Чисельне моделювання гідродинаміки і теплообміну в задачах з конвективною нестійкістю та неєдиним розв'язком

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

УДК 532.529

Чисельне моделювання гідродинаміки і теплообміну в задачах з конвективною нестійкістю та неєдиним розв'язком

01.02. 05 - механіка рідини, газу та плазми

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Кудінов Павло Іванович

Дніпропетровськ 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Дніпропетровському державному університеті Міністерства освіти та науки України

Захист дисертації відбудеться " 21 " квітня 2000р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському державному університеті (корпус 3, аудиторія 57).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Дніпропетровського державного університету.

Адреса університету: 49625 ГСП, м. Дніпропетровськ, перевулок Науковий, 13.

Автореферат розіслано " 20 " березня 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради А. П. ДЗЮБА.

АНОТАЦІЇ

Кудінов П.І. Чисельне моделювання гідродинаміки і теплообміну в задачах з конвективною нестійкістю та неєдиним розв'язком. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико- математичних наук за спеціальністю 01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми. - Дніпропетровський державний університет, Дніпропетровськ, 1999.

Дисертація присвячена питанням чисельного моделювання течій в'язкої нестисливої рідини із нестійкістю та неєдиним розв'язком. У дисертації розроблено узагальнення сімейства SIMPLE методів на випадок криволінійної неортогональної системи координат. Розроблено методики підвищення точності розрахунку інтегральних та локальних характеристик на криволінійних сітках із використанням TVD схем. Проведена верифікація та порівняльний аналіз ефективності розроблених методів. Отримані нові дані про структуру вільноконвективних течій у кільцеподібних каналах. Досліджено особливості розвитку нестійкості, а також межі придатності наближення пограничного шару при нестаціонарному обтіканні циліндра з великими числами Рейнольдса. Проведене дослідження впливу різноманітних збурень на чисельний розв'язок задачі про течію за раптовим симетричним розширенням. Одержано, що задача про вільну конвекцію з нестійкою стратифікацією у V-подібних каналах має неєдиний розв'язок.

КЛЮЧОВІ СЛОВА: механіка рідини, чисельні методи, нестійкі течії, неєдиний розв'язок.

Кудинов П.И. Численное моделирование гидродинамики и теплообмена в задачах с конвективной неустойчивостью и неединственным решением. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы. -Днепропетровский государственный университет, Днепропетровск, 1999.

Диссертация посвящена вопросам численного моделирования течений вязкой несжимаемой жидкости с неустойчивостью и неединственным решением. В диссертации разработано обобщение семейства SIMPLE методов на случай криволинейной неортогональной системы координат. Разработаны методики повышения точности расчета интегральных и локальных характеристик на криволинейных сетках с использованием TVD схем. Дискретные аналоги исходных уравнений обладают свойством консервативности, тождественно удовлетворяют тестам на невозмущенный поток и линейное сдвиговое течение в произвольных неортогональных криволинейных координатах.

Проведена верификация и сравнительный анализ эффективности разработанных методов. На задаче о развитии циркуляционного течения в каверне показано, что наибольшими показателями эффективности и лучшим разрешением мелкомасштабных структур течения обладают монотонные схемы. Наибольшую скорость сходимости показал метод SIMPLER. Исследовано влияние кривизны линий сетки на вычисление локальных и интегральных характеристик свободноконвективных течений.

Численно исследованы особенности свободной конвекции в кольцеобразных каналах. Получены новые данные о развитии структуры свободноконвективного течения в полости горизонтального цилиндра с квадратным стержнем.

Исследовано развитие неустойчивого отрывного течения при нестационарном обтекании цилиндра. Определены пределы применимости приближения пограничного слоя для решения данной задачи при больших числах Рейнольдса.

Рассмотрены особенности численного моделирования задач с неединственным решением. Рассмотрены возможности применения различных экстремальных принципов для анализа ветвящихся решений задач гидродинамики и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости. Проведено исследование влияния различных возмущений и разностных схем на численное решение задачи о течении за внезапным симметричным расширением.

Показано, что задача о свободной конвекции с неустойчивой стратификацией в V-образных каналах имеет неединственное решение. Найдены критические числа Грасгофа, при которых симметричное решение теряет устойчивость. Исследовано влияние потери симметрии на локальные и интегральные характеристики течения и теплообмена.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: механика жидкости, численные методы, неустойчивые течения, неединственное решение.

Kudinov P.I. Numerical simulation of hydrodynamics and heat exchange in problems with convective instability and nonunique solution. - Manuscript.

Thesis for candidat's degree by specialty 01.02.05 - mechanics of fluid, gas and plasma. -- Dniepropetrovsk State University, Dniepropetrovsk, 1999.

The dissertation is devoted to the problems of numerical simulation of flows of viscous incompressible fluid with instability and nonunique solution. In the thesis the generalization of SIMPLE methods family on case of curvilinear nonorthogonal coordinate system is developed. The techniques of increasing of calculation accuracy of the integral and local characteristics on curvilinear meshes using TVD schemes are developed. The verification and comparative analysis of effectiveness of the developed methods are carried on. The new data about a structure of natural convection flows in ring-shaped channels are obtained. The features of development of instability, and also limits of applicability of boundary layer approximation are investigated at non-stationary flow around the circular cylinder with high Reynolds numbers. The influence of various disturbances on the numerical solution of a problem on flow behind the sudden symmetrical expansion is investigated. It is obtained that the problem about a natural convection with unstable stratification in V-shaped channels has the nonunique solution.

KEY WORDS: fluid mechanic, numerical methods, unstable flows, nonunique solution.

гідродинаміка теплообмін нестисливий

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬНІСТЬ ТЕМИ. Всебічне дослідження дозвукових течій є актуальною задачею механіки рідини та газу. Такі задачі часто зустрічаються у різноманітних технічних засобах, теплообмінниках (Б. Гебхарт, Й. Джалурия, Р. Махаджан, Б. Саммакия, 1991; Белов И. А., Исаев С.А., Коробков В.А., 1989), градирнях (Маджумдар, Сингхал, Сполдинг, 1983), камерах спалювання дисперсного палива (Г.Ф. Кнорре, 1959), вихорових приладах, сепараторах та розпилювачах (А.Н. Штым, 1984; А.А. Халатов, 1989). В умовах значного скорочення фінансування наукових досліджень та фондів розвитку виробництва, експериментальні дослідження по створенню нових технологій важко здійснити. В зв'язку з цим, задача розвитку та удосконалення чисельних методів розрахунку течій в'язкої нестисливої рідини стає особливо актуальною.

При проектуванні технологічного обладнання часто зустрічаються задачі, в яких течія втрачає стійкість або існує декілька режимів течії при одному і тому ж наборі критеріальних параметрів. Наявність неєдиності та нестійкості розв'язків задачі про течію в'язкої нестисливої рідини вимагає розробки і обгрунтування ефективних чисельних методів та підвищення точності розрахунку гідродинаміки і теплообміну в областях довільної форми. Для досягнення цієї мети найбільш підходить сімейство SIMPLE алгоритмів (С.В. Патанкар, 1984; Р.В. Бенодекар, А.Дж.Г. Годдар, А.Д. Госман, Р.И. Исса, 1986; И.А. Белов, С.А. Исаев, В.А. Коробков, 1989; М.П. Лобачев, 1993) та схеми типу TVD, що були модифіковані для розрахунку нестисливих течій (M. Zijlema, 1994).

Вільна конвекція у кільцеподібних каналах (Т. Кьюэн, Р. Гольдстейн, 1976, 1978, 1980; К. Чжан, Й. Уон, Ч. Джо, 1983) викликає інтерес в силу великого практичного значення.

Нестаціонарне обтікання циліндра є яскравим прикладом розвитку нестійкої відривної течії (J.S. Son, J.T. Hanratty, 1969; M. Gaster, 1971; О.М. Белоцерковский, С.О. Белоцерковский, В.А. Гущин, 1984; И.А. Белов, С.А. Исаев, В.А. Коробков, 1989).

Експериментальні та розрахункові дані (F. Durst, A. Melling, J.H. Whitelaw 1974; F. Durst, J.C.F. Pereira, C. Troperea, 1993; I.J. Sobey, P.G. Drasin, 1986) свідчать, що течія за раптовим симетричним розширенням має неєдиний розв'язок.

Вільна конвекція у V-подібних областях виникає при аналізі течій у порожнині горизонтальних каналів з квадратним поперечним перетином, внутрішнім стрижнем і повздовжніми ребрами. При нестійкій стратифікації подібні задачі можуть мати неєдиний розв'язок (Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, Е.Л. Тарунин, 1966). Для таких задач існує проблема пошуку і всебічного дослідження розв'язків, що розгалужуються, а також аналізу стійкості отриманих розв'язків до малих та скінчених збурень.

Для аналізу розв'язків, що розгалужуються, задачі про течію в'язкої нестисливої рідини в області довільної форми виникає питання про придатність різноманітних екстремальних принципів таких як принцип мінімуму дисипації енергії Гельмгольца (Л.Г. Лойцянский, 1978; R. Skalak 1970) та И.Пригожина (И. Пригожин, И. Стенгерс, 1986) або теореми Лагранжа про стійкість положення рівноваги механічної системи (Н.Г. Четаев, 1990).

МЕТА РОБОТИ - вдосконалення чисельних методів розв'язку задач гідродинаміки і теплообміну в'язкої нестисливої рідини, розробка методик чисельного моделювання, призначених для дослідження нових задач з нестійкістю та неєдиним розв'язком, встановлення залежностей інтегральних і локальних характеристик від критеріальних параметрів.

МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕНЬ. Для розв'язку поставлених задач застосовувались сучасні високоточні чисельні методи, що мають властивості, необхідні для дослідження задач з розв'язками, що розгалужуються.

НАУКОВА НОВИЗНА отриманих результатів полягає в наступному:

Запропоновано узагальнення класу методів типу SIMPLE для розрахунку течій в'язкої нестисливої рідини на рознесених сітках для випадку криволінійної неортогональної системи координат, що використовує методику контрольного об'єму та методи побудови TVD схем високого порядку точності.

Розроблено алгоритм обчислення конвективного потоку через грань контрольного об'єму з поправкою, що забезпечує точний опис лінійного зсувного поля швидкості дискретними аналогами вихідних рівнянь на криволінійній неортогональній сітці.

Досліджено розвиток структури вільноконвективної течії у порожнині циліндра з внутрішнім квадратним стрижнем при числах Релея більших, ніж 105, для положення стрижня гранню вниз встановлено значення числа Релея Ra*=2,5·105, при якому спостерігається зміна структури розв'язку з утворенням нової циркуляційної зони і зриву потоку з верхньої гострої кромки.

У задачі про нестаціонарне обтікання циліндра при великих числах Рейнольдса визначено межі застосування рівнянь пограничного шару та детально вивчено механізми розвитку нестійкої течії у відривній зоні.

Чисельно досліджено вплив різноманітних збурень на процес біфуркації симетричного розв'язку в задачі про течію за плоским раптовим симетричним розширенням, показано, що похибки, які виникають при використанні немонотонних схем, можуть призводити до самовільної втрати симетрії чисельного розв'язку.

Отримано симетричне і два дзеркальних несиметричних розв'язки задачі про вільну конвекцію з нестійкою стратифікацією у V-подібних каналах. Показано, що симетричний розв'язок є нестійким при числах Грасгофа більших деякого критичного значення. Для докритичних чисел Грасгофа отримано єдиний симетричний розв'язок, стійкий до скінчених збурень масштабу основної течії. Розглянуто питання про можливість застосування екстремальних принципів для аналізу нелінійних задач гідродинаміки з розв'язками, що розгалужуються.

ОБГРУНТОВАНІСТЬ ТА ВІРОГІДНІСТЬ отриманих результатів забезпечується вибором адекватних математичних моделей для розглядуваного класу задач, а також всебічним тестуванням розроблених чисельних алгоритмів, задовільним збігом отриманих результатів із розрахунковими та експериментальними даними інших авторів.

ПРАКТИЧНЕ ЗНАЧЕННЯ ОТРИМАНИХ РЕЗУЛЬТАТІВ. Результати дисертаційної роботи можуть знайти широке застосування у галузі чисельного моделювання прикладних задач гідродинаміки і теплообміну в'язкої нестисливої рідини в областях довільної форми за наявності нестійкості та неєдиності розв'язку.

АПРОБАЦІЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ДИСЕРТАЦІЇ. Матеріали дисертаційної роботи доповідалися, обговорювалися і отримали позитивну оцінку на міжнародних конференціях та симпозіумах: “Численные методы в гидравлике и гидродинамике” (м. Донецьк, 1994 р.); міжнародних конференціях вчених Росії, Білорусії та України “Прикладные проблемы механики жидкости и газа” (м. Севастополь, 1995 - 1998р.); міжнародній конференції “Сучаснi проблеми водопостачання i знешкодження стiчних вод” (м. Львів, 1996 р.); міжнародному симпозіумі “Advances in Computational Heat Transfer” (м. Чешме, Турція, 1997 р.); 2-й республіканській науково-технічній конференції “Гидроаэромеханика в инженерной практике” (м. Київ-Черкаси, 1997 р.); 7-му міжнародному симпозіумі “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики” (м. Феодосія, 1997 р.); міжнародній конференції “Наука i освiта - 98” (м. Дніпропетровськ, 1998 р.); підсумкових конференціях Дніпропетровського державного університету (м. Дніпропетровськ, 1995 - 1999 р.); об'єднаному семінарі Інституту технічної механіки НАН України (м. Дніпропетровськ, 1998 - 1999 р.); об'єднаному семінарі кафедр аэрогідромеханики та прикладної газової динаміки Дніпропетровського державного університету (м. Дніпропетровськ, 1999 р.); семінарі кафедри технічної механіки Дніпропетровського державного університету (м. Дніпропетровськ, 1998 - 1999 р.); молодіжній науково-практичній конференції “Людина і космос” (м. Дніпропетровськ, 1999 р.); семінарі кафедри вищої математики Київського Міжнародного Університету Цивільної Авіації (м. Київ, 1999 р.); республіканському семінарі Інституту гідромеханіки НАН України під керівництвом академіка НАН України В.Т. Грінченко (м. Київ, 1999 р.).

2. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі на основі аналізу відомих експериментальних і теоретичних робіт обгрунтована актуальність теми дисертації, сформульовані мета і задачі дослідження. Викладені наукова новизна і основні положення, що виносяться на захист.

РОЗДІЛ 1. Огляд літератури і вибір напрямків дослідження. Наведено аналіз літератури, присвяченої чисельному моделюванню нестисливих течій, методикам оцінки ефективності і точності чисельних алгоритмів, актуальним питанням гідромеханіки, пов'язаним з конвективною нестійкістю і неєдиністю розв'язку. Виділені напрямки досліджень.

РОЗДІЛ 2. Застосування методу контрольних об'ємів до розрахунку процесів гідродинаміки і теплообміну в неортогональних криволінійних координатах. Описано методики підвищення точності і ефективності чисельних алгоритмів для розрахунку течій в'язкої нестисливої рідини на основі рівнянь Нав'є-Стокса.

У підрозділі 2.1 для побудови дискретних аналогів вибрана форма запису вихідної системи рівнянь у вигляді узагальненого закону збереження фізичної величини в контрольному об'ємі W

. (1)

У підрозділі 2.2 обговорюються особливості отримання дискретного аналогу рівняння (1) у довільній неортогональній системі координат:

, (2)

,

, (3)

,(4)

Дискретний аналог (2) - (4) консервативний і тотожно задовольняє тесту на незбурений потік в довільних криволінійних неортогональних координатах. Розглянуто особливості застосування розроблених методик для течій з осьовою симетрією та закруткою потоку.

У підрозділі 2.3 запропоновано узагальнення сімейства SIMPLE методів на випадок рознесених криволінійних неортогональних сіток, що дозволяє залишити без змін послідовність дій і форму запису вихідних рівнянь SIMPLE методів. У випадку декартової прямокутної системи координат повністю співпадають не тільки форма запису, але і значення коефіцієнтів дискретних аналогів. Надана оцінка переваг і недоліків методу SIMPLER у порівнянні з іншими методами. Наведена методика запису SIMPLE-подібних методів для випадку частково суміщених сіток. Розглянуті особливості реалізації граничних умов для нестисливої рідини.

У підрозділі 2.4 запропонована поправка для обчислення конвективного потоку через грань контрольного об'єму, що дозволяє зменшити вплив кривизни сіткових ліній на точність чисельного розв'язку. Завдяки поправці лінійна зсувна течія Куетта тотожно задовольняє дискретним аналогам на довільній криволінійній неортогональній сітці.

У підрозділі 2.5 розглянуто різноманітні різницеві схеми для аппроксимації конвективного і дифузійного потоку, методики реалізації TVD схем MinMod (В.П. Колган, 1972) другого порядку точності і ISNAS третього порядку точності (M. Zijlema, 1994) для розв'язку задач нестисливої рідини.

РОЗДІЛ 3. Верифікація і аналіз придатності розроблених методів і алгоритмів. Проведена верифікація розроблених методів, алгоритмів і програм шляхом розв'язку тестових задач і порівняння результатів з експериментальними та розрахунковими даними інших авторів. Розглянуто особливості вільноконвективних течій та теплообміну в кільцеподібних горизонтальних каналах.

У підрозділі 3.1 наведені результати розв'язку тестової задачі про течію у квадратній порожнині з кришкою, що рухається. Проведені оцінки ефективності алгоритмів типу SIMPLE (рис. 1), а також швидкості збіжності по кроку сітки для схем QUIC, MinMod і ISNAS. Для порівняння ефективності схем запропоновано використовувати співвідношення

, (5)

де - величина похибки розв'язку; - кількість ітерацій; - кількість сіткових вузлів. Множник можна розглядати як машинний час, необхідний для отримання розв'язку. Коефіцієнт зростає прямо пропорційно величині похибки розв'язку і витратам машинного часу, таким чином, чим менше тим схема більш ефективна. На рис. 2 показана залежність від кроку сітки для числа Рейнольдса Re=1000.

На основі наближення Буссінеска розв'язана задача про вільну конвекцію у квадратній області при підігріві збоку. Досліджувався вплив порядку аппроксимації граничних умов і кривизни сіткових ліній на розрахунок локальних і інтегральних параметрів течії і теплообміну. Встановлено, що кривизна сіткових ліній істотно впливає тільки на значення локального теплового потоку. Такі інтегральні величини як сумарний тепловий потік і максимальне значення функції току MAX слабо залежать від кривизни сітки. За допомогою ортогоналізації і подрібнення сітки поблизу границі похибку обчислення локальних теплових потоків на стінці можна значно зменшити.

У підрозділі 3.2 чисельно досліджена задача про вільну конвекцію в горизонтальних кільцеподібних каналах, що має велику практичну цінність (Т. Кьюэн, Р. Гольдстейн, 1976, 1978, 1980; К. Чжан, Й. Уон, Ч. Джо, 1983). Порівняння результатів розрахунку і експериментальних даних (Т. Кьюэн, Р. Гольдстейн, 1978) показало задовільну точність розрахунку локальних теплових потоків. На основі порівняння швидкості збіжності SIMPLE методів на рознесеній і суміщеній криволінійній сітці показані переваги методу SIMPLER на рознесеній сітці.

Рис. 1 Залежність кількості ітерацій від Re (сітка 31х31, відносна похибка 10-4)

Рис. 2 Залежність для Re=1000



Рис. 3 Розподіл температури вздовж радіуса Ra=105. Лінії - розрахунок, точки - дані (К. Чжан, Й. Уон, Ч. Джо, 1983)

Рис. 4 Лінії току та ізотерми Ra=5·105

Отримано задовільний збіг розрахункових та експериментальних даних (К. Чжан, Й. Уон, Ч. Джо, 1983) про структуру вільноконвективної течії і розподіл температури (рис. 3) у порожнині між циліндром і квадратним стрижнем при числах Релея Ra=5·104105. Для положення стрижня гранню вниз встановлено значення Ra*=2,5·105, при якому розпочинається зрив потоку з верхньої гострої кромки і утворення другої циркуляційної зони (рис. 4). Для положення стрижня ребром вниз структура течії залишається незмінною, при Ra<5·105.

РОЗДІЛ 4. Особливості чисельного моделювання нестаціонарних відривних течій. Описані особливості методик розрахунку стаціонарних і нестаціонарних течій. Чисельно досліджена задача про розвиток нестаціонарного, нестійкого відриву потоку при обтіканні циліндра.

Проведено порівняння отриманих результатів з експериментальними та розрахунковими даними інших авторів про розвиток нестаціонарного відриву і характеристики періодичної течії у сліді за циліндром (М. Ван-Дайк, 1986; M. Gaster, 1971; О.М. Белоцерковский, С.О. Белоцерковский, В.А. Гущин, 1984; И.А. Белов, С.А. Исаев, В.А. Коробков, 1989).

Встановлено, що причиною втрати стійкості при розвитку нестаціонарного відриву за циліндром є вихорова нестійкість Гельмгольца (H. Helmgoltz, 1868; Дж. Бэтчелор, 1973) у швидкісному шарі змішання зовнішньої течії і зворотного потоку в відривній зоні (рис. 5).

Рис. 5 Поле швидкості поблизу поверхні циліндра t=1.5, Re=105

Із порівняння розв'язків на послідовно згущених сітках випливає, що мілкомасштабні вихори не виявляють помітного впливу на течію аж до безрозмірного часу t=4.0. Подальші розрахунки без застосування моделей замикання для вихорів підсіткового масштабу можуть дати істотну похибку. До моменту виникнення нестійкості поле тиску практично таке ж, як і при потенційному обтіканні циліндра. Розподіли коефіцієнта тертя, розраховані в рамках теорії пограничного шару і за допомогою рівнянь Нав'є-Стокса, добре узгоджуються (рис. 6). Виникнення вихорової нестійкості (при t>1.3, для Re=105) призводить до істотної зміни розподілу тиску в пограничному шарі, у порівнянні з потенційною течією (рис. 7).

Рис. 6 Коефіцієнт тертя на поверхні циліндра: 1, 2 - t=0.5; 3, 4 - t=1.0; 5, 6 - t=1.5; 1, 3, 5 - рівняння Нав'є-Стокса, 2, 4, 6- пограничний шар (О.В.Хамініч,1999)



Рис. 7 Ізобари в момент часу t=4.0

РОЗДІЛ 5. Чисельне моделювання нестійких течій з неєдиним розв'язком. Наведено огляд деяких проблем, пов'язаних із нестійкістю і неєдиністю розв'язку задачі про течію в'язкої нестисливої рідини, а також наведено результати чисельного моделювання задач, що мають неєдиний розв'язок.

У підрозділі 5.1 досліджується течія за симетричним раптовим розширенням. Експериментальні та чисельні дослідження свідчать про те, що ця задача має неєдиний розв'язок (F. Durst, J.C.F. Pereira, C. Troperea, 1993; I.J. Sobey, P.G. Drasin, 1986).

В результаті дослідження впливу властивостей різницевих схем на чисельний розв'язок було встановлено, що величина асиметричних збурень, що вносяться немонотонними схемами типу QUIC, може спотворити реальну картину процесів втрати стійкості течії і призвести до самовільної втрати симетрії при симетричних граничних умовах. Монотонні схеми типу TVD, дозволяють одержувати симетричний розв'язок при закритичних числах Рейнольдса та симетричних граничних умовах.

Досліджено вплив різноманітного роду збурень на процес втрати симетрії розв'язку. Отримані результати свідчать, що вирішальну роль у цьому процесі відіграють граничні умови в кутній точці уступу. Після переходу до асиметричного розв'язку (рис. 8), збурення можна виключити із розрахунків, при цьому розв'язок не повертається до симетрії. У цілому можна відзначити задовільний збіг експериментальних (F. Durst, J.C.F. Pereira, C. Troperea, 1993) і розрахункових даних (рис. 9).

Рис. 8 Ізолінії функції току та ізобари в течії за раптовим розширенням Re=600

Re

Рис. 9 Залежність положення точок приєднання потоку від числа Re 1, 2 - експеримент, 3, 4, 5 - розрахунок NP

Re

Рис. 10 Залежність середньооб'ємної потужності сил тиску від числа Re

Аналіз інтегральних характеристик симетричного і несиметричного розв'язку від числа Рейнольдса показав, що із збільшенням числа Рейнольдса кінетична енергія, функція дисипації і потужність сил тиску зростають, при цьому в несиметричному розв'язку потужність (опір) сил тиску менша, ніж у симетричному розв'язку (рис. 10). Як наслідок, у несиметричному розв'язку відбувається більш швидке зростання кінетичної енергії і дисипації енергії у порівнянні з симетричним розв'язком.

У підрозділі 5.2 чисельно досліджується задача про розвиток вільної конвекції при нестійкій стратифікації рідини у замкнутих V- подібних областях. Ця задача виникає в теплообмінниках з внутрішнім стрижнем і повздовжніми ребрами, що поділяють робочий простір теплообмінника на ізольовані відсіки (рис. 11). Досліджено два варіанти геометрії - із гострою і округленою верхньою кромкою.



Рис. 11 Канали із внутрішнім стрижнем і повздовжніми ребрами а - геометрія А; б - геометрія Б

Рис. 12 Ізолінії функції току і ізотерми при Gr=105 (геометрія А)



Рис. 13 Ізолінії функції току і ізотерми при Gr=105 (геометрія Б)

Встановлено, що при числах Грасгофа більших деякого критичного значення GrК ця задача має неєдиний розв'язок (рис. 12, 13). У результаті розрахунків було отримано три розв'язки - нестійкий (при Gr > GrK) симетричний і два стійких дзеркально несиметричних. Значення GrK для геометрії А- GrK=2,1·104, для Б- GrK=0,9·103. Перехід від нестійкого симетричного до несиметричного розв'язку залежить від трьох факторів - числа Грасгофа, структури початкового наближення і величини несиметричного збурення у ході ітераційного розв'язку.



Рис. 14 Розподіл локального числа Nu по нижній поверхні: а - геометрія А; б - геометрія Б, при числах Грасгофа: 1, 2 - Gr=5·103; 3, 4 - Gr=7·104; 5, 6 - Gr=105, (лініями показано несиметричний розв'язок)

Рис. 15 Залежність середнього числа Нуссельта від числа Грасгофа: 1, 2 - геометрія А; 3, 4 - геометрія В; 1, 3 - симетрична; 2, 4 - асиметрична течія

Досліджено питання про вплив структури течії на характеристики теплообміну. Перехід до несиметричної структури течії викликає помітне збільшення максимальних значень локального теплового потоку на нижній гарячій стінці (рис. 14) і зменшення інтегрального потоку тепла (рис. 15). У області із геометрією А сумарний тепловий потік більше, ніж у області із геометрією Б при тому ж числі Грасгофа (рис. 15).

Визначені залежності максимального і мінімального значення функції току від числа Грасгофа для симетричного і несиметричного розв'язку (рис. 16). Встановлено, що функція дисипації, потужність масових сил і кінетична енергія у стійкому несиметричному розв'язку менші, ніж у нестійкому симетричному (рис. 17, 18).



Рис. 16 Абсолютні значення MAX, MIN у залежності від числа Gr для: а - геометрії А; б - геометрії Б; верхня крива -MAX, нижня крива -MIN, середня - симетричний розв'язок



Рис. 17 Залежність сумарної потужності масових сил NPT (а) і кінетичної енергії K (б) від числа Gr для геометрії А і Б

Рис. 18 Функція дисипації Ф в залежності від Gr для: а - геометрії А; б - геометрії Б

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота є науковою працею, в якій розроблено методи та алгоритми розрахунку гідродинаміки і тепломасообміну в'язкої нестисливої рідини, вивчені особливості математичного моделювання розвитку вільної та вимушеної конвекції, а також стаціонарних і нестаціонарних нестійких течій із неєдиним розв'язком, що у сукупності можна кваліфікувати як розв'язок наукової задачі, що має істотне значення для розвитку математичного моделювання в механіці рідини і газу.

Основні результати і висновки дослідження полягають в наступному:

Запропоновано узагальнення сімейства методів типу SIMPLE на випадок неортогональної криволінійної системи координат. Отримані дискретні аналоги консервативні в довільній криволінійній неортогональній системі координат. Описано реалізацію схем TVD другого і третього порядку точності для нестисливих течій.

Розроблено алгоритм обчислення конвективного потоку, завдяки якому лінійна зсувна течія може бути точно розрахована на довільній неортогональній сітці.

У результаті тестування і оцінки ефективності розроблених алгоритмів показані переваги методу SIMPLER і TVD схем над іншими методами.

Отримано нові дані про розвиток структури вільної конвекції у порожнині кільцеподібних горизонтальних каналів, знайдено число Релея, при якому виникає зрив потоку і утворюється нова циркуляційна зона.

Чисельно досліджено особливості розвитку нестаціонарного, нестійкого відриву потоку при обтіканні циліндра. На основі результатів, отриманих при розв'язку рівнянь Нав'є-Стокса, наведено оцінки меж застосування наближення пограничного шару при великих числах Рейнольдса.

На основі аналізу результатів дослідження впливу властивостей різницевих схем на розгалуження чисельних розв'язків задачі про течію за раптовим симетричним розширенням рекомендується використовувати монотонні схеми типу TVD для розрахунку задач із неєдиним розв'язком.

Встановлено, що у V-подібних областях при нестійкій стратифікації рідини існують три розв'язки - симетричний (нестійкий при Gr > GrK) і два стійких дзеркально несиметричних. Досліджено питання про вплив структури течії на характеристики теплообміну. Втрата симетрії призводить до зменшення інтегрального потоку тепла і збільшення максимальних значень локальних теплових потоків на нижній холодній стінці.

При аналізі стійкості розв'язків задачі про течію в'язкої нестисливої рідини була вивчена поведінка інтегральних параметрів течії: кінетичної енергії, функції дисипації і потужності масових сил. На основі аналізу залежності цих величин від критеріальних чисел у двох задачах з неєдиним розв'язком показано, що кінетична енергія і в'язка дисипація у стійкому розв'язку можуть бути як більше, так і менше, ніж в нестійкому. Це говорить про те, що величини кінетичної енергії і в'язкої дисипації не можуть бути використані для аналізу стійкості розв'язків. Потужність масових сил в розглянутих задачах була завжди менше у стійких розв'язках, таким чином можна провести аналогію між стійкістю положення рівноваги механічної системи і стійкістю розв'язку задачі про течію в'язкої рідини у області довільної форми, де в якості аналогу потенційної енергії механічної системи виступає потужність масових сил.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛІДЖЕНЬ ВІДОБРАЖЕНІ В НАСТУПНИХ ПУБЛІКАЦІЯХ

1. Приходько А.А., Зинченко А.В., Кудинов П.И. Математическое моделирование дискретных особенностей в многофазных средах // Труды VII Международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". Прикладная математика и математическое моделирование. -Киев: Институт математики НАН Украины, 1997. -С.165-167.

2. Кудинов П.И. К вопросу о точности расчета конвективного потока в криволинейных системах координат // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій: Збірник наукових праць. -Дніпропетровськ: Навчальна книга, 1998. -Т.3. -С.82-85.

3. Кудинов П.И. Метод расчета процессов гидродинамики и теплообмена в неортогональных криволинейных координатах // Вісник Дніпропетровського університету. Серія Механіка. -1998. Випуск 1. -Т.1. -С.117-125.

4. Кудинов П.И. Структура свободной конвекции вокруг квадратного стержня в горизонтальном цилиндрическом отсеке // Системне проектування та аналіз характеристик аерокосмічної техніки. -Дніпропетровськ: Навчальна книга. -1998. -Т.1. -С.98-102.

5. Кудинов П.И. Структура свободноконвективного течения в V-образной области при неустойчивой стратификации жидкости // Вісник Дніпропетровського університету. Серія Механіка. -1999. Випуск 2. -Т.1. -С.38-48.

6. Кудинов П.И. Численное моделирование неустойчивого течения за внезапным симметричным расширением // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій: Збірник наукових праць. -Дніпропетровськ: Навчальна книга. -1999. -Т.5. -С.101-114.

7. Особистий внесок автора у роботу [1] (співавтори А.А. Приходько, А.В. Зинченко) полягає в розробці схем областей застосування моделей, багатофазних середовищ, а також методів, алгоритмів та програм для розрахунку задач гідродинаміки і теплообміну в дозвукових багатофазних течій за наявності областей вільних від частинок.

Размещено на Allbest.ru