Линейные и нелинейные электрические цепи постоянного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Анализ электрического состояния линейных электрических цепей постоянного тока

1.1 Составление на основании законов Кирхгофа системы уравнений для определения токов во всех ветвях схемы

1.2 Определение токов во всех ветвях схемы на основе метода контурных токов

1.3 Определение токов во всех ветвях схемы на основе метода наложения

1.4 Составление баланса мощностей для заданной схемы

1.5 Представление результатов расчётов токов в виде таблицы и их сравнение

1.6 Определение тока во второй части ветви методом эквивалентного генератора

1.7 Построение потенциальной диаграммы для замкнутого контура, включающего два источника ЭДС

2. Анализ электрического состояния нелинейных электрических цепей

2.1 Построение ВАХ для заданной схемы

2.2 Определение на основе ВАХ токов во всех ветвях схемы и напряжений на отдельных элементах

3. Анализ электрического состояния однофазных линейных электрических цепей переменного тока

3.1 Расчёт реактивных сопротивлений элементов электрической цепи

3.2 Определение действующих значений токов в ветвях электрической цепи

3.3 Составление уравнения мгновенного значения тока источника

3.4 Составление баланса активных и реактивных мощностей

3.5 Построение векторной диаграммы токов, совмещённой с топографической векторной диаграммой напряжений

4. Анализ электрического состояния трёхфазных линейных электрических цепей переменного тока

4.1 Построение схемы замещения электрической цепи, соответствующей заданному варианту

4.2 Расчёт реактивных сопротивлений элементов цепи

4.3 Определение действующих значений токов во всех ветвях схемы

4.4 Составление уравнения мгновенного значения тока источника

4.5 Составление баланса активных и реактивных мощностей

4.6 Построение векторной диаграммы токов, совмещённой с топографической векторной диаграммой напряжений

5. Исследование переходных процессов в электрических цепях

5.1 Определение постоянной времени t и длительности переходного процесса t=5t

5.2 Определение тока в цепи и энергии электрического (магнитного поля) поля при t=3t

5.3 Построение графиков и

Заключение

Введение

Работа над курсовым проектом позволяет учащимся решить следующие задачи:

- расширение, укрепление, систематизация теоретических знаний

- развитие творческого мышления

- усвоение методики выполнения необходимых расчетов токов, напряжений, мощностей и т.д.

- развитие и укрепление навыков самостоятельной работы с учебной и справочной литературой

- развитие и укрепление навыков выполнения оформления пояснительной записки и графической части проекта

- подготовка к выполнению дипломных проектов

1. Анализ электрического состояния линейных электрических цепей постоянного тока

1.1 Составление на основе законов Кирхгофа системы уравнений для определения токов во всех ветвях схемы

В данном методе применяются два закона Кирхгофа, и он не требует никаких преобразований схемы. При расчете цепи этим методом задают направление токов в ветвях и составляют систему уравнений. В этой системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей (неизвестных токов). Решив эту систему, определяют величину и направление токов во всех ветвях схемы. Ветвью электрической цепи называют ее участок, состоящий из одного или нескольких элементов, соединенных последовательно, т.е. по этим элементам протекает один и тот же ток.

Задаем направления токов в ветвях и направление обхода контуров.

В заданной цепи 5 ветвей, таким образом, в системе будет 5 уравнений. Составляем уравнения для узлов цепи по первому закону Кирхгофа. 1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна 0. Токи, направленные к узлу, пишем со знаком «+», от узла - со знаком «-».

Для цепи с n узлами можно составить n-1 независимых уравнений. Т.к. в цепи 3 узла (А, В, С), то составим 2 уравнения. Эти уравнения составляют для любых 2-х узлов из данной четверки узлов. Составим уравнения для узлов А, С:

Узел A: I₂ + I₃ = I₁

Узел С: I₄ + I₅ = I₃

Всего в системе должно быть 5 уравнений. Три уравнения составим для независимых контуров. Чтобы контур был независимым в каждый следующий контур нужно включать хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. 2-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений контура равна алгебраической сумме ЭДС того же контура.

Контур ВАВ: Е₁ = I₁ (R₁ + r₀₁) + I₂R₂

Контур АВСА: Е₂ = I₄ (R₄ + R₅ + r₀₂) + I₃R₃ - I₂R₂

Koнтyp BCB: E₂ = I₄ (R₄ + R₅ + r₀₂) - I₅R₆

E₁ = I₁ (R_{1 +} r₀₁) + I₁R₂ - I₃R₂

Е₂ = I₄ (R₄ + R₅ + r₀₂) + I₃R₃ - I₁R₂ + I₃R₂

E₂ = I₄ (R₄ + R₅ + r₀₂) - I₃R₆ + I₄R₆

Сначала вычислим определитель всей системы:

Составляем частные определители для токов:

Определяем токи согласно формулам:

1.2 Определения токов во всех ветвях схемы на основе метода контурных токов

Этот метод основан на использовании только двух законов Кирхгофа. Это позволяет уменьшить количество уравнений в системе на n-1 (n - количество узлов). Достигается это разделением схемы на отдельные ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура своего контурного тока.

1 ячейка: ABA

2 ячейка: АВСА

3 ячейка: СВС

Каждая из этих ячеек имеет ветвь, не входящую в состав соседней ячейки (АВ, АС, СВ), остальные ветви являются смежными, т.к. они входят в состав двух соседних (смежных контуров). Правила формирования уравнений:

Контурный ток (I_К) умножаем на сумму сопротивлений контура (R_K) - всегда положительный контур. Смежный контурный ток умножается на сумму сопротивлений ветвей общих для двух контуров. Он будет положителен, если токи совпадают по направлению, и отрицателен - если нет.

Направление обхода контура принимаем таким же, что и направление контурного тока. Составляем систему уравнений:



Решаем эту систему уравнений с помощью определителей:

40 = I_K1 (43 + 24 + 1) - I_K224

20 = - I_K124 + I_K2 (24 + 39 + 16 + 22 + 1) + I_K3 (16 + 22 + 1)

20 = I_K2 (16 + 22 + 1) + I_K3 (16 + 22 + 47 + 1)

40 = I_K168 - I_K224

20 = - I_K124 + I_K2 (24 + 39 + 16 + 22 + 1) + IK3 (16 + 22 + 1)

20 = I_K239 + I_K386

Сначала вычислим определитель всей системы:

1.3 Определения токов во всех ветвях схемы на основе метода наложения токов

Данный метод заключается в том, что воздействие нескольких источников ЭДС на электрическую цепь можно рассматривать как результат воздействия на неё каждого из источников независимо от воздействия других источников, имеющихся в данной цепи. При этом в каждой из ветвей ток определяется как алгебраическая сумма токов, вызываемых в ней действием каждого из источников. В процессе расчета заданная цепь с несколькими источниками ЭДС заменяется поочередно электрическими цепями с одним источником ЭДС, а другие источники ЭДС при этом удаляются из цепи.

Определим частные токи от ЭДС (Е₁) при отсутствии Е₂. Для этого необходимо выполнить преобразование цепи путем исключения из неё Е₂.

Показаны направления частных токов от ЭДС Е₁, эти токи будем обозначать как ток со штрихом. Решим задачу методом упрощения схемы. Сопротивления R₄, R₅, r₀₂ соединены последовательно, поэтому их общее сопротивление будет составлять:

R₄₅₀₂ = R₄ + R₅ + r₀₂ = 16 + 22 + 1 = 39 Ом,

Определим частные токи от ЭДС (Е₂) при отсутствии E₁. Для этого необходимо выполнить преобразование цепи путем исключения из неё E₁.

Показаны направления частных токов от ЭДС Е₂, эти токи будем обозначать как ток со штрихом. Решим задачу методом упрощения схемы. Резисторы R₁ и R₂ соединены параллельно, поэтому их общее сопротивление:

,

Далее вычислим общее сопротивление резисторов R₁₂ и R₃, соединенных последовательно:

Вычислим общее сопротивление резисторов R₁₂₃ и R₆, соединенных параллельно:

Далее вычисляем эквивалентное сопротивление всей цепи:

Найдём ток в неразветвленной части цепи по второму закону Ома:

Найдём напряжение между точками А и В:

Теперь по закону Ома найдём частные токи ():

Найдём напряжение между точками С и В:

Теперь по закону Ома найдём частные токи ():

Определим действительные токи, протекающие по ветвям с учётом направлений:

1.4 Составление баланса мощности для заданной схемы

Для проверки полученных результатов составим баланс мощностей. Источники ЭДС (Е₁, Е₂) вырабатывают электрическую энергию, т.к. направления ЭДС и токов в соответствующих ветвях совпадают, то можно записать:

40*0,71+20*0,415=0,504*44+0,143*24+0,109*39+0,172*39+0,007*47

28,4+8,3=22,176+3,432+4,251+6,708+0,329

1.5 Представление результатов расчётов токов в виде таблицы и их сравнение

Ток, А	I1	I2	I3	I4	I5
Метод расчета
На основе законов Кирхгофа	0,705	0,375	0,33	0,413	0.082
Метод контурных токов	0,704	0,374	0,33	0.412	0,082
Метод наложения токов	0,71	0,378	0,331	0,415	0,082

1.6 Определение тока во второй ветви методом эквивалентного генератора

Данный метод применяют при определении тока, напряжения или мощности в одной из ветвей сложной электрической цепи. Значительно сокращает вычисления, связанные с решением системы уравнений со многими неизвестными. Сущность метода заключается в том, что любая электрическая цепь с одним или несколькими источниками питания может быть представлена в виде активного двухполюсника. К нему подключается ветвь цепи с сопротивлением R, в которой необходимо определить напряжение и ток.

На рисунке показан генератор в режиме холостого хода, т.е. при отключённом потребителе R₄ от зажимов a и b. В полученной схеме отыскиваем замкнутый контур, по которому протекает ток холостого хода:

Зная величину тока холостого хода (I_xx), а также величины сопротивлений и ЭДС в данной схеме можно определить напряжение холостого хода (U_xx). Для расчета внутреннего сопротивления эквивалентного генератора преобразуем активный двухполюсник в пассивный, при этом ЭДС Е₁ и Е₂ из схемы исключаются, а их внутренние сопротивления остаются.

Далее постепенным упрощением схемы вычисляем эквивалентное сопротивление цепи:

Теперь найдём ток I₄:

1.7 Построение потенциальной диаграммы для замкнутого контура, включающего 2 источника ЭДС

Для построения потенциальной диаграммы сначала вычислим общий ток, протекающий в данной цепи (I).

Далее вычислим потенциал каждой точки цепи (). Начинать будем с точки А, т.к. она заземлена, т.е. потенциал . Т.к. ток течёт из точки с более высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом, то контур будем обходить против часовой стрелки.

2. Анализ электрического состояния нелинейных электрических цепей постоянного тока

2.1 Построение BAX для заданной схемы

Графический метод позволяет достаточно быстро рассчитать электрическую цепь любой сложности, но основной недостаток этого метода - невысокая точность. Для расчета последовательно соединенных линейного и нелинейного элемента, при заданной BAX нелинейного элемента (НЭ2) и известных значениях сопротивления R₃ и напряжения питания U применяют метод пересечений. Так как ток в обоих элементах один и тот же:

I₂ = I₃

Напряжение на НЭ2:

U_НЭ2 = U - U₃ = U - IR₃

Построим по линейному уравнению (2.1.2), выражающему зависимость тока в ветви I от напряжения на НЭ2 (U_НЭ2) прямую АБ.

Далее строим общую BAX для НЭ2 и R₃ (график HЭ2+R3). Эта BAX строится по средствам сложения значений напряжения, соответствующих одним и тем же значениям тока. Для построения общей BAX всей цепи складываем значения токов графиков НЭ1 и HЭ2+R3, соответствующих одним и тем же значениям напряжения.

2.2 Определение на основе BAX токов во всех ветвях схемы и напряжений на отдельных элементах

Из графиков видно, что общий ток цепи (I) составляет 8,1 A (отрезок ОИ), значение берется с общей BAX для данной цепи для напряжения цепи 200 B (отрезок КИ). Напряжение на первом нелинейном элементе равно напряжению цепи (U_НЭ1=U= 200 В). По графику НЭ1 от точки напряжения 200В откладываем отрезок EA, определяющий ток, протекающий по первому нелинейному элементу, равный 5,5A. При помощи отрезка АБ определяется рабочая точка второго нелинейного элемента - I_НЭ2 = 2,6 A, U_НЭ2 = 96 B (соответственно отрезки OB и ДБ). Напряжение на резисторе R3 определяется из разности U-U_НЭ2=200-96=104B. Т.к. элементы НЭ2 и R3 соединены последовательно, то ток по ним протекает одинаковый - 2,6 A.

3. Анализ электрического состояния однофазных электрических цепей переменного тока

Изображение синусоидальных величин комплексными числами позволяет применять для расчета цепей синусоидального тока те же методы и соотношения, которые использовались в цепях постоянного тока.

K зажимам цепи подключен источник синусоидального напряжения. Мгновенное значение напряжения источника питания:

Дано:

U_max=36 B

R₁=7,5 Ом

R₂=15 Ом

3.1 Расчет реактивных сопротивлений элементов электрической цепи

В данной электрической цепи присутствуют два конденсатора и две катушки индуктивности (C₁;C₂,L₁,L₂). Эти элементы электрической цепи создают реактивные сопротивления (Х_С1;Х_С2;Х_L1;Х_L2). Реактивное сопротивление конденсатора вычисляется по формуле

Реактивное сопротивление катушки индуктивности вычисляется по формуле

.

А так как , формулы будут иметь вид:

Воспользовавшись формулами найдём соответственно реактивные сопротивления катушек индуктивности (X_L1; X_L2) и реактивные сопротивления конденсаторов (X_C1,X_C2).

3.2 Определение действующих значений токов во всех ветвях электрической цепи

Для расчета действующих значений токов во всех ветвях электрической цепи будем применять метод эквивалентных преобразований схемы. Для этого сопротивления ветвей представим в виде полных комплексных сопротивлений.

Полные комплексные сопротивления представим в алгебраической форме при помощи графиков, т.к. эта форма наиболее удобна для расчёта этих сопротивлений:

Z=r + jX_L

Ниже нам понадобится показательная форма представления полных комплексных сопротивлений для расчетов при упрощении схемы и нахождении эквивалентного сопротивления всей цепи.

Теперь вычислим эквивалентное сопротивление для всей электрической цепи.

Сопротивления Z₃ и Z₄ соединены параллельно, следовательно их общее сопротивление составит:

Сопротивления Z₁, Z₂ и Z₅ соединены последовательно, их общее сопротивление считается по формуле:

Сопротивления Z₃₄ и Z₁₂₅ соединены параллельно, следовательно:

Далее найдём эквивалентное сопротивление всей цепи:

Определим действующие значения U в комплексной форме. По условию задачи В.

Переходим к комплексной форме

В

Далее вычисляем токи ветвей и общий ток цепи:

согласно первому закону Ома равно:

А

Для вычисления тока нужно определить напряжение между точками a и b.

В

А

А

А

3.3 Составление уравнения мгновенного значения тока источника

Составляем уравнение мгновенного значения тока источника (i):

А

А

А

А

3.4 Составление баланса активных и реактивных мощностей

Определим комплексную мощность цепи:

ВА

- сопряжённый комплекс токов, он равен комплексному значению тока, где поворотный множитель (j) берётся с противоположным знаком.

3.5 Построение векторной диаграммы токов, совмещенной с топографической векторной диаграммой напряжений

Определяем напряжения на отдельных элементах цепи:

U_C1= I*X_C1 = 0,354*74 = 26,196 В

U_C2= I₃*X_C2 = 0,1*18 = 1,8 B

U_R1= I₁*R₁ = 0,216*7,5 = 1,62 В

U_R2 = I₃*R₂ = 0,1*15 = 1,5 B

U_L1= I₂*X_L1 = 0,216*7,5 = 1,62 B

U_L2= I₃*X_L2 = 0,1*12 = 1,2 B

Выберем масштаб:

масштаб для тока

М_I = 0,1

векторную диаграмму необходимо строить следующим образом:

1. Ha комплексной плоскости в заданном масштабе откладывают векторы токов и при этом положительные фазовые углы отсчитывают от оси положительных действительных чисел против часовой стрелки.

2. B каждой точке топографической векторной диаграммы напряжений соответствует определенная точка электрической цепи. Построение векторов напряжений проводится при соблюдении порядка расположения электрических элементов в цепи, а векторы напряжений ориентируются относительно векторов токов.

3. Выбираем направление обхода цепи. Обычно это делается в противоположном направлении положительного направления тока. Обход будем начинать с точки a ().

4. Анализ электрического состояния трёхфазных линейных электрических цепей переменного тока

4.1 Построение схемы замещения электрической цепи

Для нашего варианта разобьём построение схемы трёхфазной цепи на несколько этапов. Первоначально по исходным данным построим схему трёхфазной цепи с резистивными сопротивлениями. В данной схеме (рисунок 4.1.1) будет участвовать только сопротивление R_AB = 330 Ом.

Построим схему трёхфазной цепи, но на этот раз используя индуктивные сопротивления линий (X_LC(LCA) = 430 Ом, X_LB(LBC) =180 Ом). Полученная схема будет выглядеть следующим образом.

4.2 Расчёт реактивных сопротивлений элементов

Для расчёта реактивных сопротивлений элементов цепи заменим все имеющиеся в нашей цепи сопротивления (емкостные, резистивные, индуктивные) на комплексные сопротивления ветвей цепи.

Рассчитаем сопротивления Z₁. Так как это сопротивление представлено на схеме только сопротивлением резистора R_АВ, то их величины будут равны, т.e.

Z₁ = R_AB.

Ом

Напишем заранее несколько формул, по которым рассчитываются емкостные н индуктивные сопротивления

Z_c = -jX_c

Z_L = jX_L

Теперь рассчитаем реактивные сопротивления катушек индуктивности и конденсаторов:

Ом;

;

Ом;

Ом;

Ом;

Ом;

;

Ом;

Ом;

;

Ом.

Рассчитаем эти сопротивления ветвей:

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Результирующее сопротивление всей трёхфазной цепи будет равно:

Ом

4.3 Определение действующих значений токов во всех ветвях цепи

Определение токов в ветвях нашей трёхфазной цепи будем производить в соответствии с рисунком 4.3.1. Для этого выведем несколько общих формул, по которым и будем производить расчёт.

Теперь произведём расчеты непосредственно для нашего случая:

В;

В;

В;

А;

А;

А;

А

А

А

А

А

А

А.

4.5 Составление баланса активных и реактивных мощностей

Для проверки правильности расчётов произведённых в этом разделе используют составление баланса активных и реактивных мощностей.

Определим комплексную мощность для каждой фазы в отдельности:

Для проверки рассчитаем комплексную мощность приёмников каждой фазы:

Рассчитаем активные мощности для каждой из фаз в отдельности:

Рассчитаем активные мощности приёмников для каждой из фаз в отдельности:

Рассчитаем реактивные мощности для каждой из фаз в отдельности и приёмников фаз:

4.6 Построение векторной диаграммы токов, совмещённой с топографической векторной диаграммой напряжений

Если можно пренебречь сопротивлением проводов, то линейные и фазные напряжения приёмника равны, как и для симметричной цепи, соответствующим напряжениям генератора:

Линейные токи равны разностям соответствующих фазных токов, их действующие значения равны и сдвиги по фазе между ними, как и между фазными токами, равны 120⁰.

Определим масштабы для векторов токов и напряжений:

для тока масштаб возьмём 1:1, т.е. 1 А/см. Для напряжения возьмём масштаб 100 В/см. Определим длины векторов:

см

5. Исследование переходных процессов в электрических цепях

5.1 Определение постоянной времени ( ) и длительности переходного процесса (t = 5)

Изучение переходных процессов в линейных цепях упрощается, если переходный процесс рассматривать как результат наложения двух процессов: первого - нового установившегося режима, полагая, что он наступает мгновенно после коммутации, и второго - свободного процесса, обеспечивающего переход цепи от прежнего установившегося режима к новому установившемуся режиму.

Действительный ток в цепи в течение переходного процесса можно рассматривать в виде суммы двух составляющих: нового установившегося тока и свободного тока.

i = i_У + i_СВ

Аналогично напряжение в течение переходного процесса:

u = u_У + u_СВ

При размыкании ключа источник постоянного напряжения (U) отключается от катушки индуктивности (L), параллельно которой присоединен резистор (R_P), а ток i определяется по формуле:

Процесс установления тока в цепи тем продолжительнее, чем больше отношение L/R, т.к. влияние индуктивности тем сильнее, чем больше ЭДС самоиндукции по сравнению с падением напряжения на сопротивлении R. Величина = L/R называется постоянной времени RL цепи:

с.

Время уменьшения тока до нулевого значения составляет 5, т.е.

с.

ЭДС самоиндукции в данной цепи рассчитывается по формуле:

5.2 Определение тока в цепи и энергии магнитного поля при t = 3

Определяем ток в цепи и энергию электрического поля для времени t=3. постоянный ток электрическая цепь

В цепи до размыкания ключа был установившийся ток I = U/R. Поэтому согласно первому закону коммутации i(0) = I. после размыкания ключа переходный процесс описывается уравнением:

Установившееся значение тока:

Уравнение свободной составляющей:

Для определения постоянной А нужно подставить значения токов в начальный момент (t = 0):

откуда

Отсюда переходный ток:

Энергия магнитного поля для времени 3:

Дж

5.3 Построение графиков зависимости мгновенного значения тока и ЭДС самоиндукции от времени

Согласно формуле 5.1.1 рассчитываем ЭДС самоиндукции для разных моментов времени и на основе полученных результатов строим график зависимости ЭДС самоиндукции от времени.

t = 0 e₀ = 257 В

t = e₁ = 95 В

t = 2 e₂ = 35 В

t = 3 e₃ = 13 В

Согласно формуле 5.1.2 рассчитываем ток в цепи для разных моментов времени и на основе полученных результатов строим график зависимости тока от времени.

t = 0 i₀ = 2,5 А

t = i₁ = 1,66 А

t = 2 i₂ = 35 А

t = 3 i₃ = 1,35 А

Заключение

В первом разделе был проведен расчет электрической цепи методом, основанным на применении законов Кирхгофа, методом контурных токов, методом наложения токов (суперпозиции), был найден ток во второй ветви электрической цепи, составлена потенциальная диаграмма для заданной схемы, составлен баланс мощностей.

Во втором разделе построили ВАХ для заданной схемы и определили токи, протекающие в ветвях схемы и напряжения на элементах.

В третьем разделе определили реактивные сопротивления элементов, с помощью комплексных чисел - токи и напряжения в электрической цепи.

В четвертом разделе были определены реактивные сопротивления трёхфазной цепи, действующие значения токов и построена векторная диаграмма токов, совмещённая с топографической диаграммой напряжений.

В пятом разделе был проведен анализ переходных процессов в электрической цепи при коммутации. В результате этого исследования были построены графики, из которых видно, что заряд конденсатора происходит не скачком, а постепенно, как было описано во втором законе коммутации.

Размещено на Allbest.ru