Резонансне тунелювання за участю глибоких центрів в напівпровідникових структурах та зв'язані з ним ефекти

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський університет імені Тараса Шевченка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Резонансне тунелювання за участю глибоких центрів в напівпровідникових структурах та зв'язані з ним ефекти

Король Анатолій Миколайович

Київ - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Українському державному університеті харчових технологій

Офіційні опоненти:

член-кореспондент Академії педагогічних наук України, доктор фізико-математичних наук, професор, перший проректор

Київського університету імені Тараса Шевченка

ТРЕТЯК Олег Васильович

доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник Інституту фізики напівпровідників НАН України

ВАСЬКО Федір Трохимович

доктор фізико-математичних наук, професор, професор кафедри загальної та теоретичної фізики Національного технічного університету України "КПІ"

СНАРСЬКИЙ Андрій Олександрович

Провідна організація: Інститут фізики НАН України

Захист відбудеться 26 квітня 1999 р. о 15 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д26.001.31.в Київському університеті імені Тараса Шевченка

за адресою: 252127, м.Київ, пр.акад. Глушкова 6, ауд. 46.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка.

Автореферат розіслано 12 березня 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради, канд.фіз.-мат. А.Г. Шкавро

Вступ

Актуальність теми. В напівпровідниковій мікроелектроніці сьогоднішнього дня спостерігається значний поступ, який став можливим передусім завдяки успіхам напівпровідникової технології. Інтенсивно вивчаються такі напівпровідникові об'єкти, які вдалося створити зовсім недавно: різноманітні тунельно-резонансні структури (ТРС), квантові хвильоводи різних форм і конфігурацій, низьковимірні квантові структури (квантові дроти, квантові точки), квантові кільця, різні типи надструктур, зокрема, надгратки, невпорядковані системи, квазіперіодичні ланцюги і таке інше. Багато із згаданих об'єктів вже практично використовуються, але все ж таки сучасний період можна охарактеризувати, як період широкого, всебічного вивчення тих структур, що їх можна створити на базі нової технології. В періодиці з'являється також багато робіт, де пропонуються нові напівпровідникові прилади, дія яких грунтується на згаданих структурах.

З іншого боку добре відомо, яку велику роль в роботі напівпровідникових можуть відігравати глибокі домішкові центри, які в деяких випадках вводяться в напівпровідники штучно, цілеспрямовано, в інших існують незалежно. При цьому відомо, що за допомогою тих чи інших технологічних прийомів можливим є досить точне регулювання характеристик вказаних структур, однак роль глибоких центрів у цьому відношенні досліджена ще зовсім недостатньо. Далі, оскільки більшість із зазначених об'єктів є бар'єрними структурами, то цілком зрозумілою є також важливість явища резонансного тунелювання за участю глибоких центрів в сучасних напівпровідникових структурах (тобто, тунелювання за допомогою або через глибокі центри). Водночас технологія введення глибоких центрів з бажаними параметрами в напівпровідникові структури зараз добре відома і перевірена.

Таким чином, проблема вивчення ролі резонансного тунелювання за участю глибоких центрів в фізичних процесах в різноманітних сучасних напівпровідникових структурах, а також аналіз можливості регулювання характеристик вказаних структур за допомогою введення в них глибоких домішкових центрів є вельми актуальними.

Мета і задачі дослідження. Із сказаного вище випливає мета роботи: дослідити роль резонансного тунелювання за участю глибоких центрів в електронних процесах в різноманітних конкретних напівпровідникових структурах та з'ясувати можливість за допомогою глибоких центрів цілеспрямовано регулювати характеристики різних напівпровідникових структур. При цьому особлива увага приділена демонстрації того факту, що вплив глибоких домішків та резонансне тунелювання за участю глибоких центрів можуть бути суттєвими в найрізноманітніших напівпровідникових структурах: і новітніх (таких як квазіперіодичні надгратки Фібоначчі, мезоскопічні кристали), і таких, що вже стали традиційними (наприклад, контакт метал-напівпровідник).

Аналіз літературних даних показав, що існують лише окремі, нечисленні роботи по вивченню резонансного тунелювання за участю глибоких центрів в сучасних напівпровідникових структурах. Недостатньо також приділено уваги впливу глибоких рівнів на характеристики напівпровідникових систем. Результати не мають систематизованого, упорядкованого і цілеспрямованого характеру.

Наукова новизна одержаних в даній дисертації результатів полягає у такому.

Вперше одержано і проаналізовано тунельні спектри невпорядкованих напівпровідникових надграток з глибокими центрами в потенціальних бар'єрах. Показано, що спектри таких надграток кардинально відрізняються від спектрів невпорядкованих надграток без розсіювачів. Зокрема, один з дуже важливих результатів полягає у тому, що завдяки глибоким центрам невпорядкована надгратка може може стати абсолютно прозорою при певних резонансних енергіях. Коефіцієнт тунельної трансмісії електрона через гратку Т стає практично рівним одиниці і перевищує значення Т для надгратки без розсіювачів на декілька порядків. Зазначений ефект делокалізації електронних станів може спостерігатись в широкому діапазоні значень параметрів задачі. Вперше одержано немонотонну залежність коефіцієнта прозорості від товщини потенціальних бар'єрів. Проаналізовано різні типи невпорядкованих надграток, в тому числі і в зовнішньому однорідному електричному полі.

Таким чином, показано сильний конструктивний вплив глибоких центрів на процеси в невпорядкованих надгратках: доведена можливість делокалізації електронних станів із відповідними наслідками в їх транспортних властивостях.

Вперше запропоновано новий тип такого важливого об'єкту досліджень, як напівпровідникові квазіперіодичні надгратки Фібоначчі і доведена можливість існування надграток такого типу. Квазіперіодична модуляція потенціалу в таких надгратках створюється тільки за рахунок глибоких домішкових центрів, введених в потенціальні бар'єри періодичної гратки за законом Фібоначчі іншого фактору квазіперіодичності немає, тобто, доведено, що введення глибоких домішків в періодичну надгратку є самодостатньою причиною для виникнення квазіперіодичної модуляції потенціалу. Детально проаналізовано закономірності енергетичних спектрів запропонованих надграток Фібоначчі.

Вперше одержано і проаналізовано енергетичні спектри деяких інших версій надграток Фібоначчі з домішками в потенціальних бар'єрах.

Вперше запропоновано новий тип квазіперіодичних ієрархічних надграток, квазіперіодична модуляція яких створюється глибокими домішковими центрами. Проаналізовано характер енергетичних спектрів таких надграток.

Вперше показано, що введення домішкових центрів в мезоскопічний кристал (одновимірну балістичну надгратку) дає змогу в широких межах, цілеспрямовано регулювати енергетичний спектр останнього.

Вперше доведена можливість резонансного тунелювання в L-подібному квантовому дроті (хвильоводі) через бар'єр з домішковими центрами, який запропоновано вводити в кут цієї структури. Проаналізовано транспортні властивості такого хвильоводу і показано, що завдяки домішкам можна досягати суттєвого зменшення втрат в потужності електронної хвилі при проходженні її через хвильовод.

Таким чином, вперше продемонстрована можливість за допомогою домішкових центрів суттєво поліпшувати траспортні властивості і широко регулювати тунельні характеристики таких напівпровідникових наноструктур, як мезоскопічний кристал та L-подібний квантовий хвильовод, тобто таких об'єктів, в яких поєднуються або комбінуються властивості тунельно-резонансних та низьковимірних структур.

Вперше одержано результати аналізу енергетичного спектру дефектної надгратки з розсіювачами в потенціальних бар'єрах (макроскопічний дефект зумовлений тим, що ширина однієї із квантових ям відрізняється від інших).

Вперше розраховано і проаналізовано енергетичні спектри такого важливого напівпровідникового об'єкту, як альтерновані надгратки. Вперше проаналізовано спектри різних типів альтернованих надраток з неоднаковими товщинами бар'єрів. Виявлено важливі особливості спектрів вказаних структур; показано, що розглядувані спектри є дуже чутливими до введення глибоких домішків в потенціальні бар'єри альтернованих надграток.

Вперше одержано результати розрахунку імовірності тунельної іонізації глибокого домішкового центра поблизу вільної поверхні напівпровідника за рахунок ізоенергетичних електронних переходів з об'ємних станів в таммівську зону поверхневих станів.

Розраховано імовірність польової іонізації глибокого центра в області просторового заряду, потенціальний рельєф якої описується параболічним законом.

Два останні ефекти можуть відігравати важливу роль в фізичних процесах в бар"єрних структурах.

Показано, що енергетичні спектри таких найбільш вивчених тунельно-резонансних структур, як двобар'єрна ТРС, асиметричні подвійні квантові ями істотно залежать від наявності глибоких домішкових центрів в потенціальних бар'єрах, і отже, за допомогою останніх можна досягати бажаних модифікацій енергетичних спектрів зазначених структур.

Вперше доведена можливість виникнення явища негативного диференціальног опору в контакті метал-напівпровідник, в області просторового заряду якого існують глибокі домішкові центри. Одержано вирази для відповідних вольт-амперних характеристик і виявлено найкращі умови для утворення негативного диференціального опору.

Вперше досліджено декілька питань, зв'язаних з проблемою утворення глибоких домішкових станів, а саме: 1) продемонстровано можливість утворення глибоких домішкових станів в двобар"єрній тунельно-резонансній структурі, коли на домішковому потенціалі в області квантової ями зв'язується електронна хвиля, що рухається перпендикулярно до гетеромеж; 2) показано, що врахування самого факту просторової дисперсії діелектричної проникності , а точніше того, що дорівнює одиниці на малих відстанях від домішкового центра, дозволяє вже в простій моделі одержувати як мілкі, так і глибокі рівні в забороненій зоні напівпровідників; 3) на базі методу kp збурень в реалістичній моделі зонної структури напівпровідників вперше одержано прості аналітичні вирази для діелектричної проникності для різних типів безщільових напівпровідників в залежності від параметрів кристала; показано, що внесок в діелектричну проникність вузькозонних напівпровідників (з кейнівською моделлю зонної структури) від спін-відщепленої зони, на відміну від зон легких та важких дірок, є регулярним при малих значеннях мінімальної ширини забороненої зони. тунельний іонізація напівпровідник опір

Практична цінність результатів роботи. Одержані в дисертації результати дають можливості і конкретні рекомендації для значного поліпшення транспортних властивостей ряду сучасних напівпровідникових структур, таких як невпорядковані надгратки, L-подібний квантовий хвильовод, для використання в значно ширшому діапазоні значень параметрів таких об'єктів, як двобар'єрна тунельно-резонансна структура, асиметричні подвійні квантові ями, мезоскопічний кристал, надгратки з макроскопічними дефектами, альтерновані надгратки, як складових частин сучасної мікро, нано та оптоелектроніки.

Запропоновані в дисертації нові версії таких важливих і перспективних напівпровідникових об'єктів, як квазіперіодичні надгратки Фібоначчі та ієрархічні надгратки, надають нових можливостей для теоретичного, експериментального дослідження та застосування зазначених структур.

Результати роботи дають підстави для ширшого використання такої часто вживаної структури, як діод Шоткі. Результати роботи створюють також базу для більш гнучкого використання и розширення функціональних можливостей зазначених вище структур та нові можливості для маневру при створенні напівпровідникових приладів з новими властивостями.

Особистий внесок здобувача. У всіх роботах із співавторами я брав паритетну участь у постановці відповідних проблем, їх розв'язанні та аналізі одержаних результатів. Крім іншого, авторові належить одержання висновків, аналіз результатів на підставі таких отриманих ним формул у роботах (номер наводиться із наведеного нижче списку опублікованих мною праць): 2. рівняння (3а) (3с), (8), (10) і дві останні формули на сторінці 417 .

3. рівняння (6), (7), (10), (13), (18), (22), (25), а також результати таблиці для кристалів GaAs, InSb.

4. співвідношення (3), (4), (5), (8), а також результати розрахунку величини , зображені на рисунку 1 для GaAs, InSb.

6. рівняння (2), (3), (7), (8), (10).

7. формули (2), (4) і останнє співвідношення на сторінці 1184.

9. формули (7), (8), (10), (13), (17).

10. рівняння (1), (5), (7), (9), (11), (12).

Апробація результатів роботи. Результати роботи було апробовано в таких нарадах, конференціях і т.і.

Восьмое всесоюзное совещание по теории полупроводников, Киев, 1975 год.

Девятое всесоюзное совещание по теории полупроводников, Тбилиси, 1978 год.

Перша республіканська конференція з фізики невпорядкованих систем, Львів, 1993 рік.

16-th Pecar International Conference on Theory of Semiconductors, Odessa, Ukraine, 1994 (дві роботи).

International School-Conference on Physical Problems in Material Science of Semiconductors, Chernivtsi, 1995 (дві роботи).

International Conference Nanomeeting-95, Minsk, 1995.

Международная конференция по физике и технологии тонких пленок МКФТТП-V, Ивано-Франковск, 1995 год (дві роботи).

Публікації. Результати роботи опубліковано в 24 статтях, 5 тезах конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступної частини, семи розділів (перший з яких є оглядом літератури, інші оригінальні), загальних висновків та списку використаних джерел із 206 найменувань. Роботу викладено на 284 сторінках, вона містить 49 рисунків, дві таблиці.

1. Основний зміст роботи

Перший розділ дисертації є оглядом літературних даних з питань, близьких до теми дисертації. В ньому аналізується стан задач, щільно зв'язаних з проблемами, розглянутими в оригінальних розділах, обгрунтовується актуальність досліджень. Аналіз дано в хронологічному порядку, тобто в розвитку, до уваги беруться як теоретичні, так і експериментальні роботи. Особливістю огляду літератури є те, що в ньому заторкуються не лише об'єкти, які зустрічаються в оригінальних розділах, але і інші сучасні напівпровідникові структури, в яких вплив глибоких центрів на їх характеристики також може бути суттєвим.

В другому розділі розглядаються напівпровідникові структури з невеликою кількістю гетеромеж. Мабуть, найбільш вивченою і поширеною серед них є двобар'єрна тунельно-резонансна структура (ДБТРС). Практична дія цієї структури грунтується на її енергетичному спектрі, отже, аналіз спектра ДБТРС є важливою задачею. В другому розділі розраховується енергетичний спектр і проводиться його аналіз для ДБТРС, в потенціальних бар'єрах якої містяться глибокі домішки; показується, що вплив розсіювачів на спектр є дуже суттєвим. Розрахунок проводиться методом функцій Гріна, оскільки він, на наш погляд, дає можливість для ширших аналітичних висновків, ніж альтернативні методи.

Розглянемо одновимірну ДБТРС з висотою бар'єрів V, їх товщиною d, ширина квантової ями дорівнює w. Структура є симетричною, тобто висота бар'єрів однакова, ширина теж; бар'єри до того ж вважаються прямокутними. В бар"єри введені так звані "домішкові площини глибоких рівнів" (ДПГР); хвильові функції відповідних глибоких станів є сильно затухаючими лише в напрямку, перпендикулярному до гетеромеж [ 1 ]. Нехай на дану структуру падає електронна хвиля з енергією Е, ефективна маса електронів в ямах і бар'єрах в загальному випадку відрізняється, але при проведенні обчислень для деяких гетероструктур, а також, коли це несуттєво, вважатимемо її однаковою (m). Нехай в лівому чи правому бар'єрі знаходиться одна ДПГР; домішковий потенціал моделюється (як і в [ 1 ]) -функцією з потужністю U=f(x) де x координата домішкового центра. Проаналізувати енергетичний спектр розглядуваної системи зручно, знаючи функцію Гріна задачі G(x, x; E). Цю функцію можна виразити через функцію Гріна G незбуреної домішками системи, розв'язавши відповідне рівняння Дайсона (1)

G(x,x1,E)=G0(x,x1,E0+G0(x,E)G(x1,E)/(1-G0(x,E)) (1)

а для вирахування функції G0 скористаємось її спектральним зображенням, знайшовши необхідні хвильові функції як розв'язок відповідного рівняння Шредінгера.

На малюнку 1 зроблено графічний аналіз одержаної ситуації. На ньому схематично зображено хід дійсної частини Re G як функції енергії Е, так що перетин горизонтальної прямої з цією кривою (на ділянках, що мають від`ємний нахил) дає шукані значення власних енергій Еi . Як бачимо, наявність домішкових центрів призводить до суттєвої зміни енергетичного спектра, тобто до істотної зміни положень резонансних рівнів. Положення цих нових рівнів може регулюватися як природою, так і геометричним розташуванням домішкових центрів.

На підставі аналізу зображених на рисунку 1 кривих можна зробити низку загальних висновків про енергетичний спектр ДБТРС із домішками в бар`єрах. Загальний аналіз ілюструється в роботі чисельними розрахунками для типової ДБТРС GaAs-GaAlAs з конкретними параметрами. Ці розрахунки підтверджують проведений аналіз. Зауважимо, що енергетичний спектр ДБТРС з розсіювачами значною мірою детермінується взаємодією домішковіх станів в бар`єрах ("бар`єрних") із електронними станами квантової ями ("ямними"). Обчислення показують, що для того, щоб ця взаємодія була сильною (і отже , був сильним вплив на спектр) необхідне виконання двох умов: 1) енергетичні рівні бар'єрних та ямних станів повинні бути близькими; 2) домішки повинні бути геометрично близькими до квантової ями.

Наступною бар`єрною напівпровідниковою структурою, яка розглядається в розділі 2, є асиметричні подвійні квантові ями (АПКЯ), або асиметричні двобар'єрні тунельно-резонансні структури (АДТРС). Можливих варіантів взаємодії домішкових і ямних станів в АПКЯ в залежності від взаємного розташування енергетичних рівнів існує багато і, природно, що, як показує аналіз, енергетичні спектри АПКЯ є значно багатшими ніж спектри двобар'єрної ТРС. В розділі 2 розглянуто випадки введення домішків лише в середній бар'єр та в кожний із трьох наявних бар'єрів. Проаналізовано, зокрема, залежність спектрів від сили домішкового потенціалу .

Останнім об'єктом, який вивчається в другому розділі, є структура з однією гетеромежею, а саме, розглядається напівнескінченний напівпровідник, відокремлений площиною z=0 від вакууму. Припускається існування в об'ємі напівпровідника глибоких домішкових станів, а на поверхні розділу таммівських електронних станів. Аналізується процес релаксації глибокого стану при ізоенергетичних переходах: глибокі рівні поверхневі стани. Для того, щоб розрахувати імовірність іонізації в зону таммівських станів глибокого (сильно локалізованого) центра, використовується рівняння Дайсона для функції Гріна системи: напівобмежений напівпровідник глибокий центр, що розташований на відстані r від поверхні (2)

G(r,r1)=G0(r,r1)+U(n,m,K)G1(r,r1). (2)

Тут u(r) потенціал глибокого центра, для якого використано модель СлетераКостера U=U(n,m K), де n,m зонні функції в напівпровіднику, K об`єм елементарної комірки. Функція Гріна для напівнескінченного напівпровідника записується у вигляді

G=G1+Gs, (3)

де G1 представляє функцію Гріна необмеженого напівпровідника, а Gs - функція, зв`язана із поверхневими станами. Власні функції, потрібні для обчислення функцій Гріна, розраховувались в [ 2 ]. Ці функції разом із функціями, що відповідають дозволеним зонам, утворюють повну ортонормовану систему, і рівняння ( 2 ) зручно написати в представленні цих функцій. Далі розглядаються розв`язки (для поверхневих станів), що відносяться до забороненої зони кубічного напівпровідника типу А₃ В₅, котра відокремлює зону провідності і валентні зони. Тоді власні функції для таммівських станів записуються в спрощеному вигляді [ 2 ], а розв`язок рівняння ( 2 ) можна представити у вигляді

G=k(E(x)+E(k)). (4)

Тут k - двовимірний зведений квазіімпульс, Е (к) та Е ( x ) - об'ємний та поверхневий закони дисперсії відповідно. Одержана функція має полюси, що відповідають об'ємним та поверхневим станам напівпровідника без домішку, а також полюс, зв'язаний з існуванням домішкового центра. Тоді для імовірності іонізації домішкового центра, пов'язаної із взаємодією глибокого стану з таммівською зоною, виводиться такий вираз

Г= wkbexp(p/aEt) (5)

де kb радіус сфери, рівною за об'ємом першій зоні Брилюена, w робота виходу, Еt потенціал іонізації домішкового центра в глибині напівпровідника, р та а "кейнівські" параметри зонної структури.

Розрахунок величини Г за формулою ( 5 ) проведено для напівпровідника GaAs з конкретним кейнівським законом дисперсії. Якщо покласти величину потенціала іонізації рівною 0.5 еВ, то остаточний вираз для характерного часу, зв'язаного з делокалізацією глибокого стану поблизу поверхні напівпровідника, набуває вигляду

T=3.18exp(0.26r) ( 6 )

тут r вимірюється в ангстремах. Із останньої формули випливає, що описаний механізм ізоенергетичного переходу електронів из глибокого центра в зону поверхневих станів може визначати характерний час життя електрона на домішковому рівні поблизу поверхні напівпровідника. Нехай, наприклад, в напівпровіднику з концентрацією легуючої домішки N об'ємний час життя визначається ізоенергетичним тунелюванням. Розрахунок показує, що характерний час життя Т в рівнянні ( 6 ), зв'язаний з описаним вище механізмом, є меншим від об'ємного при r= 50 А для N=10²⁴ м^-3 і r= 100 А для N=10²³ м^-3. Таким чином, тут продемонстровано важливу роль, яку можуть відігравати тунельні переходи: домішковий центр таммівські стани поблизу поверхні напівпровідника.

Останнім часом значна увага приділялась вивченню властивостей різноманітних невпорядкованих об'єктів, в тому числі невпорядкованих напівпровідникових систем. В третьому розділі дисертації розглядаються деякі типи невпорядкованих напівпровідникових надграток. Розраховуються і аналізуються тунельні спектри надграток, в потенціальних бар'єрах яких можуть існувати глибокі домішкові центри спектри таких НГ, як показано, кардинально відрізняються від спектрів невпорядкованих граток без домішок.

В першу чергу розглядаються надгратки, невпорядкованість яких обумовлена тим, що ширини квантових ям набувають випадкових значень вздовж ланцюга гратки в кожній даній її реалізації. Надгратка складена із скінченної послідовності одновимірних прямокутних потенціальних бар'єрів однакової висоти V. Нехай в кожному бар`єрі знаходиться одна "домішкова площина глибоких рівнів" (ДПГР) [ 1 ], яка знаходиться точно посередині бар'єра; потенціал розсіюючих центрів моделюється - функцією з потужністю . Електронні стани всередині бар'єрів описуються рівнянням (атомні одиниці)

psi=Aexp( -kx)+Bexp(kx) (7)

де psi=psi(r).

Розв'язок рівняння ( 7 ), а також рівняння для станів в квантових ямах дається у вигляді

psi=psi(x)E, ( 8 )

причому в бар'єрах E=sqrt(2km) , а в ямах E=sqrt(2kma), m, ma ефективні маси електронів в бар'єрах та ямах відповідно. Розв'язок системи рівнянь для коефіцієнтів хвильових функцій шукається за допомогою методу трансферних матриць; матриці, що переносять розв'язок через межі розділу бар'єр-яма, є

R(n,l)=R(n)+R(l) (9)

індекс n відносить розв`язок до певної ями (бар'єра), для парних n маємо Rn , для непарних Rl ; матриця, що переносить розв'язок через ДПГР, має вигляд

M(n,l)=M(n)+M(l) (10)

Коефіцієнт трансмісії електрона крізь надгратку дорівнює

T(E)=R(r)M(r) ( 11 )

де r кількість меж розділу бар'єр-яма, для парних n маємо R =R(n) , для непарних R =R (n) Ms , s =1,2,3...

Обчислення коефіцієнта трансмісії Т за формулою ( 11 ) проведено для надграток на основі гетероструктури SiSiC (для якої V=0.4еВ, ефективна маса в бар'єрах і ямах m=0.2m₀) і представлені на рисунку 2. По осі ординат відкладено log T в рівномірному масштабі, по осі абсцис енергія Е в атомних одиницях (максимальні та мінімальні значення log T дані в правій частині рисунків). Верхній кривій відповідає випадок відсутності домішок в НГ (ширина бар'єрів d=60 ат.од., кількість періодів гратки l=20), для другої кривої значення параметрів такі: l = 20, d = 60 ат.од., = -0.1 ат.од., для третьої кривої: l = 100, d = 60 ат.од., = -0.1 ат.од., для четвертої l = 20, d = 150 ат.од., = -0.1 ат.од..

Аналізуючи результати обчислень, як тих, що представлені на типових рисунках 2, так і багатьох інших, можна дійти таких висновків. Внесення домішків в бар'єри надгратки призводить до надзвичайно суттєвих змін спектра тунельної прозорості. Найважливішою з них є те, що утворюється інтервал енергій, якому відповідають значення коефіцієнта трансмісії Т, близькі до одиниці, тобто в якому гратка стає практично абсолютно прозорою, або, іншими словами, спостерігається ефект делокалізації електронних станів. Максимальна величина Т при цьому збільшується на декілька порядків у порівнянні із невпорядкованою НГ без розсіювачів. Значне зростання прозорості стосується не лише резонансної енергії та її околу, а відбувається в усьому інтервалі енергій [0, V]. Положення резонансної енергії та величина коефіцієнта трансмісії суттєво залежить від параметрів НГ та домішкових центрів. Зокрема, зазначимо, що існує інтервал значень потужності домішкового потенціалу, в якому коефіцієнт Т близький до одиниці; значне збільшення веде вже до зниження прозорості у порівнянні із граткою без розсіювачів.

Також у розділі 3 звернуто увагу на одну досить цікаву обставину, а саме на немонотонну залежність коефіцієнта трансмісії від товщини бар'єрів. Із збільшенням товщин бар'єрів величина Т після певного зменшення починає зростати, досягаючи максимального значення , а потім різко спадає. Отже, це значить, що, якщо розсіяння електронних хвиль відбувається не тільки на гетеромежах, а існує й додаткове розсіяння на домішкових центрах, то найкращі умови для проходження хвилі створюються при певній товщині бар'єрів (не кажучи про зовсім тонкі бар'єри).

Вище вважалось, що параметри глибоких центрів набували однакових значень в кожному із бар'єрів НГ. Природними, однак, є ситуації, коли значення цих параметрів в різних бар'єрах можуть бути різними тому важливо розглянути такі НГ, невпорядкованість яких породжена параметрами глибоких центрів. Тунельна прозорість таких граток також розраховується в дисертації, і відповідні результати представлені в розділі 3. Обчислення проводились за умови, що розкид значень параметрів домішкових центрів підпорядковується гаусовому закону. Результати показують, що в НГ з флуктуюючими параметрами домішків також існує широкий діапазон значень параметрів задачі, в якому коефіцієнт трансмісії є близьким до одиниці. Водночас залежність Т від величини дисперсії параметрів глибоких центрів є досить сильною, причому вона посилюється із збільшенням числа періодів НГ.

Іншим типом невпорядкованих НГ, які розглядаються в розділі 3, є гратки із флуктуюючими значеннями товщин бар'єрів: розраховуються тунельні спектри НГ з розсіювачами, в яких невпорядкованість зумовлена тим, що товщини бар'єрів набувають вздовж ланцюга НГ таких значень, які підпорядковуються гаусовому розподілу. В таких гратках, як показано, теж спостерігається ефект делокалізації електронних станів під впливом розсіювачів; при цьому наявна сильна залежність коефіцієнта прозорості від дисперсії гаусового розподілу.

В кінці розділу 3 коротко аналізуються тунельні спектри невпорядкованих та періодичних НГ із домішками в зовнішньому однорідному електричному полі. Для розрахунків використана сходинкова апроксимація, яка є зручною і часто зустрічається в літературі.

При невеликих значеннях поля зонний характер періодичної гратки з глибокими центрами зберігається. Зростання напруженості поля супроводжується появою штарківських сходинок, причому розташування окремих рівнів, відстань між ними суттєво залежить від параметрів глибоких центрів. Для невпорядкованої НГ зовнішнє електричне поле не змінює характеру впливу домішків на тунельні спектри: залежності, проаналізовані вище, залишаються, в основному, в силі.

Четвертий розділ дисертації присвячений розрахунку і аналізу енергетичних спектрів квазіперіодичних напівпровідникових надграток. Квазіперіодичні системи, як відомо, характеризуються незвичайними фізичними властивостями; їх розуміння потрібне для пояснення низки фізичних процесів, вивчення цих систем обіцяє також бути корисним в застосовному плані.

Центральне місце в розділі займає дослідження напівпровідникових надграток Фібоначчі; розглядаються також ієрархічні структури. В дисертації пропонуються нові типи НГ Фібоначчі, а саме такі, в яких квазіперіодична модуляція потенціалу створюється за рахунок глибоких центрів, введених в періодичну гратку за законом Фібоначчі. Енергетичні спектри запропонованих квазіперіодичних надграток обчислюються і аналізуються за допомогою методу трансферних матриць. Інтервали енергій, для яких значення коефіцієнта трансмісії електрона крізь гратку близькі до одиниці, утворюють зонну структуру розглядуваних НГ.

Спочатку розглядаються надгратка, створена послідовністю прямокутних потенціальних бар'єрів висотою V, шириною d; гратка будується з елементів А: та В:

які відрізняються тим, що в потенціальних бар`єрах елементів В знаходяться глибокі домішки, точніше, як і раніше, домішкові площини глибоких рівнів, в той час, як в елементах А домішків немає. Надгратка конструюється згідно з інфляційним правилом Фібоначчі: А АВ, В А. Наступні секвенції (генерації) Фібоначчі співвідносяться як

S_k =S_k-1 S_k-2

де k номер секвенції, S₁ ={A}, S₂ ={AB}. Потенціал розсіюючих центрів моделюється, як і раніше, функцією з потужністю .

Представлені в даному тексті розрахунки проведені для однієї з найбільш популярних та часто використовуваних надграток на основі гетероструктури GaAsGa_x-1 Al_x As з параметрами x = 0.3, V = 0.271 eV, m = 0.096m₀, m = 0.067m₀, d = 30 A , w = 40 A . На рисунку 3 зображені енергетичні діаграми для шести початкових генерацій Фібоначчі, лінії та точки дають значення дозволених енергій. Рисунку 3.1 відповідає значення = -0.05 ат.од., рисункам 3.2, 3.3 - = -0.07ат.од., для рисунків 3.1, 3.2 домішкові площини розміщені посередині бар'єрів, а для рисунка 3.3 значення відстані від домішкових центрів до найближчих лівих гетеромеж x_c= 0.35d.

Аналізуючи одержані результати, треба зауважити таке. Відомо, що розсіювачі, розміщені в кожному потенціальному бар'єрі строго періодичної надгратки, чинять сильний вплив на її енергетичну структуру [ 1 ], що пояснюється сильною взаємодією домішкових станів із резонансами квантових ям та між собою. В НГ, які розглядаються в даному розділі, глибокі домішки виконують ще одну важливу функцію, а саме утворюють квазіперіодичну модуляцію потенціала структури. В результаті спостерігаються енергетичні спектри, характер залежності яких від параметрів задачі є доволі складним. Кількість мінізон, їх ширина та розташування суттєво залежать від потужності розсіювачів, а також від їх положення всередині бар'єрів.

Підсумовуючи особливості енергетичних спектрів досліджуваних надграток Фібоначчі, зупинимось на деяких основних моментах.

1. Введення глибоких домішків в потенціальні бар'єри НГ приводить до утворення та реалізації квазіперіодичної модуляції потенціала. Це проявляється, зокрема, в розщепленні дозволених енергетичних мінізон, починаючи з третьої, за правилами надграток Фібоначчі. Підкреслимо, що ніякого додаткового фактора квазіперіодичності в розглядуваних НГ не існує, і отже, наявність глибоких домішків є самодостатньою причиною для створення квазіперіодичної модуляції Фібоначчі в даних структурах.

2. Кількість дозволених мінізон в кожній генерації Фібоначчі (починаючи з третьої) підпорядковується правилу:

Z_N = n F_N +1,

де n кількість зон в першій секвенції, F_N = F_N-2 + F_N-1 число Фібоначчі, що відповідає N-ій секвенції, F₁ =F₂ =1. Написане співвідношення відбиває той факт, що за рахунок домішкових центрів утворюється одна додаткова мінізона дозволених енергій (що справедливо для певного діапазону значень ).

3. У відповідності з відомими закономірностями спектрів Фібоначчі спостерігається розширення заборонених (і звуження дозволених) мінізон в кожній наступній генерації (за винятком початкових).

4. Спектри мають яскраво виражений тріадний характер, тобто вони складаються з трьох груп зон, таких, що відстань між окремими групами є значно більшою від відстаней між зонами всередині даної групи.

5. Ширини дозволених мінізон залежать від потужності розсіювачів , причому спостерігається розширення зон із зростанням при малих значеннях , і звуження зон при великих .

В тексті дисертації наводяться ще деякі інші закономірності спектрів запропонованих НГ Фібоначчі. Далі в розділі 4 розраховується інваріант граток, що вивчаються, і аналізуються його особливості.

Вище розглядались НГ Фібоначчі, в яких модуляція потенціалу створювалась лише завдяки домішкам без залучення додаткових квазіперіодичних факторів. Далі в четвертому розділі досліджуються НГ Фібоначчі, в яких квазіперіодична модуляція створюється за рахунок відомого прийому варіації товщин потенціальних бар'єрів, але вважається, що в кожний бар'єр введені глибокі домішки, і аналізується, як розсіювачі впливають на спектри такої гратки. Нарешті, вивчається така НГ Фібоначчі, в якій домішки вводяться лише в ті елементи (з котрих будується гратка), які мають ширші бар'єри, таким чином в цьому варіанті НГ Фібоначчі реалізується подвійна квазіперіодична модуляція потенціалу. Показано, що одержані спектри вказаних версій НГ демонструють риси, властиві квазіперіодичному потенціалу Фібоначчі, в обох випадках. При цьому внесення домішків істотно модифікує зонну структуру розглядуваних НГ. Закономірності енергетичних спектрів цих граток наводяться в розділі 4 дисертації.

У зв'язку із дослідженням спектрів квазіперіодичних НГ в літературі зверталась увага на одну важливу обставину. Ще в перших роботах, присвячених можливості експериментального створення і вивчення цих структур, відзначалось, що їх спектри є чутливими до визначальних параметрів елементів А, В, з яких будується гратка. В розділі 4 проведено спеціальний розрахунок, який показує, що запропоновані в даній роботі НГ мають в цьому відношенні перевагу над іншими.

В підрозділі 4.3 наводяться результати розрахунку спектрів одного з варіантів ієрархічних надграток. Пропонується розглянути гратку, яка побудована з елементів А і В, що означені вище; аналізується один з простих варіантів ієрархічної модуляції, при якому порядковий номер бар'єра з розсіювачами (що відповідає елементу В) в ланцюгу НГ дорівнює 2^s для кожного рівня ієрархічності s=1, 2, 3,...

Наприкінці 4-го розділу представлено результати обчислень енергетичних спектрів ієрархічних надграток в зовнішньому однорідному електричному полі. Метою цих розрахунків було продемонструвати принципову можливість, з одного боку, існування, а з другого аналізу ієрархічних спектрів та спектрів Фібоначчі в залежності від параметрів задачі в зовнішньому електричному полі.

В розділі 5 розглядається ряд різних напівпровідникових структур об'єднуючим їх є та обставина, що в потенціальних бар'єрах цих структур знаходяться глибокі домішкові центри, вплив останніх на тунельні спектри досліджуваних ТРС і вивчається в даному розділі.

В підрозділі 5.1 аналізується новий клас напівпровідникових наноструктур мезоскопічних кристалів, що являють собою одновимірну надгратку, рух електронів в якій відбувається в балістичному режимі [ 3 ]. Унікальне поєднання властивостей надграток з високим рівнем квантової когерентності та низькою розмірністю робить мезокристали важливим та перспективним об`єктом досліджень. Варто також зауважити, що мезокристали по суті поєднують в собі ТРС та квантові хвильоводи, які раніше вивчалися практично незалежно одні від інших.

Як звичайно, квантовий дріт розглядається як двовимірний хвильовод. В рамках методу ефективної маси хвильова функція задовольняє двовимірному рівнянню Шредінгера. Через те, що модулюючий потенціал залежить лише від повздовжньої координати x, її можна відокремити від поперечної y і представити хвильову функцію у вигляді

psi=exp(-bx) ( 12 )

де b ширина каналу. Припустимо, що потенціальні бар'єри в x напрямку є прямокутними, а також, що в кожному бар'єрі є одна площина домішкових рівнів. Тоді рівняння для хвильової функції в бар'єрних областях записується так

psi(x)=Aexp(V/E-bx), ( 13 )

де V -висота потенціальних бар'єрів. Як показано в [ 3 ], провідність мезокристала в двовимірному випадку виражається через одновимірну провідність, а та в свою чергу виражається через коефіцієнт трансмісії Т співвідношенням Ландауера тому зручно аналізувати саме величину Т.

Розв'язок цього рівняння показує, що домішки чинять сильний вплив на енергетичний спектр мезокристала. Так, зокрема, під впливом домішків можливим є майже повне відновлення плато, зруйноване в мезокристалі надгратковою модуляцією потенціалу. Також під дією розсіювачів відбувається суттєвий зсув резонансів по осі енергій, деякі з них можуть опуститися в підбар'єрну область. Резонанси стають менш гострими, відстань між ними зростає. Варто зауважити, що при великих товщинах бар'єрів максимальне значення Т стає помітно меншим від одиниці; в цій ситуації присутність домішків може приводити до значного зростання Т.

Іншою сучасною напівпровідниковою структурою, в якій можна корисно поєднати властивості квантових хвильоводів та ТРС, є L-подібний електронний хвильовод. В підрозділі 5.2 розраховується коефіцієнт проникності електронної хвилі через такий хвильовод, в кут якого пропонується ввести потенціальний бар'єр, що містить глибокі домішкові центри.; хвильовод схематично зображено на рисунку 4. Створити умови для резонансного тунелювання в даній системі можна по різному; ми спинились на варіанті, в якому використовуються дві площини глибоких рівнів, розташовані в областях 2 та 5. В кожній секції хвильоводу змінні у відповідному рівнянні Шредінгера розділяються, і його розв'язок має таку загальну форму

psi=psi( n,x)+psi(m,z,kz), ( 14 )

де z відноситься дo осі, вздовж якої поширюється електрона хвиля, к_z z-вий компонент хвильового вектора, а n і m це модові індекси зв'язаних станів розв'язків в x та y напрямках. Для зшивання хвильових функцій на межах розділу різних секцій використовується метод модового зшивання; система рівнянь для коефіцієнтів власних функцій розв'язується чисельно а коефіцієнт трансмісії шукається за формулою

T=spur(psi(m,z,kz)), ( 15 )

де підсумовування ведеться по всіх транспортних каналах.

Основним результатом проведених обчислень є те, що значення коефіцієнта проникності Т при певних параметрах може бути близьким до одиниці це означає, що в запропонованому квантовому хвильоводі відбивання електронної хвилі в куті завдяки резонансному тунелюванню практично не проявляється (для резонансних енергій). Оскільки таке відбивання приводить до значного зменшення величини Т в аналогічних хвильоводах без домішків, то висновком є те, що розглядувана тут структура може слугувати для підвищення електронної трансмісії, особливо у випадках, коли прямокутними елементами сполучаються декілька хвильоводів.

Для досягнення більшої гнучкості у регулюванні енергетичних спектрів використовуються НГ із більш складним базисом, ніж прості прямокутні бар'єри. До таких структур відносяться і альтерновані надгратки (АНГ). В розділі 5 аналізуються АНГ із змінною товщиною бар'єрів; обчислюються енергетичні спектри різних типів АНГ без та з глибокими домішками в бар'єрах. Розрахунок проводиться в рамках наближення ефективної маси за допомогою методу трансфер-матриць.

Зауважимо перш за все, що спектри АНГ є надзвичайно різноманітними та багатими. Вони істотно залежать від таких чинників, як кількість періодів у гратці (зокрема, парна чи непарна), який бар'єр (товщий чи тонший) є першим по відношенню до падаючої електронної хвилі і т.і.. Важливо, що введення домішок вже в один (з усіх) бар'єр приводить до сильної модифікації енергетичних спектрів, при цьому спектри можуть змінюватись докорінно, а розглядувана система є абсолютно несиметричною до введення домішок в різні бар'єри: наявність глибоких центрів в кожному іншому бар'єрі має свою специфічну дію на спектри.

Для ілюстрації сказаного на рисунку 5 наведено тунельні спектри для чотирибар'єрної АНГ, збудованої на базі структури Si-SiC. Кривій 5.1 відповідає випадок відсутності домішок в НГ ( = 0 ), для інших = -0.08 ат.од., але для кривих 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 домішки існують лише в 1-му, 2-му, 3-му, 4-му бар'єрі відповідно для зручності ці спектри позначено як В1, В2, В3, В4). Видно, що у разі В4 якраз на місці забороненої зони утворюється інтервал енергій із Т = 1; для В1, навпаки, заборонена зона поглиблюється. Якщо для випадків В2 та В3 наявне значне зменшення Т для крайніх резонансів, то для В4 має місце сильне їх подавлення, а у разі В1 крайні резонанси практично не прявляються, так що можна говорити про їх знищення. Різноманітні модифікації спектрів можна одержати, вводячи домішки в декілька бар'єрів одночасно. Інші можливості регулювання спектрів АНГ наведено в тексті дисертації. Найбільший вплив на спектри домішки чинять в тих випадках, коли вони введені в пеший чи останній бар'єри, але дія їх на спектри в цих двох випадках дуже відрізняється.

Таким чином, показано, що введення глибоких центрів у бар'єри альтернованих ТРС дає змогу одержувати різноманітні варіації енергетичних спектрів розглядуваних структур.

В розділі 5 також проаналізовано енергетичний спектр дефектної НГ з розсіювачами в потенціальних бар'єрах. Розрахунок проведено для конкретного виду дефектів, зумовленого тим, що ширина однієї з ям НГ є більшою від інших.

Якщо вище мова йшла про дослідження, об'єктами яких були новітні структури, то в 6-му розділі розглядається добре вивчена і широко застосовувана структура контакт метал-напівпровідник. Показується можливість виникнення негативного диференціального опору в бар'єрі Шоткі, область просторового заряду (ОПЗ) якого містить глибокі домішкові центри. Розглядається контакт металу з напівпровідником n-типу, неосновними носіями заряду нехтуємо. Раніше було показано, що в КМН з глибокими центрами можливим і суттєвим є тунельно-резонансний струм, тобто струм, при якому електрони проходять ОПЗ із "пересадкою" на домішках. Вважалося, що глибокі домішки розподілені в ОПЗ однорідно. В даному розділі дисертації знаходяться вольт-амперні характеристики для тунельно-резонансного струму для довільних профілів розподілу глибоких центрів в розглядуваній структурі.

Вольт-амперні залежності можна одержати, виходячи із відомого квантовомеханічного виразу для густини струму імовірності

I=Im(psi)psi+psiIm(psi). ( 16 )

Необхідні для цього хвильові функції можна виразити через одночастинкову функцію Гріна задачі, в якій враховується як потенціал домішкового центра, так і наявність потенціального бар'єра ОПЗ. Короткодіючий потенціал глибокого центра моделюється -подібною функцією. Результат обчислення власної функції має такий вигляд

psi(E)=G0psi0(V,e)/psi1(E,r), ( 17 )

де psi0 - хвильова функція електрона в ОПЗ без домішок, G0 - відповідна функція Гріна, V - потенціальна енергія в ОПЗ, а домішка є локалізованою в точці r .

Для того, щоб знайти повний резонансний струм, треба, по-перше, підсумувати внески в струм від електронів з різною енергією Е, по-друге, включити в розгляд всю сукупність домішкових центрів. Тоді повний резонансний струм визначається виразом

I=spur(psif(E)), ( 18 )

де f(E) функція розподілу електронів за енергіями.

В результаті подальших обчислень тунельно-резонансний струм можна подати у такому вигляді

I=I(V,Et,F) ( 19 )

де V та Еt висота потенціального бар'єра ОПЗ та потенціал іонізації глибокого центра відповідно, F напруженість поля в ОПЗ (вважається сталою величиною),

У разі однорідного розподілу домішків: N(z)=const, інтегрування по z приводить до монотонно зростаючої (із збільшенням F) ВАХ; водночас зрозуміло, що при іншому виборі N(z) можливі і немонотонні залежності. Зупинимось далі на випадку наявності домішків лише у вузькому шарі напівпровідника всередині його ОПЗ цей випадок включає в себе і ситуацію, відому під назвою -легування. Конкретний розрахунок проведемо, задаючи гаусову форму для N(z).

Аналіз показує, що в розглядуваному випадку може реалізуватись негативний диференціальний опір (НДО). Якщо описувати ВАХ, задаючи її диференціальний нахил то в області НДО для одержуємо (виконується умова E<V )

alfa= 2F/V. ( 20 )

Зауважимо, що випадок вузької локалізації домішок в ОПЗ є більш вигідним з точки зору формування НДО.

При розрахунку тунельно-резонансного струму, а також в інших ситуаціях потрібно знати залежність імовірності тунельної іонізації глибокого стану Г полем ОПЗ від параметрів задачі. В 6-му розділі проводиться такий розрахунок величини Г для випадку параболічного потенціалу ОПЗ, який вважається загальноприйнятим модельним наближенням для потенціалу в бар'єрі Шоткі. Імовірність польової іонізації глибокого стану обчислюється за формулою

Г=ImG0/ReG0(r)Et, ( 21 )

де r тривимірна координата домішки ImG0 та ReG0 відповідно уявна та реальна частини функції Гріна рівняння для електрона в ОПЗ, в якому не враховується потенціал домішку, Еt іонізаційний потенціал. Функція Гріна виражається через її спектральне представлення, а хвильові функції шукаються як розв'язок відповідного рівняння Шредінгера. Результати розрахунків свідчать про те, що область зміни величини Г є дуже великою імовірність тунельної іонізації глибокого центра може складати від 10¹³ с^-1 до частин зворотньої секунди в залежності від форми потенціального бар'єра, а також від просторового та енергетичного положення домішки.

В останньому розділі висвітлюються деякі моменти, зв'язані з проблемою утворення глибоких станів в напівпровідникових структурах. В першому підрозділі розглядається задача врахування просторової дисперсії діелектричної проникності при побудові домішкових станів в напівпровідниках. Пропонується модель, яка якісно враховує просторову дисперсію ; показано, що ця проста модель забезпечує появу як глибоких, так і мілких зв'язаних на домішковому центрі станів. Розглядається система з гамільтоніаном

H=h/m*del-z*/e(r) ( 22 )

де z ефективний заряд домішкового іона, m* ефективна маса електрона, а просторова дисперсія задається у вигляді

e(r)=ra, ( 23 )

де а параметр, що відповідає "ввімкненню" макроскопічної діелектричної проникності . Рівняння Шредінгера з гамільтоніаном ( 22 ) досліджується варіаційним методом. Аналіз показує, що існує певна критична точка а_k так, що для значень параметра а, менших від а_k , утворюється мілкий рівень, в той час як у випадку а>a_k повинен виникнути глибокий рівень. При цьому величина а_k визначається як характеристиками кристала, так і домішкового центра. Конкретні розрахунки провадились для системи: домішки атомів шостої групи таблиці Менделєєва кисень, сірка, селен, телур в кристалі арсеніду галія. Домішкові атоми в даній моделі відрізняються лише ефективним зарядом їх іонів. Обчислені значення енергії домішкових станів одержані за допомогою вибору такого значення параметра а для GaAs, яке забезпечує існування глибокого рівня для кисню проте лише мілких рівнів для інших домішків. Одержані результати якісно узгоджуються з експериментом.

Таким чином, застосована проста модель показує, що врахування просторової дисперсії діелектричної проникності дає, мабуть, змогу пояснити факт появи як глибоких, так і мілких домішкових рівнів в напівпровідниках.

Також, в розділі 7 розраховується діелектрична функція для напівпровідників із вузькою забороненою зоною (Е_g ~ 0). Ця функція, як відомо, використовується при побудові тих чи інших моделей домішкових станів в напівпровідниках. Для обчислення діелектричної проникності використовується добре відомий вираз, одержаний в рамках наближення випадкових фаз методом самоузгодженого поля

e(r)=n,kexp(q,r)m,k/E(k)N,

(атомні одиниці). Для того, щоб розрахувати величину , необхідно знати зонну структуру кристала: енергетичний спектр Е_n(к) і власні функції psi (k, r) . N в рівнянні ( 24 ) - числа заповнення блохівських станів. В даній роботі використовується реальна кейнівська модель зонної структури, яка, як відомо, добре підходить до напівпровідників з вузькою забороненою зоною. Обчислення спочатку проводяться із застосуванням відносно простого гамільтоніану, в якому нехтується спін-орбітальним розщепленням, а вплив верхніх зон враховується в спрощеній формі. Таке наближення виявляється достатнім для того, щоб одержати аналітичну залежність діелектричної проникності від дійсних параметрів напівпровідників (таких, як мінімальна ширина забороненої зони, ефективна маса носіїв заряду, стала гратки), яка якісно узгоджується з експериментальними фактами. Далі проводяться розрахунки в більш складній моделі зонної структури напівпровідників.

Отже, розглянемо напівпровідник, зонна структура якого описується таким гамільтоніаном

H=Eg+ak -bk +p, ( 25 )

де Е_g мінімальна ширина забороненої зони, р матричний елемент імпульсу, а члени ak, bk відповідають за вплив верхніх зон. Знаходячи енергетичний спектр та власні функції, які відповідають гамільтоніану ( 25 ), можна обчислити і матричні елементи, що входять у вираз для . Для діелектричної проникності зрештою одержуємо

e(r,q)=1+ta(n,s) +ta(l,h,s) ( 26 )

де ta=f(ns,l,h). Другий член в правій частині рівняння ( 26 ) відповідає віртуальним переходам між s-дірковою зоною та зоною провідності, а третій член між l, h - дірковими зонами та зоною провідності.

Для довгохвильової межі діелектричної проникності, інтегруючи рівняння ( 26 ) по всіх заченнях к, що знаходяться всередині кулі, рівною за об'ємом першій зоні Брилюена (з радіусом kb ), одержуємо

e(q=0)= e(f(ta(n,s)+f(ta(l,h,s)). ( 27 )

Цей вираз можна значно спростити, якщо взяти до уваги нерівність, що добре виконується: Е <1 . Тоді маємо

e(q=0)=e(f(ta(n,s)). ( 28 )

Зауважимо, що поява основного (останнього) члена в формулі ( 28 ) є прямим наслідком того, що існує не одна, а декілька діркових зон. Діелектрична стала логарифмічно зменшується із збільшенням щілини між зоною провідності та валентною зоною. Тут використовується спрощена модель зонної структури, тому чим меншою є заборонена зона, тим краще виконується закон ( 28 ). Одержана слабка залежність діелектричної проникності від Е підтверджується для ряду напівпровідників типу А3В5 (таких як InSb, InAs, InP, GaAs, GaSb).