Магнитное поле в вакууме

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Магнитное поле в вакууме



1. Силы, действующие на движущиеся заряды в магнитном поле

В 18 столетии было известно много случаев перемагничивания молнией стрелок компасов на морских (океанских) кораблях. Их собрал в коллекцию французский физик Луи Араго. Но он не видел, как соединить молнию и магнетизм, электрические и магнитные явления.

В 1820 г. Эрстед, профессор Копенгагенского университета обнаружил, что поле, создаваемое током, оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку: она устанавливалась перпендикулярно проволоке, по которой шел ток. Поле, создаваемое током, Эрстед назвал магнитным.

Эрстед сделал свое открытие на лекции, где демонстрировал тепловое действие тока. Рядом с проводом, через который протекал ток, случайно лежал компас. Результат был опубликован 21 июля 1820 г. 11 сентября 1820 г. Луи Араго на заседании Парижской Академии, докладывая работу Эрстеда, повторил его опыт. На заседании присутствовал Ампер. Повторив опыт в лаборатории, он впервые произнес слова «сила тока». Через неделю, сообщая результаты своих опытов, Ампер высказал идею, что «спирали и завитки с током должны производить те же эффекты, что и магниты». Было сделано заключение, что: движущиеся заряды (ток) создают магнитное поле, покоящиеся - электрическое.

25 сентября 1820 г. были показаны опыты с двумя токами. Заменив магнитную стрелку другим прямолинейным током, Ампер опытным путем установил закон взаимодействия двух токов:

, (1)

где - расстояние между токовыми элементами, - длина провода. Коэффициент пропорциональности зависит от выбранной системы единиц. В СИ сила, приходящаяся на единицу длины провода с током, запишется:

, (2)

где ; ; .

При изучении электростатики мы начали с закона Кулона для силы взаимодействия двух точечных зарядов. По силе, действующей на пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, мы определили напряженность электрического поля.

При взаимодействии параллельных токов один из них может служить пробным устройством для измерения силы, действующей со стороны другого тока или со стороны поля, создаваемого в пространстве этим током.

По аналогии с напряженностью электрического поля магнитное поле характеризуется величиной , названной магнитной индукцией. Напряженность магнитного поля будет измеряться как сила, действующая на метр длины единичного пробного тока, находящегося в определенной точке. Единицей служит , или Тесла (Тл).

Экспериментально в 1877 г. Роуландом, в 1901 г. Эйхенвальдом было установлено, что в магнитном поле на движущийся заряд действует сила:

, (3)

где - скорость заряда. измеряется в Кулонах (Кл). В случае, когда отличны от нуля, на заряд действует сила Лоренца:

. (4)



Поскольку опыты по действию магнитного поля проводились не с отдельными зарядами, а с токами, то используем формулу (3.3) для вывода формулы силы, действующей на проводник с током в поле .

Ток создается движущимися зарядами с концентрацией : плотность тока . В элементе число зарядов . Сила, действующая на элемент со стороны магнитного поля :

. (5)

Так как , то сила, действующая на линейный элемент тока :

. (6)

Эта формула носит название закона Ампера. Здесь - токовый элемент, имеющий то же направление, что и (I - скаляр).

На провод конечной длины в магнитном поле действует сила:

. (7)

Из закона Ампера (3.6) видна формулировка для напряженности магнитного поля , приведенная выше.

Рассмотрим силы, действующие на рамку с током, находящуюся в магнитном поле .

1. лежит в плоскости рамки.

Используем формулу (3.6). На участках АГ и СД вектор параллелен и антипараллелен , т.е. . На участке ДГ вектор направлен вниз перпендикулярно плоскости витка; для АС - противоположно вверх:

. (8)

Вращающий момент, действующий на рамку:

. (9)

где - магнитный момент рамки.

2. Вектор перпендикулярен плоскости рамки.

Ясно, что в этом случае лежит в плоскости витка, . Тогда в общем случае:

, (10)

. (11)

Рамка с током (виток с током) имеет магнитный момент, направленный перпендикулярно плоскости витка и зависящий от величины тока. Положительное направление определяется направлением нормали , т.е. правилом буравчика. Аналогом рамки с током является движение электрона по орбите в атоме.

2. Магнитное поле движущихся зарядов. Закон Био-Савара-Лапласа

Результаты экспериментального исследования действия тока на магнитную стрелку были доложены на заседании Парижской Академии Био и Саваром 30 сентября 1820 г. В математическую форму элементарного взаимодействия между элементом тока и напряженностью поля в точке облек этот закон Лаплас.

Постановка вопроса такова. Есть заряд , движущийся со скоростью . Он создает магнитное поле (рис. 3.3). Необходимо найти его величину в точке А. Экспериментально было установлено, что:

, (12)

где постоянная зависит от системы единиц. Если , то:

- (13)

закон Био-Савара-Лапласа. В законе - элемент длины проводника с током; - радиус-вектор точки, в которой измеряется магнитное поле .

По принципу суперпозиции:

. (14)

Заметим, что этот закон является своеобразным двойником закона Кулона в электростатике: напряженность поля обратно пропорциональна квадрату расстояния до точки наблюдения.

Примеры.

1. Определить магнитное поле проводника, по которому течет ток величины (прямого тока) в точке, удаленной на расстояние от него . Воспользуемся (3.13), где угол:



.

Вектор направлен «от нас» в точке измерения.

. (15)

; ; , то:

. (16)

Силовые линии представляют собой окружности (направление определяется по правилу буравчика).

2. Определить величину магнитной индукции на оси витка с током в форме окружности радиуса . По витку течет ток .

По (3.13) векторы направлены в точке оси z вдоль образующих конуса. Нормальные компоненты вектора - его проекции на направление, перпендикулярное оси z - при суммировании взаимно скомпесируются, останутся лишь тангенциальные компоненты (проекции на ось z):

;

. (17)

В центре витка:

. (18)

При

, (19)

где - магнитный момент витка. В СИ: [М]=Ам².

Виток, имеющий магнитный момент, создает на оси витка поле , перпендикулярное плоскости витка и совпадающее по направлению с моментом . В отличие от электрического поля кольца, по другую сторону витка вектор не изменяет направление (см. для сравнения рис. 1.4); направление зависит лишь от направления тока (рис. 3.6). Поэтому - полярный вектор, а - аксиальный.

Общая формула для в любой точке пространства с радиусом - вектором :

. (20)

Здесь - единичный вектор вдоль . Видно, что поле витка с током во многом выглядит похожим на поле электрического диполя.

Поэтому Ампером было введено понятие «магнитного диполя», который представлял собой виток с током, имеющий магнитный момент: .

3. Найти величину индукции магнитного поля соленоида длиной с числом витков , по которому течет ток .

В основу расчета положим формулу (3.17) для витка с током. Плотность намотки . На длине течет ток . Начало отсчета - в центре соленоида.

, (21)

где - координата точки, в которой измеряется индукция.

При . (22)

В центре соленоида , где .

3. Основные законы магнитного поля

Для электрического поля в вакууме были выведены две важнейшие теоремы:



- теорема Гаусса ,

- теорема о циркуляции .

Найдем аналогичные соотношения для .

Рассмотрим магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность. Пусть ток направлен к нам, перпендикулярно плоскости рисунка. Силовые линии - окружности, части которых приведены на рис. 3.10. Нарисуем произвольную замкнутую поверхность. Выберем на ней элементарную трубку . Потоки через сечения и равны и противоположны по знаку. Общий поток через трубку равен нулю. Всю поверхность можно разбить на такие трубки, то есть:

. (23)

Это теорема Гаусса для вектора . Из соотношения (23) следует, что магнитные заряды отсутствуют. Линии не имеют начала и конца, они либо замкнуты, либо уходят на бесконечность.

Сравнение с теоремой Гаусса для электрического поля приводит к возникновению вопроса о магнитных зарядах. В качестве магнитного заряда можно рассматривать и полюса магнитного диполя. Квантуются ли магнитные заряды, неизвестно. Это незнание следует из невозможности выделения изолированных полюсов: магнитные полюса существуют в природе лишь в виде диполей.

В 1931 г. Дирак выдвинул теоретическое предположение в пользу возможности существования квантованного магнитного заряда (монополя), величина которого связана с зарядом электрона как: . Предполагалось, что существует элементарная частица, подобная электрону, несущая магнитный заряд . При этом должно выполняться следующее соотношение масс:

.

Экспериментального доказательства существованию монополя до сих пор нет.

Теперь рассмотрим теорему о циркуляции для . Будем исходить из выражения (3.16), полученного для индукции магнитного поля тока, текущего по бесконечному прямолинейному проводнику (рис. 3.11). Силовые линии - концентрические окружности с центром на линии токов. Величина :

Вычислим по произвольному контуру , лежащему в плоскости, содержащей силовые линии .

; ;

, (3.24)



так как . Если не охватывает ток :

.

Итак:

При большом числе токов в контуре, охватывающем часть из них, в силу принципа суперпозиции в каждой точке.

. (25)

В общем случае, теорема о циркуляции вектора , или закон полного тока, записывается:

, (26)

где - полный ток (или сумма токов), охватываемый контуром . Выведем его в дифференциальной форме. Учтем, что:



;

;

, (27)

. (28)

Это - дифференциальная форма закона полного тока. В такой форме он имеет локальный характер и справедлив в любой точке.

Из закона о циркуляции следует, что магнитное поле не потенциально. Так как силовые линии поля замкнуты, то оно является вихревым.

Следующие четыре уравнения для совместно носят название уравнений Максвелла для вакуума:

; (29)

. (30)

Физический смысл этих уравнений таков.

Уравнения (3.29) описывают тот факт, что силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных; силовые линии магнитного поля замкнуты (поле вихревое).

Уравнения (3.30) показывают, что электростатическое поле потенциально; магнитное поле, создаваемое токами (движущимися зарядами), не потенциальное, вихревое.

Сравним еще раз также формулы для электрического и магнитного диполей и полей на их оси:

(31)

Видно, что магнитные и электрические диполи ведут себя одинаково. Почему? Потому что при и , то есть вдали от зарядов и токов, уравнения Максвелла одинаковы (правые части и обоих векторов равны нулю). Но физически источники этих полей различны: циркулирующий ток, пара зарядов.

Примеры.

По проводу круглого сечения радиуса течет ток плотности . Найти .

Используем теорему о циркуляции вектора (3.26):

Выберем контур так, чтобы он проходил по силовой линии магнитного поля (в данной задаче - это окружность). Рассмотрим два случая.

Радиус контура . Ток внутри контура . Тогда:

. (32 а)

В векторной форме:

.

Радиус контура . Так как ток течет лишь по сечению провода, то .



В векторной форме:

. (32 б)

График зависимости приведен на рис. 3.13.

2. Найти индукцию магнитного поля тороида ( и - радиусы).

Силовые линии - окружности, центр которых в центре тора. Ясно, что там, где нет витков, то есть при , . При

. (33)

При : , так как ток пересекает площадь контура дважды в различных направлениях.

4. Работа при перемещении витка с током в магнитном поле. Индуктивность

магнитный индуктивность лаплас вакуум

Рассмотрим действие сил Ампера на перемещающийся в поле контур. Пусть два параллельных провода и помещены в поле , перпендикулярное плоскости рисунка, и по ним свободно перемещается перемычка . В контуре ток . На участке действует сила (3.6):

.

Направление ее показано на рис. 3.14. Работа по перемещению перемычки на :

,

где - изменение магнитного потока в заштрихованной площади. Тогда: и работа по перемещению перемычки из точки 1 в точку 2 равна:

. (34)

Формула (3.34) справедлива:

- при любом направлении поля , так как вектор можно разложить на компоненты и , причем не оказывает действия на виток ;

- при любой форме витка, так как он может быть разбит на бесконечно малые области нужной формы.

Величину потока можно записать в виде:

, (35)

где - индуктивность контура. Это характеристика, не зависящая от величины тока , но определяемая размерами и формой проводника. Тогда:

.



Список литературы

1. Вихман Э. Берклеевский курс физики. Квантовая физика. М.: Наука, 2007.

2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2009.

3. Калашников С.Г. Электричество. М.: Наука, 2006.

4. Китель И., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. Механика. М.: Наука, 2006.

5. Матвеев А.Н. Курс физики. т.т. 1-4. М.: Высшая школа, 2006-2009.

6. Парселл Э. Берклеевский курс физики. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 2007.

7. Рейф Ф. Берклеевский курс физики. Статистическая физика. М.: Наука, 2009.

8. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. т.т. 1-9. М.: Мир, 2008.

9. Хайкин С.Э. Физические основы механики. М.: Наука, 2009.

Размещено на Allbest.ru