Сила тяготения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сила тяготения

4.0.1. Определить среднюю плотность планеты, продолжительность суток на которой T, если на ее экваторе пружинные весы показывают вес на 10% меньший, чем на полюсах. Гравитационная постоянная G = 6.67·10-8 см3/(г·сек2).

На груз пружинных весов на полюсе действует только сила притяжения:

Pпол = G·M·m/R2

На груз пружинных весов на экваторе действуют сила притяжения и центробежная сила:

Pэкв = G·M·m/R2 - m·щ2·R

Центробежная сила определяет степень различия между весом на экваторе и полюсах:

Pпол - Pэкв = 0.1·Pпол = m·щ2·R

Плотность пропорциональна величине отношения массы планеты к кубу ее радиуса:

0.1·M/R3 = щ2/G = (2·р/T)2/G

Ответ: с = 10·3·M/(4·р·R3) = 30·р/(G·T2)

4.0.2. Определить период обращения Луны вокруг Земли, считая орбиту Луны окружностью радиуса R = 380000 км. Радиус Земли r = 6400 км, ускорение свобожного падения у поверхности земли g = 9.8 м/сек2.

Постоянство радиуса орбиты Луны свидетельствует об установлении равновесия между силой притяжения между Землей и Луной и центробежной силой:

m·щ2·R = m·M·G/R2

Ускорение свободного падения позволяет определить произведение гравитационной постоянной на массу Земли:

g = M·G/r2

Угловая частота вращения Луны вокруг Земли связана с периодом вращения следующим образом:

щ = 2·р/T

Ответ: T = 2·р/щ = 2·р/(g·r2/R3 )1/2

4.0.3. Определить радиус орбиты искусственного спутника Земли, период обращения которого равен одним суткам.

m·щ2·R = m·M·G/R2; щ = 2·р/T; R3 = M·G/(2·р/T)2

Ответ: R = [M·G/(2·р/T)2]1/3, масса Земли и гравитационная постоянная известны из предыдущих задач; можно также выразить результат через ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли и радиус Земли.

4.0.4. Каков был бы период вращения искусственного спутника Земли, если бы он был удален от нее на ее радиус?

m·щ2·(2·R) = m·M·G/(2·R)2

T = 2·р/щ = 2·р·[(2·R)3/(M·G)]1/2

Ответ: T = 2·р·[8·R3/(M·G)]1/2

4.0.5. Спутник движется на расстоянии H<<RЗемли. Определить период обращения спутника.

m·щ2·(R+H) = m·M·G/(R+H)2

T = 2·р/щ = 2·р·[(R+H)3/(M·G)]1/2

g = M·G/R2

T = 2·р·[R(1+H/R)3/g]1/2 = 2·р·(R/g)1/2·(1+H/R)3/2

Ответ: T = 2·р·(R/g)1/2·(1+H/R)3/2

4.0.6. Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса R = 4.7·106 км со скоростью v = 10 км/сек обращается спутник. Какова средняя плотность планеты, если ее радиус r = 150000 км. Гравитационная постоянная г = 6.67·10-11 Н·м2/кг2.

m·v2/R = m·M·г/R2 => M = R·v2/г

Ответ: с = 3·M/(4·р·r3) = 3·R·v2/(г·4·р·r3)

4.0.7. Звездная система состоит из двух одинаковых звезд, находящихся на расстоянии D = 5·1011 м друг от друга. Масса каждой звезды М = 1.5·1034 кг. Найти период обращения звезд вокруг общего центра тяжести.

M·щ2·(D/2) = G·M·M/D2

T = 2·р/щ

звезда плотность планета тяжесть

Ответ: T = 2·р/(2·G·M/D3)1/2

4.0.8. Какую работу нужно было бы совершить, чтобы вывести спутник массой m на круговую орбиту планеты радиуса R? Ускорение свободного падения планеты составляет g.

Работа по выводу спутника на орбиту вблизи поверхности планеты уходит только на достижение т.н. первой космической скорости. Радиус такой орбиты примерно совпадает с радиусом планеты.

m·v2/2 = A

m·v2/R = m·g

Ответ: A = g·R/2

4.0.9. Чему равно ускорение свободного падения на Солнце, если его радиус примерно в 110 раз больше радиуса Земли, а средняя плотность Солнца относится к средней плотности Земли как 1:4?

gc = G·Mc/Rc2 = G·сс·(4/3)·р·Rc3/Rc2

gз = G·Mз/Rз2 = G·сз·(4/3)·р·Rз3/Rз2

gc/gз = (сс/сз)·(Rc/Rз)

Ответ: gc = gз·(сс/сз)·(Rc/Rз)

4.0.10. Радиус Луны примерно в 3.7 раза меньше радиуса Земли, а ее масса в 81 раз меньше массы Земли. Чему равно ускорение свободного падения вблизи поверхности Луны?

gл = G·Mл/Rл2

gз = G·Mз/Rз2

gл/gз = (Мл/Мз)·(Rз/Rл)2

Ответ: gл = gз·(Мл/Мз)·(Rз/Rл)2

4.0.11. Ракета поднялась на высоту Н. Во сколько раз уменьшилась сила тяжести корпуса ракеты по сравнению с силой тяжести вблизи поверхности Земли?

Fo = G·m·M/R2

FH = G·m·M/(H+R)2

FH/Fo = [R/(R+H)]2

Ответ: FH/Fo = [R/(R+H)]2

4.0.12. Вычислить первую космическую скорость на поверхности Луны, если радиус Луны составляет R = 1760 км, а ускорение свободного падения в 6 раз меньше, чем на Земле?

v2/Rл = gл

Ответк: v = (gл·Rл)1/2

Размещено на Allbest.ru