Расчет вала на кручение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет вала на кручение

К стальному валу, изготовленному из материала с модулем сдвига G = 0,8 ? 105 МПа, участки которого имеют круглое и кольцевое поперечные сечения, приложены закручивающие моменты: m1 и m2 (рис. 2, а).

Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов МК.

2. Из условия прочности по допускаемым касательным напряжениям [] = 80 МПа определить размеры поперечных сечений вала.

3. Округлить размеры найденных наружных диаметров участков вала до следующей ближайшей большей величины: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50, 60 мм и так далее с шагом 10 мм;

4. Построить эпюру углов поворота сечений вала б;

5. Заменить закручивающий момент на свободном конце вала на жесткую заделку.

6. Для полученной конструкции при определенных ранее размерах поперечных сечений вала построить эпюру крутящих моментов МК и эпюру углов поворота сечений вала б.

вал крутящий сечение стальной

Найдем неизвестный момент M5, возникающий в точке L.

Ось вала обозначим через z (рис. 2, б).

Из уравнения равновесия статики:

? z = 0; M2 - M5 + M1 - M3 + M4 =0;

M5 = M2 + M1 - M3 + M4 =-1,2-2+1-0,4= 0,2 кНм.

Разделим вал на три участка I, II, III, IV, V и используем метод сечений. Найдем крутящие моменты на участках вала:

на участке АВ МК1 = M4 = 0,4 кНм;

на участке ВC МК2 = M4 - M3= -0,6 кНм;

на участке CD МК3 = M4 - M3 = -0,6 кНм.

на участке DL МК4 = M4 - M3 + M1= 1,4 кНм.

на участке LE МК5 = M4 - M3 + M1 - M5 = 1,2 кНм.

Построим эпюру крутящих моментов МК Следует иметь в виду, что в сечении, в котором к валу приложен внешний закручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента.

Рис. 1. Эпюра крутящих моментов и углов поворота

Определим размеры поперечных сечений вала из расчета на прочность.

Из всех участков с кольцевым сечением наибольший момент возникает на участке LE.

Условие прочности при кручении имеет вид

где: МКmax, кНм - максимальный крутящий момент;

Wp, м³ - полярный момент сопротивления поперечного сечения;

[], МПа - допускаемое касательное напряжение.

Отсюда

.

Требуемый полярный момент сопротивления поперечного сечения:

м³

Так как на этом участке вал имеет кольцевое поперечное сечение, то

WP1 = р · D3 ? (1 - d4 / D4) / 16 ? 0,2 · D3 ? (1 - d4 / D4).

Дано, что d / D = 0,65, то WP1 ? 0,2 · D3 ? (1 - 0,654 / 14) = 0.1643 · D3.

Приравниваем это выражение требуемому полярному моменту сопротивления

0,1643 · D3 = 0,57 · 10-5.

Откуда

м = 50 мм.

dпр = Dпр * 0,65 = 32,2 мм.

Условие жесткости при кручении имеет вид:

Где Ip - полярный момент сопротивления поперечного сечения, [ц] - допускаемый погонный угол закручивания,

Для участка LE:

Ip = 0,1 · D4 · ( 1 - d4 / D4 ) = 0,1 · D4 · (1 - 0,654 / 14) = 0,082 D4

Приравниваем полученные выражения:

= 0,082 D4

= 0,036 м = 36 мм.

Из двух вариантов диаметров вала принимаем наибольший: D = 50 мм. d = 32,2 мм.

Примем данные значения диаметров для всех участков вала с кольцевым поперечным сечением.

Из всех участков с круговым сечением наибольший момент возникает на участке DL. Требуемый полярный момент сопротивления поперечного сечения:

Так как на участке BC вал имеет круглое поперечное сечение, то

WP2 = р · D13 / 16 ? 0,2 · Dd13.

Приравниваем это выражение требуемому полярному моменту сопротивления

0,2 · d13 = 0,2 · 10-4.

Откуда

м

Округляем до значения D1 = 50 мм.

Условие жесткости при кручении имеет вид:

Где Ip - полярный момент сопротивления поперечного сечения, [ц] - допускаемый погонный угол закручивания,

Для участка |DL:

Ip = 0,1 ·

Приравниваем полученные выражения:

= 0,1

= 0,036 м = 36 мм.

Из двух вариантов диаметров вала принимаем наибольший: D1 = 50 мм.

Примем данные значения диаметров для всех участков вала с кольцевым поперечным сечением.

Для построения эпюры углов поворота сечений вала б найдем углы закручивания участков вала по формуле

,

где: Мк, кНм - крутящий момент на рассматриваемом участке; ?, м - длина участка вала; G, МПа - модуль сдвига материала; Jp, м4 - полярный момент инерции поперечного сечения вала на рассматриваемом участке.

Вначале найдем жесткости на кручение - GJP, Нм2 участков вала.

На участкaх АВ, BC и LE:

GJP1 = GJP2 = GJP5 =G· 0,1 · D4 · ( 1 - d4 / D4 ) =

= 0,8 · 1011 · 0,1 · 0,054 · (1 - 0,0324 / 0,054 ) = 41,6 · 103.

На участках CD и DL:

GJP2 = G · 0,1 · D14 = 0,8 · 1011 · 0,1 · 0,0514 = 50000.

Тогда

Определим углы поворота сечений вала. В опоре бА = 0.

бВ = бА + ц1 = 0 + 0,86 · 10-2 = 0,86 · 10-2 рад.

бС = бВ + ц2 = 0,86· 10-2 - 0,86 · 10-2 = 0.

бЕ = бС + ц3 = 0 - 1,08 · 10-2 = -1,08 · 10-2 рад.

бЕ = бС + ц3 = -1,08 · 10-2 + 1,68 · 10-2 = 0,6 · 10-2 рад

бЕ = бС + ц3 = 0,6 · 10-2 + 2,5 · 10-2 = 3,1 · 10-2 рад

По полученным данным строим эпюру углов поворота сечений вала б

Так как в сечении Е вала находится опора, то бЕ = 0. Получаем дополнительное уравнение (к уравнению равновесия), которое называется уравнением перемещений.

ц1 + ц2 + ц3 = 0.

Подставляем в это уравнение выражения для углов закручивания участков вала.

Исследуем напряженное состояние элемента, расположенного на поверхности вала в окрестности точки К. Выделим и изобразим элементарный параллелепипед и возникающие на его гранях напряжения.

Так как точка K располагается на поверхности бруса, то расстояние от центра будет для неё максимальным и касательные и нормальные напряжения определяются по формуле:

;

Для участка BC:

Mk = -0,6 кНм, м³.

Отсюда:

МПа.

Выделим плоский элемент.

Как видно из чертежа, главные площадки располагаются под углом 45° к оси вала. Главные нормальные напряжения в этом случае будут равны максимальным касательным.

МПа

Размещено на Allbest.ru