Потенциальная яма

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Потенциальная яма

Рис. 1 Потенциальная яма

Потенциальная яма - ограниченная область пространства с пониженной потенциальной энергией частицы. Потенциальная яма обычно отвечает короткодействующим силам притяжения. В области действия этих сил потенциал отрицателен, вне - нулевой.

Энергия частицы Е есть сумма её кинетической энергии Т > 0 и потенциальной U (может быть как положительной, так и отрицательной). Если частица находится внутри ямы, то её кинетическая энергия Т1 меньше глубины ямы U0, энергия частицы Е1 = Т1 + U1 = Т1 - U0 < 0 и частица не может покинуть яму (находится в связанном состоянии). Она двигается в ней с кинетической энергией Т1, отражаясь от стенок. Если частица находится на дне ямы, то её кинетическая энергия Т2 = 0 и Е2 = -U0 < 0 (частица лежит на дне ямы). Это положение частицы наиболее устойчиво. Если частица вне ямы имела кинетическую энергию Т3 то она беспрепятственно пересекает яму, преодолевая её с возросшей кинетической энергией Т3 + U0.

В квантовой механике энергия частицы, находящейся в связанном состоянии, может принимать лишь определённые дискретные значения, т.е. существуют дискретные уровни энергии. При этом наинизший (основной) уровень всегда лежит выше дна ямы. По порядку величины расстояние Е между уровнями частицы массы m в глубокой яме шириной а даётся выражением Ећ2/mа2.

Пример потенциальной ямы - ядерная яма глубиной 40- 50 МэВ и шириной 10-13-10-12 см, в которой на различных уровнях находятся нуклоны, двигающиеся со средней кинетической энергией 20 МэВ.

На простом примере движения частицы в одномерной бесконечной прямоугольной яме можно легко увидеть, как возникают дискретные значения энергии. В классическом случае частица, двигаясь от одной стенки к другой, принимает любое значение энергии, в зависимости от сообщенного ей импульса. В квантовой системе ситуация совсем другая. Если движение квантовой частицы происходит в ограниченной области пространства, спектр энергий оказывается дискретным.

Рис. 2 Бесконечная прямоугольная потенциальная яма

Итак, пусть частица массы m находится в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины (рис. 2). Потенциальная энергия U удовлетворяет следующим граничным условиям

. (1)

При таких граничных условиях частица находится внутри потенциальной ямы 0 < x < L и не может выйти за ее пределы, т.е.

(x) = 0 x < 0, x > L (2)

Используя станционарное уравнение Шредингера для случая U = 0, получим

(3)

Уравнение (3) описывает положение частицы внутри потенциальной ямы.

Для бесконечной одномерной потенциальной ямы имеем следующее:

Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях.

Частица может находиться в каком-то одном из множества энергетических состояний.

Частица не может иметь энергию равную нулю.

Каждому значению энергии En соответствует собственная волновая функция n, описывающая данное состояние.

Для собственной функции 1(x) вероятность обнаружить частицу в точке x = L/2 максимальна. Для состояния 2(x) вероятность обнаружения частицы в этой точке равна 0 и так далее.

Рис. 2 Плотности вероятности обнаружения частицы в различных квантовых состояниях

потенциальный яма энергия частица

Двумерная потенциальная яма. Рассмотрим частицу, находящуюся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия частицы имеет вид

где - прямоугольная область на плоскости (рис.4.5). Вне потенциальной ямы, как и в одномерном случае, волновая функция частицы .

Рис. 4.

Поскольку движение частицы в яме вдоль осей X и Y происходит независимо, то волновую функцию будем искать в виде произведения

(4.20)

где - функция, зависящая только от координаты , а - функция, зависящая только от координаты . Подставляя волновую функцию (4.20) в уравнение Шредингера (4.6) , получаем

Разделив левую и правую части этого выражения на , приходим к соотношению

 (4.21)

Первое слагаемое в левой части (4.21) зависит только от , а второе - только от . Поскольку их сумма равна постоянной величине, то это означает, что каждое из слагаемых также представляет собой постоянную величину, т.е.

где и - константы, имеющие размерность энергии, причем . Таким образом, уравнение Шредингера для двумерной задачи разделяется на два одномерных уравнения

(4.22)

решения которых были нами получены в предыдущем параграфе. Функции и имеют вид

где квантовые числа n1 и n2 принимают значения 1,2,3… . В результате волновая функция частицы, находящейся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, есть

Энергия частицы в двумерной яме определяется выражением

(4.24)

Энергетический спектр частицы (4.24) , как и следовало ожидать, является дискретным и зависит от двух квантовых чисел и .

Рассмотрим движение частицы в квадратной потенциальной яме, т.е. при. В этом случае энергетический спектр частицы имеет вид

Из (4.25) следует, что одному и тому же энергетическому уровню , определяемому квантовыми числами и , при соответствуют два различных состояния частицы, описываемых волновыми функциями и . Энергетический уровень, которому соответствует не одно, а несколько состояний частицы, называется вырожденным уровнем, а число соответствующих ему состояний называется кратностью вырождения или степенью вырождения уровня. В случае двумерной квадратной потенциальной ямы кратность вырождения энергетического уровня, для которого , равна двум. Энергетический уровень, которому соответствует одно состояние частицы, называется невырожденным. В двумерной квадратной потенциальной яме невырожденными являются энергетические уровни с .

2. Частица в прямоугольной потенциальной яме

Рассмотрим поведение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме U(x), имеющей две различные конфигурации- два случая. Предполагается, что частица может двигаться только вдоль оси X.

Рис. 1

Рассмотрим такой случай: ширина ямы равна l, стенки ямы бесконечно высокие (рис.1, а). Потенциальная энергия в этом случае имеет следующие значения: она равна нулю в интервале (0, l) и обращается в бесконечность при x = 0 и x = l.

Исходим из уравнения Шредингера:

Для одномерного случая в пределах ямы (где U=0) это уравнение упрощается:

где введено обозначение:

Общее решение уравнения (1. 2) имеет вид:

где а и б - произвольные постоянные.

Теперь самое главное: мы должны потребовать от функции чтобы она удовлетворяла естественным (стандартным) условиям. Видно, что Ш(x) в виде:

однозначна и конечна. Она должна быть ещё и непрерывной, а именно, вне ямы частица быть не может, значит там Ш(x)=0, и для непрерывности Ш- функции необходимо, чтобы при x= 0 и x= l функция:

была бы равна нулю. Из условия:

следует, что б = 0. Из условия же:

в свою очередь следует, что:

где n= 1, 2, 3,…(n = 0 отпадает, так как при этом Ш = 0- частицы вообще нет).

Подставив k из в получим:

Энергия оказалась квантованной и её спектр - дискретный (рис. 1, б).

Итак, собственные значения Е мы нашли. Теперь найдем соответствующие им собственные функции. Для этого подставим значения k из

в ,

где б = 0, тогда:

Для определения коэффициента а, воспользуемся условием нормировки:

В нашем случае оно примет вид:

На концах интервала (0, l) подынтегральная функция равна нулю, поэтому значение интеграла можно представить как произведение среднего значения квадрата синуса (а оно равно Ѕ) на ширину ямы l:

откуда а =

Таким образом, собственные функции в данном случае имеют вид:

Графики нескольких собственных функций показаны на рис.2 пунктирными линиями, а распределение плотности вероятности - сплошными. Из этих графиков видно, что в низшем энергетическом состоянии (n = 1) с наибольшей вероятностью частицу можно обнаружить в середине ямы, а вероятность нахождения ее вблизи краев ямы весьма мала. Такое поведение частицы резко отличается от поведения классической частицы.

Рис. 2

С увеличением же энергии (т.е. с ростом квантового числа n) максимумы распределения располагаются всё ближе друг к другу. При очень больших значениях n картина распределения практически «сливается» и представляется равномерным- частица начинает вести себя совсем «по- классически».

Внимательный читатель по-видимому заметил, что найденные нами собственные функции:

удовлетворяют не всем естественным условиям: на границах ямы Ш-функции не гладкие, испытывают излом. Это обстоятельство является следствием того, что на границах ямы U >?, чего в реальном мире не бывает. При любом конечном разрыве потенциальной энергии Ш- функция все равно остается гладкой (об этом подробнее ниже).

Заметим также, что в отличие от классики минимальное значение энергии Е частицы в яме согласно:

не равно нулю. Это полностью согласуется с принципом неопределенности. Ведь у частицы в яме ограничена область возможных значений ее координаты, поэтому должен существовать разброс по импульсам, а значит, отлична от нуля и энергия.

Частица массы m находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми очень высокими стенками. Максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы в этом состоянии равно Pm.

3. Задачи

Найти ширину l ямы.

Найти энергию E частицы.

Решение:

Воспользовавшись выражением для Ш - функции

запишем плотность вероятности Р(х) для основного состояния (n=1):

Эта величина максимальна в середине ямы, т.е. при х= l/2.

Поэтому:

Отсюда находим l=2/Pm и согласно (4.14)

Размещено на Allbest.ru