Математическая модель электрической цепи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая модель электрической цепи

1. Матрица главных сечений и ее свойства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возьмем граф некоторой цепи (рис. 2а).

Совокупность ветвей графа, в которой оказываются представленными все узлы, но при этом не образуется ни одного замкнутого контура, называют деревом графа. На рис. 2б, в представлены два варианта деревьев графа, построенные из графа цепи на рис. 2а (можно построить и другие варианты дерева). Ветви, входящие в выбранное дерево называются ребрами. Ветви, не вошедшие в выбранное дерево, называются хордами. Таким образом, каждая ветвь графа является либо его ребром, либо хордой. Замкнутая линия, которая однократно пересекает некоторую совокупность ветвей графа и разделяет граф на две несвязанные части называется сечением. Если такая линия пересекает одно ребро, то сечение считается главным. На рис. 3 показан пример построения главных сечений.

Здесь главным сечениям присвоены номера тех ребер, которые входят в эти сечения.

Обычно ЗКТ формулируется относительно узлов, но его можно формулировать и относительно главных сечений. ЗКТ для сечений звучит так: алгебраическая сумма токов относительно главного сечения равна нулю.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Придерживаясь такой формулировки ЗКТ, получаем следующую систему уравнений для главных сечений, показанных на рис. 3.

і1+і5+і6=і9 или і1=-і5-і6+і9

(для главного сечения С1).

і2=і5 (для главного сечения С2);

і3=і6-і8-і9 (для главного сечения С3);

і4=і5+і8 (для главного сечения С4);

і7=-і8-і9 (для главного сечения С7).

Запишем эту систему уравнений в матричной форме:

можно подобную систему уравнений представить в общем виде, справедливом для произвольной схемы.

матрица электрический цепь

Матрица называется матрицей главных сечений. Она определяет связь между токами ребер и токами хорд . Строки матрицы главных сечений принадлежат ребрам, а столбцы - хордам графа.

Из матрицы вытекает не только система уравнений по ЗКТ, но и система уравнений по ЗКН. Элементы столбцов матрицы являются коэффициентами, линейно связывающими напряжение хорд, соответствующих столбцов, с напряжением ребер. Так, для указанной выше матрицы можно записать следующую систему уравнений для ЗКН:

В матричной форме эту систему уравнений можно записать так

где - вектор напряжения хорд;

- транспонированная матрица ;

- вектор напряжения ребер.

Таким образом, матрица главных сечений определяет полную систему топологических уравнений.

2. Матрица главных сечений произвольной схемы

В матрице главных сечений, как уже отмечалось, столбцы принадлежат хордам, а строки - ребрам дерева графов. При построении дерева графов обычно в ребрах группируют:

- источники напряжений;

- конденсаторы;

- резисторы.

В хордах, как правило, остаются:

- резисторы;

- индуктивности;

- источники токов.

Возьмем обобщенную матрицу главных сечений и выделим в ней столбцы и строки, принадлежащие конкретным элементам

Здесь Rx и Rp - резисторы, включенные соответственно в хорды и ребра.

Учитывая такое обозначение, можно матрицу разбить на подматрицы.

Индексы у подматриц указывают типы ветвей, которым принадлежат строки и столбцы подматрицы.

Сформулированное выше правило построения уравнений токов и напряжений с использованием матрицы можно распространить и на случай, когда эта матрица представлена подматрицами.

Подматрицы, расположенные вдоль строки и взятые с обратным знаком, являются коэффициентами, связывающими вектор тока группы ребер, которой принадлежит строка, с вектором тока соответствующих групп хорд. Например,

Подматрицы, расположенные вдоль столбца некоторой группы однотипных хорд, после транспонирования являются коэффициентами, линейно связывающими вектор напряжения этих хорд с векторами напряжения соответствующих групп ребер. Например,

3. Формирование матрицы главных сечений

Формирование матрицы производится в два этапа. На первом этапе по введенным в ЭВМ данным цепи формируется матрица инциденций, а из нее - структурная матрица. На втором этапе путем преобразований из структурной матрицы строят матрицу .

3.1 Формирование структурной матрицы

Рассмотрим построение структурной матрицы на примере графа цепи, представленного на рис. 2а. Составим матрицу следующего вида. Припишем столбцы матрицы определенным ветвям графа, а строки - его узлам. Дадим элементам alk этой матрицы следующие значения:

l - номера узлов

k - номера ветвей

При нумерации ветвей придерживаются следующей иерархии: управляемые источники напряжения, независимые источники напряжения, емкостные, резистивные, индуктивные элементы, независимые источники тока, управляемые источники тока. Нумерация начинается с ветвей, принадлежащих высшей ступени иерархии. Исчерпав их продолжают нумерацию, перейдя к ветвям следующей ступени иерархии и т.д., пока не будут пронумерованы все ветви схемы. Именно так были пронумерованы ветви в графе на рис. 2а.

Для этого графа построим следующую матрицу:



Каждая l-я строка такой матрицы показывает, какие ветви подключены к l-му узлу и каково их направление относительно узла, а каждый k-й столбец указывает, с какими узлами соединена k-я ветвь.

Следует отметить, что одна из строк матрицы не является независимой, она не несет информации и может быть без последствий изъята из матрицы.

Вычеркнув в последнюю строку, получаем

Эту матрицу называют структурной и она дает топологическое описание цепи.

Так как строки матрицы указывают ветви, подключенные к соответствующим узлам, и их направление относительно узлов, то умножая строки матрицы на вектор токов ветвей , получаем алгебраическую сумму токов в узлах, равную нулю (в соответствии с ЗКТ). Следовательно



Эта матричная запись соответствует следующей системе уравнений

система уравнений для цепи по ЗКТ

3.2 Получение матрицы главных сечений

Для получения матрицы необходимо данную систему уравнений решить относительно токов ребер. Эту операцию можно выполнить методом исключения переменных: из всех уравнений, кроме первого, исключается ток і1, затем из всех уравнений, кроме второго исключается ток і2 и т.д. Исключение переменных позволяет преобразовать матрицу так, что в ее левой части образуется единичная матрица, а правая часть будет представлять собой искомую матрицу главных сечений . В ходе преобразований используются перестановка строк и столбцов матрицы, суммирование или вычитание строк. Покажем это на примере преобразования матрицы



Точно такая же матрица была получена ранее.

4. Вектор состояния электрической цепи

Возьмем линейную RLC - цепь. Вынесем за пределы анализируемой линейной RLC - цепи (рис. 4а) независимые источники и реактивные элементы L и C.

В число независимых источников входят источники питания и источники входных сигналов. При этом полагаем, что анализируемая схема не содержит управляемых источников и не содержит особенностей. Под особенностями обычно понимают замкнутые контуры, составленные:

а) только из источника напряжения (U- контура);

б) только из ёмкостных элементов (C - контура);

в) из источников напряжения и ёмкостных элементов (UC - контура);

либо ветви, содержащие:

а) только источники тока (I - сечение);

б) только индуктивные элементы (L - сечение);

в) источника тока и индуктивные элементы (IL - сечение).

Оставшаяся часть схемы после вынесения из неё указанных элементов будут представлять собой линейную пассивную R-цепь (рис 4.б).

Токи (напряжения) в элементах R-цепи не изменяется, если индуктивные элементы заменить источниками тока , а ёмкостные элементами - источниками напряжения (рис. 5).



При этом источники, замещающие реактивные элементы, должны быть такими, чтобы их токи и напряжения в каждый момент времени имели те же значения, что и токи и напряжения соответствующих элементов.

Пассивная линейная R- цепь, представленная на рис.5 , находится под воздействием источников двух типов:

а) независимых источников питания и источников входных воздействий, представленных вектором:

б) источников замещения реактивных элементов, представленных вектором:

< вектор-столбец состояния схемы

Последний вектор называется вектором состояния.

Напряжения и токи независимых источников полагаются известными. Поэтому напряжения и токи элементов - цепи в любой момент времени определяются вектором состояния для этого момента времени.

Метод анализа схемы, основанный на использовании вектора состояния в качестве независимой переменной, называется методом переменных состояния.

5. Математическая модель линейной электрической цепи

Математическая модель линейной цепи включает:

- уравнения токов резистивных элементов;

- уравнения состояния;

- уравнения выхода.

Рассмотрим общую структуру этих уравнений.

5.1 Уравнения токов резистивных элементов

Пусть и - -векторы токов, которые включают в себя токи резистивных рёбер и токи резистивных хорд. Введём вектор токов резистивных элементов

Очевидно

,

где и - матричные коэффициенты, значение которых определяется топологией цепи и значениями резистивных элементов цепи.

Полученное выше уравнение и есть уравнением токов резистивных элементов.

5.2 Уравнение состояния

Напряжение на индуктивном элементе , .как известно, связано с током в этом элементе соотношением

Это напряжение действует между соответствующими узлами R-цепи, к которым подключен элемент . Очевидно, это напряжение связано линейной зависимостью с векторами и .

или

Ток емкостного элемента , как известно, связан с напряжением на этом элементе соотношением

,

Этот ток принадлежит R-цепи, вытекая из узла и втекая в узел, между которыми включен емкостной элемент . Следовательно, ток , может быть связан линейной зависимостью с векторами , и .



или

Составив подобные уравнения для всех индуктивных и емкостных элементов в той последовательности, в которой токи и напряжения этих элементов представлены в векторе состояния , их затем можно объединить в одно матричное уравнение:

Данное уравнение носит название уравнения состояния. Входящие в него и есть матричные коэффициенты, значение которых определяется топологией цепи и параметрами элементов цепи.

5.3 Уравнение выхода

Выход анализируемой цепи обозначим через , понимая под этим либо .

Выход R-цепи линейно связан с вектором состояния и вектором независимых источников , т.е.

Это есть уравнение выхода. Здесь и - матричные коэффициенты, определяемые параметрами схемы.

6. Математическая модель электрической цепи с нелинейными элементами

Сформулируем математическую модель электрической цепи, имеющей в своем составе нелинейные резисторы или нелинейные реактивные элементы - нелинейные конденсаторы и нелинейные катушки индуктивностей.

6.1 Математическая модель цепи с нелинейными резистивными элементами

Для выявления общей структуры уравнений математической модели цепи с нелинейными резистивными элементами воспользуемся тем же приемом, который был ранее использован для получения структуры уравнений линейной цепи. Вынесем из анализируемой схемы независимые источники, реактивные элементы и нелинейные резистивные элементы (рис. 1 а).

При этом оставшаяся часть схемы представляет собой линейную резистивную схему. Далее произведем эквивалентную замену нелинейных резисторов источниками напряжения или тока (рис. 1 б). Подход при этом следующий:

а) если j-й нелинейный резистор замещен источником напряжения UHj, то ток этого источника должен выражаться через его напряжение зависимостью, соответствующей вольт-амперной характеристике j-го нелинейного резистивного элемента, т.е. ;

б) если k-й нелинейный резистивный элемент замещается источником тока , то напряжение на этом источнике должно выражаться через ток источника зависимостью, представляющей собой вольт-амперную характеристику k-го нелинейного резистивного элемента, т.е. .

Представим вектором напряжение источников напряжения, заменяющих группу нелинейных резистивных элементов, а вектором - токи источников тока, замещающих эти элементы. Эти векторы, в свою очередь, объединим в вектор

Таким образом, линейная резистивная схема оказывается под воздействием трех групп источников, напряжения и токи которых представляются векторами (рис. 1 б).

На основании принципа линейной связи токов в линейной резистивной схеме с напряжениями и токами источников, действующих в схеме, можно структуру уравнений математической модели цепи с нелинейными резистивными элементами представить в следующем виде:

а) уравнение токов линейных резистивных элементов

(1)

б) уравнение состояния

(2)

в) уравнение отклика (выхода)

(3)

Как видим, особенность уравнений математической модели цепи с нелинейными резистивными элементами, отличающая их от уравнений линейной цепи, заключается в наличии в правой части каждого из уравнений третьего члена, содержащего вектор .

Система уравнений (1) - (3) является неполной, поскольку число неизвестных больше, чем число уравнений. Дополним эту систему уравнением

(4)

Оно отражает зависимость токов и напряжений источников замещающих нелинейные резистивные элементов от напряжений и токов всех остальных источников, действующих в схеме.

Система уравнений (1) - (4) уже является полной. По уравнениям (2) и (4) находят сначала векторы и . Затем по значениям этих векторов производят вычисления по уравнениям (1) и (3).

6.2 Математическая модель цепи с нелинейными реактивными элементами

При рассмотрении цепей, содержащих нелинейные реактивные элементы, практический интерес представляет случай, когда емкость нелинейного емкостного элемента является функцией напряжения на этом элементе

,

а индуктивность нелинейного индуктивного элемента - функция тока в этом элементе

В этом случае значения нелинейных элементов зависят от вектора состояния , элементы которого представляют собой напряжения на емкостных элементах и токи в индуктивных элементах.

Структура уравнения состояния цепи с нелинейными реактивными элементами может быть принята той же, что и структура уравнения состояния цепи, не содержащей нелинейных элементов, т.е.

(5)

Однако матричные коэффициенты и в этом случае являются переменными, зависящими от вектора состояния .

При интегрировании уравнения (5) на каждом шаге интегрирования необходимо выполнять пересчет коэффициентов и в соответствии с новым состоянием вектора .

Матричные коэффициенты , , и , входящие в уравнение токов резистивных элементов и уравнений выхода не зависят от значений параметров реактивных элементов.

Размещено на Allbest.ru