Вплив неньютонівських властивостей дисперсних систем на реологічну поведінку розбавлених суспензій

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Аналіз літературних джерел вказує на необхідність проведення теоретичних досліджень, які спрямовані на побудову реологічних рівнянь стану складних дисперсних систем з ньютонівськими або неньютонівськими дисперсійними середовищами, та вивчення реологічної поведінки розбавлених суспензій сферичних або еліпсоїдальних частинок, що проявляють неньютонівські властивості.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. В даному напрямку було виконано цикл робіт на кафедрі механіки суцільних середовищ Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Дисертаційна робота є складовою частиною комплексної наукової програми Київського університету по темі "Структурно-континуальний підхід в реології дисперсних та полімерних систем".

Мета і задачі дослідження. Головною метою дисертаційного дослідження було встановлення степені впливу неньютонівських властивостей дисперсних систем на реологічну поведінку та течію розбавлених суспензій частинок різної геометрії шляхом побудови реологічних рівнянь стану таких систем та аналізу їх поведінки в найпростіших течіях.

Наукова новизна отриманих результатів визначається наступним:

Використовуючи структурно-континуальний підхід, досліджено вплив неньютонівських властивостей дисперсійних середовищ на реологічну поведінку розбавлених суспензій жорстких сферичних частинок. За допомогою асимптотичного розкладу по степенях природним чином вибраного малого параметру дано кількісний та якісний аналіз механічних характеристик руху нелінійно-пружнов'язкої рідини, яка моделюється рідиною Рівліна-Еріксена з постійними коефіцієнтами в'язкостей, при обтіканні сферичної частинки. Показано, що, хоча ефективні коефіцієнти в'язкостей розбавленої суспензії жорстких сферичних частинок і збільшуються у порівнянні до відповідних коефіцієнтів в'язкостей нелінійно-пружнов'язкого дисперсійного середовища, неньютонівські властивості суспензії у порівнянні з ньютонівськими послаблюються.

На основі розв'язку задачі про обтікання еліпсоїда ньютонівською рідиною, який отримано Джеффрі, та динамічного методу Ландау визначені реологічні сталі рівнянь стану розбавленої суспензії еліпсоїдів обертання.

Запропоновано використовувати для розв'язання дифузійного рівняння, яке визначає функцію розподілу кутових положень осі симетрії завислої частинки, замість розкладу по степенях малого параметру, який застосовувався раніше та не має місця у випадку наявності стаціонарного електричного поля, прямий розклад по поліномам Лежандра I роду з подальшим нехтуванням кількісно незначущими членами. На основі розробленої програми визначені реологічні рівняння стану розбавленої суспензії жорстких діелектричних еліпсоїдів обертання в ньютонівський рідині та ефективна в'язкість такої системи. Проведено порівняльний аналіз отриманих результатів у випадку відсутності зовнішнього силового поля з чисельними даними попередників. Досліджено реологічну поведінку розбавленої суспензії в простій зсувній течії.

Вперше побудовано реологічні рівняння стану анізотропної рідини другого порядку з урахуванням принципу об'єктивності реологічної поведінки матеріалу, який вимагає інваріантності тензору напружень. На основі результатів двох попередніх досліджень проведено якісний аналіз реологічної поведінки розбавленої суспензії жорстких еліпсоїдів обертання при моделюванні дисперсійного середовища рідиною Рівліна-Еріксена.

Практичне значення отриманих результатів дисертаційної роботи полягає в наступному. Вивчення особливостей реологічної поведінки та течії розчинів полімерів сприяє кращому розумінню технологічних процесів синтезу полімерних матеріалів та їх переробці в кінцеві вироби, удосконаленню цих процесів і раціональній розробці нових високоефективних технологічних процесів та модифікованих матеріалів.

Особистий внесок здобувача. У першій публікації співавтором є науковий керівник Шмаков Ю.І., якому належить лише теоретична постановка задачі, а всі наведені результати отримані дисертантом виключно самостійно. Для одержання результатів другої статті було написано програму на мові Delphi, при розробці якої спільно з дисертантом і прийняв участь другий співавтор Насипаний Б.В., а всі теоретичні результати щодо отримання рекурентних співвідношень розв'язку дифузійного рівняння, визначення реологічних рівнянь стану та обчислення в'язкості розбавленої суспензії належать одноособово дисертанту. Третя робота виконана без співавторів.

1. Розвиток механіки неньютонівських рідин і реології дисперсних та полімерних систем та напрямки сучасних досліджень у цій області

В першу чергу дано стислий опис реологічної поведінки полімерних розчинів; далі увагу приділено дослідженням течій пружнов'язких рідин, а також сучасним методам моделювання течій полімерних рідин зі складною геометрією. Обговорено можливі підходи при дослідженні реологічної поведінки складних дисперсних систем. Зазначено, що при цьому головним чином застосовуються макроскопічний та мікро-макроскопічний підходи, останній з яких є аналогом структурно-континуального підходу, що був розроблений у Київському університеті ще в 70 роки. Відзначається зростаючий інтерес до досліджень в цій галузі та необхідність вивчення реологічної поведінки дисперсних систем, що проявляють неньютонівські властивості, зокрема, розбавлених суспензій жорстких частинок різної геометрії в ньютонівській та нелінійно-пружнов'язкій рідинах.

2. Методи встановлення реологічних рівнянь стану неньютонівських рідин

Для встановлення реологічних рівнянь стану середовищ, які мають складну молекулярну (надмолекулярну) мікроструктуру, як правило, використовуються два підходи: феноменологічний (макроскопічний) та структурний (мікроскопічний).

Феноменологічний (експериментальний) підхід складається з трьох етапів. На першому етапі із результатів дослідів встановлюються стійкі залежності, що пов'язують динамічні характеристики матеріалу (напруження) із кінематичними характеристиками (деформації; швидкості, прискорення деформацій) іншими параметрами, які справляють вплив на напружений стан в матеріалі. Другий етап умовно можна назвати етапом гіпотез і "логіки": на основі окремих результатів, отриманих на першому? експериментальному етапі, вводяться припущення ("гіпотези") про те, яким чином пов'язаний тензор напружень із кінематичними характеристиками та іншими параметрами в загальному випадку, коли деформації (течії) довільні. Тут необхідно враховувати принцип об'єктивності реологічної поведінки матеріалу, наслідком якого є вимога інваріантності реологічних рівнянь стану відносно зміни системи відліку та системи координат. На третьому етапі проводяться досліди, мета яких - перевірка побудованих реологічних рівнянь стану та визначення реологічних функцій (сталих) такої моделі.

На прикладі аномально-в'язких (степеневих) рідин розглянуто процедуру встановлення їх реологічних рівнянь стану за допомогою феноменологічного підходу та отримано закон:

, (1)

який носить ім'я Оствальда-де-Віле; тут ? тензор напружень; - тиск; - симетричний символ Кронекера (одиничний тензор); m і n - коефіцієнт консистенції та показник неньютонівської поведінки.

Тензор швидкостей деформацій та його другий інваріант відповідно.

,

Також проведено класифікацію рідин Рівліна-Еріксена згідно з термінологією школи раціональної механіки. Для цього введені тензори швидкостей деформацій -ого порядку, які пов'язані з компонентами вектору переміщень наступним чином:

, (2)

та між собою і градієнтом швидкості рекурентним співвідношенням:

. (3)

Реологічне рівняння стану рідини подається у вигляді:

, (4)

і якщо задає загальну залежність, що задовольняє принцип об'єктивності Нолла, то рівняння стану (4) описує реологічну поведінку рідини Рівліна-Еріксена складності , а якщо ? поліноміальну залежність, яка по відношенню до тензору швидкостей деформацій найвищого порядку є лінійною, а на будь-який добуток вигляду накладається умова , то рівняння стану (4) описує реологічну поведінку рідини Рівліна-Еріксена -ого порядку. Рівняння (4) записано в довільній криволінійній системі координат. Компонента метричного тензору за означенням є скалярним добутком відповідних векторів базису: . В подальшому розглядатимуться ортогональні системи координат і фізичні компоненти векторів і тензорів, тому далі в ортогональному одиничному базисі компонента метричного тензору буде записуватись у вигляді символу Кронекера .

Зауважено, що ідеальна рідина ? це рідина нульового порядку, а найбільш проста модель в'язкої рідини ? нестислива ньютонівська рідина з рівнянням стану:

, (5)

де - динамічний коефіцієнт в'язкості, є рідиною першого порядку. Рідина Рівліна-Еріксена.

, (6)

де , ? коефіцієнти різниць нормальних напружень, ? тензор прискорень деформацій ( ? градієнт прискорення), є рідиною другого порядку. Її частинний випадок ? рідина Рейнера-Рівліна з рівнянням стану:

,

є рідиною складності 1.

Також зазначено, що в простій зсувній течії:

, (7)

всі тензори швидкостей деформацій (2), (3) порядку, вищого за 2, дорівнюють нулеві. А тому в простій зсувній течії (7) рідина складності або -ого порядку веде себе як рідина другого порядку (6); квадрат тензору швидкостей деформацій відповідає за нелінійну поведінку, а тензор прискорень деформацій - за пружні властивості рідини.

Далі розглядаються моделі структурного континууму, основна ж увага приділяється дослідженням моделі простої анізотропної рідини Еріксена:

,(8)

,(9)

де , - реологічні сталі; ? інваріантна похідна вектору орієнтації по часу; - тензор вихору швидкості. Феноменологічна модель (8)-(9) анізотропної рідини Еріксена, як і більшість моделей, розроблених школою раціональної механіки, є незавершеною, оскільки експериментальне визначення реологічних сталих моделі для конкретного матеріалу натикається на нездолані труднощі, що ускладнюються необхідністю вимірювання в дослідах внутрішнього параметру ? вектору . Однак і до теперішнього часу питання про експериментальне визначення реологічних сталих моделі анізотропної рідини Еріксена для конкретних дисперсних систем типу суспензій залишається невирішеним.

Відмітивши сильні та слабкі сторони феноменологічного підходу, розгляд переноситься на використання структурного підходу в механіці суспензій. Останній містить в собі такі етапи:

фізичне моделювання дисперсної фази та дисперсійного середовища;

дослідження взаємодії елементів мікроструктури дисперсної системи;

визначення макроскопічних реологічних характеристик дисперсної системи, що моделюється суцільним однорідним середовищем, за допомогою усереднення відповідних величин, які виражаються через характеристики поведінки елементів мікроструктури дисперсної системи.

Розглянуто течію з неоднорідним полем швидкості суспензії ідентичних частинок в нестисливому однорідному дисперсійному середовищі. Введено наступні характерні лінійні розміри:

- масштаб, що характеризує макротечію (Length);

- максимальний розмір (radius) завислої частинки;

- середня статистична відстань (distance) між сусідніми частинками;

- міжмолекулярна відстань (length) в дисперсійному середовищі.

При виконанні системи нерівностей:

, (10)

реологічні властивості суспензії можуть бути встановлені на основі розв'язку гідродинамічної задачі про обтікання неоднорідним потоком дисперсійного середовища однієї окремо взятої завислої частинки та подальшого усереднення відповідних величин (дисипація механічної енергії, тензор напружень в об'ємі суспензії, тощо), які виражаються через знайдені мікрохарактеристики взаємодії частинки з дисперсійним середовищем, по підходящим чином вибраному об'єму, або по деякому повному ансамблю величин, характерному для мікроструктури даної суспензії.

При невиконанні будь-якої із нерівностей (10) дослідження реологічної поведінки суспензії суттєво ускладнюється. Однак в переважній більшості випадків структурний підхід дозволяє дослідити реологічну поведінку суспензії, використовуючи методи гідродинаміки та статистичної фізики.

Розглянувши постановку гідродинамічної задачі про взаємодію однієї окремо взятої завислої частинки з довільною течією несучого її дисперсійного середовища, увага зосереджується на енергетичному методі Ейнштейна, який, визначивши збурення, що вносяться в течію ньютонівської рідини жорсткою сферичною частинкою:

, (11)

підрахував збільшення дисипації механічної енергії, що обумовлене наявністю в ньютонівській рідині завислих частинок, в об'ємі дисперсійного середовища, який обмежено поверхнею частинки та сферичною поверхнею радіуса , з точністю до величин об'ємної концентрації завислих частинок:

.

, (12)

порівняв його з питомою дисипацією механічної енергії в розбавленій суспензії, що визначена за допомогою усереднення тензору швидкостей деформацій по виділеному об'єму :

, (13)

і таким чином визначив ефективну в'язкість розбавленої суспензії, яка виражається через в'язкість дисперсійного середовища та об'ємну концентрацію завислих частинок :

. (14)

На прикладі "слабо" степеневої рідини (1), що мало відрізняється по своїм реологічним властивостям від ньютонівської, продемонстровано застосування енергетичного методу Ейнштейна для визначення ефективного коефіцієнту консистенції розбавленої суспензії жорстких сферичних частинок, який виражається через коефіцієнт консистенції дисперсійного середовища та об'ємну концентрацію завислих частинок наступним чином:

. (15)

Для відшукання розв'язку гідродинамічної задачі про осесиметричне обтікання сферичної частинки застосовувався розклад функції течії по степенях малого параметру , де n -показник неньютонівської поведінки. При цьому в нульовому наближенні функція течії має вигляд (11).

При розгляді розбавленої суспензії жорстких еліпсоїдів обертання в ньютонівській рідині природно використовувати модель анізотропної рідини Еріксена (8)-(9), пов'язуючи внутрішній параметр моделі ? одиничний вектор орієнтації з елементом мікроструктури ? завислою частинкою, вибираючи за його напрям осі обертання частинки. Використовуючи результати робіт Еріксена, запишемо рівняння стану анізотропної рідини у вигляді:

, (16)

, (17)

де - інваріантна похідна вектору орієнтації по часу; - реологічні сталі; - момент зовнішніх сил, які діють на елемент мікроструктури.

Задача про збурення, які вносяться в неоднорідну течію нестисливої ньютонівської рідини завислою еліпсоїдальною частинкою, досліджена Джеффрі. На основі його розв'язку можна визначити, використовуючи енергетичний метод Ейнштейна, ефективну в'язкість розбавленої суспензії в простій зсувній течії. Недоліком енергетичного методу Ейнштейна є те, що при визначенні скалярної функції ефективної в'язкості в тій чи іншій простій течії, неможливо відповісти на головне питання реології який вид має реологічне рівняння стану суспензії.

Альтернативою енергетичному методу Ейнштейна є динамічний метод Ландау, в якому визначені при рішенні гідродинамічної задачі збурення швидкості та тиску, що вносяться в течію дисперсійного середовища завислою частинкою, використовуються для усереднення тензору напружень, які викликаються в середовищі цими збуреннями, по підходящим чином вибраному об'єму, що містить завислу частинку, яке і дає тензор напружень суспензії:

. (18)

Вимога інваріантності співвідношень (16)-(17) надає перевагу методу Ландау, оскільки зпівставляючи феноменологічну модель структурного континууму з результатами (18), отриманими методом Ландау, ми порівнюємо тензорні функції (тензор напружень), якщо ж використовувати метод Ейнштейна скалярні (ефективна в'язкість). Випишемо визначені реологічні сталі:

(19)

де - ізотропний тиск; - коефіцієнт динамічної в'язкості дисперсійного середовища; 2b, 2a - екваторіальний діаметр та діаметр осі обертання еліпсоїдальної частинки відповідно, - об'ємна концентрація завислих частинок; - маса частинки; функції визначаються з рішення Джеффрі.

Відмітивши сильні та слабкі сторони структурного підходу, дано стислий опис особливостей реологічної поведінки і течії суспензій та розчинів полімерів, які спостерігаються у дослідах.

Далі на основі цього опису подається аналіз використання феноменологічного та структурного підходів. Кожен з цих підходів має свої сильні та слабкі сторони. Так, феноменологічні моделі структурного континууму дають дуже загальні інваріантні залежності тензору напружень від кінематичних характеристик течії та внутрішніх параметрів, що характеризують поведінку мікроструктури дисперсної системи (орієнтацію, деформацію тощо), однак при цьому залишаються невизначеними реологічні функції (сталі) матеріалу, які входять до рівнянь стану. Структурний підхід, в свою чергу, при прийнятій моделі завислих частинок (макромолекул) та дисперсійного середовища (10) дозволяє встановити ефективну в'язкість дисперсної системи в найпростіших течіях, не використовуючи при цьому експериментальних даних (енергетичний метод Ейнштейна). Динамічний метод Ландау дозволяє знайти тензор напружень в довільній течії дисперсного середовища, однак у випадку відносно складної мікроструктури це призводить до занадто складних обчислень.

Оскільки слабкі сторони феноменологічного та структурного підходів являються взаємодоповнюючими, при побудові реологічних рівнянь стану дисперсних систем доцільне одночасне використання як структурного, так і феноменологічного підходів. Таке об'єднання в подальшому називатимемо структурно-континуальним підходом.

Структурно-континуальний підхід полягає у використанні феноменологічних моделей структурного континууму, які містять необхідне число внутрішніх параметрів для опису поведінки мікроструктури дисперсної системи, виборі деякої фізичної інтерпретації внутрішніх параметрів (зв'язок з елементами мікроструктури) та визначенні реологічних функцій (сталих), що входять до рівнянь стану моделі, на основі результатів чисто структурних теорій.

3. Вплив неньютонівських властивостей дисперсійного середовища, яке моделюється рідиною другого порядку, на реологічні властивості розбавленої суспензії жорстких сферичних частинок

Для встановлення реологічної поведінки середовищ, що розглядаються, досліджено збурення, які вносить жорстка сферична частинка у течію з паралельним градієнтом швидкості (одноосьовий розтяг) рідини Рівліна-Еріксена (6), із наступної крайової задачі:

, (20)

при , (21)

при , (22)

де співвідношення (20) - рівняння динаміки в напруженнях у наближенні Стокса, рівняння нерозривності; (21) - граничні умови на нескінченності (незбурена течія - одноосьовий розтяг); (22) - граничні умови на поверхні частинки; тут - тензор напружень; - швидкість; - швидкість розтягу; - тиск у незбуреному потоці; - декартова та сферична системи координат з початком відліку в центрі частинки; - радіус частинки.

Коефіцієнти в'язкостей рівняння стану (6) розглядаються сталими. Переходячи до безрозмірних величин при наступних масштабах:

,

вводяться в розгляд безрозмірні параметри, що порівнюють порядки неньютонівської та ньютонівської частин реологічного рівняння стану (6), яке в безрозмірній формі набуває вигляду:

, (23)

та називаються показниками неньютонівської поведінки:

, , (24)

(знак, що вказує на безрозмірність величин в (23) та нижче, опущено).

Математична задача (20)-(22) є дуже складною, оскільки містить нелінійні диференціальні рівняння. Однак існує можливість лінеаризувати дану систему, розглядаючи дисперсійне середовище як "слабо" неньютонівське або малою швидкість розтягу :

, .(25)

Враховуючи, що розглядається осесиметрична течія (), та задовольняючи рівняння нерозривності (20), вводиться функція течії , пов'язана з компонентами вектору швидкості і співвідношеннями:

, (26)

і шукається розв'язок задачі (20)-(22) у вигляді асимптотичних розкладів по степенях малих параметрів (25):

. (27)

У нульовому наближенні отримуємо крайову задачу, що відповідає обтіканню сферичної частинки потоком (21) ньютонівської рідини з динамічним коефіцієнтом в'язкості , розв'язок якої наведено в розмірній формі раніше: (11); другий та третій коефіцієнти розв'язку надалі позначені сталими і : і .

У першому наближенні при отримуємо систему рівнянь:

. (28)

Аналогічна система рівнянь отримується в першому наближенні і при , якщо замінити в (28) на . Виключаючи в (28) та підставляючи , що підраховані на підставі (11), приходимо до наступної задачі:

, (29)

при , (30)

при , (31)

де оператор в сферичних координатах визначається наступним чином:

. (32)

Форма першого наближення функції течії вибирається згідно з властивостями оператору (32) та виглядом рівняння (29):

.

Отже, для визначення та отримуємо систему звичайних диференціальних рівнянь:

. (33)

Розв'язуючи систему (33) при граничних умовах (30), (31), що переписані для та , отримуємо функцію течії у першому наближенні при :

;(34)

аналогічно виглядає розв'язок і при :

. (35)

Сталі та попарно відрізняються, а , тобто розв'язки (34) і (35) співпадають з точністю до коефіцієнтів та .

На підставі отриманого розв`язку (11), (34), (35) визначено дисипацію механічної енергії в об`ємі середовища, обмеженому сферичною поверхнею радіуса , через потужність поверхневих сил (12), прикладених до неї, з точністю до величин об'ємної концентрації завислих частинок :

. (36)

Оскільки розглядається розбавлена суспензія, а завислі частинки - сферичні, та при , дисперсійне середовище по своїм властивостям мало відрізняється від ньютонівської рідини (або мала швидкість деформації ), то припускається, що реологічне рівняння стану суспензії має вигляд:

, (37)

де - ефективні коефіцієнти в'язкостей суспензії, які слід визначити.

Далі, дотримуючись енергетичного методу Ейнштейна, визначено питому дисипацію механічної енергії в розбавленій суспензії:

,

за допомогою усереднення тензору швидкостей деформацій по виділеному об'єму , - тензор напружень в суспензії (37), що відповідає напруженому стану середовища з тензором швидкостей деформацій , наступним чином:

. (38)

Порівнявши (38) з (36), знайдено ефективні в'язкості розбавленої суспензії, які виражаються через відповідні коефіцієнти в'язкостей дисперсійного середовища та об'ємну концентрацію завислих частинок ; реологічне рівняння стану суспензії (37) при цьому набуває вигляду:

. (39)

При аналізі реологічної поведінки зазначено, що, хоча ефективні коефіцієнти в'язкостей розбавленої суспензії жорстких сферичних частинок і збільшуються (39) у порівнянні до відповідних коефіцієнтів в'язкостей дисперсійного середовища, яке моделюється рідиною другого порядку (6), показники неньютонівської поведінки суспензії зменшуються:

, (40)

. (41)

В якості демонстраційного прикладу приводяться також результати застосування енергетичного методу Ейнштейна в поєднанні з варіаційним принципом мінімуму дисипації механічної енергії при дослідженні реологічної поведінки розбавленої суспензії жорстких сферичних частинок в степеневій рідині (1). При розв'язанні гідродинамічної задачі (20)-(22) розв'язок (26) шукається в класі функцій, який вибрано згідно форми нульового наближення функції течії (11), що отримано при виведені формули (15),

, (42)

та має один параметр , що і визначається наближено за умови мінімуму дисипації механічної енергії у вигляді:

,

де - показник неньютонівської поведінки (1). Отримано реологічне рівняння стану суспензії:

. (43)

Таким чином, розбавлена суспензія жорстких сферичних частинок в "сильно" степеневій рідині (1) при ( псевдопластики ) при знаходженні наближеного розв'язку гідродинамічної задачі про збурення, що викликаються в течії дисперсійного середовища завислою частинкою, у вибраному класі (42) функцій сама є степеневою рідиною (43) з показником неньютонівської поведінки дисперсійного середовища та ефективним коефіцієнтом консистенції , що залежить від і об'ємної концентрації завислих частинок та змінюється по відношенню до коефіцієнту консистенції дисперсійного середовища на величину порядку . Інакше кажучи, нелінійне дисперсійне середовище призводить навіть у випадку розбавленої суспензії до нелінійної залежності від об'ємної концентрації завислих частинок.

В граничному випадку (дисперсійне середовище є ньютонівською рідиною) отримане рівняння (43) співпадає з класичним результатом Ейнштейна.

4. Реологічна поведінка розбавленої суспензії завислих частинок більш складної геометрії (еліпсоїд обертання), що компенсується спрощенням моделі дисперсійного середовища до вигляду рідини першого порядку

Хоча жорсткий еліпсоїд обертання і є частинним випадком трьохосного еліпсоїду, однак модель останнього вимагає залучення складних моделей структурного континууму; реологічні рівняння стану таких суспензій досить громіздкі та представляють скоріше академічний інтерес. Модель же еліпсоїду обертання відносно проста, що дозволяє з одного боку ? в зрозумілій та доступній формі викласти основні етапи та особливості отримання реологічних рівнянь стану суспензій за допомогою структурно-континуального підходу, з іншого боку ? врахувати вплив на реологічну поведінку розбавленої суспензії неньютонівських властивостей дисперсної системи, які обумовлені самою формою завислої частинки у вигляді таких факторів, як гідродинамічні сили, обертовий броунівський рух частинок та орієнтаційний ефект зовнішнього силового поля.

Реологічні рівняння суспензії визначаються усередненням рівняння (16):

, (44)

за допомогою функції розподілу кутових положень осі симетрії еліпсоїдальної частинки, що визначається рівнянням дифузії:

, (45)

де t - час; реологічні сталі визначаються через параметри мікроструктури (19).

Якщо в (17) знехтувати малим моментом інерції частинки , то при врахуванні обертового броунівського руху частинок та впливу електричного поля момент зовнішніх сил буде визначатися:

,

де - стала Больцмана, - абсолютна температура, - величина постійного дипольного моменту діелектричного еліпсоїда, наведений дипольний момент визначається як різниця головних електричних потенціалів вздовж осі обертання частинки та вздовж перпендикулярного до неї напрямку, - вектор напруженості електричного поля; а рівняння орієнтації частинки (17) набуває вигляду:

. (46)

Підставляючи його у (45), останнє перепишеться наступним чином:

, (47)

де - кутова швидкість частинки, яка обумовлена гідродинамічними силами та зовнішнім силовим полем, - коефіцієнт обертової дифузії.

Розв'язок рівняння (47) відшукується у вигляді прямого розкладу в ряд по поліномам Лежандра I роду:

,

,

де - залежні від параметрів коефіцієнти.

Отримана для визначення коефіцієнтів нескінчена багаточлена алгебраїчна система рівнянь, на основі яких обчислюється функція розподілу кутових положень осі симетрії еліпсоїдальної частинки, вирішується за допомогою розробленої програми при різних значеннях параметрів та для різної геометрії.

Повернувшись до реологічного рівняння стану суспензії (44), підставивши у нього (46) та перетворивши його, знайдено:

. (48)

В простій зсувній течії (7) подано ефективну в'язкість суспензії та різниці нормальних напружень, залежні від параметрів , напряму поля та степені подовженості частинок , у вигляді:

.(49)

Врахувавши, що тензор напружень є несиметричним, зазначено, що його перший індекс відповідає за напрям проекції вектору напружень на вісь, який діє на площадку, за напрям зовнішньої нормалі до якої відповідає другий індекс.

На основі (48), (49) визначено , які характеризують дисперсійне середовище, завислі частинки, течію та електричне поле.

Проведено порівняльний аналіз отриманих результатів для випадку відсутності електричного поля. Зауважено, що таблиці інкрементів в'язкості були отримані попередниками Шерагою; Лайєком та Вольффом; Бреннером за допомогою енергетичного методу Ейнштейна та побудовані на підставі іншого розкладу функції розподілу:

,

але при наявності електричного поля цей розклад не може бути застосовано. Вони наближали функцію розподілу у випадку відсутності електричного поля, обриваючи ряд по на N-ому кроці та нехтуючи тими ж самими членами, що і ми,

Проте, на відміну від нас вони робили подвійне наближення. А тому отримані нами чисельні результати для інкременту в'язкості дещо уточнюють їх таблиці за рахунок застосування більш загального розкладу та потужної сучасної обчислювальної техніки.

За допомогою розробленої програми можна керувати параметрами системи, тим самим обираючи потрібні реологічні властивості суспензії.

В п'ятому розділі для того, щоб безпосередньо наблизитись до розгляду одночасно моделі еліпсоїда обертання та моделі рідини другого порядку, побудовані реологічні рівняння стану анізотропної рідини другого порядку згідно проведеної класифікації рідин Рівліна-Еріксена (4). Моделлю анізотропної рідини першого порядку виступає анізотропна рідина Еріксена (16), (17): при її побудові у рівняннях стану спеціально враховували тільки лінійний вклад тензору швидкостей деформацій .

Для побудови анізотропної рідини другого порядку треба врахувати загальну залежність від тензору швидкостей деформацій та лінійну від тензору прискорень деформацій , тобто:

,(50)

.(51)

При побудові залежностей (50), (51) враховано принцип об'єктивності реологічної поведінки матеріалу Нолла, тобто функції , є інваріантними відносно вибору системи відліку. Неінваріантні величини , , замінено на інваріантні , , .

Таким чином, отримані рівняння стану анізотропної рідини другого порядку мають вигляд:

, (52)

, (53)

де в (52) вже покладено згідно з (50):

.

Зазначено, що при рівняння (52), (53) описують реологічну поведінку анізотропної рідини складності 1.

Незважаючи на успіх у побудові реологічних рівнянь стану анізотропної рідини другого порядку (52), (53), гідродинамічна задача обтікання еліпсоїда обертання рідиною другого порядку (6) є дуже складною. Базуючись на результатах двох попередніх розділів, зроблене якісне припущення відносно реологічної поведінки розбавленої суспензії жорстких еліпсоїдів обертання в рідині другого порядку.

Лінеаризуємо згадану гідродинамічну задачу, розкладаючи функцію течії (26) в ряд (27) по степенях малих безрозмірних параметрів (25), як це пророблено в третьому розділі. Хоча отримані рівняння вже будуть лінійними, математична задача залишається досить складною. Припустимо, що вдалося розв'язати цю задачу; потім за допомогою динамічного методу Ландау (18) можна визначити реологічні сталі рівняння стану структурного континууму, яке моделюється рівняннями стану анізотропної рідини другого порядку (52), (53). Нарешті, якщо потім виконати усереднення рівнянь стану (52) за допомогою функції розподілу кутових положень осі симетрії еліпсоїдальної частинки, то отримаємо реологічне рівняння стану суспензії. В простій зсувній течії (7) напруження зсуву та різниці нормальних напружень у суспензії будуть мати вигляд:

Можна визначити ефективні коефіцієнти в'язкості суспензії наступним чином:

де інкременти мають вид:

При маємо суспензію жорстких сферичних частинок [1], в цьому випадку інкременти ефективних в'язкостей суспензії додатні (39). У нульовому наближенні дисперсійне середовище - рідина першого порядку (5) та, враховуючи, що та з [2], відповідні частини інкрементів ефективних коефіцієнтів різниць нормальних напружень суспензії при виглядатимуть:

. (54)

Базуючись на (54) та на граничному випадку (39), можливо зробити якісне припущення, що при частини інкрементів ефективних коефіцієнтів різниць нормальних напружень суспензії будуть додатні:

,

тобто повні інкременти ефективних в'язкостей суспензії жорстких еліпсоїдів обертання будуть також додатні:

Адже, додавання асиметричних частинок у "слабо" неньютонівську рідину (23) при малих показниках неньютонівської поведінки (24) збільшує ефективні в'язкості розбавленої суспензії та її неньютонівські властивості.

Висновки

При побудові реологічних рівнянь стану дисперсних систем типу розбавлених суспензій доцільно використовувати структурно-континуальний підхід, що об'єднує сильні сторони феноменологічного (макрореологія) та структурного (мікрореологія) підходів. Ефективність використання цього підходу продемонстрована в третьому та четвертому розділах.

Розбавлена суспензія жорстких сферичних частинок з нелінійно-пружнов'язким дисперсійним середовищем, яке моделюється рідиною Рівліна-Еріксена (6) зі сталими коефіцієнтами в'язкостей, при , (мала відмінність дисперсійного середовища від ньютонівської рідини або мала швидкість деформації ) сама є рідиною другого порядку (37) з коефіцієнтами в'язкостей (39), які залежать від об`ємної концентрації завислих частинок .

При отримане рівняння стану (39) відповідає класичним результатам механіки розбавлених суспензій сферичних частинок з дисперсійним середовищем, яке є ньютонівською рідиною: отриманий інкремент 2.5 у (39) співпадає з результатом Ейнштейна (14).

Із отриманих співвідношень (40), (41) для показників неньютонівської поведінки випливає, що додавання у рідину другого порядку дисперсної фази у вигляді жорсткої сферичної частинки при малій концентрації останньої призводить до послаблення неньютонівських властивостей суспензії, які обумовлені нелінійно-пружнов'язким дисперсійним середовищем.

За допомогою структурно-континуального підходу встановлено, що розбавлена суспензія жорстких еліпсоїдів обертання в ньютонівський рідині (5) проявляє такі неньютонівські властивості на відміну від дисперсійного середовища: аномалію в'язкості, анізотропію фізичних властивостей, пружнов'язкість, нелінійність та несиметричність тензору напружень, які обумовлено формою самої завислої частинки. Дослідження найпростіших течій розбавленої суспензії жорстких діелектричних еліпсоїдів обертання, реологічні сталі рівнянь стану якої отримані в другому розділі, вказують на наступні особливості реологічної поведінки дисперсної системи.

Зі зростанням параметра при будь-якому напрямку електричного поля ефективна в'язкість суспензії зменшується. При цьому результати, які отримано у випадку відсутності електричного поля, уточнюють таблиці Шераги; Лайєка та Вольффа; Бреннера. Наведені дані підтверджуються експериментами Янга, який використовував у своїх дослідах вірус тютюнової мозаїки.

Ефективна в'язкість суспензії залежить від величини та напрямку напруженості електричного поля. При цьому в поперечному полі вона збільшується зі зростанням ; при інкремент в'язкості приймає скінчене значення, що відповідає фіксованій орієнтації частинки . В повздовжньому полі ефективна в'язкість зменшується зі зростанням напруженості поля, залишаючись меншою ніж в'язкість, що відповідає випадку відсутності поля:

.

Друга різниця нормальних напружень, яка виникає в простій зсувній течії при відсутності електричного поля завжди додатна, а перша - від'ємна та значно менша ніж друга за абсолютною величиною. Різниці та значно залежать від напрямку електричного поля, при цьому їх знаки визначаються як напрямком поля, так й величиною вектора напруженості.

Згідно проведеної класифікації рідин (4) побудовані реологічні рівняння стану анізотропної рідини другого порядку. Розбавлена суспензія жорстких еліпсоїдів обертання в (нестисливій ньютонівській) рідині першого порядку проявляє неньютонівські властивості. Тому зроблено якісне припущення щодо реологічної поведінки розбавленої суспензії жорстких еліпсоїдів обертання в рідині другого порядку (6), розглядаючи побудовані рівняння стану анізотропної рідини того ж порядку (52), (53) як реологічні рівняння стану структурного континууму та орієнтації завислої частинки. Як і у випадку розбавленої суспензії жорстких сферичних частинок ефективні в'язкості збільшуються, але на відміну від такої дисперсної фази у випадку асиметричних частинок неньютонівські властивості посилюються.

анізотропний реологічний тензор диперсний

Література

Шмаков Ю.І., Мірошниченко Д.С. Реологічна поведінка розбавленої суспензії сферичних частинок в нелінійно-пружнов'язкій рідині // Вісник Київського університету, Сер.: фіз.-мат. науки. - 1997. - № 3. - С. 77-84.

Мірошниченко Д.С., Насипаний Б.В. Вплив електричного на течію розбавленої суспензії жорстких діелектричних еліпсоїдів обертання // Вісник Київського університету, Сер.: фіз.-мат. науки. - 1999. - № 2. - С. 126-134.

Мирошниченко Д.С. Анизотропная жидкость второго порядка // Динамические системы. - 1999. - № 15. - С. 60-67.

Размещено на Allbest.ru