Нові класи рухів систем гіроскопів Лагранжа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

01.02.01 -- Теоретична механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Нові класи рухів систем гіроскопів Лагранжа

Чебанов Дмитро Олександрович

Донецьк -- 1998

Дисертацію рукопис.

Робота виконана в інституті прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк.

Науковий керівник:

член-кор. НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор Савченко Олексій Якович, Державна податкова адміністрація України, заступник голови

Офіційні опоненти:

член-кор. НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор Харламов Павло Васильович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, зав. відділом прикладної механіки;

кандидат фіз.-мат. наук, доцент Коваль Віктор Іванович, Донбаська державна академія будівництва та архітектури, доцент кафедри вищої математики

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, м. Київ, відділ динаміки і стійкості багатовимірних систем

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 340114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради А.І. Марковський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Динаміка систем зв'язаних твердих тіл (СЗТТ) є одним із розділів аналітичної механіки, який найбільш користується попитом у теперішній час. Інтерес до систем абсолютно твердих тіл, зв'язаних між собою різними типами з'єднань з голономними і неголономними, стаціонарними і нестаціонарними в'язями, викликаний широким використанням цієї математичної моделі при розгляданні великої кількості різноманітних задач механіки живих організмів, неживої природи та сучасної техніки. Зокрема, це стосується навігаційних приладів, гіростатів, маніпуляторів, центрифуг, тіл, що обертаються на струні або струнному підвісі. Модель СЗТТ з успіхом використовується для розв'язання складних задач динаміки космічних апаратів, наприклад, супутників з подвійним обертанням та рухомими елементами.

Відносно нещодавно було виявлено ще один аспект прикладного використання СЗТТ, пов'язаний з дослідженням динамічних властивостей стержньових систем, що моделюють такі технічні об'єкти, як ракети, вали, що обертаються, кінетичні збирачі енергії та інші. Використання нових матеріалів, які допускають значні прогини, для конструювання сучасних технічних приладів призвело до необхідності урахування їх пружних властивостей. Задачі, що раніше розв'язувалися з використанням моделі абсолютно твердого тіла, зараз потребують іншої, більш гнучкої фізичної постановки моделі об'єкта, яка враховує кутові переміщення його складових частин, оскільки нові властивості матеріалів стали чинити істотний вплив на його рух. Одним з прийнятних способів урахування податливості таких об'єктів виявляється їх моделювання за допомогою СЗТТ. Заміна систем з розподіленими параметрами, аналіз динамічних властивостей яких зробити дуже важко через складність їх математичного опису, системами твердих тіл, дозволяє з достатньою точністю визначити всі необхідні характеристики систем, що досліджуються.

Практичне значення СЗТТ визначає низку актуальних наукових напрямків. Серед них центральне місце займає задача про рух СЗТТ з нерухомою точкою. Задача про рух навіть двох зв'язаних твердих тіл виявляється значно складнішою від більш ніж двохсотрічної класичної задачі про рух важкого твердого тіла навколо нерухомої точки. Однак, вдається з успіхом розв'язувати задачі, пов'язані з вивченням рухів об'єктів, що моделюються СЗТТ. Розв'язання цих задач поєднано з такими прізвищами, як О.О. Богоявленський, Й. Віттенбург, О.Ю. Ішлінський, Д.М. Клімов, В.М. Кошляков, Д.М. Меркін, М.Ю. Лесіна, Л. Лілов, О.І. Лур'є, В.В. Румянцев, О.Я. Савченко, В.А. Стороженко, М.Є. Темченко, П.В. Харламов, М.Г. Четаєв та ін.

При розгляді задач про рух СЗТТ дослідники намагаються для спрощення аналізу повністю використовувати специфічні особливості об'єктів, що вивчаються, та режимів їх роботи. У цьому зв'язку одним з напрямків розвитку теорії СЗТТ є пошук найбільш раціональних форм рівнянь руху СЗТТ, пристосованих до повного аналізу характеристик моделі.

Наступним важливим кроком досліджень є знаходження точних розв'язків отриманих рівнянь. Побудова точних розв'язків рівнянь руху СЗТТ є складною через високий порядок системи диференціальних рівнянь, відсутність відповідного математичного апарату та ефективних методів, що дозволяють знайти розв'язки в явному вигляді. Тому суттєвих результатів в цій області не так багато. Головним чином вони пов'язані з побудовою стаціонарних розв'язків, що мають важливе прикладне значення, або з побудовою розв'язків систем двох твердих тіл спеціального вигляду та з'єднання. В цьому зв'язку актуальним представляється пошук нових класів точних розв'язків систем n зв'язаних твердих тіл, оскільки вони спроможні зробити більш зрозумілими характерні особливості поведінки моделі в цілому (наприклад, для моделей стержньових конструкцій) та можуть послужити у якості породних для дослідження руху механічної системи в їх околі.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження по дисертації проводились згідно з Планами наукових досліджень вiддiлів прикладної та технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України: на 1990-1995 роки по держбюджетній темі -- 01900018561 -- “Розробка математичних моделей складних механічних систем і методів їх дослідження із застосуванням до задач машинобудування” та на 1996-2000 роки по держбюджетній темі -- 0196U002837 -- “Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем стійкості, керування та динаміки взаємодіючих тіл”, які виконувалися відповідно до постанов Президії НАН України; а також у 1997-1998 роках у рамках проекту 1.4/155 “Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем динаміки СЗТТ” Державного фонду фундаментальних досліджень Міністерства України у справах науки та технологій.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи і побудова нових класів точних розв'язків задач про рух систем гіроскопів Лагранжа невільного та напівзамкненого типів.

Для досягнення мети вирішуються наступні задачі:

1) вибір змінних, які описують положення досліджуваних механічних об'єктів у інерціальному просторі; одержання рівнянь руху об'єктів у таких змінних;

2) знаходження та дослідження умов існування заданих класів точних розв'язків цих диференціальних рівнянь;

3) знаходження залежності змінних задачі від часу.

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями:

1) Вперше отримано рівняння руху невільної системи n важких гіроскопів Лагранжа , з'єднаних у точках своїх осей симетрії ідеальними сферичними шарнірами, при цьому положення тіл -- довільна підмножина множини N) відносно нерухомого в інерціальному просторі базису визначаються кутами Ейлера, а положення інших тіл -- кутами Крилова.

2) Побудовано новий клас точних розв'язків таких рівнянь. Йому відповідають рухи зв'язки гіроскопів, при яких вісі симетрії усіх тіл системи залишаються в одній вертикальній площині; до того ж вісі гіроскопів з індексами із підмножини M відхилені по різні боки від вертикалі, зберігаючи рівними кути нутації, а вісі тіл з індексами із підмножини K колінеарні у весь час руху вектору вертикалі. Зазначений клас узагальнює більшу кількість відомих на цей час нестаціонарних розв'язків задачі про рух невільної системи гіроскопів Лагранжа. Зокрема, він містить у собі задачу про існування подібних рухів, яка отримується з даної при M=N, а також задачу про рівномірні обертання системи гіроскопів навколо вертикалі, яка випливає з даної при Знайдено залежність основних змінних задачі від часу.

3) Вперше одержано необхідні умови існування рухів цієї механічної системи, при яких вісі симетрії гіроскопів з індексами із підмножини K колінеарні у весь час руху вектору вертикалі, а тіла з індексами із підмножини M рухаються довільно.

4) Побудовано новий клас точних розв'язків рівнянь руху системи n важких гіроскопів Лагранжа напівзамкненого типу. Він описує рухи такої системи, при яких всі тіла, крім одного, рухаються подібно одне одному. Вивчені достатні умови існування цих рухів. Задачу зведено до квадратур.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають в основному теоретичний характер. Вони можуть бути використанi для з'ясування характеру руху механічної системи в околі стаціонарних рухів, які містяться в знайдених розв'язках, для дослідження більш широкого класу рухів в околі отриманих рухів, а також для вивчення iнших динамiчних властивостей систем гіроскопiв Лагранжа. Результати дисертації орієнтовані на їх використання у побудові сучасних технічних конструкцій та при розробці методів їх керування.

Апробація результатів дисертації. Основні наукові результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

-- Міжнародній конференції "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", Донецьк, 2-6 вересня 1996 р.;

-- Третій Кримській Міжнародній Математичній школі, секція I "Метод функций Ляпунова и его приложения", Алушта, 16-23 вересня 1996 р.;

-- XXII Yugoslav Congress of Theoretical and Applied Mechanics, YUCTAM, Vrnjacka Banja, Yugoslavia, 2-7 June 1997;

-- Міжнародній конференції "Математика в индустрии",Таганрог,29 червня--3 липня 1998 р.;

-- International Congress of Mathematicians (ICM-98), Berlin, August 18-27, 1998;

-- Семінарах вiддiлів прикладної та технічної механіки ІПММ НАН України (Донецьк, кер. член-кор. НАН України П.В. Харламов), 1994 -- 1998.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 6 друкованих праць, в тому числі 3 в статтях наукових журналів, 2 у матеріалах міжнародних конференцій, 1 у збірнику праць.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 136 сторінках та складається із вступу, 4 розділів, висновків, списку використаних джерел із 95 найменувань на 10 сторінках та додатка на 14 сторінках, містить в собі 12 ілюстрацій.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовується актуальність даної роботи, формулюється мета і основні задачі досліджень, викладається наукова новизна і практична цінність роботи, наводяться відомості про апробацію результатів роботи.

В першому розділі подається огляд робіт, які мають відношення до теми дисертації, окреслюються основні етапи розвитку наукової думки у таких галузях теорії СЗТТ, як пошук різних форм рівнянь руху СЗТТ та знаходження точних розв'язків здобутих рівнянь.

Впроваджуються в розгляд механічні об'єкти, які будуть вивчатися у наступних розділах дисертації. Розглядається система n важких гіроскопів Лагранжа , з'єднаних між собою у точках своїх осей симетрії ідеальними сферичними шарнірами. Якщо тіло має нерухому в інерціальному просторі точку, то ця система зветься невільною. Якщо ж деяка точка у тілі та деяка точка у тілі рухаються у просторі за заданими законами руху, то кажуть, що така система належить до систем напівзамкненого типу. Зокрема, до них належить система гіроскопів, у якої точка тіла нерухома, а точка тіла рухається уздовж вертикалі, що проходить через нерухому точку тіла . Ця система тіл напівзамкненого типу і вивчається у даній дисертації.

О.Я. Савченко та М.Ю. Лесіна вперше побудували нестаціонарний точний розв'язок рівнянь руху невільної системи n гіроскопів Лагранжа. Йому відповідають рухи системи, при яких кути нутації та прецесії, що визначають положення осей симетрії тіл в інерціальному просторі, однакові. Тому вісі усіх гіроскопів належать до однієї прямої, а система в цілому рухається як одне тверде тіло з тою лише різницею, що кожен гіроскоп обертається навколо своєї осі симетрії зі своєю кутовою швидкістю. Пізніше П.В. Харламов установив існування більш загального класу рухів, коли вісі симетрії гіроскопів залишаються в одній вертикальній площині, але у загальному випадку відхиляються по різні боки від вертикалі так, щоб кути нутації усіх тіл були рівними між собою і відмінними від нуля. Тіла системи рухаються при цьому подібно одне одному. У такому разі поза колом розгляду залишились випадки, коли кути нутації деяких тіл системи дорівнюють нулю. Ці випадки, а також питання щодо існування рухів систем напівзамкненого типу, які узагальнюють подібні рухи, і вивчені у цій дисертації.

В другому розділі викладено загальну методику дисертаційних досліджень, яка складається з традиційних заходів аналітичної динаміки знаходження точних розв'язків рівнянь руху механічних об'єктів.

Після раціонального вибору змінних, які описують положення механічної системи, що вивчається, відносно інерціального простору, записують у цих змінних рівняння руху об'єкту, що досліджується.

Далі режим руху механічної системи, який мають намір знайти, описують математичними методами. В результаті виникають залежності, які зв'язують між собою невідомі величини, що входять до рівнянь руху цієї системи. Таким чином, механічну задачу про встановлення різних типів рухів об'єкту, що рухається, зведено до математичної задачі про існування у системи диференціальних рівнянь точних розв'язків з відомою структурою.

Для розв'язання останньої задачі використано напівобернений метод, який полягає у наступному. Якщо із співвідношень, що задають структуру розв'язку, можливо виразити деякі невідомі, то їх виключають із системи рівнянь руху механічного об'єкту. Тоді ця система стає переозначеною. У разі, коли можуть бути знайдені умови сумісності отриманої переозначеної системи та доведена можливість їх розв'язання, то, з одного боку, після інтегрування системи диференціальних рівнянь, що отримується у даному випадку, знаходяться залежності змінних задачі від часу, а, з другого боку, при розв'язанні одержаних умов існування розв'язків, які вивчаються, встановлюються обмеження на механічні параметри, що характеризують розподіл мас у тілах, способи їх з'єднання та конфігурацію системи гіроскопів. гіроскоп лагранж механічний інерціальний

До недоліків напівоберненого методу треба віднести відсутність універсальних та ефективних методів знаходження умов сумісності переозначених систем диференціальних рівнянь. Тому дуже важливо вдало обрати змінні задачі, щоб структура розв'язку, який вивчається, прийняла найбільш простий вигляд, а переозначена система виявилась доступною до дослідження, що дозволило б знайти умови ії сумісності.

Викладена методика була використана П.В. Харламовим при побудові точних розв'язків задачі про подібні рухи невільної системи гіроскопів Лагранжа. Вона застосовується в наступних розділах дисертації для знаходження нових класів розв'язків рівнянь руху систем гіроскопів Лагранжа.

В розділі 3 доведено, що система важких гіроскопів Лагранжа невільного типу допускає рухи, при яких вісі симетрії деяких тіл залишаються колінеарними до вектора вертикалі у весь час руху, а інші тіла рухаються подібно одне одному.

Множина індексів тіл системи розбивається на дві довільні підмножини M та K: Положення тіл відносно інерціального простору визначають кути Ейлера а положення тіл -- кути Крилова Одержано рівняння руху механічної системи, що вивчається, відносно цих узагальнених координат.

Отримано необхідні умови існування рухів системи, при яких вісі симетрії тіл з індексами із підмножини K колінеарні до вектора вертикалі, а інші гіроскопи рухаються довільно. З цих умов випливає, що тіла можуть лише рівномірно обертатися навколо вертикалі із довільними швидкостями.

Вивчено питання про існування класу точних розв'язків рівнянь руху системи гіроскопів, який має структуру:

(1)

де -- деякі функції часу, які треба визначити.

Він узагальнює клас подібних рухів на випадок, коли вісі симетрії тіл з індексами із підмножини K колінеарні до вектора вертикалі. Після підстановки (1) в рівняння руху системи тіл отримано переозначену систему диференціальних рівнянь:

(2)

Умови сумісності системи співвідношень (2) мають вигляд:

(3)

де -- найбільший індекс із підмножини M.

При система (2) та рівності (3) означають умови існування подібних рухів системи тіл

Доведено, якщо у випадку n тіл є відомий спосіб з'єднання гіроскопів, то умови (3) можуть бути розв'язані відносно параметрів, які задають розподіл мас у тілах. При цьому виявляється, що на відміну від класу подібних рухів, сумісність умов (3) залежить від конфігурації системи тіл. Так, зв'язка гіроскопів, у якої індекси одного або кількох перших (від нерухомої точки) тіл належать до підмножини K, а вісі симетрії гіроскопів розташовуються уздовж паралельних прямих, не припускає рухів форми (1). Навпаки, якщо у цьому випадку вісі тіл відхиляються по різні боки від вертикалі, то наявність у зв'язці кількох перших гіроскопів з індексами із підмножини K аж ніяк не впливає на існування рухів (1). Обернену задачу -- визначити можливі способи з'єднання гіроскопів, якщо відомо їх розподіл мас -- розв'язано у випадку трьох тіл.

Якщо умови (3) сумісні, то із (2) маємо систему диференціальних рівнянь відносно яку зведено до квадратур:

Показано, що в разі, коли вісі тіл не належать до паралельних прямих, центр мас системи залишається на вертикалі, яка проходить через нерухому точку.

Доведено, що якщо гіроскоп з індексом із підмножини M закріплено у центрі мас збільшеного тіла яке отримується за допомогою додання до тіла точкової маси то для існування рухів (1) треба, щоб усі інші тіла також були підвішені у центрах мас їх збільшених тіл. При цьому будь-яке тіло відносно системи координат, яка поступово переміщується разом із точкою його підвісу, здійснює або рівномірне обертання навколо своєї осі симетрії, або регулярну прецесію навколо вектора кінетичного моменту тіла який залишається нерухомим у цій системі координат.

В розділі 4 встановлено, що система важких гіроскопів Лагранжа напівзамкненого типу має рухи, при яких усі тіла, крім одного, рухаються подібно одне одному.

Отримано рівняння руху такої системи на випадок, коли положення тіл у інерціальному просторі визначають кути Ейлера

Досліджено існування у цих рівнянь класу точних розв'язків із структурою:

(4)

де q -- довільний фіксований індекс із множини N;

-- деякі функції часу, які належить визначити.

Цьому класу відповідають рухи системи гіроскопів, при яких кути нутації тіл однакові, а їх вісі симетрії знаходяться в одній вертикальній площині. Встановлено, що в такому разі змінні зв'язані з функціями співвідношеннями:

(5)

Де

-- відстані між точками підвісу тіл системи;

значення параметрів залежать від конфігурації системи.

Підстановкою (4), (5) до рівнянь руху системи тіл отримано переозначену систему диференціальних рівнянь:

(6)

Коефіцієнти системи (6) зв'язують механічні параметри системи гіроскопів, які характеризують розподіл мас у тілах, способи їх з'єднання та конфігурацію зв'язки тіл.

Доведено, що достатні умови сумісності системи (6) мають вигляд:

(7)

де -- фіксований індекс

Співвідношення (7) проаналізовано у випадку .Показана можливість їх розв'язання за умови, що треба визначити розподіл мас у тілах, коли задано спосіб з'єднання гіроскопів. При цьому встановлено обмеження на конфігурацію системи: при рухах типу (4), (5) вісі симетрії тіл та мають належати до паралельних прямих. Таким чином, підсистеми та рухаються в цілому як одне тверде тіло з тою лише різницею, що кожне тіло, з тих, що входять до цих підсистем, обертається навколо своєї осі симетрії зі своєю кутовою швидкістю.

У разі виконання умов (7) із (6) одержано систему диференціальних рівнянь відносно яку зведено до квадратур:

Де

В додатку А наведені допоміжні перетворення системи співвідношень (3), які суттєво використовуються у розділі 3 для доведення можливості ії розв'язання.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі за допомогою класичних методів аналітичної динаміки побудовано нові класи точних розв'язків рівнянь руху систем n важких гіроскопів Лагранжа невільного та напівзамкненого типів. Вивчено динамічні властивості рухів систем, що відповідають цим розв'язкам. Отримані результати можуть бути використанi для дослідження більш широкого класу рухів в їх околі.

В процесі дослідження одержано наступні основні результати:

1) Отримано нові рівняння руху невільної системи n важких гіроскопів Лагранжа , з'єднаних в точках своїх осей симетрії ідеальними сферичними шарнірами, при цьому положення тіл -- довільна підмножина множини N ) відносно нерухомого в інерціальному просторі базису визначається кутами Ейлера, а положення інших тіл -- кутами Крилова.

2) Побудовано новий клас точних розв'язків таких рівнянь. Йому відповідають рухи зв'язки гіроскопів, при яких вісі симетрії усіх тіл системи залишаються в одній вертикальній площині; до того ж вісі гіроскопів з індексами із підмножини M відхилені по різні боки від вертикалі, зберігаючи рівними кути нутації, а вісі тіл з індексами із підмножини K колінеарні у весь час руху вектору вертикалі. Зазначений клас узагальнює більшу кількість відомих на цей час нестаціонарних розв'язків задачі про рух невільної системи гіроскопів Лагранжа. Зокрема, він містить у собі задачу про існування подібних рухів, яка отримується з даної при M=N, а також задачу про рівномірні обертання системи гіроскопів навколо вертикалі, яка випливає з даної при

Знайдена залежність основних змінних задачі від часу.

Отримані обмеження на параметри, які характеризують розподіл мас в тілах, у випадку, коли спосіб з'єднання гіроскопів задано. Обернена задача -- визначити можливі способи поєднання гіроскопів, якщо відомий їх розподіл мас -- розв'язана у випадку трьох тіл. При цьому виявляється, що на відміну від класу подібних рухів існування рухів зазначеного типу залежить від конфігурації системи тіл.

Показано, що в разі, коли вісі тіл не належать до паралельних прямих, центр мас системи залишається на вертикалі, яка проходить через нерухому точку.

3) Одержані необхідні умови існування рухів цієї механічної системи, при яких вісі симетрії гіроскопів з індексами із підмножини K колінеарні у весь час руху вектору вертикалі, а тіла з індексами із підмножини M рухаються довільно. З цих умов випливає, що тіла можуть лише рівномірно обертатися навколо вертикалі із довільними швидкостями.

4) Побудовано новий клас точних розв'язків рівнянь руху системи n важких гіроскопів Лагранжа напівзамкненого типу. Йому відповідають рухи системи гіроскопів, при яких кути нутації усіх тіл, крім деякого гіроскопа однакові, а їх вісі симетрії знаходяться у одній вертикальній площині.

Вивчені достатні умови існування цих рухів. Показано їх розв'язність за умови, що треба визначити розподіл мас у тілах, коли задано спосіб з'єднання гіроскопів. При цьому встановлено обмеження на конфігурацію системи: при рухах типу (4), (5) вісі симетрії тіл та мають належати до паралельних прямих. Таким чином, підсистеми та рухаються в цілому як одне тверде тіло з тою лише різницею, що кожне тіло, з тих, що входять до цих підсистем, обертається навколо своєї осі симетрії зі своєю кутовою швидкістю.

Задачу зведено до квадратур.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Чебанов Д.А. Об одном обобщении задачи о подобных движениях системы гироскопов Лагранжа // Механика твердого тела. -- 1995. -- Вып.27. -- С.57-63.

2. Чебанов Д.А. Об одном классе точных решений уравнений движения системы n гироскопов Лагранжа // Доповiдi Нацiональної Академiї Наук України. -- 1997. -- №8. -- С.82-85.

3. Чебанов Д.А. О новом классе движений системы трех гироскопов Лагранжа // Механика твердого тела. -- 1997. -- Вып.29. -- С.10-16.

4. Chebanov D.A. About some classes of motions of Lagrange's gyroscopes system formed in a half-closed chain // Proceedings of the XXII Yugoslav Congress of Theoretical and Applied Mechanics. -- Belgrade (Yugoslavia). -- 1997. -- P.57-60.

5. Чебанов Д.А. Об одном классе движений системы гироскопов Лагранжа // Труды Междунар. конф. "Математика в индустрии". -- Таганрог: Изд-во Таганр. гос. пед. ин-та. -- 1998. -- С. 327-329.

6. Чебанов Д.А. О некоторых частных движениях системы n связанных тяжелых гироскопов Лагранжа // Сборник трудов победителей конкурса студенческих работ в области математики, механики и кибернетики. -- Донецк: 1993. -- С. 22-33. (Препр. / АН Украины. Ин-т прикл. математики и механики; №93.03).

АНОТАЦІЇ

Чебанов Д.О. Нові класи рухів систем гіроскопів Лагранжа. -- Рукопис

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 -- теоретична механіка. -- Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1998.

В дисертації побудовано точні розв'язки рівнянь руху систем важких гіроскопів Лагранжа невільного та напівзамкненого типів. Знайдено нові види рухів, які узагальнюють клас подібних рухів, коли вісі симетрії всіх тіл залишаються в одній вертикальній площині і відхиляються від вертикалі на рівні кути. Для невільної системи вивчено випадок колінеарності осей симетрії деяких тіл вектору вертикалі; для системи напівзамкненого типу досліджено рухи, при яких усі тіла, крім одного, рухаються подібно одне одному. Проаналізовано умови існування цих рухів. Встановлено залежності головних змінних задачі від часу.

Ключові слова: гіроскоп Лагранжа, точний розв'язок, подібні рухи, невільна система, система напівзамкненого типу.

Чебанов Д.А. Новые классы движений систем гироскопов Лагранжа. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 -- теоретическая механика. -- Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1998.

В диссертации построены точные решения уравнений движения систем тяжелых гироскопов Лагранжа несвободного и полузамкнутого типов. Найдены новые виды движений, обобщающие класс подобных движений, когда оси симметрии всех тел остаются в одной вертикальной плоскости и отклонены от вертикали на равные углы. Для несвободной системы изучен случай коллинеарности осей симметрии некоторых тел вектору вертикали; для системы полузамкнутого типа исследованы движения, при которых все тела, кроме одного, движутся подобно друг другу. Проанализированы условия существования таких движений. Установлены зависимости основных переменных задачи от времени.

Ключевые слова: гироскоп Лагранжа, точное решение, подобные движения, несвободная система, система полузамкнутого типа.

Chebanov D.A. New classes of motions of Lagrange's gyroscopes systems. -- Manuscript.

Thesis for a degree of Candidate of Sciences (Physics and Mathematics) by speciality 01.02.01 -- theoretical mechanics. -- Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 1998.

In the thesis there are constructed exact solutions of motion equations of heavy Lagrange's gyroscopes systems of nonfree and half-closed types. New kinds of motions generalizing the class of similar motions when axes of symmetry of all bodies remain in a vertical plane and they deviate at equal angles from vertical are found. The case when axes of symmetry of some bodies are collinear to the vector of vertical is studied for a nonfree system. The motions in which all bodies, besides of one, perform the similar motions are investigated for a system of half-closed type. The conditions of existence of these motions are analyzed. The main variables dependences from time are established.

Key words: Lagrange's gyroscope, exact solution, similar motions, nonfree system, system of half-closed type.

Размещено на Allbest.ru