Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Тема 6

Переменный ток. Колебания и волны



1. Условие квазистационарности

При дальнейшем изучении переменных токов всегда будет предполагаться, что они удовлетворяют условию квазистационарности.

При наличии электрических колебаний ток является функцией времени и в каждый момент времени на различных участках цепи его величина может быть неодинакова. Условие, при котором мгновенные значения токов одинаковы практически в каждой точке цепи, называется условием квазистационарности. Если - длина цепи, то на прохождение ее электромагнитная волна затрачивает время:

.

Условие квазистационарности:

или,(6.1)

где - период колебаний., - длина волны.

При =3 м, условие (6.1) выполняется вплоть до 10⁶ Гц (Т=10^_6 с). Для технического тока частоты 50 Гц , т.е. распределение тока по проводникам в пределах лаборатории или даже города можно считать квазистационарным. Для квазистационарных токов мгновенные значения и следуют закону Ома.

2. Уравнение колебательного контура

Система, состоящая из индуктивности , емкости и сопротивления , соединенных последовательно (рис. 6.1), называется колебательным контуром. Внешняя ЭДС в этом случае переменная, но может быть и постоянная.

По закону Ома для цепи:

;(6.2)

Напряжение на конденсаторе:

,(6.3)

где . Напряжение на сопротивлении

.

Напряжение на индуктивности:

, (6.4)

где учтено, что это напряжение связано с явлением электромагнитной индукции:



.(6.5)

Подставляя (6.3)-(6.4) в (6.2), получаем уравнение колебательного контура в виде:

.(6.6)

Это дифференциальное уравнение второго порядка. Если , то колебания в контуре являются вынужденными, при - свободными.

Введем следующие обозначения:

;(6.7)

;(6.8)

;(6.9)

и перепишем (6.6) в виде:

Ю(6.10)

где - собственная частота контура; - коэффициент затухания.

3. Переходные процессы в электрических цепях

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи при включении (выключении) постоянной ЭДС.

-цепь с (рис. 6.2).

а) Включение ЭДС: .

Закон Ома в цепи:

(6.11)

при включении тока (это учтено знаком для ). Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением, решаемым следующим образом. Приведем (6.11) к виду:

(6.12)

Запишем характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:

Решение дифференциального уравнения (6.12) примет вид:

,(6.13)



где - константы, определяемые подстановкой решения (6.13) в (6.12) и начальным условием: :

Отсюда: . В момент включения ток отсутствует , тогда из (6.13) следует, что: . Таким образом, с учетом , окончательно решение уравнения (6.11) имеет вид:

(6.14)

Графическая временная зависимость тока представлена на рис. 6.3. Значение тока соответствует закону Ома для постоянного тока и называется установив-шимся. Величина падения напряжения на катушке индуктивности как функция времени выражается экспоненци-альной зависимостью:

, (6.15)

приведенной на рис.6.4.

Следующее отношение имеет смысл времени релаксации:

. (6.16)

Из (6.14) ясно, что при ток достигает установившегося значения, при этом напряжение на индуктивности .

б) Процесс выключения ЭДС будет описываться аналогично, но знак будет противоположным по действию: она будет поддерживать ток в цепи. Закон Ома в цепи дает уравнение:

.(6.17)

В начальный момент времени ток , а равен установившемуся значению . Тогда решение (6.13) имеет вид:

, (6.18)

и при . Напряжение на катушке индуктивности, по-прежнему, определяется как и равно:

.(6.19).

Графические зависимости (6.18) и (6.19) приведены на рис. 6.5 и 6.6, соответственно.

Видно, что при выключении внешней ЭДС ток в цепи становится равным нулю не мгновенно, а лишь тогда, когда станет равным нулю (т.е. )

- цепи с (рис. 6.7). .

а) Зарядка конденсатора (включение ключа К).

Закон Ома в цепи:

. (6.20)

Продифференцируем по времени это выражение:

. (6.21)

Решение ищем в виде . Для , . . Таким образом:

.(6.22)

Данная графическая зависимость представлена на рис. 6.5. После того, как конденсатор зарядится до , ток исчезнет (при ). Следует заметить, что в отличие от тока, заряд на конденсаторе в начальный момент времени равен нулю (отсутствует); он накапливается по мере убывания силы тока и зарядки конденсатора: при , и из (6.20)

.

Закон изменения напряжения на конденсаторе имеет вид, приведенный на рис.6.8, соответствующий аналитической зависимости, полученной при интегрировании (6.22):

.

б) Короткое замыкание в - цепи.

При отключении ЭДС из цепи, т.е. закорачивании ее и сохранении цепи замкнутой, по цепи пойдет ток с начальным значением , который по направлению противоположен предыдущему. Будет наблюдаться разрядка конденсатора. Закон уменьшения тока в данном случае совпадает с (6.22) и рис.6.5, а падение напряжения на конденсаторе происходит так же, как на катушке индуктивности при отключении постоянной ЭДС (рис. 6.6).

- цепь с (рис.6.9). .

Закон Ома в цепи:

(6.23)

Подставим в (6.23): и запишем его для переменной :

.(6.24)

Продифференцировав по времени выражение (6.24), получим:

(6.25)

или в приведенном виде:

, (6.26)

где ; . Характеристическое уравнение:

Корнями этого уравнения являются:

,

где .(6.27)

Для однородного дифференциального уравнения решение запишется в виде:

.(6.28)

Из начального условия получаем:. Окончательно, с учетом формул Эйлера

получим:

.(6.29)

Зависимость (6.29) представлена на рис.6.10. Для

Видно, что  - затухающая функция. Амплитуда колебаний изменяется по закону: . Период затухания колебаний:

.(6.30)

Найдем по формуле: :

Введем обозначения:

; .

Для . Обычно , тогда .

Используя формулы приведения, получим выражение для в форме:

.

Амплитуду найдем из начального условия: . Отсюда: . Таким образом, окончательное выражение для примет вид:

.(6.31)

Используем метод векторных диаграмм, чтобы проиллюстрировать полученный результат. Гармонически изменяющаяся величина может быть представлена вектором, длина которого равна амплитуде, а угол между вектором и выбранной осью - фазе. Из диаграммы рис. 6.11 видно, что опережает ток на угол .

В случае отсутствия сопротивления в цепи (нет затухания колебаний).

Найдем по формуле: . Тогда:

(6.32)

При выводе была использована формула:

Для нахождения постоянной используем граничные условия: (конденсатор разряжен):

Таким образом, напряжение на конденсаторе в любой произвольный момент времени определяется как:

.(6.33)

Ясно, что величина колеблется вокруг значения . При : конденсатор заряжается до и ток в цепи прекращается: .

При этом величина напряжения на катушке индуктивности также стремится к нулю: .

Графики зависимости для случая () приведены на рис.6.12. Легко проверить, что в любой момент времени выполняется: . Максимально возможное значение напряжения на конденсаторе . Если . Это необходимо учитывать при подборе конденсатора, чтобы не возникло пробоя.

При увеличении характер колебаний тока и напряжения в цепи изменяется. При , и колебания становятся апериодическими. При этом омическое сопротивление в цепи называется критическим:



.(6.34)

Уравнение колебаний при также имеет вид (6.26):

которому соответствует характеристическое уравнение:

.

Кратными корнями его являются:

.(6.35)

Решение однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней имеет вид:

.(6.36)

Из начального условия получаем:. Тогда:

.(6.37)

Найдем:

.



Используем начальное условие:

Таким образом:

.(6.38)

.(6.39)

Найдем напряжение на конденсаторе:

.(6.40)

К (6.40) применим интегрирование по частям:

.

Используем начальное условие: .

Окончательно получаем:

.(6.41)

Найдем максимальное значение силы тока:

.

При . Все приведенные зависимости изображены на рис. 6.13. Видно, что когда конденсатор заряжается до , ток в цепи прекращается.

Введем величину добротности контура:

.(6.42)

Здесь - энергия, запасенная в контуре; _ уменьшение энергии за период (в (6.30) считаем ).

Следовательно, при :

.(6.43)

.

Используем начальное условие: .

Окончательно получаем:

.(6.41)

Найдем максимальное значение силы тока:

.

При . Все приведенные зависимости изображены на рис. 6.13. Видно, что когда конденсатор заряжается до , ток в цепи прекращается.

Введем величину добротности контура:

(6.42).

Здесь - энергия, запасенная в контуре; _ уменьшение энергии за период (в (6.30) считаем ).

Следовательно, при :

.(6.43)

4. Переменный ток

Рассмотрим - цепь с переменной ЭДС (рис.6.1). Уравнение колебательного контура:

.(6.44)

,(6.45)

где При решении уравнения удобно пользоваться комплексной формой записи гармонически изменяющейся величины:

.(6.46)

Сила тока также изменяется со временем по закону:

,(6.47)

где - комплексная величина, в которой учитывается разность фаз между и .

Ставится задача: найти амплитудные и фазовые соотношения между током и напряжением в цепи.

Перепишем уравнение (6.45) в виде:

.(6.48)

Из (6.47) и (6.46): . Подставим эти выражения в (6.48):

.(6.49)

Разделим обе части на и учтем, что . Тогда при:

(6.50)

уравнение примет вид закона Ома:

.(6.51)

Здесь - импеданс. Для переменного тока импеданс играет роль сопротивления, но из-за комплексности он позволяет учесть не только соотношения между амплитудами, но и между фазами тока и напряжений.

Для того чтобы найти соотношения между амплитудами, возьмем модули от обеих частей закона Ома (6.51):

,(6.52)

где

Из (6.52) получим амплитуду:

.(6.53)

Это закон Ома в вещественной форме; - омическое сопротивление; - индуктивное сопротивление, а - емкостное.

Для определения соотношения между фазами используем метод векторных диаграмм.

Представим комплексное число вектором на комплексной плоскости. Гармонически изменяющаяся величина изображается вектором, длина которого равна амплитуде, а угол между вектором и вещественной осью - фазой.

Из уравнения колебаний (6.49) при : , получим:

.

Тогда:

Изобразим результаты на векторной диаграмме (рис. 6.14). За начало отсчета возьмем и направим его вдоль вещественной оси. Так же направлен и вектор тока (по фазе напряжение на сопротивлении совпадает с током). Теперь построим векторы , учитывая, что направлен вдоль мнимой оси, т.е. вверх, а - против мнимой оси, т.е. вниз. После этого сложим векторно и получим - приложенное напряжение. Из диаграммы рис.6.14 видно, что:

а) опережает на .

б) отстает от на .

в) опережает на .

Длины векторов - это амплитудные значения напряжений.

.

Тогда . Отсюда видно, что при , или , , т.е. опережает по фазе и .

Таким образом, (6.47) можно записать в виде:

.

Знак определяется соотношением или , соответственно: и .

К переменным токам без всякого изменения применимы первое и второе правила Кирхгофа с учетом комплексной записи закона Ома (6.51):

1) в каждом узле:

;

2) для всякого замкнутого контура:

.

При последовательном соединении импедансов:

;

при параллельном соединении импедансов:

.

Величина, обратная импедансу, называется проводимостью:

.

Поэтому при параллельном соединении:

5. Работа и мощность переменного тока

Если в цепи имеется лишь омическое сопротивление, то мощность, рассеиваемая на этом сопротивлении, переходит в тепло:



.(6.54)

Индуктивные свойства цепи характеризуются , и мощность, развиваемая источником на индуктивности,

.(6.55)

Ясно, что может быть положительной или отрицательной в зависимости от знака . Эта мощность расходуется на энергию магнитного поля. Если в цепи есть конденсатор, то мощность на пластинах емкости:

.(6.56)

Она также может иметь различные знаки в зависимости от знака , превращаясь в энергию электрического поля.

Общая мощность:

;

переменный ток колебательный контур

Начиная отсчет фазы от (или ) с учетом сдвига фаз можно записать:



Тогда при :

(6.57).

Такие мощности называются мгновенными, ибо формулы верны при любом . Для получения средней мощности за период необходимо усреднить эти выражения. С учетом того, что:

,

найдем:

Поэтому - активное сопротивление, так как выделяемая на нем средняя мощность отлична от нуля;  _ реактивные сопротивления.

Мгновенная мощность, выделяемая в цепи:

Тогда средняя мощность:

. (6.58)

Из векторной диаграммы рис.6.15 видно, что , следовательно:

,

где - разность фаз между и . Это выражение совпадает с (6.58). Множитель называется коэффициентом мощности. Формулу для можно сделать идентичной формуле для постоянного тока, если ввести обозначения:

.(6.59)

Эти формулы легко получить как среднеквадратичные по периоду значения:

.

Данные значения называются действующими (эффективными). Все приборы отградуированы на эти значения.

.



При , , каковы бы ни были значения . В этом случае энергия, передаваемая от источника во внешнюю цепь, в точности равна за период энергии, возвращаемой из внешней цепи в источник. Вся энергия бесполезно колеблется между источником и внешней цепью.

Мощность, потребляемая во внешней цепи, максимальна при . Из формулы для ясно, что если общее реактивное сопротивление велико по сравнению с активным: , то также велико. Значит, нужно сделать реактивное сопротивление как можно меньше: , чтобы коэффициент мощности был порядка единицы и потребляемая мощность была максимальной.

6. Резонансы в цепях переменного тока

1. Резонанс напряжений

Рассмотрим - цепь с элементами, включенными последовательно (рис.6.1). Векторная диаграмма тока и напряжений такой цепи приведена на рис.6.14, откуда:

;(6.60)

.(6.61)

Из диаграммы рис.6.14 и формулы (6.61) видно, что при , ; ; . При таком условии получено максимальное значение тока, что эквивалентно условию:

.(6.62)

При этом

,

т.е. , где  - добротность контура (6.43); при малом затухании : , т.е. при резонансе и в раз больше, чем .

Исследуем зависимости . Для этого преобразуем формулы следующим образом. Ток в цепи:

(6.63)

Напряжение на элементах цепи:

;(6.64)

; (6.65)

. (6.66)

Зависимость угла - разности фаз между и - от частоты:

.(6.67)

Графические зависимости (6.64) и (6.67) представлены на рис.6.16 (а и б, соответственно).

Достигают ли максимума и при каких частотах?

Условие отвечает минимуму знаменателя (6.66).

.(6.68)

Продифференцировав, получаем: , откуда:

или:

.(6.69)

Максимальное значение при этом:

.(6.70)



При совпадении частоты вынужденных колебаний и собственной частоты наблюдается резонанс:

При

Найдем условие максимума .

.

Упростим: , откуда:

.(6.71)

Значение при этом:

.(6.72)



При .

При

Таким образом, достигают максимума при частотах, не равных . Оценим, насколько велико это отличие. Так, при : ;

Графики частотной зависимости (6.64), (6.65) и (6.66) приведены на рис.6.17. Из графиков видно, что если выходным сигналом является , то контур служит для ослабления высоких частот (высокочастотный фильтр -ВЧ-фильтр). Если же на выходе снимается , то ослабляется низкочастотная часть, и контур служит низкочастотным фильтром (НЧ-фильтром).

Оценим отличие по (6.69) и (6.71).

Для . Следовательно, при большой добротности, т.е. при малом затухании, можно считать, что максимумы совпадают по частоте. Величины максимумов в раз больше, чем .

.(6.71)

Значение при этом:

.(6.72)

При .

При

Таким образом, достигают максимума при частотах, не равных . Оценим, насколько велико это отличие. Так, при :

;

Графики частотной зависимости (6.64), (6.65) и (6.66) приведены на рис.6.17. Из графиков видно, что если выходным сигналом является, , то контур служит для ослабления высоких частот (высокочастотный фильтр -ВЧ-фильтр). Если же на выходе снимается , то ослабляется низкочастотная часть, и контур служит низкочастотным фильтром (НЧ-фильтром).

Оценим отличие по (6.69) и (6.71).

Для . Следовательно, при большой добротности, т.е. при малом затухании можно считать, что максимумы совпадают по частоте. Величины максимумов в раз больше, чем .

3. Резонанс токов

Резонанс токов происходит в цепи с параллельным включением и (рис.6.18). Он носит еще название “антирезонанса”, или “параллельного резонанса”.

Поскольку изучается цепь с параллельно соединенными элементами, будем оперировать комплексной величиной проводимости . Емкостная проводимость:

.(6.75)

Найдем индуктивную проводимость:

(6.76)



Суммарная проводимость:

(6.77)

Условие резонанса имеет следующий вид:

,(6.78)

т.е. . Согласно (6.77): , откуда:

.(6.79)

При данном условии

, тогда

(6.80)

где , по-прежнему, добротность контура.

Ток во внешней цепи , при этом, имеет минимальное значение (антирезонанс):

.(6.81)

Найдем значения токов (см. рис.6.18).

.(6.82)

Зависимость является линейной по : ток линейно растет с увеличением частоты.

Для случая

(6.83)

Теперь найдем .

. (6.84)

Зависимость индуктивного тока (6.84) является монотонно убывающей функцией частоты.

Для случая

.(6.85)

Видно, что при и

.(6.86)

Тогда при



.

Определим частотную зависимость . Для этого найдем из (6.77):

(6.87)

Таким образом:

(6.88)

На рис.6.19 изображены зависимости токов (6.82), (6.84) и (6.88) от частоты. При

.

.

Т.е. при .

Оценим все величины для :

.

.

Из отношения при можно определить . Из рис.6.19 видно, что вблизи происходит ослабление частот (полосовой фильтр).

Рассмотрим векторные диаграммы токов и напряжений для цепи рис.6.18. совпадают по фазе и по величине. Учтем, что:

.

.

Сначала рассмотрим векторную диаграмму для случая , так называемого идеального контура, при резонансе (рис.6.20). За исходный примем вектор напряжения на контуре. Так как при резонансе реактивные сопротивления равны , одинаковыми будут амплитуды токов и . Ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на контуре на угол =, а ток в емкости опережает это напряжение на такой же угол. В результате, векторы токов и направлены в противоположные стороны. Их сумма равна нулю, что означает отсутствие тока в неразветвленной части цепи.

При резонансе в реальном контуре расположение векторов на диаграмме несколько иное (рис. 6.21). Из-за сопротивления потерь угол между векторами и оказывается меньше , поэтому сумма векторов и дает вектор , соответствующий некоторому току с амплитудой в неразветвленной части цепи. Поскольку рассматривается режим резонанса, векторы и совпадают по направлению, что свидетельствует об активном характере входного сопротивления цепи. Амплитуды токов и в раз больше амплитуды тока (см. (6. 81), (6.83), (6.86)). Благодаря току в контур от источника поступает энергия, которая рассеивается на активном сопротивлении, поддерживая тем самым постоянство амплитуды колебаний.

Теперь предположим, что . При этом , а . Векторная диаграмма для этого случая приведена на рис. 6.22.

Как видно из диаграммы, угол между векторами и положительный и меньше . Это означает, что ток опережает по фазе напряжение на контуре. Длина вектора в рассматриваемом случае больше, чем при резонансе. Это означает, что амплитуда тока в неразветвленной части цепи при (расстройка контура) больше, чем при резонансе. Причина увеличения амплитуды тока заключается в том, что при расстройке контура одновременно с процессом обмена энергиями между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки происходит обмен энергиями между источником и реактивными элементами контура. Чем больше расстройка, тем большее количество энергии участвует в процессе обмена между источником и элементами контура, и, следовательно, тем больше амплитуда в неразветвленной части цепи. При этом угол сдвига фаз между напряжением и током также увеличивается, стремясь к .



Список литературы

1. Вихман Э. Берклеевский курс физики. Квантовая физика. М.: Наука, 2007.

2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2009.

3. Гершензон Е.М. и др. Курс общей физики т.т. 1-2. Механика. М.: Академия, 2008.

4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс общей физики. М. Высшая школа, 2009

5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: Бином, 2008.

6. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2009.

7. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2009.

8. Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 2007.

9. Китель И., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Механика. М.: Наука, 2007.

10. Матвеев А.Н. Курс физики. т.т. 1-4. М.: Высшая школа, 1976-2009.

Размещено на Allbest.ru