Мікроскопічна теорія зв`язаних магнітопружних хвиль у феромагнетиках зі складною одноіонною анізотропією

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

При описі магнітних діелектриків звичайно враховуються різноманітні релятивістські взаємодії (одно-іонна анізотропія (ОА), магніто-дипольна взаємодія і тощо). Магнітопружна (МП) взаємодія, яка безпосередньо забезпечує формування стану рівноваги, найчастіше не враховується, оскільки вона, за своєю інтенсивністю, істотно поступається як ОА, так і магніто-дипольній взаємодії. Однак, у певних випадках МП взаємодія може істотно впливати на динамічні властивості системи, особливо, поблизу орієнтаційних фазових переходів (ОФП). МП взаємодія призводить до змішення магнітних і звукових збуджень. При цьому в спектрі квазимагнонів з'являється МП щілина, а спектр квазіфононів, у межі малих хвильових векторів, стає квадратичним.

Крім того, вплив сильного поля ОА і значної обмінної взаємодії вищих (у порівнянні з білінійним) порядків по спiну впливають на динамічні і термодинамічні властивості магнетиків, формуючи особливості як основного стану, так і спектральних властивостей. Зокрема, у цьому випадку конкуренція двох механізмів упорядкування призводить до існування своєрідних типів спiнових структур iз упорядкуванням квадрупольного типу. Відповідний квадрупольний порядок полягає у хаотичному розташуванні спiнів у площині, яка перпендикулярна осі феромагнетизму, виділеної, наприклад, зовнішнім магнітним полем і характеризується квадрупольним параметром:

Таким чином, незважаючи на відсутність магнітного порядку, відповідні структури є впорядкованими, порядок у них визначається тензорними характеристиками.

У багатьох теоретичних роботах при описі зв'язаних МП хвиль використовуються рівняння теорії пружності і рівняння Ландау-Ліфшиця. Цей підхід дозволяє достатньо просто отримати якісний опис поведінки зв'язаних МП хвиль. Однак він справедливий лише в області низьких температур і малих, у порівнянні з обміном, значень констант ОА. Використання подання Голстейна-Примакова для спiнових операторів при описі МП хвиль також обмежене низькими температурами і величиною великих спiнів . До того ж при використанні обох цих способів опису не виявляються чисто квантові ефекти, такі як квантове скорочення спину і поява фаз з тензорним параметром порядку. Використання подання Вакса-Ларкіна-Пікіна для спiнових операторів при описі МП взаємодії ускладнене, бо не визначена регулярна процедура розщеплення середніх в одно-вузлових членах гамільтоніана.

Актуальність роботи. З усього викладеного вище випливає, що МП зв'язок, ОА і біквадратична взаємодія істотно впливають на властивості магнетиків, однак спільний вплив цих взаємодій вивчений недостатньо. В зв'язку з цим становить великий інтерес дослідження впливу цих механізмів на динамічні і термодинамічні властивості магнетиків.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Дисертація виконана в рамках загально-університетської програми, що зареєстрована в УкрІНТЕІ № 0197V001961 “Дослідження динамічних і статистичних властивостей магніто-впорядкованих речовин”.

Мета і задачі дослідження - теоретичний розрахунок спектрів зв'язаних МП хвиль у точці ОФП в різноманітних інтервалах температур і полів і при довільних значеннях константи ОА; опис характеру індукованих полем магнітних фазових переходів; побудова фазових діаграм: магнітне поле (H) - температура (T) при різноманітних співвідношеннях констант ОА і обміну.

Наукова новизна одержаних результатів:

- отримане дисперсійне рівняння зв'язаних МП хвиль у магніто-впорядкованих діелектричних кристалах, справедливе в широкому температурному інтервалі і при довільному співвідношенні констант ОА і обмінної взаємодії;

- вперше одержано спектри МП хвиль двоосного феромагнетику при довільному напрямку зовнішнього магнітного поля і різноманітних температурах з врахуванням МП взаємодії, визначено умови розм`якшення фононної моди, а також залежність спектрів квазімагнонів і квазіфононів від співвідношення констант ОА. Досліджено характер впорядкованих фаз у різноманітних інтервалах параметрів H і T, проаналізовано ФП між ними, побудовано фазову діаграму двоосного сильно анізотропного ФМ;

- у низькотемпературній області вивчено спектри двоосного сильно анізотропного ФМ з врахуванням біквадратичного обміну в квадрупольній і феромагнітній фазах. Визначені умови розм`якшення фононної моди;

- побудовано фазові діаграми двоосного сильно анізотропного ФМ, як у випадку, коли гейзенбергівський обмін переважає біквадратичний, так і для ситуації, коли гейзенбергівский обмін менший за біквадратичну взаємодію;

- досліджено спектри зв'язаних МП хвиль і умови розм`якшення квазіфононної моди легко-площинного феромагнетику при врахуванні механічних межових умов. Визначено умови, при яких механічні межові умови змінюють тип фазового переходу.

Практичне значення одержаних результатів визначається тим, що вибір досліджуваних моделей зроблено передусім з врахуванням факту існування реальних магнітних матеріалів, властивості яких з достатньою повнотою і вірогідністю можуть бути описані ними.

Особистий внесок здобувача. Публікації, на яких грунтується дисертація, є спільною роботою колективу авторів. Вклад кожного iз співавторів рівноцінний.

Апробація результатів дисертації. Основні результати, які увійшли в дисертаційну роботу, доповідалися й обговорювалися на таких семінарах і конференціях: XV Всероссийская школа-семинар “Новые магнитные материалы микроэлектроники” (Москва, 18-21.06.1996 г.); International School-Conference for Young Scientists “Solid State Physics: Fundamentals & Applications” (Katsyveli, Crimea, Ukraine, June 14-22, 1997); Конференція професорсько-викладацького складу СДУ, 1998 рік; Конференція професорсько-викладацького складу СДУ, 1999 рік.

Публікації. Результати дослідження опублікованi у 6 статтях наукових журналiв та у 2 тезах конференцiй.

Дисертаційна робота складається зi вступу, трьох розділів, висновків і списку літератури з 168 найменувань. Повний обсяг дисертації, включаючи 10 малюнків на 10 сторінках, складає 117 сторінок.

1. Фазова діаграма і спектри зв'язаних магніто-пружних хвиль двоосного феромагнетику за наявнiстю зовнішнього магнітного поля

У першому підрозділі описано математичний апарат, який дозволяє провести послідовний мікроскопічний опис МП взаємодії при довільних температурах, описано схему побудови операторів Хаббарда на прикладі двоосного феромагнітного кристалу, що описується гамільтоніаном:

Де: магнітне поле, спіновий оператор в вузлі , константи ОА, - обмінний інтеграл; - константи МП зв'язку; - пружні модулі, компоненти тензора пружних деформацій. Для простоти обчислень припускається, що .

На власних функціях одно-вузлового гамільтоніана:

,

будуються оператори Хаббарда:

що зв'язані зі спіновими операторами таким чином:

діагональні оператори Хаббарда, а функції зовнішнього поля, анізотропії, обмінної взаємодії і константи МП зв'язку,,- кореневі вектори.

У другому підрозділі, виходячи з рівняння для функції Гріна:

було отримано дисперсійне рівняння зв'язаних МП хвиль, яке справедливе у всьому температурному інтервалі і при довільних значеннях констант ОА.

У третьому підрозділі досліджується дисперсійне рівняння зв'язаних МП хвиль двоосного феромагнетику в області низьких температур для двох випадків, коли феромагнітна фаза тривка: 1. 2. Ці два випадки насправді аналогічні обертанню магнітного поля, яке паралельне “середнiй” осі намагнічення у першому випадку і “важкiй” осі - у другому випадку.

При малих константах ОА, коли найбільшим параметром дослiджуваної системи є константа обмінної взаємодії, (), квазіфононна гілка в точці орієнтаційного фазового переходу (ОФП) розм'якшується і при малих хвильових векторах має вигляд:

де:

,

радіус взаємодії.

У спектрі квазімагнонів:

з'являється МП щілина:

.

У ситуації, коли константи ОА порівняні або навіть переважають константу обмінної взаємодії і зв'язані співвідношенням середня намагніченість двоосного феромагнетику є меншою за максимально можливе значення і дорівнює:

.

Це зумовлено чисто квантовим ефектом змішування станів і оператора в основному стані іона (основний стан кристала є суперпозицією станів і ). Чим більша величина , тим більшим є внесок стану , що і призводить до зменшення . Цей ефект носить назву квантового скорочення спiна, що виявляється макроскопічно як зменшення намагніченості сильно анізотропного феромагнетику.

У цьому випадку не існує значень магнітного поля, при яких би квазіфононна гілка розм'якшилась. Це означає, що система не зазнає орієнтаційного фазового переходу, а залишається весь час паралельна осі OZ і зменшується за модулем у міру зменшення магнітного поля Н.

У випадку, коли енергія ОА зрівнюється з обмінною і константи ОА зв'язані співвідношенням , при певних значеннях зовнішнього магнітного поля відбувається інверсія енергетичних рівнів і стає можливою поява нових фаз з тензорним параметром порядку - квадрупольних (КУ) фаз.

У полях и відбувається ОФП з КУ - фази, що характеризується тензорним параметром порядку, в квадрупольно-феромагнітну (КФМ) (кутову), і з КФМ в ФМ - фазу, в якій магнітний момент спрямований на поле.

Спектри зв'язаних МП хвиль вивчені в двох інтервалах полів: .

У ФМ - фазі всі результати збігаються з результатами, отриманими для слабко анізотропного двоосного феромагнетику, з тією лише різницею, що область хвильових векторів, при яких відбувається роз'мякшення квазіфононної моди і МП щілина в спектрі квазімагнонів зменшується зі зростанням константи ОА.

Найбільший інтерес становить область полів , тобто КУ - фаза і перехід КУ - КФМ. У цьому випадку найнижчим енергетичним рівнем магнітного іона є , основний стан вже не є суперпозицiєю станів і , а описується власним вектором оператора. Таким чином, КУ фаза в даному випадку (на відміну від ситуації, розглянутої вище) реалізується не шляхом зменшення намагніченості в кожному вузлі, а шляхом укладання спiнів у легку (XOY) площину, при цьому спiни хаотично розташовані в цій площині.

У четвертому підрозділі вивчаються спектри зв'язаних МП хвиль двоосного сильно анізотропного феромагнетику поблизу критичної температури.

У цьому випадку зміна в поведінці системи при кінцевих температурах визначається не тільки відомою тепловою залежністю параметра порядку, що виявляється в зменшенні з ростом температури. Поряд з цим будуть “працювати” і чисто квантові ефекти. Якщо при низьких температурах найнижчим енергетичним рівнем у ФМ фазі є , то при кінцевих температурах у полях енергетичні рівні та зрівнюються, а величина середнього спiну стає меншою за максимально можливу і дорівнює

Як показує аналіз спектра квазімагнонів, лінія є лінією нульової частоти, оскільки система на цій лінії стає енергетично виродженою.

Подальше зменшення магнітного поля і збільшення температури призводять до зменшення і при H=H_кр і T=T_кр середня намагніченість =0.

Лінія, що проходить через цю точку в області температур T > T_кр, є лінiєю фазового переходу, що розділяє ФМ і КУ фази, тому що на цій лінії спектр квазіфононів розм'якшується і в спектрі квазімагнонів є МП щілина.

Крім того, при полях , і система продовжує знаходитися в ФМ фазі. Лише при маємо і система переходить в КУ фазу.

П'ятий підрозділ присвячено розгляду випадку, коли магнітне поле довільно направлене в площині ZOX під кутом до осі OZ. Граничні випадки такої геометрії розглянуто в третьому підрозділі. Як і раніше, припускається, що ОА велика. Порівняння двох граничних випадків і дозволило визначити характер зміни спектрів зв'язаних МП хвиль і критичних параметрів системи зі зміною напрямку магнітного поля, тобто від кута . Збільшення призводить до зменшення значень критичних полів і температури ().

При низьких температурах у випадку, коли:

,

система знаходиться в ФМ-фазі, і лише в точці переходить у КУ фазу, причому не шляхом повороту вектора намагніченості, а зменшенням його модуля до нуля.

2. Спектри зв'язаних магнітопружних хвиль двоосного сильно анізотропного феромагнетика з врахуванням біквадратичної взаємодії

У першому підрозділі побудовано дисперсійне рівняння зв'язаних МП хвиль двоосного феромагнетику з використанням техніки операторів Хаббарда i з врахуванням біквадратичної взаємодії.

Отримане дисперсійне рівняння визначає спектр зв'язаних МП хвиль при довільних температурах і довільних значеннях констант ОА.

У другому підрозділі докладно досліджуються спектри при низьких температурах у випадку, коли гейзенбергівський обмін переважає константу біквадратичного обміну, а хвильовий вектор

При цьому можливе існування чотирьох фаз, дві з яких характеризуються векторним параметром порядку (- ФМ_Z, ФМ_X), а дві - тензорним параметром порядку (КУ₁ і КУ₂). Необхідно відзначити, що в даному випадку не відбувається інверсії енергетичних рівнів при переході в КУ-фази.

Поблизу ліній фазового переходу КУ₁-ФМ_х, КУ₁-ФМz і КУ₂-ФМ_х квазіфононна гілка слабко взаємодіє з магнонною підсистемою, що виражається лише в невеликому перенормуванні швидкості звука. Магнонна гілка при цьому виявляється м'якою модою, і за цією гілкою збуджень іде фазовий перехiд, а лінія фазового переходу зміщена на:

порівняно з випадком відсутності МП взаємодії.

Основним станом, що реалізується на лініях ФП КУ₁-ФМ_х і КУ₁-ФМz-фаза, є стан:

.

Реалізація такого основного стану свідчить про те, що КУ₁-фаза формується в результаті чисто квантового ефекту “скорочення спiну”. При цьому зменшується за модулем у кожному вузлі.

У КУ₂-фазі основним станом системи є . Таким чином, КУ₂-фаза, на відмiну від КУ₁-фази, реалізується стандартно.

Відмінність цих двох типів квадрупольного впорядкування виявляється і в спектральних закономірностях.

На лініях ФП КУ₁-ФМ_х і КУ₁-ФМz-фаза без врахування МП взаємодії за:

,

відповідно, закони дисперсії квазіфононів стають квадратичними.

У спектрі квазімагнонів на зазначених вище лініях ФП навіть при існують щілини.

Порівняльний аналіз спектрів зв'язаних МП хвиль на лініях фазового переходу з врахуванням та без врахування МП взаємодії, свідчить про слабку взаємодію магнітної і пружної підсистем у першому випадку (відсутність активації в спектрі квазімагнонів і відсутність розм'якшення в спектрі квазіфононів) і про зміну лінійного закону дисперсії квазіфононів при кінцевих , активації спектру квазімагнонів у другому випадку.

Така поведінка спектрів елементарних збуджень свідчить про те, що ФП КУ₁-ФМ_х-фаза і КУ₁-ФМz-фаза за наявністю додаткового зовнішнього впливу (наприклад, зовнішнього магнітного поля, перпендикулярного до легкої осі), скоріше за всього, реалізувався б як переорієнтаційний. У цьому випадку м'якою модою буде квазіфононна гілка, а в спектрі квазімагнонів з'явиться МП щілина, як звичайно і відбувається при орієнтаційних ФП.

Однак у КУ₂-фазі на відповідній лінії ФП без врахування МП зв'язку не спостерігається особливостей поведінки спектрів квазіфононів, якi є в КУ₁-фазі. Отже, ФП ФМ_х-КУ₂-фаза не може реалiзовуватися як переорієнтаційний ФП, а відбувається шляхом зменшення модуля при наближенні до лінії ФП.

У третьому підрозділі досліджено спектри зв'язаних МП хвиль у випадку, коли біквадратична взаємодія переважає гейзенбергівський обмін. Як і в другому підрозділі, розглянуто випадок низьких температур, а хвильовий вектор При цьому отже в системі можуть реалізовуватися тільки фази з тензорними параметрами порядку (КУ-фази).

Аналіз дисперсійного рівняння показує, що поблизу лінії6

в системі посилюється роль МП зв'язку і на цій лінії в довгохвильовій межі квазіфононна гілка спектру МП хвиль стає нестійкою (“розм'якшується”), а в спектрі квазімагнонів з'являється МП щілина.

Причому в випадку що розглядається з магнітною підсистемою активно взаємодіють тільки t-поляризовані фонони. Отримані результати свідчать про те, що система зазнає орієнтаційний ФП КУ₁ - КУ₂-фаза на цій лінії. На відмiну від випадку без врахування МП взаємодії, м'якою модою є не магнонна, а квазіфононна гілка. При цьому переорієнтація зводиться до повороту головної осі тензора квадрупольних моментів. Таким чином, ОФП можуть здійснюватися не тільки в системах з векторним параметром порядку, але й у більш складних ситуаціях.

3. Магнітопружні хвилі в легко-площинних феромагнетиках з врахуванням механічних граничних умов

Як відомо, магнітна анізотропія призводить до появи в гамільтоніані магнетика доданків, якi залежать від антисиметричної частини тензора градієнтів пружних зміщень (тензора дисторсії), що характеризує нескінченно малі повороти елемента обсягу тіла. За відсутністю механічних граничних умов (зважаючи на наявність тільки діагональних компонент тензора дисторсії). Однак, стрикційні ефекти в системі з механічними граничними умовами (наприклад, в магнетику з жорстко закріпленою гранню), зумовлені викривленням елементарної комірки магнітного кристала, супроводжуються появою недіагональних компонент тензора дисторсії, а отже наявністю відмінної від нуля антісиметричної частини, що тягне за собою поворот (разом з елементом обсягу тіла) локальної осі анізотропії.

Таким чином, гамільтоніан нашої системи повинен бути інваріантним відносно однорідних поворотів тіла як цілого.

У феромагнетику що розглядається легкою площиною є площина XOY. Зовнішнє поле направлене вздовж осі OZ.

У першому підрозділі обчислено енергетичні рівні і власні функції магнітного іона з використанням техніки операторів Хаббарда i з врахуванням МП взаємодії на підставі обертально-інваріантної теорії.

У другому підрозділі визначено спонтанні деформації кристала, проведено дослідження щільності вільної енергії легко-площинного феромагнетику при низьких температурах (T << Т_c, T_c- температура Кюрі):

.

Остання формула показує, що щільність вільної енергії відрізняється від стандартного вигляду наявністю доданка, пропорційного до . Цей компонент є зумовленим врахуванням обертальної інваріантності, а також наявністю недіагональних спонтанних деформацій, що є наслідком механічних граничних умов, якi вивчаються нами. Наявність кубічного доданка в розкладанні для щільності вільної енергії призводить до зміни типу фазового переходу (порівняно з випадком відсутності механічних граничних умов). Фазовий перехід стає переходом першого роду (локальний мінімум термодинамічного потенціалу відповідає метастабільному стану. При наближенні до точки ФП відбувається зміна локального та абсолютного мінімумів, і система стрибком переходить у нову фазу). Значення поля ФП і відповідне йому значення параметра порядку визначаються iз спільного рішення рівняння стану і рівності вільних енергій у феромагнiтно впорядкованiй і невпорядкованій фазах такими виразами:

.

Підставляючи в дані вирази значення коефіцієнтів і , отримаємо оцінку для величини стрибка параметра порядку Ця оцінка показує, що величина стрибка є малою за, і, отже, ФП є перехід першого роду, близький до другого.

У третьому підрозділі побудовано гамільтоніан трансформацій, досліджено процеси розповсюдження звукових хвиль різноманітних поляризацій у легко-площинному феромагнетику. Встановлено, що врахування обертальної інваріантністі призводить до різниці швидкостi звука однієї поляризації в магнiто-впорядкованому кристалі уздовж різноманітних напрямків. Цей ефект отримав назву ефекту невзаємності.

У четвертому підрозділі отримано дисперсійне рівняння зв'язаних МП хвиль, дiйсне у всьому температурному інтервалі існування магніто-впорядкованої фази і при довільних значеннях константи ОА. З цього рівняння видно, що якщо хвильовий вектор , то з магнітною підсистемою взаємодіє t-поляризована звукова мода, а дві інші звукові хвилі з магнітною підсистемою практично не взаємодіють.

Як це випливає із розв'язання дисперсійного рівняння, у точці ФП першого роду спектр квазіфононів залишається лінійним, а в спектрі квазімагнонів є енергетична щілина, зумовлена, у тому разі, і МП взаємодією. Така поведінка спектрів МП хвиль показує, що в точці ФП першого роду не спостерігається поява м'якої моди.

Інша ситуація реалізується в точці абсолютної нестійкості кутової фази, де в довгохвильовій межі в спектрі квазімагнонів є МП щілина, а спектр квазіфононів у точці абсолютної нестійкості кутової фази (в довгохвильовій межі) розм'якшується.

феромагнітний двоосний хаббард стрикційний

Висновки

1. Отримано дисперсійні рівняння зв'язаних магніто-пружних хвиль, з використанням техніки операторів Хаббарда, для магнетиків різноманітних класів. Ці рівняння справедливі в усьому інтервалі температур існування магніто-впорядкованої фази і при довільних співвідношеннях констант одноіонної анізотропії та нульових Фур'є-компонент обмінного інтегралу.

2. Визначено спектр квазіфононів і квазімагнонів двоосного сильно анізотропного феромагнетику у двох температурних межах: і . Показано, що поблизу орієнтаційних фазових переходів фононна мода розм'якшується, а в магнонному спектрі з'являється магніто-пружна щілина. При цьому параметри спектрів елементарних збуджень сильно залежать від співвідношень констант одноіонної анізотропії та обміну, орієнтації зовнішнього магнітного поля в кристалі. Визначено зміни критичних полів і температури, вигляду фазової діаграми в залежності від орієнтації зовнішнього магнітного поля.

Вивчено граничні переходи до одноосних систем, що підтверджується наявними на даний момент теоретичними та експериментальними результатами.

3. Вивчено різноманітні механiзми формування фаз з немагнітним параметром порядку, так званих квадрупольних фаз, залежно від співвідношення між матеріальними константами і напрямком магнітного поля. Показано, що виникнення і особливості означених квадрупольних фаз зв'язані як з великою одноіонною анізотропією, так і з наявністю біквадратичних за спiном доданків в обмінній частині гамільтоніана магнетика.

4. Для двоосного сильно анізотропного магнетика з біквадратичним обміном визначено спектри квазіфононів і квазімагнонів у феромагнітній і квадрупольній фазах в області низьких температур . Показано, що при великій гейзенбергівській обмінній взаємодії фазові переходи між означеними фазами відбуваються лише шляхом зменшення а не обертанням вектора намагніченості, що виявляється і в спектральних закономірностях елементарних збуджень: м'якою модою є магнонна гілка, за якою ідуть фазові переходи, а в спектрі фононів відбувається лише слабке перенормування швидкості звука. Встановлено, що врахування магнітопружного зв'язку в даному випадку зміщує лінії фазових переходів на величину:

5. У випадку переважної біквадратичної обмінної взаємодії реалізуються лише фази з тензорними параметрами порядку. При цьому, на лінії орієнтаційного фазового переходу м'якою модою є квазіфононна гілка, а в спектрі квазімагнонів з'являється магніто-пружна щілина. Визначено, що в даному випадку переорієнтація зводиться до повороту головної осі тензора квадрупольних моментів.

6. Встановлено, що наявність механічних граничних умов призводить до зміни функціональної залежності щільності вільної енергії від параметра порядку . Зокрема, поява кубічного доданка в термодинамічному потенціалі свідчить про наявність метастабільних станів і про те, що фазовий перехід є переходом першого роду. При цьому в точці орієнтаційного фазового переходу першого роду відсутнє розм'якшення в квазіфононнiй модi. Однак розм'якшення спектру квазіфононів відбувається в точці абсолютної нестійкості кутової фази.

Література

1. Мицай Ю.Н., Фридман Ю.А., Кожемяко О.В., Эйнгорн Б.Л. Спектры связанных магнитоупругих волн и особенности фазовых переходов в легкоплоскостных ферромагнетиках при наличии механических граничных условий // ФНТ. - 1998. - Т. 24, 4. - С. 345-352.

2. Мицай Ю.Н., Фридман Ю.А., Кожемяко О.В., Космачев О.А. Спектры связанных магнитоупругих волн двуосного сильно анизотропного ферромагнетика с учетом биквадратичного взаимодействия // ФНТ. - 1999. - Т. 25, 7. - С. 690-698.

3. Mitsay Yu.N., Fridman Yu. A., Kozhemyako O.V., Kochmanski M.S. The Phase diagram of two-axis ferromagnet and spectra of coupled magnetoelastic waves // Acta Physica Polonica A. - 1999. - vol. 96, N 3. - P. 363-374.

4. Мицай Ю.Н., Фридман Ю.А., Кожемяко О.В. Особенности фазовых переходов в легкоплоскостных ферромагнетиках при наличии механических граничных условий // Ученые записки Симферопольского государственного университета. - 1997. - 4(43) - С. 63-71.

5. Мицай Ю.Н., Фридман Ю.А., Кожемяко О.В. Спектры связанных магнитоупругих волн двуосного сильно анизотропного ферромагнетика с учетом биквадратичного взаимодействия // Ученые записки Симферопольского государственного университета. - 1998. - 7(46). - С. 137-139.

6. Мицай Ю.Н.,Фридман Ю.А.Кожемяко О.В. Фазовая диаграмма двухосного ферромагнетика и спектры связанных магнитоупругих волн. // Ученые записки Симферопольского государственного университета. - 1999. - 12(51). - С. 132-136.

7. Мицай Ю.Н., Фридман Ю.А., Кожемяко О.В. Фазовые переходы в легкоплоскостных ферромагнетиках при наличии механических граничных условий // Тезисы XV Всероссийской школы-семинара “Новые магнитные материалы микроэлектроники”. Москва: УРСС - 1996. - С. 298-299.

8. Kozhemyako O.V., Mitsay Yu.N., Fridman Yu.A. Magnetoelastic waves and phase transitions in easy-plane ferromagnets with mechanical boundary conditions // International School-Conference for Young Scientists “Solid State Physics: Fundamentals & Applications”. - Katsyveli (Crimea, Ukraine). - 1997. - P. R53-R55.

Размещено на Allbest.ru