Классический метод анализа переходных процессов в электрических цепях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Классический метод анализа переходных процессов в электрических цепях

Выполнил:

Ержан Г.Р.

Проверила

Бейсенбаева Г.К.



1. Классический метод анализа переходных процессов в электрических цепях

1.1 Установившиеся и переходные процессы

Установившимся режимом называется такой режим, при котором токи и напряжения в цепи являются постоянными величинами или периодическими функциями времени (в частности гармоническими). Режим покоя, когда все токи и напряжения в цепи равны нулю также считается установившимся.

В установившемся режиме каждый ток или напряжение имеет постоянную величину (режим постоянного тока) или постоянные амплитуду, частоту и начальную фазу (режим гармонического тока) (рис. 1).

Рисунок 1:

Переходным процессом называется режим, при котором токи и напряжения в цепи изменяются от одних установившихся значений до других. Очевидно, во время переходного процесса токи и напряжения в цепи не могут быть постоянными или периодическими. Задача анализа переходных процессов заключается в определении переходных токов и напряжений как функций времени i_k(t) и u_k(t).

Переходный процесс возникает при изменении действующих в цепи задающих функций источников или при внезапном изменении параметров самой цепи (например включение или отключение источника, короткое замыкание участка цепи и т. д.). Изменения в цепи, вызывающие переходный процесс, называются коммутацией. Обычно полагают, что коммутация происходит мгновенно в момент времени t=0 и осуществляется с помощью идеального ключа (рис. 2), сопротивление которого равно нулю, если он замкнут, и бесконечно велико, если он разомкнут.

Рисунок 2:

1.2 Законы коммутации

В общем случае переходный процесс занимает некоторое (теоретически бесконечно большое) время.

Например, можно услышать как постепенно снижается до нулевой громкость звука работающего радиоприемника при отключении его от источника электропитания.

Любой установившийся режим характеризуется определенным запасом энергии магнитного и электрического полей в каждый момент времени:

(1)

Где:

i_k (u_l) - мгновенный ток (напряжение) в катушке;

L_k - (на конденсаторе C_l);

k и l - индексы суммирования.

В переходном режиме происходит изменение запасенной в цепи энергии и это изменение не может происходить скачкообразно (мгновенно), так как скачкообразное изменение энергии потребует бесконечно больших мощностей:

P = dW / dt

- в цепи, что лишено физического смысла.

На основании этого вывода и соотношения (1) могут быть сформулированы два закона коммутации при конечных по величине воздействиях в цепи.

1. Ток в любом индуктивном элементе является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком, в частности для момента коммутации t = 0:

(2)

Где:

t = 0 - момент времени непосредственно предшествующий моменту коммутации;

t = 0₊ - момент времени сразу после мгновенной коммутации.

2. Напряжение на любом емкостном элементе является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком. В частности для момента коммутации.

(3)

Таким образом, токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в начальный момент t = 0₊ после коммутации имеют те же значения, что и непосредственно перед коммутацией при t = 0_- и затем плавно изменяются. Заметим, что токи и напряжения на резисторах, а также токи через емкости и напряжения на индуктивностях могут изменяться скачкообразно, так как с ними непосредственно не связана запасаемая в цепи энергия.

1.3 Начальные условия

Значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т. е., в начальный момент, образуют независимые начальные условия задачи. Независимые начальные условия определяют начальный запас энергии в цепи. Различают задачи с нулевыми начальными условиями, когда для всех емкостей u_C(0₊) = 0 и для всех индуктивностей i_L(0₊) = 0, и с ненулевыми, когда указанные требования нарушаются хотя бы в одном из реактивных элементов. Независимые начальные условия могут быть заданы или рассчитаны с применением законов коммутации.

Начальные значения токов в ветвях без катушек индуктивности или напряжений на элементах, не являющихся конденсаторами, называются зависимыми начальными условиями. Они определяются по независимым начальным условиям с применением законов Кирхгофа или других методов расчета для момента времени t = 0₊. Пример. Для цепи рис. 3 определить начальные значения всех токов. До коммутации в цепи был установившийся режим постоянного тока. Параметры цепи:

U₀ = 10В;

R₁ = R₂;

R₂ = R₃;

R₃ = R₄;

R₄ = 100Ом;

C = 10^-6Ф;

L = 10^-3Гн.



Рисунок 3:

Для определения независимых начальных условий воспользуемся законами коммутации i_L(0₊) = i_L(0_-) и u_C(0₊) = u_C(0_-). Для этого изобразим схему в установившемся режиме постоянного тока до коммутации, в которой емкости должны быть представлены в виде обрыва а индуктивности - в виде короткого замыкания (рис. 4). Как видно из этой схемы искомое напряжение u_C(0_-) равно напряжению на резисторе R₂, а искомый ток i_L(0_-) равен току через резистор R₃ со знаком минус. Резисторы R₁ и R₂ оказались соединены последовательно, а R₃ и R₄ - параллельно и вместе указанные пары образуют последовательное соединение с источником напряжения. Поэтому:

i₁(0_-) = i₂(0_-) = U₀ / (R₁ + R₂ + R₃R₄ / (R₃ + R₄)) = 0,04A

Рисунок 4:

Поскольку параллельно соединенные резисторы R₃ и R₄ равны, то и токи через них равны и в сумме они должны составить i₂(0_-) согласно первому закону Кирхгофа. Следовательно i₃(0_-) = 0,5. Таким образом i_L(0₊) = i_L(0_-).

Тогда u_C(0₊) = u_C(0_-).

Для определения начальных значений других токов и напряжений необходимо изобразить схему после коммутации для момента t = 0₊ (рис. 5), в которой известны независимые начальные условия, и для нее по законам Кирхгофа произвести расчет искомых токов и напряжений.

Рисунок 5:

На основании законов Кирхгофа получим:

Те же результаты можно получить если в схеме для t = 0₊ емкость представить источником напряжения u_C(0₊), а индуктивность - источником тока i_L(0₊) (согласно известной теореме компенсации).

1.4 Классический метод анализа переходных процессов

Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:

Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений путем исключения остальных переменных приводят к одному линейному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами:

(4)

Где:

i(t) - искомая переменная;

f(t) - правая часть, обусловленная возмущающими силами, т. е., функциями источников.

Напомним известные из курса математики сведения о решении линейных дифференциальных уравнений. Общее решение линейного дифференциального уравнения (4) определяется в виде суммы двух составляющих:

i(t) = i_св(t) + i_вын(t) (5)

Первая составляющая называется свободной или собственной и определяется как общее решение соответствующего однородного уравнения, которое получается из (4) путем приравнивания нулю правой части f(t) = 0:



(6)

Для определения общего решения (6) составляется характеристическое уравнение, которое получается из (6) путем замены k -той производной на p^k.

При этом сама искомая переменная заменяется на единицу. Характеристическое уравнение:

pⁿ + b_n-1p^n-1 +........... +b₁p + b₀ = 0 (7)

Что является алгебраическим уравнением степени n и его корни p_k определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:

(8)

Где:

A_k - постоянные интегрирования.

Решение (8) записано для случая различных корней p_k. Входящие в (8) n постоянных интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям. Заметим, что в однородном дифференциальном уравнении (6) правая часть приравнивается нулю, что означает отсутствие в цепи внешнего воздействия, т. е., источника. Поэтому токи и напряжения в ветвях цепи будут определяться только параметрами и свойствами самой цепи, а также начальным запасом энергии. Физически очевидно, что для реальных цепей собственная составляющая i_св(t) при отсутствии источников должна стремиться со временем к нулю. Эта составляющая существует во время переходного процесса. Вторая составляющая i_вын(t) решения (5) называется вынужденной и представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (4) (с ненулевой правой частью). Из математики известно, что вид частного решения определяется видом правой части уравнения. В частности, если правая часть f(t) - константа, то и частное решение ищется в виде константы.

Если правая часть является гармонической функцией с определенными частотой, амплитудой и начальной фазой, то и частное решение будет гармонической функцией той же частоты, для которой нужно определить амплитуду и начальную фазу.

Таким образом, вынужденная составляющая обусловлена воздействием источников в цепи и при t искомая переменная i(t).

Поэтому вынужденная составляющая называется установившейся и определяется как установившееся значение (в случае постоянной вынуждающей силы) или как установившаяся функция (в случае гармонической вынуждающей силы) для искомой переменной в цепи после коммутации:

(9)

Необходимо отметить, что определение вынужденной составляющей в случае воздействия сигналов более сложной формы, чем упомянутые выше, представляет достаточно сложную задачу.

В заключении приведем рекомендуемый порядок расчета переходных процессов классическим методом.

1. Определить независимые начальные условия i_Lk(0₊) и u_Ck(0₊) с использованием законов коммутации.

2. Для цепи после коммутации составить систему уравнений Кирхгофа с использованием уравнений для элементов.

3. Полученную систему разрешить относительно искомой переменной. При этом получится одно дифференциальное уравнение n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.

4. Определить решение полученного дифференциального уравнения:

(10)

Где:

i_{вын/уст}(t) - вынужденная (установившаяся) составляющая;

p_k - корни характеристического уравнения;

A_k - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Далее классический метод будет использован для анализа переходных процессов в простейших RL, RC и RLC- цепях.

1.5 Переходные процессы в RL - цепях

1.5.1 Подключение источника постоянного напряжения в последовательной RL - цепи

Схема показана на рис. 6 при u₀(t) = U₀. В момент времени t = 0 ключ замыкается.

Рисунок 6:

Начальные условия. До коммутации токи и напряжения в RL - цепи были равны нулю, т. е., цепь находилась в состоянии покоя. Поэтому i_L(0₊) = i_L(0_-), т. е., имеем нулевые начальные условия. Уравнения Кирхгофа и дифференциальное уравнение. Для t0 для цепи после коммутации запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Где:

u_R(t) и u_L(t) - напряжения на резисторе и катушке индуктивности. Выразим эти напряжения через ток i_L(t) в контуре, используя известные соотношения:

Тогда получим следующее уравнение:

(11)

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, что соответствует цепи с одним реактивным элементом. Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты и является неоднородным (правая часть отлична от нуля), т. к., в цепи после коммутации имеется источник.

Решение дифференциального уравнения в соответствии с изложенным выше порядком, будем искать в виде суммы (5):

(12)



Где:

i_Lсв(t) - общее решение однородного уравнения (11) с правой частью равной нулю, а i_Lвын = i_Lуст - частное решение (11), которое определяется как установившееся значение искомой переменной в цепи после коммутации.

а). Для определения i_Lсв(t) запишем характеристическое уравнение соответствующее полученному дифференциальному. Оно будет иметь вид: pL, а его корень:

p₁ = - R / L

В соответствии с этим свободная составляющая:

(13)

Где:

A₁ постоянная интегрирования;

t = L / R

- имеет размерность времени и называется постоянной времени RL - цепи.

Необходимо отметить, что в цепи с одним реактивным элементом дифференциальное уравнение для искомой переменной будет первого порядка, и следовательно, собственная составляющая будет иметь вид (13). Постоянные А₁ и t будут зависеть от структуры цепи и ее параметров.

На рисунке 7 приведены примерный график собственной составляющей и таблица ее значений для моментов времени кратных постоянной времени цепи.



Рисунок 7:

Таблица:

t	0	t	2t	3t	4t	5t	Ґ
exp(-t/t)	1	0,37	0,13	0,05	0,018	0,007	0

Как было отмечено выше, собственная составляющая существует во время переходного процесса и его определяет. Поэтому с помощью постоянной времени цепи можно оценить длительность переходного процесса. Считают, что переходный процесс практически заканчивается по истечении промежутка времени равного (4-5) (свободная составляющая за это время уменьшается до 0,02 от своего первоначального значения согласно рис. 7). Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, т. к., свободная составляющая обращается в нуль только при t.

б). Вынужденную составляющую i_Lвын(t) будем определять как установившееся значение тока в цепи. В установившемся режиме при t в цепи установится режим постоянного тока, при котором напряжение на катушке индуктивности тождественно, т. е., для любого момента времени, равно нулю, согласно соотношению:



При i_L(t) = const). Поэтому в установившемся режиме постоянного тока катушку можно представить коротким замыканием, а всю схему в виде рис. 8. Из представленной схемы определяем:

i_Lвын(t) = i_Lуст(t) = U₀ / R (14)

Рисунок 8:

Полный переходный ток, согласно 1.12-1.14 равен:

(15)

в). Постоянную интегрирования А₁ определяем из начальных условий i_L(0₊) = 0. После коммутации ток в цепи описывается выражением (15). Полагая в нем t = 0 и приравнивая полученное выражение известному начальному значению, получим:

i_L(0₊) = А₁ +U₀ / R = 0

Отсюда:

А₁ = - U₀ / R



Окончательное решение (15) принимает вид:

(16)

График зависимости тока от времени представлен на рис. 9.

Рисунок 9:

До коммутации ток в катушке равен нулю и с этого же значения начинает изменяться после коммутации. При t = t ток нарастает до 0.63 от установившегося значения U₀. По истечении времени t = (4-5) переходный процесс практически завершается и в цепи устанавливается постоянный ток:

i_Lуст(t) = U₀ / R

Напряжения на резисторе и катушке индуктивности можно определить по найденному току i_L(t) с использованием известных соотношений:



Графики этих функций приведены на рис. 10.

Рисунок 10:

Напряжение на резисторе u_R(t) повторяет форму тока, а напряжение на индуктивности u_С(t) пропорционально производной от тока в первый момент после коммутации напряжение на катушке равно U₀, т. е., изменяется скачком, т. к., до коммутации оно равнялось нулю. Это не противоречит законам коммутации, которые выполняются только для токов в индуктивностях и для напряжений на емкостях.

1.5.2 Подключение источника гармонического напряжения в последовательной RL - цепи

Предположим, что в схеме рис. 6 напряжение источника является гармонической функцией времени:

u₀(t) = U_m0 cos * (w * t + y₀)

Тогда в данном случае дифференциальное уравнение (11) будет иметь правую часть в виде гармонической функции:



Свободная составляющая решения, как и в предыдущем примере, равна:

Вынужденную составляющую найдем как установившийся гармонический ток:

i_Lвын(t) = i_Lуст(t) = I_mL * cos * (w * t + y_L)

Его параметры, т. е., амплитуду I_mL и начальную фазу y _L определим методом комплексных амплитуд. Искомая комплексная амплитуда тока:

Откуда получаем:

Полный ток:

i_L(t) = i_Lсв(t) + i_Lвын(t) = + I_mL * cos * (w * t + y_L)

Для расчета А₁ используем начальное условие при подстановке в выражение для полного тока t = 0 дает следующее уравнение:



i_L(0₊) = А₁ + I_mL * cos(y _L) = 0

Откуда получаем, что:

А₁ = - I_mL * cos * (y_L)

Окончательно с учетом полученных выше результатов запишем переходный ток:

Графики зависимостей от времени свободного, установившегося и полного токов приведены на рис. 11.

Рисунок 11:

1.6 Переходные процессы в RC - цепях

1.6.1 Подключение источника постоянного напряжения в последовательной RC - цепи

Схема показана на рис. 12. В момент времени t = 0 ключ замыкается.



Рисунок 12:

Начальные условия. До коммутации цепь находилась в состоянии покоя (источник отключен от цепи) и поэтому u_C(0₊) = u_C(0_-), т. е., имеем нулевые начальные условия.

Уравнения Кирхгофа и дифференциальное уравнение. Для tі уравнение по второму закону Кирхгофа:

u_R (t) + u_C (t) = i(t) R + u_C (t) = U₀

Где:

u_R (t) и u_C (t) - напряжения на резисторе и конденсаторе;

i(t) - ток в цепи.

Ток в конденсаторе связан известным соотношением с напряжением на конденсаторе:

После подстановки которого в уравнение Кирхгофа получим дифференциальное уравнение:

(17)



Полученное уравнение является линейным дифференциальным неоднородным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Первый порядок уравнения получен потому, что цепь после коммутации содержит один реактивный элемент.

Решение дифференциального уравнения будем искать в виде суммы свободной и вынужденной составляющих:

u_C * (t) = u_Cсв * (t) + u_Cвын * (t)

а). Для определения u_Cсв (t) составляем характеристическое уравнение:

pRC + 1 = 0

И вычисляем его корень:

p₁ = - 1 / RC

Свободная составляющая решения записывается в следующем виде:

(18)

Где:

t = RC имеет размерность времени и называется постоянной времени RC - цепи;

А₁ - постоянная интегрирования, которая в дальнейшем определяется из начальных условий.

б). Вынужденную составляющую u_Cвын (t) будем определять как установившееся значение u_Cуст (t) искомой переменной в цепи после коммутации. Поскольку на входе цепи включается источник постоянного напряжения, то в ней установится режим постоянного тока. В этом режиме емкостной элемент представляет из себя обрыв цепи и схему можно представить в виде рис. 13.

Рисунок 13:

Ток в такой цепи i_уст = 0 и из второго уравнения Кирхгофа:

i_уст * R + u_Cуст = 0

Следует, что u_Cуст = U₀. Таким образом, полное напряжение на конденсаторе равно:

u_C (t) = u_Cсв (t) + u_Cвын (t) = + U₀ (19)

в). Для определения А₁ используем начальное условие u_C(0₊) = 0. Полученное решение (19) должно удовлетворять этому начальному условию. При t = 0 имеем:

u_C(0₊) =А₁ + U₀ = 0

Откуда получаем А₁ = - U₀. Подставляя это значение в (19), получим окончательное решение:



(20)

Функцию тока i(t) в цепи определим с помощью найденного напряжения u_C (t) по формуле:

(21)

Функции тока i(t) и напряжения u_C (t) представлены на рис. 14 и описывают процесс заряда конденсатора. Напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно. Напряжение возрастает, а ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи t, т.е. чем медленнее затухает свободное напряжение u_Cсв (t).

Необходимо отметить, что до коммутации токи и напряжения в цепи были равны нулю. В момент коммутации напряжение остается нулевым, а ток скачком изменяется до величины:

i(0₊) = U₀ / R

А затем постепенно спадает до нуля. Скачок тока не противоречит законам коммутации, т. к., это не ток в индуктивном элементе.

Рисунок 14:



1.6.2 Режим свободных колебаний в последовательной RC - цепи

Рассмотрим схему рис. 15, в которой конденсатор, заряженный от источника до напряжения U₀ через резистор R₁ замыкается ключом в момент времени t = 0 на другой резистор R.

Рисунок 15:

Таким образом в RC-цепи после коммутации будет отсутствовать источник электрической энергии и колебания в ней будут существовать за счет энергии, запасенной в емкости к моменту коммутации, т. е., за счет ненулевых начальных условий u_C(0₊) = u_C(0_-).

Колебания в электрической цепи, происходящие после прекращения воздействия внешних сил (источников), называются свободными.

После коммутации для замкнутого контура, образованного резистором и R конденсатором C, на основании второго закона Кирхгофа имеем следующие:

t + u_C * (t) = U₀

Полученное дифференциальное уравнение является однородным и его решение будем искать в виде свободной составляющей (вынужденная составляющая равна нулю).

Свободная составляющая будет иметь тот же вид, что и в предыдущем примере.

Таким образом в данном случае полное решение имеет вид:

u_C(t) = u_Cсв(t)

p₁ = - 1 / RC

RCp + 1 = 0

Постоянную интегрирования А₁ определим из начального условия u_C(0₊) = А₁.

Окончательное решение:

Графики полученных функций приведены на рис. 16.

Рисунок 16:

Происходит разряд конденсатора. Напряжение на нем постепенно уменьшается до нуля.

Во время разряда в цепи протекает ток, противоположный по направлению зарядному, указанному на рис. 15. Это означает, что емкость эквивалентна в данном режиме источнику напряжения. Вся запасенная в емкости энергия с течением времени преобразуется в тепло в резистивном элементе.

1.7 Расчет переходных процессов в разветвленных цепях с одним реактивным элементом и источниками постоянного тока и напряжения

Расчет процессов установления в таких цепях можно произвести, используя общий порядок, изложенный в разделе 1.4, т. е., путем составления уравнений Кирхгофа и получения дифференциального уравнения. Очевидно, что при одном реактивном элементе в цепи порядок дифференциального уравнения будет первым. Другой способ решения рассматриваемой задачи - применение общей формулы, описывающей переходные токи и напряжения в цепи первого порядка, а именно:

(22)

Где:

f(t) - переходный ток или напряжение в цепи;

А₁ - постоянная интегрирования;

t - постоянная времени цепи;

f_уст - установившееся значение искомой переменной в цепи после коммутации.

Постоянную интегрирования можно определить с помощью начального значения искомой переменной f(0₊). Действительно, из (22) имеем:

f(0₊) = f_уст + А₁

Откуда:



А₁ = f(0₊) - f_уст

Таким образом, в данном случае постоянная интегрирования равна разности между начальным и установившимся (конечным) значениями искомой переменной. Решение (22) окончательно запишем в следующем виде:

f(t) = f_уст + (23)

Рассмотрим определение величин, входящих в (23).

а). Начальное значение f(0₊) определяется из схемы для t = 0₊, в которой заданы или определены независимые начальные условия u_C(0₊) или i_L(0₊).

Для расчета могут быть использованы законы Кирхгофа или любые другие методы. В частности, по теореме компенсации реактивный элемент для рассматриваемого момента времени t = 0₊ может быть заменен источником постоянного напряжения u_C(0₊) (если это емкость) или источником постоянного тока i_L(0₊) (если это индуктивность). В образованной таким образом резистивной цепи с источниками постоянного тока и напряжения могут быть определены начальные значения для всех токов и напряжений в том числе и для искомой переменной.

б). Установившееся значение f_уст определяется из схемы после коммутации в установившемся режиме постоянного тока, в которой реактивный элемент представляется либо коротким замыканием (индуктивность) либо обрывом (емкость).

в). Постоянную времени проще всего определить следующим образом. Согласно теореме об эквивалентном генераторе резистивную цепь с источниками относительно ветви с реактивным элементом можно заменить источником напряжения U₀ с внутренним сопротивлением R₀. При этом получим последовательную RC или RL - цепь, для которой постоянная времени определяется как:

t = L / R₀

Далее рассмотрим примеры решения задач указанными двумя способами.

Пример 1. Для цепи рис. 17 определить переходный ток i_L(t) путем составления и решения дифференциального уравнения. Источник постоянного напряжения U₀ подключается к разветвленной цепи с индуктивностью.

Начальные условия нулевые, т. е., i_L = 0.

Уравнения Кирхгофа. Линейно независимая система должна состоять в данном случае из трех уравнений (три неизвестных тока), причем одно уравнение составляем по первому закону Кирхгофа и два уравнения по второму закону Кирхгофа:

Рисунок 17:



Рисунок 18:

Разрешаем полученную систему относительно искомой переменной i_L(t). Для этого выражаем через i_L(t) токи i₁(t) и i₂(t), используя второе и третье уравнения системы:

Эти выражения подставим в первое уравнение.

После элементарных преобразований получим дифференциальное уравнение:

Решение дифференциального уравнения:

i_L(t) = i_Lсв(t) + i_Lвын

а) Характеристическое уравнение:

p * (L / R₁ +L / R₂) + 1 = 0



И его корень:

p₁ = - R₁ * R₂ / (L * R₁ + L * R₂)

- определяют свободную составляющую:

Где:

t = L * (R₁ + R₂) / (R₁R₂)

- постоянная времени для данной цепи.

б). Вынужденную составляющую определим из схемы после коммутации в установившемся режиме постоянного тока (рис. 18):

i_Lвын(t) = i_Lуст(t) = U₀ / R₁

Полное решение:

в). Постоянную интегрирования А₁ определим из начальных условий i_L(0₊) = 0. При подстановке в полное решение t = 0 получим:

i_L(0₊) = А₁ + U₀ / R₁ = 0



Отсюда:

А₁ = - U₀ / R₁

Окончательное решение принимает вид:

Пример 2. Определить функцию тока через резистор R₁ в схеме рис. 19 после размыкания ключа, используя общую формулу (23):

i₁(t) = i_1уст + [i₁(0₊) - i_1уст ] Ч e^-t/t.

Параметры цепи:

I₀ = 3 * A

До коммутации в цепи был установившийся режим постоянного тока. Схема для этого режима изображена на рис. 20, из которой определим независимое начальное условие u_C(0₊) = u_C(0_-).

Заметим, что искомое напряжение совпадает с напряжением на резисторе R₃. Ток через этот резистор проще всего определить, заменив источник тока I₀ с параллельным сопротивлением R₁ на источник напряжения U₀ = I₀ с последовательным сопротивлением R₁. После этого образуется последовательная цепь и ток:

i₃ * (0_-) = I₀R₁ / (R₁ + R₂ + R₃)



А напряжение:

u_C (0_-)= I₀R₁R₃ / (R₁ + R₂ + R₃) = 10В

Рисунок 19:

Рисунок 20:

Начальное значение i₁(0₊) определим из схемы рис. 21 для t=0₊ (ключ разомкнут), в которой известно напряжение u_C (0₊)= 10 В.

Из уравнений Кирхгофа имеем:

i₁(0₊) + i₂(0₊) = I₀

i₁(0₊) * R₁ + i₂ * (0₊) * R₂ = u_C(0₊) = 10В

Подставив значения R₁ и R₂ и решив полученную систему уравнений, получим i₁(0₊) = 2А. Установившееся значение искомой переменной в режиме постоянного тока в цепи после коммутации (рис. 22).

Постоянная времени цепи t = R₀, при этом R₀ - определяется как эквивалентное сопротивление относительно зажимов реактивного элемента при удаленных источниках (разомкнутых источниках тока и замкнутых на коротко источниках напряжения).

Рисунок 21:

Рисунок 22:

Из рис. 22 следует, что:

R₀ = R₁ + R₂ = 20 Ом

Таким образом t =0,002 с.

Функция искомого тока:

i₁(t) = 3 + [2 - 3] Ч e^-500t = 3 - e^-500t



График i₁(t) изображен на рис. 23.

Рисунок 23:



2. Переходные процессы в последовательном RLC-контуре

Рассмотрим процессы установления при включении источника постоянного напряжения на вход последовательной RLC- цепи (рис. 24).

Рисунок 24:

В данном случае электрическая цепь после коммутации содержит два реактивных элемента - индуктивность и емкость. Это означает, что дифференциальное уравнение цепи должно иметь второй порядок и поэтому должны быть определены два независимых начальных условия. Очевидно, что до коммутации цепь находилась в состоянии покоя, что соответствует нулевым начальным условиям: u_C(0₊) = 0, и так же i(0₊) = 0.

Согласно второму закону Кирхгофа для цепи после коммутации справедливо следующее уравнение:

u_R(t) + u_L(t) + u_C(t) = U₀ (24)

Будем интересоваться напряжением на емкости u_C(t) и поэтому другие напряжения, входящие в (24), а именно, напряжение на резисторе u_R(t) и напряжение на индуктивности u_L(t) выразим через u_C(t):

(25)



После подстановки (25) в (24) получим дифференциальное уравнение:

(26)

Полученное уравнение является линейным дифференциальным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его решение будем искать в виде:

u_C(t) = u_Cсв(t) + u_Cвын

Для определения свободной составляющей записываем соответствующее характеристическое уравнение:

LCp² + Rcp + 1 = 0

И определяем его корни:

(27)

Где введены следующие обозначения:

a = R / 2L

- коэффициент затухания;

w ₀ = 1 / Ц * LC



- резонансная частота контура.

Далее записываем выражение для свободной составляющей:

Вынужденную составляющую решения определим как установившееся значение напряжения на емкости в режиме постоянного тока в цепи после коммутации (рис. 25).

Рисунок 25:

Из уравнения по второму закону Кирхгофа получим напряжение:

(28)

И для тока:

(29)

Выражение для тока необходимо для определения постоянных интегрирования. Используя нулевые начальные условия, из (28) и (29) при t = 0 получим:



u_C(0₊) = A₁ + A₂ + U₀ = 0

i(0₊) = CA₁p₁ + CA₂p₂ = 0

Решение этой системы уравнений дает выражения для постоянных интегрирования:

(30)

Дальнейшая конкретизация решения связана с видом корней р₁ и р₂ характеристического уравнения. В зависимости от соотношения между параметрами цепи возможны следующие виды корней (27):

a > w₀ - корни вещественные, отрицательные, неравные, что соответствует, как будет показано ниже, апериодическому режиму переходных процессов;

a = w₀ - корни вещественные отрицательные, равные. Режим называется критическим;

a < w₀ - корни комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, что соответствует колебательному режиму.

Далее рассмотрим эти три случая отдельно.

Апериодический режим.

Условие a > w ₀, как нетрудно убедиться, эквивалентно соотношениям: R > 2r и Q < 0.5, где:

r = Ц * L / C

- характеристическое сопротивление контура, а:

Q = r / R



- его добротность.

Таким образом, в рассматриваемом случае контур имеет значительные потери, т. е., является низкодобротным.

При этом корни (27):

p_1,2 = - a ± b

Где:

b = < a

Являются вещественными отрицательными числами. Подставляя эти корни в (29) и (30), получим решение для функции напряжения на емкости:

(31)

Качественный график полученной функции показан на рис. 26. Переходное напряжение на емкости имеет апериодический (не колебательный) характер и представляет из себя монотонно возрастающую функцию. Происходит апериодический заряд конденсатора до напряжения источника U₀.

Рисунок 26:



На этом же рисунке приведены качественные графики тока i(t) и напряжения на индуктивности u_L(t), при построении которых принималось во внимание то, что в цепи апериодический режим переходных процессов, а также соотношения, связывающие указанные функции с найденной функцией u_С(t). Начальные значения i(0₊)=0 и u_L(0₊)= U₀, что следует из нулевых независимых начальных условий и уравнения Кирхгофа (1.24) для момента времени t=0₊:

Ri(0₊) + u_L(0₊) + u_C(0₊) = u_L(0₊) = U₀

Конечные или установившиеся значения, согласно рис. 25, равны i_уст = 0, и так же u_Lуст = 0.

Поскольку напряжение на индуктивности пропорционально производной от тока, то оно должно быть положительным во время возрастания тока и отрицательным во время его убывания.

Критический режим. Если a =w ₀, тогда R = 2r и так же Q = 0,5. При этом корни (27) характеристического уравнения:

р₁ = р₂ = - a

Т. е., вещественные, отрицательные, равные. Рассматриваемый случай можно свести к апериодическому режиму и рассмотреть решение (31) при b =0. При этом получается неопределенность, раскрывая которую по правилу Лопиталя, получим:

В решении появляется характерный для случая кратных корней множитель t перед экспонентой.

Качественно характер переходных процессов в критическом режиме не отличается от апериодического режима.

Колебательный режим. При выполнении условия a < w ₀ или R < 2r и Q > 0,5 корни (27) характеристического уравнения будут комплексными:

p_1,2 =- a ± j= - a ± jw _k

Далее, используя формулы Эйлера для экспонент с мнимыми показателями, окончательно найдем:

u_C(t) = U₀ - U₀ e- a ^t [(a / w_k) sinw _kt + cosw * _kt] (32)

Качественный график полученной функции напряжения на емкости показан на рис. 27.

Рисунок 27:

При малых потерях в контуре (R < 2r) переходный процесс имеет характер затухающих гармонических колебаний. Степень затухания зависит от показателя экспоненты:



a = R / 2L

- который называется коэффициентом затухания. Период затухающих колебаний T_k определяется круговой частотой w _k и равен:

На практике степень затухания колебаний часто оценивают декрементом затухания D, который определяет уменьшение амплитуды свободных колебаний за время периода. Из (32) следует, что:

Для оценки степени затухания используется также логарифмический декремент затухания ln = T_k. ток магнитный электрический

Для самостоятельной работы рекомендуется изобразить качественные графики других напряжений в последовательном контуре при колебательном режиме переходных процессов.

Размещено на Allbest.ru