Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство общего и специального образования РФ

Московский Государственный Технический Университет

им. Н.Э. Баумана

Калужский филиал

Е.И. Мосиянова, В.В. Кулибаба

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛОСКОПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ

Методическое пособие

по курсу сопротивления материалов

Калуга, 1998

Методическое пособие разработано в соответствии с программой курса сопротивления материалов для студентов машиностроительных специальностей.

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры К5-КФ “Сопротивление материалов” 15 октября 1998 г. (Протокол N 63).

Утверждено 21 октября 1998 г. на заседании методической комиссии КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана (Протокол N 1).

Рецензент: к.т.н. Сероштан В.И.

Методическое пособие посвящено изложению курса сопротивления материалов применительно к вопросам расчета плоскопространственных систем.

Рассмотрены примеры определения эквивалентных напряжений и коэффициентов запаса для статически неопределимых плоскопространственных систем с различной степенью статической неопределимости.

Предлагаемый материал может быть использован в качестве электронного пособия на персональных ЭВМ в среде WINDOWS.

Содержание

1. Пример 1

2. Пример 2

3. Литература

Пример 1

Для заданной плоско пространственной рамы требуется: 1) раскрыть статическую неопределимость, 2) построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, 3) определить коэффициент запаса по текучести, используя гипотезу энергии формоизменения. Для расчета принять: F = 1 kн ; l = 0,4 м;

G=0,4E

МПа ; мм

сечение представляет собой тонкостенный замкнутый профиль

Плоскопространственными называются системы, плоские в геометрическом отношении, но нагруженные силовыми факторами, перпендикулярными к плоскости рамы.

Особенностью этих систем является то, что внутренние силовые факторы во всех поперечных сечениях рамы, лежащие в плоскости рамы равны нулю.

Заданная плоскопространственная рама шесть раз статически неопределима.

Для решения задачи разрежем раму по оси косой симметрии. В месте разреза возникает шесть внутренних силовых факторов:

Х₁- поперечная сила, лежащая в вертикальной плоскости

Х₂- поперечная сила, действующая в горизонтальной плоскости ( лежит в плоскости рамы )

Х₃- крутящий момент

Х₄- продольная сила ( лежит в плоскости рамы )

Х₅- изгибающий момент, действующий в горизонтальной плоскости ( лежит в плоскости рамы )

Х₆- изгибающий момент, действующий в вертикальной плоскости.

Чтобы не затенять рисунок, факторы х_4; x₅и х₆ , действующие на левую половину рамы, вынести на отдельную схему.

В соответствии с особенностями плоскопространственной рамы

X₂=0;

X₄=0; X₅=0.

Следовательно, расчетная схема приобретает вид:

Для полученной расчетной схемы записываем систему канонических уравнений и строим эпюры изгибающих и крутящих моментов от действия внешних нагрузок и усилий:

X ₁=1;X₃=1иX₆=1

Определяем коэффициенты, входящие в систему уравнений. Для их определения необходимо знать моменты инерции заданного сечения при изгибе и кручении.

Момент инерции при изгибе определяется как :

В остальных случаях :

В нашем случае :H=21 ;B=21.

Момент инерции при кручении определяется как I_t=4A_o²/S,

Из последнего уравнения системы получаем, что х₆ - изгибающий момент, являющийся симметричным фактором, при кососимметричном нагружении рамы оказался равным 0.

Таким образом, для плоскопространственных рам, как и для плоских рам справедливо свойство симметрии и косой симметрии.

Решаем систему, состоящую из двух первых уравнений, сократив все коэффициенты на общий множитель(2/(EI_x)).

Получаем, чтох₁= - 0,46F

Строим эпюры изгибающих моментов от истинных значенийх₁их₃.

Строим суммарные эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Наиболее опасными будут сечения в заделке.

Рассмотрим сечение в левой заделке. Т.к. эпюры изгибающих моментов строятся на сжатых волокнах, то низ сечения будет испытывать нормальные напряжения сжатия, а верх - растяжения (см. эпюру).

М_из=1,92Fl=1,92*1*10³*0,4*10³=0,768*10⁶(Hмм)

Касательные напряжения по толщине стенки постоянны и одинаковы во всех точках сечения.

_t=2A_o=2*400²*=800³=800(2)³=6400 (мм³)

T=0,54Fl=0,54*1*10³*0,4*10³=0,216*10⁶ (н *мм)

Определяем эквивалентные напряжения.

Определим коэффициент запаса по текучести

Пример2.

Плоскопространственная рама, изготовлена из прутка квадратного поперечного сечения (а=20 мм), нагружена так, как показано на рисунке. Определить допускаемую нагрузку, если материал - сталь СТ 3(у_adm=160Мпа) и характерный размер конструкции l=0,2м.

Для определения допускаемой нагрузки необходимо проанализировать напряженное состояние материала конструкции в наиболее нагруженном сечении. Построение эпюр внутренних силовых факторов невозможно без раскрытия статической неопределимости.

Заданная рама три раза статически неопределима. (В заделке В возникает 6 реакций связей; на опоре С - две реакции; на опоре Д - одна) уравнений статики в пространстве - 6 ).

Отбрасывая “лишние” связи, получаем следующую основную систему

Превращаем основную систему в систему, эквивалентную заданной и записываем систему канонических уравнений метода сил.

Для определения коэффициентов, входящих в эту систему, строим эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок и силх₁; x₂ ;х₃;равны 1.

При построении грузовой эпюры используем метод независимости действия сил.

Эпюры изгибающих моментов от единичных нагрузок имеют вид:

Определяем коэффициенты системы канонических уравнений

Для квадратного сечения :

Подставляем найденные значения в систему канонических уравнений и

сокращаем на общий множитель Ejx

Перестраиваем эпюры от единичных нагрузок с учетом найденных значений усилий x.

И строим суммарную эпюру изгибающих моментов

Наиболее опасным является сечение в заделке.

Наиболее опасными будут точки 1 и 2, в которых возникают наибольшие напряжения.

Так как гипотеза, по которой необходимо определить эквивалентные напряжения, не оговорена, принимаем гипотезу наибольших касательных напряжений.

Анализируем характер напряженного состояния в различных точках сечения. плоскоространственная напряженное состояние эпюра

Все точки, лежащие в верхней части сечения, находятся в одинаковом напряженном состоянии. Для примера рассмотрим точку l, лежащую на оси y. Определим главные напряжения в этой точке.

Все точки, лежащие в нижней части сечения, тоже находятся в одинаковом напряженном состоянии. Поэтому для анализа выбираем точку 2, тоже лежащую на оси у. Определяем главные напряжения в этой точке.

Используя гипотезу энергии формоизменения, определяем в какой из двух точек напряженное состояние будет более опасным.

Сопоставляя выражения, полученные для точек 1 и 2, приходим к выводу, что они одинаковы. Следовательно, точки 1 и 2 равноопасны.

Литература

Феодосьев В. И. Сопротивление материалов.- М: Наука,1986.-512 с.

Писаренко Г. С., Яковлев А. Н., Матвеев В. В. Справочник по сопротивлению материалов.- Киев: Наук. думка,1975.-704 с.

Размещено на Allbest.ru