Механическая система

_{Размещено на http://www.allbest.ru/}

₁

_{Размещено на http://www.allbest.ru/}

_{Введение}

Открытие атомно-молекулярной структуры строения вещества оказалось переломным моментом в истории развития не только науки, но и человечества вообще. Выдающийся физик-теоретик Ричард Фейнман как-то заметил, что если в результате всемирной катастрофы человечество потеряет все накопленные за свою историю знания об окружающем мире, то наиболее информативным фактом, позволяющим осуществить скорейшее восстановление потерянного, было бы атомное строение вещества.

_{Эпоха Человека на Земле, берущая начало около 50 тысяч лет назад, может быть разделена условно на периоды «До» середины 19 века и «После». Скачок в эволюции человека, под которой мы понимаем не столько простое физиологическое и анатомическое развитие путем естественного отбора, сколько главным образом проникновение в тайны природы и способность на основе этого изменять окружающий мир и самого себя, происшедший «После», несравнимо превосходит все вместе взятые ступени эволюции периода «До». Открытие целого ряда фундаментальных законов природы повлекло за собой ошеломляющую гонку стран и народов за мировое господство в области техники и технологии. Пожалуй, не будет преувеличением, если считать, что человечество находится сейчас на стадии гиперэволюции; оно сознательно и целенаправленно начинает изменять или создавать новые биологические виды, материалы и изделия в первую очередь благодаря успехам, достигнутыми в молекулярной физике.}

_{Предметом исследования физики кинетических явлений является взаимодействие и движение больших групп материальных тел: атомов, молекул и т.д. на макроскопическом уровне; частиц пыли в сплошной среде (например, в воде, воздухе), звезд в галактических масштабах и т.д. (которые объединяются общим понятием механических или динамических систем) в условиях отсутствия статистического равновесия. Даже развитие человечества, темп которого определяется существующим уровнем развития, можно в грубом приближении рассматривать как частную разновидность кинетических явлений - как автокаталитический процесс.}

_{Несмотря на возможность широкого охвата изучаемых явлений в дальнейшем наше внимание будет преимущественно сосредоточено на поведения групп атомов и молекул. В статистически равновесных системах макроскопические параметры (плотность, давление, энтропия и т.д.) неизменны в пространстве и во времени. Группа атомов при одних и тех же равновесных (или близких к равновесным) условиях может находиться в разных конфигурациях, т.е. могут быть по-разному организованы межатомными силами. Например, давно известно, что группа атомов углерода при нормальных условиях существует в сильно различающихся по физико-химическим свойствам формах - алмаза и графита. Различие обусловлено строением их кристаллических решеток. В недавнее время открыты еще другие равновесные конфигурации атомов углерода - фуллерены, в которых атомы собраны в структуру, напоминающую футбольный мяч. Фуллерены по физико-химическим свойствам отличаются от алмаза и графита, а в сочетании с атомами других химических элементов обладают магнитными и сверхпроводящими свойствами.}

_{Ясно, что образование той или иной атомной (микроскопической) структуры вещества здесь определяется не конечным равновесным состоянием, а зависит от пути, по которому группа атомов пришла к нему, т.е. конечная равновесная структура кристаллической решетки определяется неравновесными состояниями, когда претерпевали изменения во времени макроскопические условия (например, давление и температура). Ценность знания поведения больших групп (ансамблей) молекул в неравновесных условиях в зависимости от макроскопических параметров определяется возможностью создания новых материалов с заданными свойствами.}

_{Так как движение большого числа микрочастиц хаотично, то, в сущности, мы будем заниматься изучением переходов: порядок хаос порядок. Если мы хорошо представляем, что такое порядок с математической и физической точки зрения, то явление хаоса все еще находится на стадии изучения, хотя в теоретическом плане сделано уже много.}

_{Изложенный здесь материал по теории хаоса содержит лишь в упрощенном виде незначительную часть достигнутого по данной проблеме. Поэтому для более глубокого понимания этого сложного явления, рекомендуется в дальнейшем изучать теорию по специальной литературе, список которой приведен в конце каждой главы в порядке возрастания сложности.}

_{1. Кинетическая и потенциальная энергия механической системы}

Под механической системой понимается любая совокупность материальных тел. Материальные тела обязательно имеют массу. Их природа может быть самой разнообразной. Каких-либо ограничений на размеры материальных тел не существует. Если в рассматриваемой системе материальных тел их пространственная протяженность не оказывает существенного влияния на движение системы, то вместо термина «материальное тело» употребляется термин «материальная точка». При этом масса материальной точки равна массе материального тела. Число материальных точек (тел) может быть от единицы до бесконечности. В то же время материальное тело, входящее в данную механическую систему, может быть представлено состоящим из более мелких частей, которые сами образуют механическую систему.

Если рассматривается движение материальных тел под действием сил, то такую систему называют динамической. Часто динамической системой называют любую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, где независимой переменной является время.

Наиболее полной характеристикой механической системы, определяющей ее эволюцию во времени и пространстве, является энергия. Механическая энергия E системы складывается из энергии кинетической T и потенциальной U. Энергия является аддитивной величиной: энергия системы равна сумме энергии ее составляющих частей. Каждое материальное тело из данной системы имеет, кроме механической энергии, еще внутреннюю энергию E_in, которая сосредоточена в движениях составляющих это материальное тело частях. Если эти части не оказывают влияния на движение всей системы, то внутренняя энергия не включается в E.

Потенциальная энергия механической системы связана с относительным расположением в пространстве материальных тел, кинетическая - с их относительным перемещением.

Известные законы физики констатируют обязательное существование потенциальной энергии в системе двух и более материальных тел вне зависимости от их природы, хотя ее величина может быть пренебрежимо мала, по сравнению с другими видами энергии.

_{Одним из простейших примеров механической системы может служить математический маятник.}

_{Данная система составлена из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой и невесомой нити длины l и материального тела, масса и размеры которого намного превосходят массу и размеры подвешенного груза. Притягивающее тело создает вблизи груза постоянный (гравитационный) потенциал напряженностью g. Параметр g называется ускорением свободного падения. Аналогичный потенциал создается и массой m, но оно намного меньше g, так что движением массивного тела в поле подвешенного груза можно пренебречь. Поэтому рассматриваемую механическую систему можно считать состоящим только из одной материальной точки m.}

_{Груз движется по окружности радиуса l со скоростью (точка вверху символа здесь и далее означает производную по времени t), где - скорость изменения угла отклонения от положения равновесия = 0.}

_{Кинетическая и потенциальная энергии легко определяются:}

_.

_{Рассмотрим теперь систему N взаимодействующих материальных точек (частиц) равных масс (рис. 2). Составление выражения для кинетической энергии системы не представляет труда:}

_,

_{где vi - скорость частицы с номером i.}

Конкретный вид потенциальной энергии зависит от типа взаимодействия (гравитационное притяжение, электрическое по закону Кулона и т.д.). Поэтому можно только лишь сказать, что потенциальная энергия является функцией только лишь мгновенного положения частиц в пространстве:

_.

_{Последнее утверждение справедливо только для механических систем, для которых применим принцип относительности Галилея, когда скорости движения частиц много меньше скорости света. Все дальнейшие наши рассуждения будут относиться к нерелятивистским механическим системам, где применим принцип Галилея.}

_{2. Обобщенные координаты и скорости}

_{В предыдущих примерах в качестве независимых переменных, описывающих движение, брались разные величины. В первом примере положение груза определяли (в полярных координатах) через угол , а его скорость - посредством .}

_{Положение и скорость в системе N частиц определяли в декартовой системе координат. За независимые переменные можно брать любые величины. Главное, чтобы число независимых переменных было вполне достаточно для описания поведения системы. Такой произвол позволяет вводить понятия обобщенных координат и скоростей. Их физические размерности не обязательно должны быть [м] и [м/с].}

_{Так как переменные x и y связаны равенством x² + y² = l² и, как следствие этого}

_,

_{то далее можем записать}

_.

Как видно, в декартовых координатах кинетическая энергия зависит не только от скорости (от скорости, определенной в декартовой системе координат), но и от положения материальной точки - груза.

Вид потенциальной энергии принципиальных изменений не претерпевает:

.

Как будет видно ниже, постоянная составляющая в потенциале U на законы движения системы не влияет. В приведенной записи отсчет энергии U ведется от положения равновесия = 0 (x = 0). За точку отсчета U в литературе иногда берут = /2 (x = l). Тогда .

Произведем теперь в (1.1) замену: . Тогда в новом виде

Величины и в уравнениях (1.2) можно принять за обобщенные координату и скорость.

В дальнейшем мы всегда будем подразумевать, все независимые переменные координат и скоростей имеют смысл обобщенных, совпадающие, в частности, с обычными их аналогами. Для обобщенных координат примем обозначения , а для обобщенных скоростей - , где i - порядковый номер независимой переменной.

_{3. О двух подходах в механике}

_{Основной задачей механики является нахождение т.н. интегралов (уравнений) движения. Если известны интегралы движения (т.е. решения уравнений), то мы знаем поведение механической системы во времени и пространстве. В механике существуют два способа описания движения в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Первый из них сформулирован Лагранжем, второй - Гамильтоном.}

_{Механика Лагранжа. В механике Лагранжа вводится функция (лагранжиан) , где s - число независимых величин. В случае отсутствия диссипации (трения)}

_.

_{Пусть при движении механической системы за время от t1 до t2 ее координаты изменились с на . Тогда это движение произошло таким образом, что интеграл}

_{имеет наименьшее значение. Величина S называется действием.}

_{На рис. 3 приведены 3 из бесконечно возможных путей (траектории), по которым система (при s = 2) «может» попасть из состояния с координатами в состояние . Каждой линии отвечает свой вид зависимости . Но в механике Лагранжа постулируется, что из всех имеющихся траектории физически реализуется только одна, приводящая к минимальному значению S.}

_{Из условия S = min можно найти дифференциальные уравнения для переменных . Пусть - такое, что S(qi) = min. Все любые траектории , находящиеся в малой окрестности дают неравенство}

_.

_{«Точка» с координатами является экстремальной для функционала S. Поэтому ее первая вариация должна быть равна нулю в «точке» экстремума, т.е. на функциях :}

_{Раскладывая в ряд Тейлора первое выражение в квадратных скобках, и удерживая только члены первого порядка малости по степеням вариации в подынтегральном выражении, получим:}

_.

_{Проинтегрировав один раз по частям второе слагаемое в скобках, и учитывая равенство нулю в начальной и конечной точках (рис. 3), запишем:}

_.

_{Откуда, в силу произвольности вариации, равенство S = 0 может быть выполнено, если}

_{, i = 1, 2, …, s.}

_{Каждое из уравнений (1.3) Эйлера - Лагранжа однородное второго порядка. Чтобы получить детальную картину поведения механической системы, необходимо найти все их решения (или интегралы) с учетом известных начальных условий.}

_{Полученные уравнения можно обобщить на случай наличия в системе диссипативных и действия на нее внешних сил. Не останавливаясь на выводе уравнений Эйлера - Лагранжа с учетом этих факторов, укажем лишь, что диссипативные и внешние (обобщенные) силы войдут в уравнения (1.3) как дополнительные правые части. При этом под величиной L мы будем подразумевать функцию Лагранжа свободной, не подверженной трению и внешними воздействиями систему.}

_{Разделение на внешние и внутренние силы является несколько условным. В примере 1 сила F = - U/x в системе «маятник + массивное тело» является внутренней, а в системе «маятник» - внешней.}

_{Механика Гамильтона. Другой подход к изучению механической системы, разработанный Гамильтоном, оперирует с 2s независимыми переменными: координатами и, сопряженными им импульсами pi(t), где pi(t) определяются по формуле}

_{Тогда используя уравнения Эйлера - Лагранжа, можем записать}

_{Найдем уравнения Гамильтона. Для этого вычислим полный дифференциал от лагранжиана:}

_{и заменим в нем частные производные на и согласно приведенным выше равенствам (1.4), (1.5):}

_{Второй член под суммой здесь можно записать в виде}

_.

_{Тогда (1.6) сведется к полному дифференциалу от новой величины H, называемой функцией Гамильтона, или гамильтонианом:}



_.

_{Поэтому из равенства (1.7) следуют уравнения Гамильтона}

_{Это система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решая ее с заданными начальными условиями, находим и pi(t).}

_{Функцию Гамильтона называют еще обобщенной энергией. Поясним происхождение такого названия. В полную производную от функции Лагранжа , не имеющей явной зависимости от времени}

_{подставим значение из уравнения Эйлера - Лагранжа:}

_.

_{В квадратных скобках стоит полная производная по времени, поэтому}

_{Входящая в лагранжиан L кинетическая энергия T является квадратичной (и однородной) функцией переменных , а потенциальная энергия U не зависит от . Так что}

_.

_{Из получающегося при этом равенства dL/dt = d2T/dt или}

_{следует постоянство энергии E = T+U = const.}

_{Теперь обратимся к определению функции Гамильтона}

_.

_{Таким образом, если отсутствует диссипация, и явная зависимость лагранжиана от времени, функция Гамильтона есть энергия механической системы, называемой в этом случае гамильтоновой или консервативной.}

В принципе любая негамильтонова система при расширенном рассмотрении оказывается гамильтоновой. При наличии трения часть энергии передается к материальным телам, не принадлежащие к рассматриваемой механической системе. Переданная энергия сосредоточена в происходящих без диссипации (тепловых) движениях, составляющих эти тела частей (атомов, молекул и т.д.). Поэтому расширенная механическая система, включающая в себя дополнительно первоначальной еще и диссипирующие материальные тела, представленных как совокупность микрочастиц, будет уже гамильтоновой.

_{4. Качественный анализ решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений}

_{Мы рассмотрели два подхода к изучению поведения механических систем материальных тел. В зависимости от типа решаемых задач оказывается предпочтительным тот или из них. Для статистической физики и физической кинетики, где рассматривается движение огромного количества одинаковых частиц, более привлекательным является механика Гамильтона. Это вызвано симметрией уравнений (1.8) относительно переменных и pi, которые присутствуют в уравнениях Гамильтона равноправно. Отсутствие «выделенных» переменных или pi позволяет вводить в теорию относительно простое по структуре многомерное пространство (фазовое пространство). Каждая точка в этом пространстве соответствует определенному состоянию механической системы в данный момент времени.}

_{Общее решение уравнений (1.8) содержит 2s постоянных интегрирования Cj:}

_,

_{которые определяются из начальных условий}

_{с известными левыми частями.}

_{С течением времени при каждом наборе значений Cj фазовая точка (или изображающая точка) в фазовом пространстве «прочерчивает» линию - фазовую траекторию.}

_{Фазовое пространство гамильтоновых систем обладает тремя важными свойствами:}

_{1. В любой момент времени траектории, определяемые из (1.8), в фазовом пространстве не пересекаются. Это следствие из теоремы существования и единственности решения.}

_{2. Объем произвольной области фазового пространства сохраняется (теорема Лиувилля). На рис. 4 приведено двумерное фазовое пространство и эволюция в нем произвольного объема. В данном случае двух измерении этот объем есть просто площадь заштрихованной фигуры.}

_{В общем случае пространства размерности 2s сохранность объема с течением времени можно записать в виде}

_.

_{По аналогии с гидродинамикой, движение фазовых точек можно представить как течение несжимаемой жидкости. Поэтому совокупность фазовых (всюду плотно покрывающих область ) траектории, получающихся при непрерывном изменении параметров C1, C2, … C2s, часто называют фазовым потоком.}

_{3. Непрерывная граница G области с течением времени трансформируется не разрываясь.}

_{Как было выше указано, для гамильтоновых систем энергия системы постоянна и совпадает с гамильтонианом:}

_{Легко проверить, что сам гамильтониан является одним из интегралов движения. Для этого достаточно продифференцировать (1.11) по времени и воспользоваться равенствами (1.8). Отсюда следует, что все фазовые траектории лежат на 2s-1-мерной гиперповерхности постоянной энергии E в пространстве с координатными осями , pi и заданной уравнениями (1.11).}

_{Существует хорошо развитый математический аппарат - качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений, с помощью которого не находя явный вид всех qi(t) и pi(t), удается выявить ряд важнейших свойств решений уравнений (1.8). Физическая кинетика (а также статистическая физика), изучающая коллективное поведение макроскопических объемов, состоящих из микрочастиц, в основе опирается на такой аппарат. Конкретные значения координаты и импульса микрочастицы как функция времени здесь нас не интересуют. Да и в принципе нельзя решить систему (1.8) с числом уравнений, например, порядка числа Авогадро (~ 10²⁶). Микрочастицы, как правило, совершают хаотическое тепловое движение. Для решения практических задач достаточно знать среднестатистические значения координат и импульсов в фазовом пространстве, а не детальные. Обычно сложность движения больших чисел микрочастиц ассоциируется с их количеством.}

_{5. Примеры сложных и простых механических систем с двумя степенями свободы (s = 2)}

_{Система двух невзаимодействующих гармонических (линейных) осцилляторов. Кинетическую и потенциальную энергии одного осциллятора мы уже находили (формулы (1.2)). Так как осцилляторы не взаимодействуют между собой, то}

_,

_{i = 1, 2.}

_{Здесь все обозначения имеют прежний смысл раздела 1, а индексы нумеруют 1-й и 2-й осцилляторы. Для простоты считаем колебания малыми по амплитуде, и удержим в разложении cos в ряд Тэйлора первые два члена: cosi 1-i²/2. Тогда гамильтониан системы двух осцилляторов будет иметь вид:}

_,

_,

_{где pi - обобщенные импульсы, совпадающие в данном примере с обобщенными скоростями, принятыми в (1.2). Получающиеся уравнения Гамильтона после подстановки (1.12) в (1.8)}

_{имеет простые решения:}

_,

_{где ai, bi - постоянные интегрирования.}

_{Лучшее и наглядное представление о поведении данной системы можно получить, если перейти в (1.13) к переменным действие J - угол . Для этого произведем замену}

_.

_{Подставим (1.14) в (1.12). После несложных преобразований получим}

_{В таком виде гамильтониана в роли обобщенных координат выступают i, Ji, а уравнения движения}

_{после подстановки сюда (1.15) обретают тривиальный вид}

_.

_{Обратим внимание на то, что в (1.15) H зависит только от действий J1, J2 и не зависит от угловых переменных. В общем случае линейной системы с s степенями свободы, при условии существования для нее преобразования действие - угол, приводящее функцию Гамильтона к зависимости только от переменных действии H = H(J1, …, Js), является полностью интегрируемой (теорема Лиувилля - Арнольда), а само такое преобразование называется каноническим.}

_{Система 2 невзаимодействующих осцилляторов является простейшим примером полностью интегрируемой системы.}

_{Выпишем решения (1.16)}

_{Фазовое пространство системы двух (или более) осцилляторов удобно представить на поверхности тора. Пусть J1 внутренний радиус тора, а J2 - радиус его поперечного сечения. Угловые же переменные 1, 2 меняются с поворотом радиусов J1 и J2 (рис. 4). Тогда при фиксированных радиусах изображающая точка с координатами 1, 2, J1, J2 с течением времени будет «наматывать» спиральные линии. При этом, если отношение частот 1, 1 рациональное число: 1/2 = k/m, где k и m - целые, то, как легко видеть, через время tp = 2(k/1 +m/2) изображающая точка возвратиться в то место, откуда начала свое движение. Действительно}

_.

_{Аналогично получаем}

_{Соотношения (1.17) и (1.18) означают, что возврат изображающей точки в исходное положение произойдет после 2k витков по окружности радиуса J1 и 2m витков по окружности радиуса J2.}

_{Если же отношение 1/2 - иррационально, то возврата в исходное положение не произойдет: изображающая точка M будет бесконечно долго блуждать по поверхности тора, сколь угодно близко подходя к начальному положению. При этом говорят, что фазовая кривая образует всюду плотную обмотку тора, а движение системы называют квазипериодическим или условно периодическим. Таким образом, даже простейшая система двух гармонических (иначе линейных) осцилляторов может демонстрировать сложное поведение.}

_{Условию 1/2 = k/m можно придать следующую форму = 1m - 2k = 0. Если 1/2 - иррационально, то 0 для любых k и m. При = 0 торы, по которым происходит движение фазовой точки, называются резонансными, и нерезонансными в противном случае.}

_{В общем случае системы с s > 2 степенями свободы и допускающей каноническое преобразование, движение представляется на поверхности s-мерного тора.}

_{Отображение Пуанкаре. Существует способ наглядного графического представления поведения сложных систем. Пусть в фазовом пространстве изображающая точка «прочерчивает» кривую (рис. 5). Проведем здесь плоскость S так, чтобы кривая проходила через эту плоскость (на рис. 5 в качестве S взята плоскость, образованная осями координат q1, q2). Если движение периодическое, то получим конечную последовательность точек A1, A2 …, Ai, … пересечения кривой с плоскостью S. Координаты каждой последующей точки Ai+1 определяются, согласно уравнениям движения, через координаты предыдущей точки Ai. Т.е. имеем функциональную связь . Функция называется функцией последования или отображением Пуанкаре, а плоскость S - сечением Пуанкаре.}

_{В нашем примере двух маятников плоскость S лучше провести по сечению тора. При квазипериодическом движении точки Ai за бесконечно большой промежуток времени, сколь угодно располагаясь, близко друг к другу образуют непрерывную кривую - окружность.}

_{В общем случае нелинейной системы (тогда cos в ряд не раскладываем) частоты 1, 2 являются функциями J1 и J2:}

_.

_{Принципиально картина на фазовой плоскости не меняется; движение будет происходить по двумерным концентрическим торам. При этом действия J1 и J2 являются интегралами движения (теорема Лиувилля - Арнольда).}

_{Данные понятия и утверждения остаются в силе и для динамических систем со степенью свободы больше двух.}

_{Модель Хено - Хейлеса движения звезды в среднем гравитационном поле галактики. Приведем сразу вид гамильтониана для такой системы. Ход получения его здесь не имеет значения. Для нас более интересен факт существования простых дифференциальных уравнений, ассоциирующихся с механической системой и обладающих рядом интересных свойств. Итак, гамильтониан системы «звезда + поле галактики» в обобщенных координатах имеет вид:}

_.

_{Запишем уравнения движения}

_,

_.

_{Очевидно, в рассматриваемой модели имеется интеграл энергии H = E = const:}

_.

_{Если бы система (1.20) была полностью интегрируемой, то имелись бы переменные действие - угол и мы с помощью канонического преобразования смогли бы привести функцию Гамильтона к виду H(J1, J2). Тогда динамическая система Хено - Хейлеса была бы представлена движением по поверхности двумерного тора.}

_{В общем случае такая поверхность была бы всюду плотно покрыта фазовыми траекториями, и множество точек отображения Пуанкаре тогда образовало бы некоторую замкнутую кривую. Однако, как показывает численный расчет уравнений (1.20), при достаточно малых механических энергиях E (рис. 6а) система Хенона - Хейлеса ведет себя как полностью интегрируемая. И это притом, что канонического преобразования для гамильтониана данной системы не существует! На первый взгляд обнаруживается противоречие.}

_{Создавшееся «противоречие» между строгой математикой и численным расчетом это всего лишь одна, далеко не самая важная проблема, которую предстоит решить. Тем не менее, мы начнем именно с нее.}

_{Известно, что численный расчет всегда выполняется с долей погрешности << 1. С другой стороны, раз при E << 1 система (1.20) ведет себя как полностью интегрируемая, то ясно, что гамильтониан (1.19) путем перехода к новым переменным Qi = Qi(qi, pi), Pi = Pi(qi, pi), может быть приведен к виду}

_,

_{где H0 представляет собой полностью интегрируемую систему, а EH1(Qi, Pi) - малое к ней возмущение. Если E , то численное решение уравнений (1.20) означает фактически анализ системы с функцией Гамильтона H0.}

_{В то же время ошибку численного расчета в принципе всегда можно сделать меньшим значения E, при котором наблюдается «полная интегрируемость» как на рис. 6а. Тогда возникает другой вопрос: почему наблюдается «полная интегрируемость» и будет ли она иметь место при неограниченном времени (численно нельзя получить решения уравнении, соответствующим бесконечно большому времени)? На эти и другие вопросы дает ответ теорема Колмогорова - Арнольда - Мозера (КАМ).}

_{6. Теорема КАМ}

_{Строгая формулировка этой теоремы сложна, и том более сложно ее доказательство. Поэтому приведем только содержание теоремы Колмогорова - Арнольда - Мозера на физическом уровне строгости.}

_{Пусть гамильтониан системы с s степенями свободы можно представить в виде}

_,

_{механический колмогоров мозер}

_{где H0 является функцией Гамильтона полностью интегрируемой системы, а H1 - малое возмущение; - малый параметр ( << 1). Тогда переход к переменным действие - угол даст для H0 и H1 зависимости H0 = H0(J1, …, Js), H1 = H1(1, …, s, J1, …, Js), а уравнения движения будут следующими:}

_{При = 0 фазовые кривые будут покрывать s - мерные концентрические торы (или топологически эквивалентные им поверхности в пространстве координат qi, pi). Среди этих торов могут быть резонансные, для которых}

_,

_{где ki - отличные от нуля целые числа, и не резонансные, для которых 0. Но при сколь угодно малом 0, из-за появления зависимости для радиусов торов Ji = Ji (, i), согласно первому уравнению (1.21), казалось бы, фазовые кривые должны уйти из поверхности торов. Теорема КАМ утверждает, что при достаточно малых значениях большинство нерезонансных торов сохранится (т.е. являются устойчивыми к малым возмущениям; их называют еще инвариантными торами), при этом слабо деформируясь (величина деформации ~). И лишь малая часть их, число которых стремится к нулю при 0, разрушится. Разрушенные торы будут зажаты между сохранившимися торами, и движение по ним будет крайне нерегулярным - хаотическим (рис. 7). Хаотичность движения означает неразличимость динамического процесса, реализуемого (в результате численного решения (1.21)) известными зависимостями Ji = Ji(t, Ji0, i0), i = i(t, Ji0, i0), где Ji0, i0 - начальные значения действия и угла, является тождественным некоторому случайному процессу.}

_{При соответствующих начальных данных Ji(t = 0), i(t = 0), или qi(t = 0), pi(t = 0) для системы (1.20), можно «попасть» на деформированные или на разрушенные торы с хаотической динамикой. С пределом 0 область начальных данных, из которых можно совершить движение по хаотическим траекториям, тоже стремиться к нулю.}

_{До появления теории Колмогорова - Арнольда - Мозера считалось, что явление хаоса присуще только системам с очень большим числом степеней свободы, состоящим из громадного числа частиц. Предположение же молекулярного хаоса, как известно, позволило создать Больцману статистическую механику и заложить основы физической кинетики. Кроме того, теория КАМ дает способ оценки возможности пренебрежения малыми возмущениями в динамической системе, что имеет большое практическое и теоретическое значение. Теорема Колмогорова - Арнольда - Мозера объясняет причину наблюдающейся устойчивости траектории элементарных частиц в ускорителях, планет в звездных системах, галактик, и, по праву, считается одним из величайших достижении механики.}

Теперь возвратимся к системе Хенона - Хейлеса. На отображении Пуанкаре, приведенном на рис. 6 (а), движения по разрушенным торам не приведены. Но они присутствуют на рис. 6 (б, в) в виде хаотично разбросанных отдельных точек. Таким образом, из теоремы КАМ также следует, что факт полной интегрируемости уравнений движения механической системы не может быть установлен численными методами.

_{Подводя итог качественного изучения динамики простых систем с двумя степенями свободы, заметим, что движение обеих рассмотренных выше систем были ограничены по величинам изменения зависимых переменных qi, pi (или Ji, i), т.е. в любое время фазовая точка оставалась в ограниченной области фазового пространства. Такого рода движения называются финитными. К системам, совершающим финитные движения, будет уделено все наше внимание, как представляющим наибольший интерес.}

_{Все введенные понятия и определения, и проводимый на их основе качественный анализ касался динамических (механических) систем с двумя степенями свободы. Качественное поведение динамики таких систем, имея много общего с динамикой систем степени свободы больше двух, имеет ряд различии. При s = 2 фазовое пространство является четырехмерным, энергетическая гиперповерхность H = E - трехмерной, а инвариантные торы - двумерными. Двумерные торы делят энергетическую гиперповерхность на непересекающиеся области (рис. 7; энергетическая гиперповерхность - это просто объем наибольшего тора). Такого разделения для систем со степенью свободы s > 2 не существует. В них разрушенные неустойчивые торы не остаются зажатыми между устойчивыми торами; торы разрушившись, сливаются, образуя сложную сеть - паутину Арнольда. Хаотически блуждая по нитям этой паутины, фазовая точка может уйти на значительное расстояние от первоначального положения. Это явление называется диффузией Арнольда, и она имеет место при сколь угодно малых значениях параметра возмущения полностью интегрируемой системы с гамильтонианом H0.}

_{7. Эргодичность и перемешивание}

_{Для дальнейшего изучения эволюции гамильтоновых систем в фазовом пространстве введем дополнительно новые понятия и определения.}

Как мы уже знаем, эволюция состояния динамической системы в фазовом пространстве с системой координат q_i, p_i, i = 1,…, s представляется как движение (фазовой) точки. Если положение фазовой точки в момент времени t = 0 определяется значениями координат q_i(0) q_i⁰, q_i, p_i(0) p_i⁰, то в последующее время t координаты изображающей точки M будут q_i(t), p_i(t). Тогда изменение местоположения точки M можно описать как действие в фазовом пространстве оператора сдвига F^t:

[q(t), p(t)] = F^t [q⁰, p⁰].

Следовательно, любая область ₀ фазового пространства под действием отображения F^t перейдет через время t в некоторую другую область _t.

_{Размещено на Allbest.ru}