Размещено на http://www.allbest.ru/

Харківський державний університет

Дробахін Олег Олегович

УДК 537.874: 519.65 + 621.317.3

РАДІОФІЗИЧНІ ПРИНЦИПИ ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ ОБ'ЄКТІВ ЗА ЗНАЧЕННЯМИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЛАСНИХ ЧАСТОТ

01.04.01- фізика приладів, елементів і систем;

01.04.03 - радіофізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків - 1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Дніпропетровському державному університеті Міністерства освіти України.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Масалов Сергій Олександрович, Інститут радіофізики і електроніки НАН України, завідувач відділу радіоінтроскопії (м. Харків);

доктор технічних наук, професор Макаренко Борис Іванович, АТ Харківський НДІ радіотехнічних вимірювань, заступник директора з наукової роботи - головний конструктор - перший заступник директора;

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Колчигін Микола Миколайович, Харківський державний університет, в.о.завідувача кафедри теоретичної радіофізики - професор.

Провідна установа: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, кафедра квантової радіофізики, Міністерство освіти України.

Захист відбудеться “22” жовтня 1999 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.051.02 Харківського державного університету за адресою: 310077, м. Харків, майдан Свободи, 4, ауд. 3-9.

З дисертацією можна ознайомитись в Центральній науковій бібліотеці Харківського державного університету за адресою: 310077, м. Харків, майдан Свободи, 4.

Автореферат розісланий “10” вересня 1999 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Ляховський А.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Радіофізичні методи експериментальних досліджень все більше проникають у різноманітні сфери людської діяльності. Розширення числа об'єктів дослідження та їхніх оцінюваних параметрів, підвищення точності вимірювань параметрів дозволяє не тільки вирішувати визначене коло прикладних задач, але і служить загальному прогресу в пізнанні закономірностей природи.

Використання радіофізичних методів у галузях технічної і медичної діагностики, екологічного моніторингу і неруйнуючого контролю значною мірою базуються на розв'язанні задачі визначення параметрів шарів шаруватих діелектричних структур (ШДС). Таким чином, необхідно визначити просторовий розподіл діелектричної проникності за вимірюваною залежністю, що характеризує відбите ШДС поле, як функцію варіації параметра (параметрів) зондуючої хвилі. У багатьох випадках з урахуванням локальних властивостей зондуючого пучка, задача може бути зведена до відновлення одновимірного профілю . З математичної точки зору мова йде про рішення оберненої задачі. Складність проблеми полягає у неможливості одержання простих аналітичних залежностей між параметрами, що цікавлять, і характеристиками, що вимірюються безпосередньо. Дана проблематика давно привертає увагу дослідників, причому не тільки в області радіофізики, але й акустики (включаючи обробку промови), сейсмології та геофізики (методи рішення мають багато аналогічних моментів внаслідок подібності хвилевих явищ при загальній постановці задачі, що не враховує конкретні особливості вимірювань).

Необхідність визначення геометричних товщин і ефективних значень матеріалів шарів, що часто виникає при неруйнуючому контролі багатошарових виробів сучасного машинобудування, дозволяє поставити задачу відновлення кусково-сталого профілю . Така апроксимація не є з одного боку гладкою, що ускладнює застосування ряду розвитих методів, а з іншого боку - зведе вихідну задачу до задачі пошуку параметрів у кінцевовимірному просторі. Також треба урахувати вимогу безконтактності та одностороннього доступу до контрольованого об'єкту. Необхідність забезпечення максимальної локальності обумовлює застосування хвиль НВЧ та КВЧ діапазонів.

Для ШДС одновимірна обернена задача достатньо повно розв'язана при збудженні її плоскою хвилею у двох окремих випадках: плоскошаруватої структури і циліндричної з радіусом кривини r багато меншим ніж середня довжина хвилі , наприклад, для r / < 0.3. Математичний апарат, розвитий для першого випадку, мало здатний для неруйнуючого контролю у зазначеному діапазоні частот через те, що випромінюється хвиля, яка істотно відрізняється від плоскої. Здатність другого підходу для рішення поставленої задачі дуже обмежена, тому що для великогабаритних виробів не може бути забезпечена необхідна локальність контролю. Все це визначає потребу вибору математичної моделі для прямої задачі, яка буде адекватна експериментальній ситуації, що реалізується при використанні хвилеводних та рупорних випромінювачів.

Для розв'язку оберненої задачі у зазначеній постановці найбільше поширення отримали багаточастотні методи вимірювань з наступним аналізом у часовій області. Однак методи, що використовують принцип максимуму ентропії, хоча й дають тривкі результати, але ж не дозволяють визначити розмір стрибків імпедансу на межах шарів і використовуються для визначення електричних товщин шарів. Метод вторинного спектрального аналізу потребує апріорного знання співвідношення товщин шарів і порядку проходження їх. Крім того, ці методи не мають під собою належної методологічної бази, тому що використовують неадекватне уявлення про умови задачі.

Якщо для контролю параметрів виробів машинобудування як альтернатива радіофізичним методам існують методи з використанням хвиль іншої фізичної природи, то при контролі ШДС, що використовуються як радіомаскувальні і поглинальні матеріали антенних обтічників та укриттів необхідно застосовувати електромагнітні хвилі відповідного діапазону. При цьому виникає задача, що має самостійне значення, визначення коефіцієнтів відбиття (КВ) таких матеріалів поза хвилеводних трактів, тобто у вільному просторі. Діагностика ШДС різноманітного призначення включає також ідентифікацію внутрішніх включень, наприклад повітряних пір у композиційних матеріалах. Важливим є їхня класифікація за розмірами.

Радіофізичні методи є єдино можливими, і внаслідок цього традиційно використовуються при дослідженні антенних і хвилеводно-фідерних пристроїв систем зв'язку, радіоуправління і радіотелеметрії, радіолокації і радіонавігації. Слід зазначити тенденцію більш широкого використання хвиль НВЧ і КВЧ для розв'язку задач у цих галузях. Удосконалення перерахованих систем обумовлює підвищення вимог до обсягу і достовірності інформації про них (розташування й амплітуди неоднорідностей у трактах, відбивальні неоднорідності в антенах і на носіях антен). При цьому поставлену ціль бажано досягти з найменшими матеріальними витратами. Наприклад, створення антенних полігонів не може бути здійснене у всіх частотних діапазонах універсальними методами, тому доцільна побудова методів оцінки діаграм спрямованості (ДС) антен в умовах полігонів з низькою безлунністю за допомогою універсальних підходів до проведення вимірювань і обробки даних, оцінки властивостей самих полігонів на основі визначення потужностей сигналів головного променю і паразитних компонентів. До цієї задачі тісно примикає задача визначення зазначених компонент для антен, розміщених на різноманітних об'єктах з відбивальними елементами.

Розв'язок всіх розглянутих задач базується на обробці експериментальних даних, отриманих у НВЧ та КВЧ діапазонах. Ясно, що підвищення інформативності цих даних пов'язано з можливістю зберігання (вимірювання) фазової інформації, тобто отримання комплекснозначних даних, що потребує розвитку фізичних принципів побудови відповідних пристроїв. Використання резонансних явищ дозволяє ефективно розв'язувати класичні задачі радіофізичних вимірювань, тому доцільно розвити загальний підхід до розв'язку всіх урахованих задач радіофізичних вимірювань на основі концепції узагальнених власних частот (резонансних частот, власних часів, власних просторових частот, власних товщин). Ці обставини обумовлюють актуальність теми дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертація виконана у рамках науково-технічної програми фундаментальних та прикладних досліджень "Неруйнуючий контроль і діагностика" (1989-1991, завдання 4.6.1), затвердженої наказом Держкомітету народної освіти СРСР № 773 від 29.09.1989 р. Результати роботи увійшли у звіти з 3 держбюджетних НДР, що були виконані у рамках координаційних планів НДР Міністерства освіти України (номери держреєстрації 0194 U 010181, 0194 U 028115, 0197 U000658).

Мета і задачі досліджень. Метою дисертації є розробка фізичних принципів, математичного апарату та відповідних пристроїв для визначення параметрів широкого класу радіофізичних об'єктів на основі застосування концепції узагальнених власних частот при обробці амплітудних даних, отриманих експериментально.

Це обумовлює розв'язок таких задач:

оптимальний вибір вигляду узагальнених власних частот для визначення параметрів конкретних об'єктів;

отримування залежностей, що зв'язують значення параметрів об'єктів, які цікавлять, зі значеннями узагальнених власних частот;

розвиток методів зберігання і виділення інформації про фазові характеристики об'єкту за даними амплітудних вимірювань;

опрацювання фізичних принципів апаратурної реалізації методів вимірювань комплекснозначних даних та дослідження характеристик вимірювальних установок;

вдосконалення методів цифрового спектрального аналізу для визначення значень узагальнених власних частот за даними експериментальних досліджень;

фізичний аналіз ситуацій, що виникають у ході використання розроблених підходів при проведенні реального експерименту, і опрацювання практичних рекомендацій.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в наступному:

на основі принципу фурье-голографії був розвитий метод визначення комплекснозначних частотних залежностей коефіцієнтів відбиття і проходження за даними вимірів амплітудних характеристик на багатьох частотах при наявності декількох опорних сигналів, що носять у часовій області імпульсний характер, визначені умови придатності;

запропоновано використовувати для обробки даних 12-полюсних вимірювачів комплексного КВ голографічний підхід із трьома опорними ділянками, що дозволило побудувати систему лінійних рівнянь і використовувати апарат регуляризації лінійних обернених задач;

удосконалений математичний апарат цифрового спектрального аналізу на основі методу найменших квадратів, який має підвищену завадостійкість і розділювальну здатність, що дозволило ефективно визначати значення узагальнених власних частот за даними, отриманими експериментально;

розвитий метод розв'язування оберненої задачі для ШДС із кусково-сталим профілем з використанням концепції власних часів структури при урахуванні реальних властивостей зондуючої хвилі;

запропоноване й обгрунтоване застосування методів багаточастотного розпізнавання радіолокаційних цілей, зокрема К-імпульсу, для визначення параметрів шарів у ШДС;

розроблений метод розрізнення найпростіших неоднорідностей у шаруватих структурах на основі використання концепції просторових частот;

розвитий і досліджуваний одночастотний метод визначення комплексного КВ у вільному просторі з використанням просторових частот;

запропонований і експериментально опрацьований метод визначення ДС антен в умовах полігонів з низької безлунністю шляхом спектрального аналізу результатів вимірювань на багатьох частотах; цей підхід узагальнений для вирішення задачі оцінювання рівня безлунності антенного полігону.

Практичне значення отриманих результатів дисертаційної роботи полягає у тому:

розроблені методи розв'язування оберненої задачі для ШДС із кусково-сталим профілем дозволяють вирішувати задачу неруйнуючого контролю двох- трьох-шаруватих (зокрема склопластик-гума-капрон) виробів сучасного машинобудування;

запропоновані в роботі теоретичні принципи запроваджені в основу розроблених вимірювально-обчислювальних комплексів РИМЧ-02-05, які дозволили вимірювати відбиття від структур, що мають власний КВ аж до -25дБ (пінопластів з = 1,05 - 1,15) на відстанях до 20 см від площини апертури ( РИМЧ-05 - на відстані до 40-50 см).

розвиті методи виміру ДС в умовах антенного полігону з низькою безлунністю дозволяють визначати як самі ДС, так і рівні лунності полігонів; ці ж методи дозволяють оцінювати в сумарному прийнятому антеною сигналі рівень сигналів, обумовлених елементами конструкції носія, на якому розміщена антена;

розроблені підходи можуть служити для контролю трактів телекомунікаційних систем;

розроблені методи цифрового спектрального аналізу внаслідок високої завадостійкості і розділювальної здатності можуть знайти застосування для обробки сигналів в інших областях науки і техніки, наприклад при знаходженні спектрів фізичних процесів і визначенні власних частот різноманітних споруд і конструкцій.

Результати роботи знайшли відбиток у лекційних курсах, що читаються в Дніпропетровському університеті: "Вимірювання на НВЧ", "Радіохвильові методи неруйнуючого контролю", "Цифровий спектральний аналіз".

Особистий внесок здобувача. У роботі [1] дисертантом написані розділи 1-3 і 5(у співавторстві). У статтях [2,24] дисертанту належать усі результати за винятком опрацювання експериментальних даних. У роботах [5-7,9] дисертантом висловлена ідея створення описаних ВОК, розроблені теоретичні принципи побудови, отримані експериментальні результати (крім [7] ). У [7] запропоновано проводити інтерполяцію залежності частоти від керувальної напруги з метою підвищення точності установки частоти, брав участь у написанні програмного забезпечення ВОК. В роботі [10] дисертант здійснив планування досліджень і інтерпретацію отриманих результатів. У статті [13] дисертантом здійснена постановка задачі, вироблені основні підходи до їхнього розв'язання, проведена інтерпретація результатів. У статтях [3,4,14-18,19-22,30,31,33,35] автор здійснив постановку задачі, брав участь в обговоренні та інтерпретації результатів, йому належить загальний підхід, що знайшов відбиток у цих статтях. У роботах [4,14,16] дисертантом отримані аналітичні співвідношення, у статті [21] запропонований підхід до урахування малих перевідбиттів, у [19] дисертанту належить ідея про використання часового вікна і проведення нормування, він брав участь у створенні програмного забезпечення.

У роботі [23] дисертант здійснив постановку задачі, вибрав метод досліджень, склав план експериментальних досліджень, провів фізичну інтерпретацію отриманих результатів. У роботі [32] дисертанту належать усі результати крім проведення чисельних експериментів. У роботі [34] дисертантом запропоновано застосовувати концепцію К - імпульсу до рішення обернених задач для ШДС, проведене обгрунтування придатності підходу, запропонований план досліджень, проведена інтерпретація отриманих результатів. У інших роботах дисертантом здійснена постановка задачі, вироблені основні підходи до їхнього розв'язання, проведена інтерпретація результатів.

Під керівництвом автора даної роботи з матеріалів, опублікованих у співавторстві статей, підготовлена і захищена кандидатська дисертація.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації були представлені і обговорені на: Всесоюзній науково-техн. конф. "Методи і засоби вимірювань електромагнітних характеристик матеріалів на ВЧ і НВЧ" (Новосибірськ, 1991), Всесоюзній науково-техн. конф. "Фазовані антенні решітки і їх елементи: автоматизація, проектування і виміри" (Казань, 1990), VI Всесоюзній конф. з голографії (Вітебськ, 1990), Московській міжнародній конф. з композитів (Москва, 1990), XII Всесоюзній науково-техн. конф. "Неруйнівні фізичні методи контролю" (Свердловськ, 1990), Всесоюзній науково-техн. конф. “Радіовимірювання-91” (Севастополь, 1991), республ. науково-техн. конф. "Теорія і практика вимірювань параметрів електромагнітних коливань і ліній передачі" (Харків, 1991), Регіональній науково-техн. конф. "Сучасні методи радіовимірювань у діапазонах високих частот (ВЧ) і надвисоких частот (НВЧ) (Новосибірськ, 1991), I Українському симпозіумі "Фізика і техніка мм і субмм радіохвиль" (Харків, 1991), Міжнародній конф. "Неруйнівний контроль і діагностика властивостей композитів і виробів з них" (Рига, 1991), III Республ. науково-техн. конф. "Методи і засоби вимірювань в області електромагнітної сумісності" (Вінниця, 1991), Міжнародній конф. "Статистичні методи в теорії передачі і перетворення інформаційних сигналів" (Київ, 1992), 3-й Кримській конф. "НВЧ-техніка і супутниковий прийом" (Севастополь, 1993), Міжнародному симпозіумі "Фізика і техніка міліметрових і субміліметрових хвиль" (Харків, 1994; Харків, 1998), Міжнародних конференціях УРСІ "Математичні методи в електромагнітній теорії" (Харків, 1994; Львів 1996; Харків 1998), I Українській конф. "Технічна діагностика і неруйнівний контроль в Україні" (Дніпропетровськ, 1994), Міжнародній наук.-техн. конф. "Сучасна радіолокація - 94" (Київ, 1994), Міжнародних наук.-техн. конф. "Актуальні проблеми електронного приладобудування" (Новосибірськ, 1991, 1994, 1996, 1998), Міжнародних симпозіумах УРСІ з електромагнітної теорії (С.-Петербург, Росія, 1995; Салоніки, Греція, 1998), 5-му Міжнародному Симпозіумі "Сучасні досягнення в мікрохвильовій технології" ISRAMT'95 (Київ, 1995), Міжнародній конф. "Теорія і техніка передачі, прийому і обробки інформації" (Туапсе, 1995), Міжнародних конференціях "Теорія і техніка антен" (МКТТА'95, Харків, 1995; МКТТА'97, Київ, 1997), Міжнародній конф. з точних електромагнітних вимірювань CPEM-96 (Брауншвейг, Німеччина, 1996), 2-й Міжнародній конф. "Супутниковий зв'язок" (Москва, 1996), 14-й Міжнародній конф. з неруйнівного контролю (Нью-Делі, Індія, 1996), Міжнародній конф. з актуальних питань техніки вимірювань “Measurement-98”(Київ, 1998), на щорічних підсумкових наукових конференціях Дніпропетровського держуніверситету.

Публікації. Результати дисертації опубліковані в одному навчальному посібнику, у 26 статтях в наукових журналах і збірках, 2 авторських свідоцтвах, матеріалах і тезах зазначених вище наукових конференцій і симпозіумів.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновків, списку літератури, що цитується, з 235 найменувань на 23 стор. Обсяг роботи - 337 стор., з них 274 стор. основного тексту, 17 сторінок ілюстрацій і 11 сторінок таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі відбиті актуальність проблеми, зв'язок з науковими програмами, наукова новизна отриманих результатів та їх практичне значення, а також апробація результатів роботи.

Перший розділ носить оглядовий характер, у ньому визначене коло питань, що підлягають дослідженню, намічені шляхи розв'язування поставлених задач.

Для розв'язування поставлених задач обрані методи, які базуються на аналізі власних узагальнених частот. Це викликає потребу у розвитку математичного апарату визначення значень власних частот за даними, отриманими з експерименту, що зводиться до необхідності розвитку методів наближення залежності сумою експоненціальних функцій. Як напрямок пошуку в області розвитку експериментальних методів визначення характеристик об'єктів був обраний голографічний підхід до задачі збереження фазочастотної інформації, що має два класичних варіанти: метод фур'є-голографії та метод голографії з трьома опорними дільницями.

В другому розділі розглянутий математичний апарат визначення значень узагальнених власних частот за дискретизованими даними, отриманими експериментальним шляхом. При цьому припускалося, що експериментальні дані можуть бути описані моделлю у вигляді кінцевої суми експонент з комплекснозначними показниками. В такому вигляді представимо відгук системи у фур'є-сполученій області за умови, що в первинній області справедлива полюсна модель, що описує власні частоти (резонанси). Аналогічно, у випадку справедливості моделі у вигляді суми експонент у фур'є-сполученій області показники експонент можуть бути інтерпретовані як власні частоти системи. Таким чином, цей розділ присвячений фундаментальній проблемі статистичної радіофізики, а саме - оцінюванню параметрів спектрів. Адекватним методом оцінювання значень амплітуд і показників експонент є метод Проні. Проведене дослідження властивостей оцінок за наявності адитивних фазових компонент, які вносять спотворення, оскільки такі чинники спотворення з'являються закономірно внаслідок дисперсії у НВЧ хвилеведучих трактах. При використанні методу Проні наявність додаткової квадратичної фазової компоненти тягне зміщення оцінок місцеположення від довжини інтервалу спостереження, близьке до лінійного, а початкової фази - до квадратичного. Для кубічного фазового додатку відповідні залежності близькі до квадратичної та кубічної. Абсолютні значення зміщень при тих же довжинах інтервалу спостереження, амплітудах при фазовому додатку, кроку дискретизації, числі точок для кубічного додатку приблизно у два рази менші, ніж для квадратичної. Відношення порогових власних чисел матриці Проні при зміні амплітуди додатку, довжини інтервалу спостереження однозначно вказувало на кращий за точністю результат. Наявність додаткової гармонійної фазової компоненти при її амплітуді меншої 0.02 тягнуло похибку оцінки амплітуди і місцеположення спектральних компонент меншу за 1%, а початкової фази меншої 0.5 рад, при зростанні означеної амплітуди до значень порядку 0.2 похибка оцінки амплітуди досягала 40%.

Нарощування порядку моделі в алгоритмах MUSIC і EV не веде до безперервного зростання завадостійкості і розподілювальної здатності. При різноманітному числі відліків найкращі оцінки можуть спостерігатися при різноманітних порядках матриці Проні. У загальному випадку розглянуті методи не дозволяли отримувати вирішальної переваги у порівнянні з варіантом методу Проні, що базується на аналізі одного власного вектору матриці нормальних рівнянь Проні.

Порівняльний аналіз узагальненого методу пучка функцій (УМПФ) та методу Проні показав, що у порівнянні з останнім вибір кроку дискретизації в УМПФ не є вирішальним чинником регуляризації, хоча мінімальне число зумовленості для матриць УМПФ спостерігається для того ж кроку дискретизації, що є оптимальним для методу Проні. Амплітуди в експоненціальному розкладі були визначені на основі методу найменших квадратів, при цьому похибка оцінювання амплітуд менша при використанні оцінок показників експонент, ніж їхніх точних значень. Наявність затухання в експонентах тягне більші похибки в оцінках амплітуд у порівнянні з випадком відсутності затухання. УМПФ дозволяє не тільки отримати більш точні оцінки спектральних параметрів, але і отримати більш точне передбачення функції, що моделюється. Таке співвідношення спостерігається для відносно великого числа відліків, при малому числі відліків N (N10) УМПФ не мав вирішальної переваги.

Дослідження шляхів вдосконалення оцінювання спектральних параметрів методом найменших квадратів базувалося на декількох ключових ідеях: використання комплексних амплітуд для усунення щвидкоосцилюючих компонент в цільовій функції (ЦФ); побудова рекурентної схеми обчислень з нарощуванням порядку моделі (числа експоненціальних доданків у сумі); застосування загального вигляду тихонівської регуляризації відносно опорного розв'язку на одиницю меншої вимірності при розрахунку оптимальних амплітуд і відповідних ЦФ; послідовне використання сімейства вагових функцій для поетапного переходу від ЦФ з максимальним розміром області унімодальності (відстань між двома сусідніми максимумами, найближчими до глобального мінімуму) до ЦФ, що забезпечують максимальну точність оцінювання спектральних параметрів. При цьому розгляд було обмежено випадком суто уявних показників експонент.

Послідовне нарощування порядку моделі дозволило звести процедуру оптимізації у багатовимірному просторі до задачі пошуку в одновимірному просторі. Такий підхід у поєднанні з виділенням лінійної задачі по визначенню оптимальних комплексних амплітуд при довільних значеннях показників експонент дозволив отримати ефективний обчислювальний алгоритм.

Використання опорного розв'язку порядку на одиницю меншого, ніж шуканий, дозволило отримати фізично обгрунтований результат при оцінюванні амплітуд спектральних компонент у випадку їхнього зближення: одна амплітуда дорівнює істинному значенню, інша - нульовому. Такий результат важливий при чисельній реалізації методу, оскільки за наявності шуму часто спостерігається неправдиве розщеплення спектральних компонент. Тихонівська регуляризація без використання опорного розв'язку викликає отримання двох амплітуд половинного значення, тобто помилку в оцінці амплітуд і отримання неправдивого розщеплення. Зближення спектральних компонент тягне виродження відповідних матриць, що використовуються при розрахунку оптимальних амплітуд, тому використання регуляризації є необхідною умовою безаварійної роботи алгоритму. Проведений розгляд показує також, що існує межа розділювання спектральних компонент, що не може бути перевершена.

Справедливість блочного подання матриць, що використовуються, і їхня ермітовість дозволили скористуватися формулами Фробеніуса для методу обведення. Особливістю рекурентного розрахунку матриць є те, що регуляризація може бути проведена не на всіх кроках, а тільки на останніх, коли спостерігаються ефекти виродження матриць. Така можливість важлива, бо регуляризація завжди має ваду вносити деяке спотворення розв'язку і не повинна бути використана у тих випадках, коли в ній немає потреби. Разом з формулами оцінювання амплітуд були отримані вирази для ЦФ, що розраховуються для кожного етапу процедури нарощування. Означені ЦФ описують нев'язку між експериментальними даними і моделлю, вже оціненого порядку. Нарощування порядку моделі треба припиняти у тих випадках, якщо порядок моделі перевищив деяке наперед задане значення або ЦФ наблизилася до значення, що визначається рівнем шуму у даних. Перевагою методу обведення є наявність корекції амплітуд компонент, оцінених раніше, на кожному наступному кроці процедури нарощування порядку моделі.

Проаналізований вплив вагової функції (ВФ) g(x) на поведінку ЦФ і точність оцінювання спектральних параметрів. Отримані вирази для дисперсії оцінки показника експоненти. Оцінки дисперсії були отримані в припущенні -корельованості дійсної і уявної частин адитивного шуму при середньому, що дорівнює нулю. Дисперсія оцінки обернено пропорційна відношенню сигнал / шум і прямо пропорційна чиннику

X В XВ

= x2·g2(x)dx / [ ? x2·g(x)dx ]2

Xн Xн

де Xн , XВ - початкове і кінцеве значення інтервалу спостереження.

Для ВФ Хеммінга значення параметру складає 4.93/X3, що дає в 1.65 рази більше значення параметру і, отже, дисперсії, у порівнянні з відсутністю вагової обробки. Виходячи з завдання пошуку оптимуму ЦФ, необхідно забезпечити максимальний інтервал унімодальності. Якщо позначити відношення означеного інтервалу за наявності ВФ до того ж інтервалу, але у відсутність вагової обробки через , то для вікна Хеммінга =1.58. Узагальнений критерій вибору ВФ повинен водночас вести до максимуму і мінімуму .

За цим комплексним критерієм високі характеристики показало сімейство вікон Коші g(x)=[1+ (ax/X) 2]-1, що у фур'є-сполученій області описується функцією exp[-X|s|/a], де X=XВ-Xн. Вибором параметру a можна змінювати значення і у широких межах.

Оскільки спектральний аналіз методом найменших квадратів при великій відстані між спектральними компонентами зводиться до аналізу спектру, отриманого за допомогою дискретного перетворення Фур'є (ДПФ), був проаналізований алгоритм оцінювання спектральних параметрів на основі методу квадратичної інтерполяції. Отримані співвідношення для оцінок спектральних параметрів, показано, що проведення вагової обробки дозволяє істотно зменшити похибки оцінок. Проведене дослідження ВФ на основі атомарних функцій. Ці вагові функції мають велику перевагу тільки для рівня помилок оцінювання, що дорівнюють 10 %, для менших рівнів помилок ці вікна не мають переваги над традиційними.

У третьому розділі описані фізичні принципи побудови і апаратурна реалізація експериментальних установок. З метою збільшення відстані до об'єкту дослідження доцільно замість відкритого кінця хвилеводу (ВКХ) використовувати рупорну антену. Використання рупору за аналогією з ВКХ як опорного відбивача наштовхується на ряд труднощів, основна з яких є наявність двох зосереджених неоднорідностей (неоднорідність у горловині рупору і площина апертури). Аналіз випадку вимірювань амплітудної характеристики відбиття за наявності двох опорних неоднорідностей з коефіцієнтами відбиття r1 і r2, що відстоять на часові інтервали t1 і t2 від структури з комплексним КВ R(?), показує, що відповідний часовий сигнал (ЧС) містить автокореляційну функцію (АКФ) часового сигналу, відповідного КВ, взаємокореляційні функції (ВКФ) з опорними сигналами rR'(t) = F-1{r1*R(щ)exp(-jщt1)} і rR"(t) = F-1{r2*R(щ)exp(-jщt2)}.

Щоб взаємокореляційні функції rR'(t) і rR"(t) не перекривалися між собою необхідно виконання умови: часовий інтервал¦t1-t2¦ повинен бути більше тривалості імпульсної характеристики об'єкту, що досліджується (принаймні, найбільш інформативної значущої її частини). Так же, як і для випадку однієї опорної неоднорідності, необхідно, щоб час проходження сигналу від опорної неоднорідності, найближчої досліджуваній структурі, до цієї структури був більше часу проходження хвилі у самій структурі. У цьому випадку АКФ не накладається на ВКФ. Для дослідження ЧС структури в принципі може бути використана як ВКФ rR'(t), так і rR"(t). Ситуація спрощується, якщо використовується одна з них, що домінує, зокрема rR'(t), тоді умову для інтервалів часу треба виконувати тільки для опорної неоднорідності з r1. Це може спостерігатися для рупорів достатньо великої довжини з великими розмірами апертури, у цьому випадку можлива ситуація, коли відбиття в апертурі істотно менше значення відбиття у горловині рупору. Застосування рупорної антени замість ВКХ дозволяє проводити вимірювання на більших відстанях, при цьому важливим є вибір довжини рупору, що перевищує електричну товщину структури, що досліджується. Описаний підхід є аналогом фур'є-голографії, а умова для інтервалів часу (електричних відстаней) представляє аналог умов у схемі голографії Лейта-Упатнієкса.

Принципи отримання ЧС з квадрату модуля суми досліджуваного КВ і суми опорних сигналів були покладені в основу створення вимірювально-обчислювальних комплексів (ВОК) РИМЧ-02, 03, 05. В ВОК РИМЧ-02,03 як опорний сигнал було використано відбиття від ВКХ з фланцем. На базі РИМЧ-01 був створений ВОК РИМЧ-05 з використанням двох рупорних випромінювачів з розмірами 46,547 мм довжиною 99,5 мм і 81,2587,65 мм довжиною 201 мм. РИМЧ-01, 05 працюють у діапазоні 17,4 - 25,9 ГГц, а РИМЧ-02, 03 - у діапазоні 26,0 - 37,5 ГГц. ВОК РИМЧ-03 забезпечує проведення вимірів за 6 с на відміну від РИМЧ-01, 02, в яких час вимірів складає 4 хв. ВОК РИМЧ-03 був розроблений спільно з ІРЕ РАН і ЦНДІСМ (м. Хотьково). Первинні НВЧ перетворювачі в означених ВОК базуються на рефлектометричній схемі вимірів КВ. Для РИМЧ-02 і РИМЧ-03 тривалість піка синтезованого ЧС за рівнем 3 дБ склала порядку 80 і 130 пс на відміну від 100 пс для РИМЧ-01. Більша тривалість піка для РИМЧ-03 зумовлена похибками установлення частоти. Для вірного встановлення частоти було використано поліноміальну модель четвертого порядку залежності частоти від керуючої напруги. Для ВОК РИМЧ-01 і РИМЧ-02 була експериментально забезпечена локалізація неоднорідностей з середньоквадратичним відхиленням в 0,6 і 0,2 мм відповідно, при цьому середньоквадратичні відхилення оцінок коефіцієнта відбиття склали 0,00035 і 0,0002.

Проведення вимірів на дискретній сітці частот обумовлює періодичну повторюваність синтезованих імпульсів, при цьому максимальна еквівалентна відстань для РИМЧ-01,02,05 складає 750 мм (ступінь дискретизації за частотою 100 МГц), а для РИМЧ-03 - 635 мм (100 точок відліку у смузі 26,0-37,5 ГГц). Типова відстань до об'єкту, що досліджується, лежала в межах від 10 до 15 cм для ВОК РИМЧ-01-03 і 20 - 50 см для ВОК РИМЧ-05.

Використання рупорної антени дозволило збільшити відстань до контрольованого об'єкту без зниження чутливості, що підтверджене результатами експериментальних досліджень шарів пінопласту з 1,05 - 1,07 і 1,15 - 1,17, розміщених на відстані 40 - 50 см.

Розроблений підхід був реалізований також у діапазоні 126,6 - 145,4 ГГц з використанням генератора Г4-161 і рупорної антени довжиною 50 мм з розмірами апертури 2126 мм. Тривалість синтезованих імпульсів складала порядку 45 пс. В цьому випадку неможливо було використовувати випромінювач у виді ВКХ внаслідок резонансних явищ на фланцях. Наявність багатьох сполучень хвилеводів є чинником декількох опорних неоднорідностей, що ускладнює експериментальну ситуацію.

Усунення впливу сигналів кінцевої спрямованості на корисний сигнал в рефлектометричній схемі при наявності декількох опорних неоднорідностей в рупорі, як і у випадку використовування ВКХ, забезпечується розподіленням їх поза часовим інтервалом, в якому розміщені інформативні піки. Останнє забезпечується правильною апаратурною реалізацією, вибором відстані від апертури до досліджуваної структури і проведенням віднімання виміряного опорного сигналу з сигналу, виміряного за наявності об'єкту, що досліджується.

Відхід рівня калібровки веде до появи постійної (або, що поволі міняється) складової в частотній залежності. Така компонента похибки призводить до появи в часовій області піка в початку координат, що не компенсується відніманням опорного сигналу. Наявність такого піка спостерігалася у низці експериментів і вимагала перекалібровки.

Таким чином, традиційні для одночастотної рефлектометрії компоненти детермінованої похибки практично не впливають на точностні характеристики методу синтезування ЧС з квадрату частотної залежності суми опорних і досліджуваних сигналів. Таким чином, можливе отримання сигналу практично вільного від детермінованої похибки, однак необхідність проведення двох серій вимірів на одній і тій же сітці дискретних частот тягне зростання впливу випадкової компоненти похибки.

При визначенні локальності вимірів лист металу розміщували на фіксованих відстанях z0 і переміщували відносно центру плями електромагнітного випромінювання, що падає на зразок, перпендикулярно напрямку розповсюдження електромагнітної хвилі на відстань h від краю зразка. Експериментальні дослідження дозволили оцінити локальність вимірювань (фронтальну розподілювальну здатність) випромінювача у вигляді відкритого кінця хвилеводу перетином 7,23,4 мм, виходячи з виразу 0.5z0 см.

При визначенні можливих меж зміни орієнтації зразків за азимутальним кутом досліджувані структури розміщували на відстанях 5 і 10 см, а їхня орієнтація змінювалася у межах значень азимутального куту від 0° до 45°, що відповідало зміні куту падіння електромагнітної хвилі на поверхню зразка в тих же межах. Результати експериментів показали, що при відхиленні куту падіння на структуру від нормального в межах 5° додаткова похибка визначення шуканих параметрів не перевищувала основну. В обох серіях вимірювань про точність вимірів судили за зміною амплітуд піків ЧС і оцінками товщини структури.

Значення відстаней для рупорної антени для ВОК РИМЧ-05 складали 18, 30 і 40 см. У даному випадку розмір перехідної зони між областями, де амплітуди піків, відповідних відбиттю від об'єкту, співпадають з амплітудою відбиття при опромінюванні центральної зони листа та зникаюче малі, як при випромінюванні у вільний простір, не залежав прямо пропорційно від відстані між площиною апертури та металевим дзеркалом. По суті розмір цієї зони практично зберігає своє значення і складає порядку 10 см, що і може бути прийняте як оцінку області контролю. Це зумовлено тією обставиною, що на відміну від ВКХ виміри в цьому випадку було проведено у ближній зоні випромінювання.

Необхідність проведення двох серій вимірювань (для структури, що досліджується, і опорної неоднорідності) з наступним відніманням веде до зростання випадкової компоненти похибки, тому доцільна модифікація первинного НВЧ перетворювача з тим, щоб він водночас проводив всі означені операції. Рефлектометр-перемножувач на основі подвійного хвилеводного трійника дозволяє виключити необхідність двох серій вимірювань: за наявності тільки опорної неоднорідності і за наявності досліджуваної структури. Така схема дозволяє також послабити вимоги на вибір інтервалів часу.

Принцип фур'є-голографії може бути реалізований у схемі рефлектометра на основі металодіелектричних хвилеводів за умови заміни узгодженого навантаження на еталонне і включення на виході рефлектометра додаткового відрізка металодіелектричного хвилеводу з довжиною, що перевищує електричну товщину структури, яка досліджується.

В усіх 12-полюсних вимірниках, по суті, реалізується принцип голографії з трьома опорними дільницями. Такий розгляд дозволив замість системи 3-х квадратних рівнянь побудувати систему двох лінійних рівнянь з матрицею B, аналогічну тій, яку звичайно одержують під час реалізації означеного виду голографічного запису. Однак було необхідно додатково проводити домножування на модулі елементів матриці розсіювання.

Порівняння схем може бути проведене на основі аналізу числа обумовленості системи лінійних рівнянь. Число обумовленості cond матриці B може бути обчислене стандартним чином як відношення максимального власного числа до мінімального. Проведені чисельні експерименти показали, що розв'язок системи лінійних рівнянь методом найменших квадратів з точністю до похибок обчислень співпадає з розв'язком, отриманим згідно відомому методу радикального центру. Лінійна система припускає проведення регуляризації стандартним методом, зокрема з застосуванням регуляризації за Тихоновим. Класичним методом пошуку значення параметру регуляризації є метод узагальненої нев'язки. Реально оцінити необхідні параметри з теоретичних представлень вкрай важко, тому доцільно їх визначати з калібрувальних процедур за наявності трьох незалежних калібрувальних навантажень.

Використання 12-полюсного рефлектометра на основі Е-площинного хрестоподібного сполучення стандартних хвилеводів, розробленого В. А. Карловим, показало, що при вимірі малих КВ вибір стандартного калібрувального навантаження з близькими параметрами дозволяє визначити оптимальне значення параметру регуляризації, аналогічна процедура для більших значень КВ у загальному випадку не може давати позитивний результат. Використання короткозамикаючої пластини як еталону для проведення вимірювань з рухомим короткозамикаючим поршнем не дало позитивних результатів, що знайшло обгрунтування при аналізі складових рівняння методу узагальненої нев'язки. Система лінійних рівнянь дозволяє побудувати розв'язок, що мінімізує середньоквадратичну помилку (матричний вінеровський фільтр). Розроблений підхід дозволив проаналізувати класичні схеми, зокрема для чотирьохзондового вимірювача число зумовленості дорівнює: при фазовому зсуві між зондовими секціями, що дорівнює /4, - 1, при фазовому зсуві в /6 - 1.155.

У 8-ми міліметровому діапазоні довжин хвиль був реалізований вимірювально-обчислювальний комплекс РИМЧ-04 для виміру комплексних КВ. Він також передбачав аналіз даних багаточастотних вимірювань в часовій області на основі дискретного перетворення Фур'є. Базовим елементом стало чотирьохплечове хрестоподібне сполучення хвилеводів перетином 7,23,4 мм. Перехід у часову область дозволив виділяти неоднорідності з КВ, що дорівнює 0,005 (середньоквадратичне відхилення 0,001, зміщення оцінки місцеположення менші 0,3 мм). Включення додаткових відрізків хвилеводу довжиною 25, 50, 200 мм викликало зміщення відповідних піків на 23,5, 48,5 і 196,1 мм, флуктуації оцінок амплітуди не перевищували 0,001. При вимірюванні зразків у вільному просторі при накопичуванні за 20 реалізаціями середньоквадратичне відхилення склало 0,5 мм, що гірше, ніж у РИМЧ-02, працюючому у тому ж діапазоні частот.

При вимірюванні у вільному просторі оцінки місцеположень меж розділу шаруватих структур, металу були менше 1 мм. При вимірюванні у вільному просторі використовувався пірамідальний рупор довжиною 56 мм і розмірами апертури 4030 мм. Дослідження меж можливої зміни орієнтації зразка за азимутальним кутом показало, що при зміні відстані z0 від площини апертури до зразка у межах від 5 до 10 см додаткова похибка не перевищує основну при відхиленні кута падіння від нормального менш +5є.

З практичної точки зору доцільно схему вимірів будувати таким чином, щоб відбивання від технологічних об'єктів не формували піків ЧС поблизу до ВКФ, тоді останню можна було б виділити часовим вікном, форма якого співпадає з формою частотної характеристики смугово-пропускаючого фільтру. Серед рекурсивних фільтрів Чебишова першого роду і Баттерворта більш прийнятними виявилися характеристики останнього. Якщо піки, відповідні відбиттям від меж розділу, спостерігаються у ВКФ роздільно, то доцільне застосування вагової обробки у частотній області, де проводяться виміри. Остання операція дозволяє зменшити вплив один на одного сусідніх піків, і таким чином поліпшити виділення інформативних сигналів. Використання ВКФ призводить до обробки сигналів, що отримано як результат добутку КВ і опорного сигналу, така операція є чинником деякого спотворення відновленої частотної залежності КВ.

Виходячи з вигляду експериментальних частотних характеристик ясно, що модуль КВ може бути отриманий шляхом оберненого фур'є-перетворення АКФ, тобто шляхом застосування часового вікна, яке збігається за формою з фільтром нижніх частот. Послідовність операцій передбачає розрахунок квадратного кореню. В цьому випадку не спостерігається спотворення відновленої частотної залежності КВ. Проведений розгляд показує, що в багатьох випадках доцільне отримання модуля з АКФ, а фазочастотної характеристики з ВКФ. Між тим в часовому інтервалі, де зосереджена АКФ, можуть спостерігатися сигнали, обумовлені іншими відбивачами, тому експериментальні умови мають бути виконані ретельно. Калібровка передбачає ділення відновленої частотної характеристики структури на відновлену частотну характеристику відбиття від листа металу, модуль КВ якого приймається рівним одиниці, а фаза -.

Дієздатність підходу була перевірена на одношарових структурах з оргскла, трьохшарових структурах: оргскло-повітря-оргскло. При значеннях параметрів =2,67, tgд=0,007, d=40,15 мм був отриманий хороший збіг експериментальних і модельних залежностей. Наведено також результати застосування відпрацьованого підходу для неруйнуючого контролю структури склопластик-гума, що знайшла застосування у відповідальних конструкціях ракетної техніки.

Розділ 4 присвячений базовій задачі радіофізики шаруватих структур - відновленню одновимірного профілю за даними багаточастотних вимірів при однопозиційному розташуванні антени. Для означеної задачі був використаний метод квазірозв'язку, що зводиться до пошуку мінімуму функціоналу (МФ) нев'язки між моделлю і експериментальними даними. Цей підхід є потужним методом для випадку складних моделей, зокрема нелінійних, коли неможливо безпосередньо використати обернений оператор задачі, що розглядають, а також, коли із-за присутності шуму дані, що аналізуються, виходять за межі області значень модельованої прямої задачі. Важливим є можливість побудови квазірозв'язку і для випадку неповної адекватності моделі і експериментальної ситуації. Вигляд МФ істотно спрощується при використанні адитивних представлень для КВ, що знайшли застосування для отримання явного вигляду ЧС. При цьому у модель входять ефективні КВ меж розділу, що не співпадають з КВ Френеля.

Традиційно для побудови МФ R вибирають квадратичний функціонал. Принципові питання поведінки МФ були досліджені для випадку нескінченої безперервної смуги частот вимірювань. Залежність МФ однієї межі розділу від при фіксованій електричній товщині шару (місцезнаходженні меж розділу) має гладкий вигляд, тому що у даному випадку величина визначає лише величину амплітуди піків у часовому поданні КВ, але ніяким чином не впливає на їхнє місцеположення. Гладкий вигляд залежності МФ від дозволяє значно знизити вимоги до вибору початкового наближення за для визначення параметрів структури із застосуванням методів оптимізації.

Аналіз МФ для КВ у плоскохвильовому наближенні показав, що поряд з глобальним мінімумом існує нескінченна серія ?-подібних локальних мінімумів. Звідси слідує, що для отримання меншої кількості мінімумів доцільно в виді моделі для структури (навіть у тому випадку, якщо вона справді описується плоскохвильовим наближенням) брати функцію Rexp(-j??), тобто модель, відповідну всього одному відбиттю (наявності одної межі розділу) і послідовно застосовувати для побудови МФ кожної додаткової межі розділу, а не всієї структури в цілому.

У координатах ? та Di=еidi=фic вісь яру МФ, що минає через глобальний мінімум, розташовується на прямих, паралельних цим осям координат, що декілька спрощує роботу алгоритмів оптимізації, дозволяє використати покоординатні методи. Таке подання показує, що розв'язок поставленої задачі доцільно проводити з використанням поняття про власні часи структури ?i, що являють собою форму узагальнених власних частот досліджуваного об'єкту.

З урахуванням ізометричності квадратичної норми по відношенню до перетворення Фур'є значення МФ зберігається при переході з частотної в часову область. Мінімізація функціоналу в часовій області за наявності даних в нескінченній безперервній смузі частот, коли піки ЧС мають ?-подібний вигляд, зводиться просто до послідовного знаходження місцеположень та амплітуд максимальних піків ЧС.

Для практики НВЧ вимірів характерно проведення вимірювань на сітці дискретних частот у смузі частот від ?Н до ?В, причому як ?В, так і ?Н належать НВЧ діапазону. Принципові особливості поведінки МФ були вивчені для безперервної смуги частот. Скінченність смуги частот вимірювань призводить до наявності у МФ швидкоосцілюючого заповнення, частота якого залежить від середньої частоти смуги вимірювань ?0. Таким чином, чим в більш короткохвильовому діапазоні проводяться вимірювання, тим більш точне завдання початкового наближення вимагається. Розгляд МФ в часовій області явним чином показує неминучість наявності означеної компоненти. Проводячи аналогію з методом синтезування обвідної радіоімпульсу за допомогою поняття про аналітичний сигнал, високочастотне заповнення може бути усунене аналогічним чином.

Використання тільки квадратурних компонент частотної залежності КВ або його модуля зумовлює появу додаткових компонент у ЧС, а значить, зростання кількості мінімумів у МФ. Використання не квадрату модуля, а першої степені призводить ще до додаткового зростання числа піків часового сигналу і мінімумів МФ. При електричних товщинах шарів, порівняних з областю унімодальності, МФ для квадрату модуля істотно відрізняються від МФ для комплексного КВ за рахунок появи додаткових екстремумів у межах основного пелюстка МФ, що призводить до ускладнення пошуку оцінок параметрів та більших помилок за наявності шуму. Таким чином, висновок про еквівалентність інформації про комплексний КВ та про його модуль для єдиності розв'язку оберненої задачі, що використовувався у роботах В.Б.Гласко та Ю.І.Худака, для "тонких" структур несправедливий. Усе це зумовлює переваги (при інших рівних умовах) значень комплексного КВ.

При визначенні фазочастотної характеристики (ФЧХ) у вигляді періодичної функції МФ для неї навіть у випадку однієї межі розділу містить нескінченно велику кількість мінімумів, хоча МФ для комплексних КВ містить у цьому випадку всього один глобальний мінімум. МФ для ФЧХ містить побічні мінімуми, найближчі до глобального, що мають глибину, порівняну з глибиною глобального мінімуму.

Побудова МФ у часовій області для комплексних ЧС в усіх випадках дасть МФ, який повністю збігається з МФ, побудованим для частотної залежності комплексного КВ, що є природним наслідком ізометричності квадратичної метрики. При використанні інформації тільки про обвідну часового сигналу (тобто про квадрат модуля ЧС) МФ зазнає змін. У МФ буде відсутнє швидкоосцилююче заповнення, однак буде присутній додатковий член, що видозмінює форму глобального мінімуму. Ще одна компонента виявляє згладжуючий вплив на бокові локальні мінімуми. При синтезі МФ з квадратурних компонент комплексного ЧС він має вигляд аналогічний тому, що одержують при використанні комплексного ЧС. Остання властивість слідує з того, що квадратурні компоненти чинного часового сигналу не є незалежними, а мають зв'язок через перетворення Гільберта, тому квадратурні компоненти такі ж інформативні, як комплексний ЧС.

З ізометричності квадратичної метрики для частотного і часового представлення слідує, що при дискретному завданні КВ з кроком ?? МФ буде мати періодичність з періодом T=2/Дщ, тобто глобальний мінімум МФ для однієї межі розділу буде спостерігатися як для ?=?, де и - істинне місцеположення межі розділу, так і для ? =и+2рn/Дщ.

На основі властивостей матриць, які використовуються для побудови МФ, доведено, що задача пошуку мінімуму може бути замінена на задачу пошуку максимуму відповідної цільової функції. Функція, що підлягає максимізації, є кореляційна функція виміряного і модельного сигналів. Таким чином, розглянутий підхід є варіант кореляційного розпізнавання у випадку, коли еталонні сигнали не зберігаються, а формуються згідно з моделлю.

Далі викладені алгоритми пошуку квазірозв'язку. Можливість відмови від пошуку глобального мінімуму(максимуму) з метою істотного скорочення обчислювальних затрат і застосування лише стандартних методів пошуку локального екстремуму базується на двох підходах. По-перше, шляхом використання комплексних амплітуд та вагових функцій вдається істотно поширити область унімодальності цільової функції, що містить глобальний екстремум; по-друге, вибір початкового наближення, достатньо близького до шуканого квазірозв'язку, вирішальним чином визначає можливість успішного знаходження глобального екстремуму методами локального пошуку. Розширення області унімодальності призводить до зростання дисперсії оцінки параметрів, тому на заключному етапі уточнення значень динамічних змінних доцільно повернутися до цільової функції (ЦФ) з дійсними значеннями амплітуд. Така стратегія зумовила можливість використання методу оптимізації нульового порядку.

Для зниження вимірності проблеми нелінійної оптимізації у ЦФ виділялась лінійна задача пошуку оптимальних амплітуд, що дозволило у три рази знизити число параметрів ЦФ (якщо вважати, що комплекснозначна амплітуда входить до ЦФ як два параметри). При цьому обчислення ЦФ припускає розв'язок у ході обчислень лінійної задачі для амплітуд. Найбільш досконалим є алгоритм на основі спектрального аналізу методом найменших квадратів з послідовним нарощуванням порядку моделі, що розвинутий у розділі 2. Остаточним етапом є перехід від динамічних змінних до значень геометричних товщин шарів та ефективних значень . У початковому варіанті алгоритм не передбачає врахування перевідбивань, тому була розвинута модифікація алгоритму по врахуванню малих перевідбивань, коли достатньо враховувати одне або два перевідбивання. Це важливо для випадків “тонких” шарів, або для значних . В цих випадках урахування перевідбивань дозволяє підвищити точність оцінювання параметрів.