Асимптотична поведінка та стійкість розв'язків деяких класів кусково-лінійних різницевих рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.9

Асимптотична поведінка та стійкість розв'язків деяких класів кусково-лінійних різницевих рівнянь

01.01.02 -- диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Попович Світлана Ігорівна

Київ 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі звичайних диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України

Захист вiдбудеться 27.02.2001 року о 15 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д.26.206.02 при Iнститутi математики НАН України за адресою: 01601 Київ - 4, вул. Терещенкiвська, 3.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Інституту математики НАН України (Kиїв, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розiслано 26.11.2000 р.

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради ПЕЛЮХ Г.П.1

мілнор унімодальний атрактор

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. В останні роки значна увага приділяється дослідженню нелінійних різницевих рівнянь, за допомогою яких моделюються явища та процеси в найрізноманітніших галузях науки та техніки.Особливої актуальності вивчення таких рівнянь набуло в зв'язку з їх використанням для вивчення детермінованого хаосу та виникнення структур. Важливим випадком нелінійних різницевих рівнянь є так звані ланцюги зв'язаних відображень (осциляторів), за допомогою яких моделюють явище синхронізації, яке полягає у тому, що зв'язані осцилятори асимптотично (з часом) демонструють однакову поведінку.

Теорія синхронізації періодичних систем активно розвивалась з 30-х років нашого сторіччя, починаючи з класичних праць Б. Ван Дер Поля, О.О. Андронова, А.А. Вітта. В середині 80-х років Х. Фужісака та Т. Ямада вперше показали можливість синхронізації хаотичних систем, що стало поштовхом до подальших численних досліджень в цьому напрямку, як теоретичних так і експериментальних. Режим хаотичної синхронізації застосовується в радіоінженерії для передачі сигналу з використанням хаотичної несучої (роботи Л. Пекори, М. Хаслера, О.С. Дмітрієва, В. Шварца), в біології та медицині (роботи К. Канеко, Е. Мозекільде, Ю. Курца), в фізиці, економіці та інших галузях науки.

Дослідження явища синхронізації хаотичних систем тісно пов'язано з вивченням нових типів біфуркацій таких, як біфуркації розрідження та розширення, а також решітчатої структури області притягування атрактора. Цій тематиці присвячені роботи Дж. Александера, Д. Йорке, Б. Ханта, П. Ешвіна, Ф. Астона, Ю.Л. Майстренка, П. Глендінінга та інших. Особлива увага приділялась дослідженню різних типів стійкості синхронізуючого хаотичного атрактора.

Явище хаотичної синхронізації виникає в системах зв'язаних одновимірних неперервних відображень як з лінійним, так і нелінійним зв'язком. В працях Ю.Л. Майстренка, В.В. Астахова та інших розглядались системи двох зв'язаних квадратичних відображень, де було досліджено втрату стійкості атрактора хаотичної синхронізації через жорстку і м'яку біфуркації подвоєння, біфуркацію вилки (pitchfork) та вказано на роль транскритичної та сідло-вузлової біфуркації при порушенні симетрії.

В роботах Ю. Майстренка та Т. Капітаняка розглядались системи двох зв'язаних кусково-лінійних відображень з лінійним зв'язком. В роботі М. Хаслера та Ю.Л. Майстренка вивчалась система двох зв'язаних тент-відображень з лінійним та нелінійним зв'язком. Роботи А. Піковського, П. Гразбергера та П. Глендінінга присвячені системі зв'язаних тент-відображень, де вивчається біфуркація розширення. Були знайдені моменти біфуркацій розрідження та розширення для синхронізуючого хаотичного атрактора.

Незважаючи на зростаючу кількість робіт, що присвячені хаотичній синхронізації, аналітичні результати, що стосуються стійкості синхронізуючого атрактора та його біфуркацій, вдається отримати лише в деяких спеціальних випадках.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згiдно з загальним планом дослiджень вiддiлу звичайних диференцiальних рiвнянь та теорії коливань Iнституту математики НАН України.

Мета i задачi дослiдження. Метою даної роботи є дослiдження асимптотичної поведiнки розв'язкiв систем кусково-лінійних різницевих рівнянь, а саме: одержання умов існування хаотичного синхронізуючого атрактора, областей його асимптотичної стійкості, стійкості за Мілнором, нестійкості за Мілнором та сильної нестійкості для систем нелінійно зв'язаних кусково-лінійних унімодальних та бімодальних відображень.

Наукова новизна одержаних результатiв. Основними результатами, якi визначають наукову новизну та виносяться на захист, є такi: в просторі параметрів знайдено області існування та стійкості точкових циклів та циклів хаотичних інтервалів для бімодального одновимірного кусково-лінійного відображення. Вивчено біфуркацію переходу від унімодального до бімодального відображення. Доведено, що її результатом є поява притягуючих циклів, що утворюють каскад додавання періоду;

знайдено області асимптотичної стійкості, стійкості (нестійкості) за Мілнором та сильної нестійкості синхронізуючої хаотичної множини для системи двох нелінійно зв'язаних кусково-лінійних унімодальних та бімодальних відображень;

одержані точні біфуркаційні поверхні для біфуркацій розрідження, розширення та біфуркації переходу до хаотичного сідла для системи двох зв'язаних унімодальних та бімодальних кусково-лінійних відображень;

одержано області різних типів стійкості хаотичної синхронізуючої множини для системи нелінійно зв'язаних унімодальних кусково-лінійних відображень та вивчено біфуркації, що відбуваються при зміні типу стійкості в залежності від параметрів.

Практичне значення отриманих результатiв. Отриманi результати узагальнюють та доповнюють вiдповiднi дослiдження нелінійних різницевих рівнянь першого порядку та систем зв'язаних нелiнiйних вiдображень. Результати першого розділу можуть бути використані при вивченні систем більшої розмірності, коли базове відображення є бімодальним кусково-лінійним, оскільки всі біфуркаційні поверхні знайдено в явному вигляді. Результати другого роздiлу будуть корисними при моделюванні конкретних прикладних задач хаотичної синхронiзацiї. Знайдений явний вигляд функції щільності для інваріантної ймовірнісної міри може бути використаний при знаходженні точних моментів біфуркації розширення, тобто втрати стійкості за Мілнором.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального напрямку дослiджень і постановка задач належать науковому керiвнику -- Ю.Л. Майстренку. Доведення всiх результатiв дисертацiї, якi виносяться на захист, проведено автором особисто.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiйної роботи доповiдались i обговорювались на семiнарах вiддiлу звичайних диференцiальних рiвнянь та теорії коливань Iнституту математики НАН України; на мiжнародному симпозiумi "Ergodic theory 4 and dynamical systems" (червень-липень, 1995 р., Варшава, Польща); на мiжнародних наукових конференцiях "Нелінійні диференціальні рівняння" (серпень 1995 р., Київ, Україна); "Nonlinear dynamics, chaotic and complex systems" (листопад, 1995 р., Закопане, Польща); "Contemporary problems in theory of dynamical systems" (липень, 1996 р., Нижнiй Новгород, Росiя); "Nonlinearity, bifurcation and chaos: the doors to the future" (вересень, 1996 р., Добешков, Польща); "Applied chaotic systems" (вересень, 1996 р., Лодзь, Польща); "Beyond quasiperiodicity: complex structures and dynamics" (січень, 1999 р., Дрезден, Германія). Публiкацiї. Зміст дисертацiї відображено у 4 журнальних статтях, 2 роботах в збірниках наукових праць та 3 тезах міжнародних наукових конференцій [1-9]. Роботи [1-8] написані у співавторстві. Науковому керівнику належать постановки задач, обговорення методів їх дослідження. Всі результати, які виносяться на захист, доведені дисертанткою самостійно. Структура та об'єм дисертації. Дисертацiйна робота складається iз вступу, двох роздiлiв з 6 параграфів, висновків та списку цитованої літератури із 58 назв і викладена на 115 сторінках.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертації, аналізується сучасний стан проблеми, дається огляд літератури і стисло викладено основні результати. У першому роздiлi дисертацiї дослiджуються біфуркації атракторів бімодального кусково-лінійного неперервного відображення fl, p, b : R1, що має вигляд:

(1)

де c1 = b + 1/p, c2 = b - 1/p -- критичні точки функції f.

Параметри l та p є кутовими коефіцієнтами лінійних частин f; b-- координата перетину графіка функції y = f(x) з віссю ОХ на інтервалі (c1, c2). Вважаємо, що параметри відображення f = fl, p, b набувають значень в області = {(l,p,b) R3 : l (0, 1), p (- , -1), |b| < 1 + 1/p }.

При (l,p,b) відображення f має єдиний інваріантний інтервал [-1,1], який притягує всі траєкторії, і відображення на ньому є бімодальним. Точніше, інтервал [-1,1] є абсорбуючим для відображення f в тому сенсі, що для будь-якої початкової точки x0 R1 траєкторія {fn(x0)}n=0 потрапляє в інтервал [-1,1] за скінченну кількість ітерацій і там залишається.

В § 1.1-1.2 у просторі параметрів знайдено точні формули для границь областей існування стійких циклів різних конфігурацій та досліджено їх біфуркації. Основна увага приділяється біфуркаціям, що відбуваються при проходженні параметричної точки (l,p,b) через поверхні p'=0 та |b|=1-p', де p'=1/p, які можна умовно назвати біфуркаціями переходу "від відображення кола до бімодального відображення" та "від унімодального до бімодального відображення" відповідно.

Для довільної періодичної траєкторії {{f k(x0)}k=0n-1 : f k(x0) = x0} введемо узагальнене число обертання

= #{i = 1,n : f i(x) (x*,1]}/ n = r / n,

де x* -- нерухома точка відображенняf, #-- кількість точок циклу, що належать відрізку (x*,1], n -- період циклу. Причому цей дріб може бути і скоротним.

Точковий цикл з узагальненим числом обертання r / n будемо позначати r/n, а область його існування і стійкості в параметричному просторі -- r/n.

Кожній траєкторії = {f i(x)}i=0 поставимо у відповідність символічну послідовність що складається з елементів множини символів L, M, R, C 1, C 2 згідно з правилом:

(2)

i = 0, 1, ...

В § 1.1 вивчається біфуркація переходу від відображення кола до бімодального відображення. Встановлено, що при переході через поверхню p'=0 виникають стійкі точкові цикли, що характеризуються узагальненим числом обертання 1/n, n=2,3,... Ці стійкі точкові цикли є неперервним продовженням по параметру так званих "язиків Арнольда" відповідного відображення кола, в яке f переходить при p'0 (p ).

Позначимо

В теоремі 1.1.1 одержано границі областей існування та стійкості вказаних циклів у просторі параметрів (l,p',b).

ТЕОРЕМА 1.1.1.

Відображення f = f l,p,b виду (1) має стійкий точковий цикл з числом обертання 1/n та символічною послідовністю L n-1R, n 2, тоді і тільки тоді, коли

(l,p',b) r1/n = {(l,p',b) : b-1/n < b < b+1/n }.

2) Відображення f = fl,p,b виду (1) має стійкий точковий цикл з числом обертання 1/n та символічною послідовністю Ln-1M, n 2, тоді і тільки тоді, коли

(l,p',b) m1/n = {(l,p',b) : b+1/n < b < b - p' }.7

В § 1.1.2 встановлено, що при виході параметричної точки (l,p,b) за межі області 1/n у відображення f народжуються n інваріантних інтервалів, на кожному з яких відображення f n є унімодальним кусково-лінійним. Відбувається біфуркація, що отримала назву біфуркації зіткнення з границею ("border-collision"). Таким чином, знайдено, що після втрати стійкості циклу періоду n у відображення f з'являється або стійкий точковий цикл періоду nk, k 2, або стійкий цикл хаотичних інтервалів одного з періодів 2nk, nk чи n, де k 2.

В § 1.1.3 показано, що знайдені області r/n існування стійких точкових циклів для бімодального відображення, що народжуються в результаті біфуркації переходу від відображення кола до бімодального відображення, можна упорядкувати відповідно рівням складності так само, як це має місце для язиків Арнольда відображення кола. За перший рівень складності беруться області з числами обертання 1/n та (n-1)/n. Між кожними двома сусідніми областями першого рівня складності знайдеться дві послідовності областей другого рівня складності з узагальненими числами обертання q/(nq + 1) та q/(q(n + 1) - 1) (при b>0), (q(n-1)+1)/(nq+1) та (nq-1)/(q(n+1)-1) (при b<0) q=1,2,... Області другого рівня складності знаходяться як області першого рівня складності деякого допоміжного відображення. На цьому шляху отримано рекурентні формули для областей довільного рівня складності.

У § 1.2 досліджується біфуркація переходу від унімодального до бімодального відображення в проміжку між областями 1/2 та 1/3. Встановлено, що результатом цієї біфуркації є дві послідовності стійких точкових циклів та з узагальненими числами обертання та символічними послідовностями виду:

k1 = (2 + 2k1)/(5 + 4k1), (LM)2k1LM2LR..., k1 = 0,1,...

k2 = (1 + 2k2)/(3 + 4k2), (LM)2k2MLR..., k2 = 0,1,...

Доведення цього результату базується на властивості монотонності нідінгів унімодального відображення, в яке переходить відображення

f = fl,p,b при |b| = 1 - p'.

У другому роздiлi дисертації дослiджуються системи нелінійно зв'язаних одновимірних відображень, де базове одновимірне відображення є кусково-лінійним унімодальним чи бімодальним. У просторі параметрів знаходяться області асимптотичної стійкості, стійкості (нестійкості) за Мілнором та сильної нестійкості для синхронізуючої хаотичної множини, яка моделює режим хаотичної синхронізації.

У § 2.1 розглядається система двох різницевих рівнянь першого порядку

(x(n + 1), y(n + 1)) = F(x(n), y(n)), n Z+ (3)

де x(n), y(n) R1, а відображення F : R2 R2 має вигляд:

(4)

R1 -- параметр зв'язку, f : R1 R1- неперервне одновимірне кусково-лінійне унімодальне або бімодальне відображення.

Дiагональ D = {(x, y) | x = y} є iнварiантною по вiдношенню до дiї вiдображення F, а динамiка системи (4), коли її звузити на дiагональ D, визначається лише f. Якщо відображення f має хаотичний атрактор A, то множина

AD = {(x, y) R2 : x = y A} D (5)

є хаотичною інваріантною множиною двовимірного відображення F. Вивчається питання стійкості даної одновимірної хаотичної множини в двовимірному фазовому просторі.

Означення 1. Множина

B(AD) = {(x,y) R2 : (x,y) AD}, (6)

де (x,y)--- -гранична множина траєкторії {Fn(x,y)}n=0, називається областю притягування множини AD під дією відображення F.

Означення 2. Кажуть, що в системі (3) має місце режим хаотичної синхронізації, якщо для відображення F існує хаотична множина AD виду (5), область притягування якої B(AD) R2 має додатну міру Лебега в R2.

Для будь-якого розв'язку системи (3), початкове значення якого (x(0), y(0)) належить множині B(AD), виконується умова

|x(n) - y(n)| 0

при n . Таким чином, динамiка в системi (3) асимптотично при n реалiзується на підмножині AD синхронiзуючого многовида D = {(x, y) R2 | x = y}, який є інваріантним під дією вiдображення F, тобто F(D) D. При цьому, звуження F на D співпадає з одновимiрним вiдображенням f, тобто F|D = f.

Означення 3. Множина AD D виду (5) називається асимптотично стійкою за Ляпуновим (просто асимптотично стійкою), якщо для будь-якого її околу U(AD) в R2 існує інший її окіл V(AD) такий, що для будь-якої точки (x,y) V(AD) виконуються умови:

1) Fn(x,y) U(AD) для всіх n Z+;

2) (Fn(x,y), AD ) 0 при n ,

Означення 4. Множина AD називається стійкою за Мілнором, якщо її область притягування B(AD) має додатну міру Лебега в R2, і нестійкою за Мілнором -- в противному випадку.

Якщо хаотична множина AD є асимптотично стійкою, то її область притягування B(AD) містить деякий окіл U(AD), а отже має додатну міру Лебега в R2. При змiнi параметра зв'язку множина AD може втратити асимптотичну стiйкiсть через так звану бiфуркацiю розрiдження (riddling). Після біфуркації розрідження область притягування синхронізуючої множини може все ще мати додатну міру Лебега в R2, тобто бути стійкою за Мілнором.

Подальша зміна параметра може призвести до втрати множиною AD стійкості за Мілнором. Момент втрати стійкості множини AD називається біфуркацією розширення (blowout). Зауважимо, що пiсля бiфуркацiї розширення (коли множина AD вже є нестійкою за Мілнором) можуть все ще iснувати траєкторiї в R2, якi притягуються до синхронізуючої множини AD, але їх мiра Лебега дорiвнює нулю.

Введемо також поняття сильної нестійкості синхронізуючої множини AD. Позначимо

Pre(AD) = {(x,y) R2 | n N : Fn(x,y) AD }

множину прообразів AD. Очевидно, що Pre(AD) B(AD).

Означення 5. Множина AD називається сильно нестійкою, якщо Pre(AD) = B(AD), тобто множина AD притягує лише свої прообрази.

Доведені в дисертації теореми стійкості виділяють області в просторі параметрів, де синхронізуюча множина AD є асимптотично стійкою за Ляпуновим, стійкою за Мілнором, нестійкою за Мілнором та сильно нестійкою. Зазначимо при цьому, що з асимптотичної стійкості за Ляпуновим випливає стійкість за Мілнором, а із сильної нестійкості -- нестійкість за Мілнором.

В §.1.2 система (4) ивчається для випадку, коли унімодальне відображення f має вигляд:

(7)

Параметри l, p є кутовими коефіцієнтами лінійних частин. Нехай

(l, p) = {(l,p) : p < -1, 0 < l < p/(p + 1)}. (8)

Нехай відображення f виду (7) має хаотичний інтервал I1 = [0,1]. Тоді на I1 існує єдина ймовiрнісна iнварiантна мiра = l,p, абсолютно неперервна відносно міри Лебега. Позначимо

m = l,,p ({x [1 + 1/p, 1]}); k = [2 - ln(l + p(l - 1)) / lnl],

ТЕОРЕМА 2.1.1

Хаотична множина AD, де A = I1 є:

I. Асимптотично стійкою тоді і тільки тоді, якщо

при l < |p|;

при l > |p|.11

II. Стійкою за Мілнором, якщо

III. Нестійкою за Мілнором, якщо

IV. Сильно нестійкою тоді і тільки тоді, якщо

при l < |p|;

при l > |p|.

В § 2.1.3 за допомогою результатів першого розділу дисертації(§ 1.1.2) досліджено різні типи стійкості для системи виду (4) для випадку, коли базове відображення f = f l,p,b є бімодальним. Нехай відображення (1) має цикл хаотичних інтервалів In періоду n, який з'являється в результаті біфуркації зіткнення з границею для циклу ? 1/n з узагальненим числом обертання 1/n та символічною послідовностю Ln-1R. Розглянемо допоміжне унімодальне відображення з кутовими коефіцієнтами лінійних частин ln та ln-1p.

Для нього існує єдина інваріантна ймовірнісна міра , абсолютно неперервна відносно міри Лебега. Позначимо

mn = ({x [1+1/(ln-1p),1]}); .

ТЕОРЕМА 2.1.5 Хаотична множина AD де A = In є:

I. Асимптотично стійкою тоді і тільки тоді, якщо

12

II. Стійкою за Мілнором, якщо

III. Нестійкою за Мілнором, якщо

.

IV. Сильно нестійкою тоді і тільки тоді, якщо

.

У § 2.2 розглядається система N 2 різницевих рівнянь першого порядку

, (9)

де i=1,...,N, x=(x1, x2, ... ,xN) RN, f : R1 R1 - неперервне кусково-лінійне одновимірне відображення прямої в себе виду (7).

Якщо відображення f має хаотичний атрактор A, то хаотична синхронізуюча множина

ADN = {( x1, x2, ... ,xN) RN : x1 = x2 = ...= xN A} (10)

належить головній діагоналі N-вимірного фазового простору RN. Наступна теорема дає умови стійкості даної хаотичної множини ADN в RN для випадку, коли одновимірне відображення є унімодальним кусково-лінійним виду (7).

Нехай відображення fl,p має хаотичний інтервал I1 = [0,1], l,p-- ймовірнісна інваріантна міра унімодального відображення fl,p на інтервалі I1, абсолютно неперервна відносно міри Лебега. Позначимо

m= l,p({ x [1+1/p, 1] }); k = [2-ln(l+p(l-1))/lnl],

ТЕОРЕМА 2.2.1

Хаотична множина ADN виду (10), де A=I1 є:

I. Асимптотично стійкою тоді і тільки тоді, якщо

при l< | p|;

при l> | p|.

II. Стійкою за Мілнором, якщо



III. Нестійкою за Мілнором, якщо

IV. Сильно нестійкою тоді і тільки тоді, якщо

при l< | p|;

при l> | p|.

Наступний § 2.3 присвячений знаходженню явного вигляду функції щільності (x) інваріантної ймовірнісної міри для унімодального відображення в моменти гомоклінічної біфуркації нерухомої точки (теорема 2.3.1) та народженні циклу максимальної конфігурації (теорема 2.3.2).

Позначимо

ТЕОРЕМА 2.3.1

Нехай значення параметрів l,p відображення fl,p виду (7) задовольняють умову

p2lk(1 - l) + p(1 - lk) - l(1 - lk) = 0, k N.

Тоді функція щільності (x) єдиної інваріантної ймовірнісної міри ? відображення (7) має вигляд:

(11)

У § 2.4 розглядається система двох зв'язаних неідентичних одновимірних відображень вигляду:

(12)

R --- параметр зв'язку, fl,p : R R1 -- унімодальне відображення, причому l2 = l1, p2 = p1 і хоча б одне із чисел або відмінне від 1.

Діагональ D не є інваріантною множиною для двовимірного відображення (якщо тільки 1/2), тому вона вже не може містити синхронізуючої хаотичної множини. За допомогою чисельного експерименту демонструється структура притягуючої множини відображення, коли l1 l2 або p1 p2.

ВИСНОВКИ

1. Для бімодального кусково-лінійного одновимірного відображення в просторі параметрів знайдено області існування та стійкості точкових циклів та циклів хаотичних інтервалів. Досліджено біфуркації переходу від відображення кола до бімодального відображення, а також від унімодального до бімодального відображення.

2. Доведено теореми стійкості для системи двох нелінійно зв'язаних унімодальних та бімодальних кусково-лінійних відображень. В просторі параметрів знайдено області, де синхронізуюча хаотична множина є асимптотично стійкою, стійкою за Мілнором, нестійкою за Мілнором та сильно нестійкою.

3. Знайдено точні біфуркаційні поверхні для біфуркацій розрідження, розширення та біфуркації переходу до хаотичного сідла в системі двох зв'язаних унімодальних та бімодальних кусково-лінійних відображень.

4. Одержано області різних типів стійкості хаотичної синхронізуючої множини для системи N нелінійно зв'язаних унімодальних кусково-лінійних відображень.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L., Vikul S.I. and Chua L.O. Bifurcations of Attracting Cycles from Time-Delayed Chua's Circuit // Int. J. Bifurcation and Chaos. -- 1995. -- 5, No. 3. -- P.653-671.

2. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Vikul S.I. Bifurcations of attracting cycles of piecewise linear interval maps // J. Technical Physics. -- 1996. -- 37, No 3-4. -- P.367-370.

3. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Vikul S.I. On Period-adding Sequences of Attracting Cycles in Piecewise Linear Maps // Chaos, Solitons \& Fractals. -- 1998. -- 9, No 1/2. -- P.67-75.16

4. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Popovych S.I. On "unimodal-bimodal" bifurcation in a family piecewise linear maps // Нелінійні коливання. -- 1998. -- No 2. -- С.29-38.

5. Майстренко Ю.Л., Попович С.І. Різні типи стійкості в системі двох зв'язаних різницевих рівнянь // Вісник Київського університету. Серія фізико-математичних наук. -- 2000. -- N 2. -- C. 84-90.

6. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Vikul S.I. Transition from unimodal to bimodal map in one-dimensional piecewise linear models // Proceeding of the Intern. Conf. "Nonlinearity, bifurcation and chaos: the doors to the future".-- Lodz-Dobieszkow, Poland. -- 1996. -- P.173-179.

7. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Vikul S.I. Regions of synchronization and their destructions for piecewise linear maps // Abstracts Intern. Conf. "Nonlinear differential equations". -- Kiev. -- 1995. -- P.107.

8. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L. and Vikul S.I. Unimodal-bimodal" bifurcations for one-dimensional piecewise linear maps // Abstracts Intern. Conf. "Contemporary problems in theory of dynamical systems".-- Nizhny Novgorod, Russia. -- 1996. -- P.35.

9. Vikul S.I. Period adding cascades due to "unimodal-bimodal" bifurcation"// Abstracts Intern. Conf. "Applied chaotic systems". -- Inowlodz/Lodz, Poland. -- 1996. -- P.25.

Размещено на Allbest.ru