матерiали, що включенi до дисертацiї, мiстяться у 41 роботi автора. Вони вийшли з друку на протязi 1979-1999 рокiв. Загальний список цих публiкацiй наведено в кiнцi автореферату.

Структура та обсяг дисертацiї.

Дисертацiя складається з вступу, п'яти роздiлiв, висновкiв та списку використаних джерел, який мiстить в собi 183 найменувань. Обсяг дисертацiйної роботи 329 сторiнок

2. Змiст роботи

У вступi обгрунтована актуальнiсть теми дослiдження, розглянуто стан проблеми, сформульована мета роботи. Вказанi особливостi тiєї проблеми, вирiшенню якої присвячена дисертацiя, причому це стосується як особливостей з точки зору фізичних властивостей об'єктів, що вивчаються - фрактально неупорядкованих середовищ, так і з точки зору висвiтлення тих математичних труднощей, які встають на шляху вирішення поставленої задачі. Приведено короткий огляд змiсту по роздiлам.

Що стосується труднощей, якi виникають при синтезi та дослідженнi стохастичних моделей, що описують фрактально неупорядкованих об'єктiв, то вони полягають у наступному.

Адекватним інструментом при вирiшеннi цiєї проблеми є такі математичні конструкції, як випадкові поля. Разом з тим оперування з випадковими полями (зокрема, з точковими) зіштовхується зi значними математичними труднощами. Це пов'язано з тим, що усереднення по будь-якому випадковому полю еквівалентно деякому функціональному iнтегралу по полях на просторі Сd.

У задачах статистичної фізики неупорядкованих середовищ, як правило, доводиться мати справу з випадковими полями (процесами), які iндукуються розподілами імовірностей випадкових "параметрів" середовища. Це означає, що розподіли імовірностей для фiзичних величин, що спостерігаються, є суперпозицією розподілiв імовірностей середовища та деякого відображення (у загальному випадку, стохастичного). Це відображення породжується, наприклад, рівняннями руху та (або) польовими рівняннями, де випадковість середовища математично проявляється у вигляді випадкових коефіцієнтів. Iншим прикладом цього положення є гiббсiвськi розподіли імовірностей, якi iндукуються мiкроскопiчними гамiльтонiанами з взаємодією часток середовища. наприклад, якщо фрактально неупорядковане середовище складається з іонiв, якi мають власний магнітний момент, то розподіл імовірностей для випадкового поля густини магнітного моменту на фракталi є суперпозицією гiббсiвського розподілу імовірностей на основі обмінного гамiльтонiану та розподілення імовірностей точкового випадкового поля, що формує стохастичний фрактал. Рівняння ж руху магнітного моменту, з необхідністю, є стохастичним, оскільки містить випадкові коефіцієнти, що описують флуктуацiї мiкроскопичних параметрів.

Наявність вказаної суперпозиції, при побудові фізичних величин, що спостерігаються, призводить до додаткових складностей у дослідженні неупорядкованих середовищ, навіть при наявності малого параметру у математичнiй конструкції моделі. Наприклад, для динамiчних задач, що пов'язанi з неупорядкованими середовищами, подолання перешкод, якi зустрічаються при вивченні детермінованих систем, у стохастичних задачах зіштовхується з додатковими труднощами з-за того, що резонанснi точки самі стають випадковими та виникає т.з. стохастичний резонанс. Друга перешкода, що являється специфічною для неупорядкованих середовищ, пов'язана з явищем перколяцiї. Наприклад, дослідження руху частки у випадково неупорядкованому середовищу шляхом маркiвських апроксiмацiй, при наявності малої густини, приводить у вищих порядках теорії збурень до розбiжностей у "iнтегралах зіткнень". Тому, коректна теорія збурень у таких задачах будується на iнших принципах, якi приводять до пересумуванню рядiв по малому параметру. Виникнення вказаної патології є одним з проявiв перколяцiйної дiаграми - характеристики, яка iснує для кожного неупорядкованого середовища. Вона, зокрема, є i у випадку фрактальної неупорядкованості.

Перколяцiя пов'язана з появою просочування випадкового поля при зміні параметрів його розподілу імовірностей. Вона пороговим чином змінює властивості середовища. З одного боку, це зумовлює появу різних фізичних ефектів, таких як, наприклад, тепловий пробій напівпровідникових матеріалів, фазовий перехiд Мотта i т.iн. А по перколяцiйному сценарію, відбувається втрата середовищем деяких якостей, що виражається у вигляді "старiння" материiалу. Зокрема, це старiння може носити характер фрактальної фрагментацiї. З іншого боку, наявність перколяцiйного фазового переходу є тою обставиною, яка ускладнює дослідження неупорядкованих середовищ методом разкладу по малому параметру, оскільки приводить до розбiжностей рядів теорії збурень. Що стосується фрактальної неупорядкованностi, то для неї можливо введення поняття перколяцiї у зв'язку з теоремою про самоусереднюваннiсть фрактальної розмiрностi. Вона нав'язувє таку геометричну структуру стохастичного фракталу, у якій, з імовірністю 1, відсутні ізольовані точки. Це приводить, при досить великiй фрактальнiй розмiрностi, до появи, з ненульовою імовірністю, цiлiсних шляхів, якi пронизують фрактал.

Перколяцiя властива стохастичнiй геометрії неупорядкованого ередовища. Вона ускладнює дослідження випадкових гiббсiвських полів на них, які мають власнi фазовi перебудови. З іншого боку, ці перебудови відбуваються внаслiдок явища просочування самих гiббсiвських полів. Наприклад, у скалярному випадку, розгляду якого присвячена дисертація, просочування перебуває у виникненнi, з ненульовою імовірністю, нескінченних кластерiв точок гратки, у яких поле "параметру порядку" має один i той же знак. Тому труднощі математичного аналізу фазових переходів на упорядкованих структурах мають те ж походження.

Відомо, що при дослідженні фазових переходів гiббсiвських полів, навіть за відсутностю неупорядкованості просторової структури, на якій вони будуються, виникають великi математичнi труднощі через втрату стійкості розподiлом iмовiрностей при малих збуреннях гамiльтонiану, у зв'язку з чим, у статистичну механіку вводиться поняття квазiсереднiх. По перше, з цієї причини, має місце розбiжнiсть рядів теорії збурень у високотемпературнiй фазi. Окрім того, у низькотемпературнiй фазi, для надання однозначності, необхідна процедура виділення основного стану. Для таких відносно простих моделей, як модель Iзiнга, ця процедура трiвiальна, тому, для них можлива побудова теорії збурень, що сходиться при низьких температурах. Теорема про збіжність, у цьому випадку, доводиться на основі техніки кореляцiйних нерівностей. Проте, вже при незначних ускладненнях фазового простору поля, наприклад, як це має місце для гамiльтонiану векторної моделі, що допускає виникнення спiральних структур, опис різноманітностi основних станів є непростою задачею.

Розбiжнiсть рядів у високотемпературнiй фазi пов'язана з якісною перебудовою функції розподілу флуктуацiй параметру порядку. У найпростішому скалярному випадку, у точці фазового переходу відбувається втрата нею властивості унiмодальностi. Кожна з множини вершин відповідає можливому фазовому стану системи, що проявляється нижче критичної точки. Унiмодальнiсть відновлюється у термодинамічнiй межі шляхом введення квазiсереднiх. Внаслiдок цього, актуальним при дослідженні фазових переходів є знаходження ефективних критеріїв унiмодальностi функції розподілу флуктуацiй випадкового поля.

Перший та другий роздiли присвяченi дослiдженню гiббсiвських випадкових скалярних полiв на гратках, що мають некомпактний фазовий простiр. Необхідність вивчення гратчастих систем статистичної механіки (гiббсiвських випадкових полів на Щd ), якi визначаються гамiльтонiанами загального вигляду i що мають некомпактний фазовий простiр, пов'язана з тим, що основою для побудови гiббсiвських випадкових полів на стохастичних фракталах є т.з. клiтковi подрібнення простору занурення та визначення на їх основi поняття функцiонального iнтегралу по полях на фракталi. Для кожного покриття, що входить у подрібнення клітками простору занурення, гiббсiвське поле на стохастичному фракталi породжує ефективну гратчасту систему статистичної механіки. При цьому побудова функціонального iнтегралу, шляхом якого обчислюються статистичні суми гiббсiвських випадкових полів, пов'язана з обчисленням статистичних сум для послідовності гратчастих систем з відповідними "клiтковими" гамiльтонiанами. Останнi породжуються гамiльтонiаном поля j(x) на стохастичному фракталi усередненням значень j(x) по клітках, що містять точки випадкової реалізації фракталу. Отже, введення гiббсiвського випадкового поля на стохастичному фракталi еквівалентно завданню нескінченної послідовності гiббсiвських випадкових полів на гратках з постiйною, що зменшується, та з клiтковими гамiльтонiанами, що визначеним чином пов'язанi між собою.

Гiббсiвськi поля, що задаються на гратках клiткового подрібнення, з метою побудови гiббсiвського поля на стохастичному фракталi, мають ті особливостi, що фазовий простір кожного вузла гратки є некомпактним. Це пов'язано з тим, що, за змiстом використання поняття фрактала у якості фізичного об'єкту, величини, якi віднесені до кожної клітки, представляють собою середні по великому числу часток, що складають фрактал та містяться у цій клітці. Тому, припустимо, щоб ці величини могли приймати довільно великі за модулем значення. Некомпактнiсть фазового простору при побудові розподілу імовірностей Гiббсу означає, що iмовiрнiстна міра значень скалярного поля повинна бути розподілена по всiй дійснiй осi, тобто її густина D(j), взагалі кажучи, ніде не дорівнює нулю. Гратчастi системи статистичної механіки, якi мають таку властивість, з одного боку, є узагальненням тих систем, що традиційно розглядались у статистичній механіці, а, з іншого боку, таке узагальнення потребувало перегляду деяких основних положень, на яких опиралось їх вивчення. Наприклад, густина

D(j) = ( d(j - 1)+d(j + 1) )/2

такої типової гратчастої системи, як модель Iзiнга, зосереджена тільки на двох точках, та ця обставина істотно спрощує її математичне дослідження. На противагу, густина у моделі j4,

D(j) = Cexp{- u0j2/2 - v0j4/4}

має некомпактний носій та тому математичне дослiдження породжуваного нею гiббсiвського випадкового поля є набагато складнішим.

У зв'язку зi сказаним, перша задача, яка виникла на шляху вирішення поставлених у дисертації проблем, визначалась перенесенням формалізму статистичної механіки та основних відомих її точних результатів на випадок, коли значення гiббсiвського поля не обов'язково зосереджені на компактному носієвi. Некомпактнiсть розподілу значень поля найсильнішим чином впливає як на існування термодинамiчно граничних станів, на структуру їх фазової діаграми, так і на збіжність рядів теорії збурень. Головні проблеми, які необхідно було вирішити, полягали:

1) у доведенні існування термодинамічної межі для набору кореляцiйних функцій гiббсiвського випадкового поля j(x);

2) в узагальненні гiббсiвського правилу фаз, тобто у доведеннi того, що точка загального положення у просторi параметрiв системи вiдповiдає чистiй термодинамічнiй фазi;

3) у розробцi методу обчислення статистичних характеристик бj(x1)...j(xn)с випадкового поля j(x) у термодинамiчнiй межi.

Перший роздiл присвячен вирiшенню задач перших двох пунктiв цiєї програми.

Пункт 1) пов'язаний з тим, що, для побудови cаме феноменологiчної статистичної механіки теплових флуктуацiй, необхідне введення широкого простору гамiльтонiанiв, для яких має сенс формалізм розподiлiв iмовiрностей Гiббса. Відомо, що існування термодинамiчно граничних станів гiббсiвського поля тісно пов'язане з властивістю термодинамічної стійкості гамiльтонiану, яке є тривiальним фактом для систем з компактним фазовим простором. Виявилось, що, для перенесення формалізму статистичної механіки на некомпактний випадок, природніми вимогами до гамiльтониану HL[j], та до густини D(j), що являються аналогами термодинамічної стійкості, є скiнченнiсть при будь-якому s iнтегралу СjjjҐ та здійсненніcть, для будь-якої реалiазацiї поля j(x) в областi L, умови

Гамiльтонiани, якi мають таку властивість, нами названі в дисертацiї гамiльтонiанами класу B2. Для них вдалось довести існування множини термодинамiчно граничних характеристичних функцiоналiв поля.

Пункт 2) пов'язаний з тим, що множина граничних характеристичних функцiоналiв поля, при фiксуваннi параметрiв системи, взагалі кажучи, може містити більш одного елемента, тобто можливi такі значення параметрів гамiльтонiану, для яких граничне випадкове поле визначено неоднозначно. Ця неоднозначність тягне за собою нестійкість випадкового поля по відношенню до малої варiацiї гамiльтонiану. Прояви цього математичного механізму, фізично, означає наявність фазового переходу 2-го роду у системi для відповідних значень параметрів. Однозначний вибір фазового стану поля, згідно Боголюбову, досягається введенням квазiсереднiх, для точного визначення яких необхідно, виходячи з структури гамiльтонiану, виділити той тип варiацiй, який у всякому разi приводить до переходу у стійкий стан. Цей перехiд супроводжується виникненням т.з. параметра порядку. Ця проблема носить назву проблеми виділення фази. У зв'язку з цим виникає також проблема обчислення самого параметру порядку. Наявність фазових перебудов гiббсiвського поля ускладнює обчислення його статистичних характеристик у термодинамічнiй межі, оскільки у точках простору параметрів, де є такі перебудови, завідомо неможливо застосовувати ніяку теорію збурень. Тому при обчисленні характеристик поля по теорії збурень, важливо не попасти у точки фазових переходів. У зв'язку з цим у дисертації доведено твердження про те, що точки фазових переходів у просторі параметрів гамiльтонiну складають множину не загального положення, що можна інтерпретувати як узагальнене гiббсiвське правило фаз. Ця теорема узагальнює відому теорему Мiракль-Соля та Галлавоттi у статистичній механіці гратчастих систем з компактним фазовим простором.

Другий роздiл присвячен вирiшенню проблеми, яка вказана у пунктi 3), побудовi теорiї збурень для обчислення статистичних характеристик гiббсiвського поля. У випадку систем з парною взаємодією, побудовано кластерний розклад для характеристичного функцiоналу та встановлена область збіжності такої теорії збурень, тобто знайдені гарантовані оцінки точності фіксованого порядку розкладу. З цiєю метою, у розділi одержана нескінченна система рівнянь, якi зчеплюються, для кореляцiйних функцій C(x1,…,xn) поля та доведена збiжнiсть теорії збурень при побудовi її розв'язкiв у визначенiй області зміни параметрів гамiльтонiану, що явно оцiнюється. При цьому, теорія збурень ефективно є розкладом по зворотньому радiусу взаємодiї. У нульовому порядку, вона приводить до наближення “самоузгодженого поля”.

Третiй та четвертий роздiли присвяченi вирішенню проблем стохастичної геометрiї, що пов'язанi з iмовiрнiстним описом випадкових фрактальних точкових множин та синтезом реалiстичних, з фiзичної точки зору, моделей таких структур.

У статистичнiй фiзицi використовувались або ординарні точковi випадковi поля, для яких, з імовірністю 1, у кожнiй обмеженiй областi є тільки скінчене число точок, або т.з. сепарабельнi точковi випадкові поля, кожна реалізація яких, з математичної точки зору, вiдновлюється повністю заданням лiчильної, щільної в цій реалiзацiї множини точок. На випадкових полях першого типу заснована вся статистична механіка газів (рідин). Їх фрактальна розмiрнiсть дорівнює нулю. Випадкові реалізації полів другого типу можуть бути представлені у вигляді довільного об'єднання випадково розташованих в просторі занурення геометричних тiл, якi мають випадкову форму. Їх фрактальна розмiрнiсть збігається з розмiрнiстю простору занурення. У статистичній фізиці вони використовуються при моделюванні гетерогенно неупорядкованих середовищ. Методи конструктивного задання розподілiв імовірностей для вказаних випадкових полів добре розроблені.

Стохастичнi фрактали з довільною фрактальною розмiрнiстю, що моделюють середовища, якi відповідним чином неупорядковані, займають проміжний випадок, але загального методу їх iмовiрнiстного опису не існує. Тому, перш за все, у третьому роздiлi була вирішена технічна проблема математично конструктивного завдання розподілiв імовірностей точкових випадкових можин довільного вигляду i, на пiдставi цього вирiшення, запропоновано метод побудови розподiлiв iмовiрностей для стохастично трансляцiйно інваріантних фракталiв.

Розгляд у дисертацiї обмежується тільки однокомпонентним випадком, тобто коли є тільки один тип точок (одна речовина) фрактально розподілених у просторі занурення (у матриці). Другим, більш істотним обмеженням, у межах якого проводилось дослiдження у роботi, є те, що випадковi точковi множини, якi моделюють розподiл речовини, мають нульовий об'єм. На пiдставi таких точкових полів описується така фізична ситуація, коли доля об'єму фрактально розподіленої речовини по відношенню до долі об'єму, що зайнята пустотами (речовиною матриці), занадто мала. При цих обмеженнях, та при умові достатньої однорідності розподілення точок (речовини) у просторi занурення, можна вважати, що середовище, з геометричної точки зору, створює структуру - точкове випадкове поле з постійної фрактальною розмiрнiстю, яка вiдрiзняється від розмiрностi фізичного простору.

Наш метод побудови розподілiв імовірностей для стохастичних фракталiв засновано на послiдовних клiткових подрiбненнях простору занурення та введеннi випадкового розгалуженого (у загальному випадку, немаркiвського) масштабного процесу, що описує заповнення клiток точками випадкової множини. Математична теорія методу побудови випадкових точкових полів розроблена нами у всій повноті. Проте, клас полів, що генеруються цим методом у загальному випадку, містить об'єкти патологічні, з фізичної точки зору, у тому смислі, що вони не задовольняють вимозі безперервності змінення імовірності. У зв'язку з чим, ми вводимо поняття стохастичної визначенностi поля. Пояснимо смисл цього поняття.

Нехай {Ax(m)}- клiткове подрібнення, тобто последовнiсть покрить простору занурення клітками Ax(m). Тут параметр m = 1,2,... характеризує масштаб клітки, а x- вектор обраної, по угоді, кутової точки клітки. Згідно методу, що використовується в дисертацiї, для задання розподілу імовірностей стохастичного фракталу {X} необхідно вказати імовірності P{ Ax(m)З X № Ї} всiх випадкових подій - заповнення точками випадкової реалiзацiї {X} фракталу кожної з кліток подрібнення. В загальному випадку, для iмовiрнiстного опису стохастичного фракталу, необхiдно ввести нескiнечний набiр функцiй P(Ax1(m),…Axn(m)) = P{Ax1(m)ЗX № Ї,…Axn(m)ЗX № Ї} для довiльного набора клiток з векторами (x1,…,xn) кутових точок. Ці імовірності є функціями порядку дроблення (масштабу) m та наборiв векторiв (x1,…,xn), проте підлеглими т.з. умовам узгодженості, які виконують роль, аналогічну тій, яку вони мають, згідно теореми Колмогорова, при визначенні розподілiв імовірностей сепарабельних точкових випадкових полів. Cаме широка можливість вибору цих функцій приводить до того, що така конструкція розподілу імовірностей може приводити до фізично безглуздих структур. Ми вважаємо, що фізично осмисленними стохастичними фракталами є такі, коли ці функції є неперервними функціями від векторiв (x1,…,xn) при будь-якому порядку m.

Дуже важливою властивістю фізичних фракталiв, яка, власне, i була стимулом для введення у теоретичну фізику поняття фрактала, є їх самiподiбнiсть. У зв'язку з цим, необхідно було виявити, у якому смислі моделі стохастичних фракталiв, що зконструйованi у дисертації, володіють цією властивістю. Для цього, перш за все, необхідно було вирішити питання про визначення фізичних величин, що пов'язанi зi стохастичними фракталами. В свою чергу, це привело до необхідності побудови полів на таких випадкових точкових множинах, тобто вказати спосіб математичного моделювання розподілених на стохастичних фракталах фізичних величин. У зв'язку з тим, що фрактали не є многовидами, з математичної точки зору, вiдповiдь на це питання не є однозначною. Розумне визначення поняття поля на фракталi повинне бути безпосередньо пов'язано з тим способом, як це поле спостерігається у фізичному експерименті. Оскільки будь-яке фізичне поле проявляється завдяки реакцiї приладу усередненням по його об'єму, а єдиним засобом для інтегрування на фракталi є т.з. iнтеграл Хаусдорфа, то поля на фракталi повинні розглядатись як функції, що інтегруються за Хаусдорфом. Внаслiдок цього, величини, що спостерігаються, повинні вводитись як iнтеграли Хаусдорфа по малим областям спостереження. Ці iнтеграли є, взагалі кажучи, стохастичними. Проте їх значення, у сукупності, яка створюється перемiщенням малої стандартної області усереднення вздовж фракталу, складають випадкове поле на просторі занурення. Це поле є стохастично безперервним. Використовуючи цей факт у третьому роздiлi доводиться теорема про асимптотично самоподібну залежність стохастичних iнтегралiв Хаусдорфу від розмiру об'єма усереднення при величині розмiру прямує до нуля.

У цьому ж роздiлі, доводиться також дуже важлива в iдейному відношенні теорема, яка безпосередньо пов'язана з питанням про самоподібну залежність випадкових полів, що породжуються стохастичними фракталами по вказаному вище механізму. Ця теорема забороняє існування стохастичних фракталiв (будь-яких, що стохастично визначенi, за вийнятком тривiальних випадків), що являються одночасно стохастично трансляцiйно інваріантними та самоподібними. Ця теорема аналогічна теоремі Добрушина про відсутність стаціонарних, безперервних по iмовiрностi, автомодельних випадкових полів.

Нарешті, у третьому роздiлi вводяться динамічні системи фрагментації (т.з. F[n,p]-системи), які породжують стохастично трансляцiйно інваріантнi фрактали у вигляді граничних точкових множин при необмеженiй еволюції цих систем. Для них вдається обчислити функції розподілу P(Ax1(m),…Axn(m)) імовірностей для довільного набору кліток. На основі отриманих функцій розподілу для стохастичних фракталiв такого типу аналізується можливість перколяции, тобто існування шляху по близько розташованим точкам, який перетинає весь фрактал.

Умови узгодженості для імовірностей заповнення кліток точками фракталу є досить складними інтегральними співвідношеннями для нескінченного набору функцій. Для побудови конкретних моделей стохастичних фракталiв важливо виділити такий їх клас, який би описувався кінцевим (хоч i досить довільним) набором параметрів та для якого умови узгодженості задовольняються тривiальним образом. Тому у четвертому роздiлi визначається клас F[q] моделей стохастичних фракталiв, які називаються в дисертацiї випадковими точковими полями з масштабно однорідним маркiвським подрібненням. Зокрема, серед таких структур мається широкий клас стохастично трансляцiйно інваріантних. Побудова стохастичних фракталiв з маркiвським подрiбненням здійснюється на основі масштабного маркiвского розгалуженого випадкового процесу, який характеризується феноменологiчним розподілом імовірностей q(s), який вказує чому дорiвнює імовірність заповнення точками фракталу набору s клiток серед тих, що одержуються з даної заповненої клітки поділом її з показником N самоподiбья.

Для класу F[q] стохастичних фракталiв доводиться теорема про їх стохастичну визначеннiсть, а також доводиться, що їх фрактальна розмiрнiсть D самоусереднюєтся, тобто вона не є випадковою величиною, що дуже важливо для фізичних застосувань. Одержана явна формула, що виражає фрактальну розмiрнicть через параметри розподілу імовірностей q(Ч). Далi доводиться, що, на стохастичних фракталах класу F[q], т.з. міра Хаусдорфа-Каратеодорi має невипадковий тип, тобто конструкція її не залежить від вибору випадкової реалізації поля та, більш того, вона просторово однорідна при змiнi мiсця спостереження на фракталi. Ця міра є D-мiрою Хаусдорфу. Її значення mD (Ч) для частини реалізації XЗG, що міститься у просторовiй області G в просторi занурення, виражається формулою

Оскільки фрактал стохастичний, то значення цієї міри випадкові, тобто вона є стохастичною. Саме наявність такої міри дозволяє ввести стохастичний iнтеграл на фракталi, у даному випадку - iнтеграл Хаусдорфа.

П'ятий роздiл присвячен побудовi феноменологiчної статистичної механіки випадкових полів на фракталах. На відміну від полів, розглянутих у третьому роздiлі, які, самi по собі, були невипадкові, але при інтегруванні по фракталу приводили до випадкових значень внаслiдок випадковостi його структури, поля, якi розглядаються у цьому роздiлi, вже мають свiй власний розподіл імовірностей. Цей розподіл, як вже було проголошено у пункті про цілi дисертацiйної роботи, ми беремо у гiббсiвськiй формі, оскільки наша теорія, за задумом, повинна феноменологiчно описувати тепловi флуктуацiї фізичних величин, розподілених на фракталi. За загальною iдеєю, на основі феномено-логiчного функцiоналу вільної енергії, вводиться наступний розподіл імовірно-стей для флуктуацiй поля

де міра m[Ч] повинна розумітись як міра у функціональному просторі полів {j(x)} на реалiзацiї X стохастичного фракталу, який знаходится у просторі занурення L. Згідно з цiм статистична сума XL визначається функціональним iнтегралом по цих полях,



а величини, що спостерігаються, повинні розглядатись як математичні очiку- вання по розподілу імовірностей P(Ч). При цьому, функціональному iнтегралу повинен бути наданий цілком конкретний смисл, тобто дано таке коректне математичне визначення, що гарантує його існування та вказує на шлях його конкретного обчислення. Це виявляється можливим на випадок стохастичних фракталiв з маркiвським подрібненням, оскільки для них є теорема про невипадковість фрактальної розмiрностi, яка доведена у третьому розділi. Це дозволяє побудувати функціональний iнтеграл за таким же принципом, за яким вiн будується, у конструктивнiй квантовiй теорії поля, звичайний фейнманiвський iнтеграл по полях на просторах з цілою розмiрнiстю. А саме, скористатись клiтковими подрібненнями та на їх основі визначати інтегральні суми. При цьому, наявність на стохастичних фракталах з маркiвським подрібненням міри Хаусдорфа, дозволяє вибрати невипадковим чином дiференцiал цієї міри у вигляді

та конкретизувати вигляд функцiоналiв HL[j], які iнтегруються по цієй мірі.

Розгляд у дисертацiї обмежується тільки "гамiльтонiанами", що описують не більш ніж двохточкову взаємодiю,

,

де індекс H у iнтегралiв вказує на те, що вони розумiються за Хаусдорфом. На гiббсiвськi випадковi поля, що породжуються такими гамiльтонiанами, переноситься вся теорія, яка була розвинена у другому роздiлі, оскільки функціональний iнтеграл представляє собою границю інтегральних сум, кожна з яких є статистичною сумою для гратчастої системи статистичної механіки з відповідним клiтковим гамiльтонiаном. Наприклад, статистична сума XL виражається формулою

де N - т.з. ступінь дроблення (параметр самоподiбья, що визначає фрактал з

маркiвським подрібненням). Існування границi забезпечується як раз тим, що міра інтегрування на фракталi з маркiвським подрібненням, тобто міра у iнтегралах, що визначають HL[Ч], має невипадковий тип, оскільки клiтковi гамiльтонiани даються формулою

де nN = const / ND. На відміну від функціонального iнтегралу по полях, що заданi на всьому просторі занурення, у визначенні функціонального iнтегралу по полях на стохастичному фракталi, залежність ваги nN від ступеню дроблення N містить, замість розмiрностi d простору занурення, фрактальну розмiрнiсть D. Окрім того, цей iнтеграл є стохастичним, завдяки випадковості структури фракталу, тобто величини, що обчислюються на його основі, залежать від випадкової реалізації X. У дисертації доведено, що визначений таким чином стохастичний функціональний iнтеграл збiгається з імовірністю 1 та, тому, вiн є коректно визначеним. На основi такого iнтегралу обчислюється статистична сума, яка також є "стохастичною" та умовні середні значення бj(x1)...j(xn)с по розподілу Гiббса з гамiльтонiаном HL[j] для поля j(x) на фракталi. Умовою при цьому є фіксація випадкової реалізації X фракталу. Як i для будь-якої неупорядкованої системи статистичної механіки, на заключному етапі повинно здійснюватись усереднення по неупорядкованостi. У даному випадку, таке усереднення повинно здійснюватись по реалізаціях X на основі функцій розподілення . При цьому гiббсiвскi умовні середні бj(x1)...j(xn)с перейдуть у безумовні середні бj(x1)...j(xn)с, які є величинами, що спостерігаються фiзично.

Проте, функції не мають сенсу у границi m ® Ґ. Тому, для явного виконання усереднення, замість них, вводяться конфiгурацiйнi функції

які вже мають граничне значення при m ® Ґ (та термодинамічну границю при L®Сd. У термінах цих функцій вже вдається обчислити, у межах теорії збурень по взаємодії, середні значення бj(x1)...j(xn)с. Наприклад, при n = 1, 2 з точністю до першого порядку по взаємодії, ці середні даються формулами

б j(x) с = б j(x) с0 - lN2(D-d) б j2 с2P

б j(x) j(y) с = б j(x) j(y) с0 - l N 2(D-d) б j2 с2P [ v( x-y ) f2( x,y )/2 +

ND-d ( h(x) ) ].

Тут l - зворотна температура, б j2 с2 - феноменологiчна функція температури, яка пов'язана з флуктуацiєю поля j у відсутності як розупорядкування, так і взаємодії. Середні б j(x) с0, б j(x) j(y) с0 нульового наближення мають вигляд

б j(x) с0 = ND-d бj2сP h(x),

б j(x) j(y) с0 = ND-d б j2 сP ( d(x-y) + f2(x,y) h(x) h(y) ).

Конфiгурацiйнi функції fn(Ч), які входять у ці вирази, обчислюються явним чином у випадку стохастичних фракталiв з маркiвським подрібненням. Наприклад,

f2(x,y) = const б j2 сP [dist(x,y)]D-d,

де const визначається конкретною моделлю стохастичного фракталу та є флуктуацiєю фрактальної міри.

У висновках дисертацiї приводяться основні висновоки виконаної роботи та дається список проблем, вирішення яких, з точки зору дисертанта, дало б великий поштовх для подальшого розвитку теорії фрактально неупорядкованих середовищ.

Основнi висновки

Проведено дослiдження по розробцi формалiзму рiвноважної статистичної фiзики фрактально неупорядкованих середовищ у випадку, коли доля об'єму, зайнятого речовиною середовища надто мала в порiвняннi з долею об'єму матрицi. У результаті проведених дослiджень вдалось подолати ряд принципових перешкод, пов'язаних як з описом геометрії стохастично фрактального середовища, так і з побудовою на стохастичних фракталах гiббсiвських випадкових полів, що описують флуктуацiї фізичних величин.

Основнi висновки по роботi можна сформулювати таким чином:

1. Розроблено метод побудови розподiлiв iмовiрностей для стохастичних фракталiв на основi клiткових подрiбнень та введення випадкового масштабного процесу, що описує заповнення клiток точками фракталу.

2. Знайдено клас аналiтичних гамiльтонiанiв скалярного поля на гратках, для якого, при наявності понадгаусового убування розподілу імовірностей для значень поля у фазовому просторi одного вузла, доведено iснування граничних термодинамiчних станів.

3. Показано, що точки фазових переходів у просторі параметрів гамiльтонiану складають множину не загального положення (гiббсiвське правило фаз).

4. Побудовано кластерний розклад для гратчастих систем статистичної мехники з некомпактним фазовим простором та найдено оцінку на область збіжності цього розкладу.

5. Визначено клас моделей стохастичних фракталiв з маркiвським подрібненням.

6. Введено поняття стохастичного фракталу з фрактальною озмiрнiстю, що самоусереднюється.

7. Доведено, що стохастичнi фрактали з маркiвським подрібненням мають стохастичну визначеннiсть.

8. Введено поняття стохастичного фракталу з невипадковим типом фрактальної міри.

9. Доведено теорему про невипадковiсть фрактальної розмiрностi та невипадковiсть типу фрактальної міри для стохастичних ракталiв з маркiвським подрібненням та показано, що ця мiра є D-мiрою Хаусдорфа.

10. Одержано формулу, що виражає фрактальну рoзмiрнiсть через параметри розподілу імовірностей для класу стохастичних ракталiв з маркiвським подрібненням.

11. Доведено теорему про неможливість існування стохастичних фракталiв, що являються одночасно стохастично трансляцiйно інваріантними та самоподібними.

12. Для випадкових величин, якi розподіленi на стохастичному ракталi згiдно з D-мiрою Хаусдорфа, доведено теорему про амоподібну залежність їх від об'єму усереднення.

13. Побудовано формалізм статистичної механіки гiббсiвських випадкових полів на стохастичних фракталах, що являються випадковими точковими полями з маркiвським подрібненням.

14. У межах конструкції статистичної механіки на стохастичному фракталi, побудовано кластерний розклад для характеристичного функцiоналу гiббсiвського випадкового поля.

Список опублiкованих праць за темою дисертацiї

1. Вирченко Ю.П., Описание фазы с нарушенной симметрией в модели Изинга методо квазисредних.// Теор. и мат. физ.- 1982.- 52.-3.- C.473-490.

2. Вирченко Ю.П., Ласкин Н.В., О расходимостях при построении кинетических уравнений.// Теор. и мат. физ.- 1980.- 44.- №2.- C.238-250.

3. Вирченко Ю.П., Ласкин Н.В., Огрубленное описание распределения решений уравнения Ланжевена.// Теор. и мат. физ.- 1979.- 41.- №3.- C.406-417.

4. Вирченко Ю.П., Соболева Т.К., Совпадение порогов просачивания Р(с) и Р(н) в двумерных моделях теории перколяции.// Доклады АН УССР сер.А.- 1986.- №10.- C.38-40.

5. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Одновершинность одного класса распределений, связанных с комплексным процессом Орн-штейна-Уленбека.// Доклады АН УССР, сер.А.- 1988.- №1.- C.55-57.

6. Вирченко Ю.П., Половин Р.В., Стохастическое разрушение нарастающей волны при прохождении её через электрически активную среду.// Укр. физ. жур.- 1988.- 33.- №12.- C.1863-1868.

7. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Статистические свойства функционала свёртки от нормального марковского процесса.// Доклады АН УССР, сер.А.- 1988.- №1.- C.14-16.

8. Вирченко Ю.П., Пелетминский С.В., О решениях уравнений динамики спиральных обменных структур.// Теор. и мат. физ.- 1989.- 81.- №3.- C.441-454.

9. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Флуктуации фотоотсчётов суперпозиции гауссовых мод оптического излучения.// Изв. ВУЗов Радиофизика.- 1989.- 32.- №6.- C.784-786.

10. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Распределение средней мощности в линейной системе, возбуждённой белым шумом.// Радотехника и электроника.- 1989.- 35.- №12.- C.2546-2549.

11. Virchenko Yu.P., Grigoriev Yu.P., Equilibrium distribution of the charged particles in the phase space.// Ann. of Phys. (USA).- 1991.- 209.- 1.- P.1-12.

12. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С. Распределение вероятностей случайного функционала свёртки от нормального марковского процесса.// Проблемы передачи информации.- 1990.- 26.- №1.- C.96-101.

13. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Существенная одновершинность распределения вероятностей случайных квадратичных функционалов.// ДАН УССР, сер.А.- 1990.- №12.- C.3-5.

14. Вирченко Ю.П., Барц Б.И., Моисеев С.С., Устойчивость и стохастический параметрический резонанс осциллятора с мультипликативным шумом.// Укр. физ. жур.- 1992.- 37.- №1.- C.1792-1799.

15. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Существенная одновершинность распределений вероятностей случайных квадратичных функционалов.// Кибернетика и системный анализ.- 1992.- №2.- C.172-175.

16. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Одновершинность распределения числа фотоотсчётов гауссовских оптических полей.// Проблемы передачи информации.- 1995.- 31.- №1.- C.83-89.

17. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Статистические свойства кросс-корреляционного функционала от двух марковских нор-мальных процессов.// Изв. ВУЗов Радиофизика.- 1996.- 39.- №7.- C.916-924.

18. Вирченко Ю.П., Мазманишвили А.С., Распределение кросс-корреляционного функционала от двух процессов Орнштейна-Уленбека.// Доповiдi НАН України.- 1996.- № 4.- C.27-30.