Основы термодинамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. КИНЕМАТИКА

Средняя скорость тела за промежуток времени ?t определяется отношением перемещения тела ?r к промежутку времени ?t:

где - радиус-вектор начальной точки, - конечной.

Средний модуль скорости тела за промежуток времени ?t есть отношение пути S, пройденного телом за это время, к ?t:

Средним ускорением называется отношение изменения скорости ко времени, за которое оно произошло:

Мгновенная скорость равна производной радиус-вектора точки по времени и направлена по касательной к траектории; для прямолинейного движения , ускорении

.

Кинематические соотношения для прямолинейного равнопеременного движения:

,

,

где ?0 скорость тела в момент времени t = 0, a - ускорение тела.

При криволинейном движении полное ускорение тела раскладывается на нормальную и тангенциальную к траектории составляющие: .

Тангенциальная составляющая ускорения определяет изменение модуля скорости

,

нормальная - изменение направления скорости:

,

где R-радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории.

Модуль полного ускорения:

.

При движении по окружности кинематическими характеристиками являются:

- угол поворота ?,

- угловая скорость ,

– угловое ускорение

? = = .

Кинематические уравнения для вращательного равнопеременного движения:

,

где ?0 - угловая скорость в момент времени t=0, - угловое ускорение.

Линейные и угловые параметры движения связаны соотношением:

? = ? R, a? = ? R.

2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Уравнение динамики поступательного движения тела:

,

где m - масса тела, - его ускорение,

- сумма всех действующих на тело сил.

Импульсом тела называется произведение массы тела на его скорость:

.

Закон изменения импульса:

Работой силы F на перемещении ds называется произведение проекции силы на направление перемещения на это перемещение:

dA = Fs ds = Fds cos?,

где ? - угол между направлениями силы и перемещения.

Работа переменной силы вычисляется как:

.

Мощностью называют работу, произведенную за единицу времени:

Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы, действующей на тело, на его скорость:

.

Кинетическая энергия тела при поступательном движении:

,

где m - масса тела, ? - его скорость.

Потенциальная энергия тела

- в однородном поле тяжести:

Eп = mgh

(m - масса тела, g - ускорение свободного падения, h - высота тела над точкой, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю);

- в поле упругих сил:

(k - коэффициент жесткости упругого тела, x - смещение от положения равновесия).

В замкнутой системе частиц полный импульс системы не меняется в процессе ее движения:

В замкнутой консервативной системе частиц сохраняется полная механическая энергия:

E = Ek + Eп = const.

Работа сил сопротивления равна убыли полной энергии системы частиц или тела:

Aconp = E1 - E2.

3. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Мерой инертности твердого тела при вращательном движении является момент инерции:

I = ? mi• ri2

где mi - элементарная масса i - го кусочка тела, ri - расстояние этого кусочка от оси вращения.

Моменты инерции некоторых твердых тел относительно оси, проходящей через их центры масс:

Полый цилиндр

I = m ( R12 + R22).

Тонкий обруч

I = mR2.

Сплошной цилиндр

Шар

Тонкий стержень

Если ось вращения не проходит через центр масс, для расчета момента инерции используют теорему Штейнера:

I = I0 + ma2,

где I - момент инерции тела относительно данной оси, I0 - момент инерции этого тела относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, m - масса тела, а - расстояние между осями.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

I = M

где I - момент инерции твердого тела, относительно оси вращения, - его угловое ускорение, М - суммарный момент сил, действующий на тело относительно данной оси.

Момент силы F равен

M = F l

где l - расстояние от линии, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси:

L = I ?

где I - момент инерции твердого тела относительно данной оси, ? - угловая скорость его вращения.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси:

L = m ? r

где m - масса частицы, ? - ее скорость, r - расстояние от линии, вдоль которой движется частица, до данной оси.

В замкнутой системе частиц полный момент импульса не меняется:

?Li = const.

Кинетическая энергия вращающегося тела:

,

где I - момент инерции тела, ? - его угловая скорость.

Кинетическая энергия катящегося тела:

где m - масса тела, ?0 - скорость поступательного движения центра масс, I0 - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, ? - угловая скорость вращения тела.

4. Механические колебания и волны

Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид

где x - смещение точки от положения равновесия, разное для разных моментов времени, А - амплитуда, Т - период, ? - начальная фаза,

? [Гц]=1/Т - частота колебаний,

? [с-1]=2?/Т - круговая частота.

Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, определяются соотношениями



Сила, под действием которой точка массой m совершает гармоническое колебание,

где k = 4?2m/T

Здесь Т - период колебаний точки, совершающей колебания под действием силы

F = -kx

где k - жесткость, численно равная силе, вызывающей смещение, равное единице.

Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки имеют вид

Полная энергия

газ жидкость молекулярный относительность

Примером гармонических колебательных движений могут служить малые колебания маятника:

- пружинного

,

где m - масса груза, k - коэффициент жесткости пружины,

-математического

где l - длина подвеса, g - ускорение свободного падения,

-физического

где I - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, m - масса маятника, l - расстояние от точки подвеса до центра масс.

Приведенная длина физического маятника находится из условия:

,

обозначения те же, что для физического маятника.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой

и с начальной фазой, определяемой из уравнения

где А1 и А2 - амплитуды слагаемых колебаний, ?1 и ?2 - их начальные фазы.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид

Если на материальную точку массой m, кроме упругой силы F = -kx, действует еще сила трения Fтр = -r?, где r - коэффициент трения и ? - скорость колеблющейся точки, то колебания точки будут затухающими. Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид x = Ae-?tsin(?t+?), где ? [с-1] - коэффициент затухания. При этом ? = r/2m и , где ?о - круговая частота собственных колебаний. Величина ? = ?Т, называется логарифмическим декрементом затухания.

Если на материальную точку массой m, колебание которой дано в виде x1 = Ae-?tsin?оt, действует внешняя периодическая сила F = Fosin?t, то колебания точки будут вынужденными и уравнение ее движения примет вид x2 = Asin(?t+?),где

Резонанс наступает тогда, когда частота вынужденных колебаний ? связана с частотой собственных колебаний ?о и с коэффициентом затухания ? соотношением

При распространении незатухающих колебаний со скоростью с вдоль некоторого направления, называемого лучом, смещение любой точки, лежащей на луче и отстоящей от источника колебаний на расстоянии l, дается уравнением

,

где А - амплитуда колеблющихся точек, ? -длина волны. При этом ?=сТ. Две точки, лежащие на луче на расстояниях l1 и l2 от источника колебаний, имеют разность фаз

При интерференции волн максимум и минимум амплитуды получаются соответственно при условиях

Здесь l2 - l1 - разность хода лучей.

Затухающие колебания происходят по закону:

x = A0 e- ?t cos(?t + ?0)

где ? - коэффициент затухания, смысл остальных параметров тот же, что для гармонических колебаний, А0 - начальная амплитуда. В момент времени t амплитуда колебаний:

A = A0 e - ?t

Логарифмическим декрементом затухания называют:

,

где Т - период колебания: .

5. Элементы специальной теории относительности

Длина l тела, движущегося со скоростью ? относительно некоторой системы отсчета, связана с длиной l0 тела, неподвижного в этой системе, соотношением

,

где ?=?/с, с - скорость распространения света.

Промежуток времени ?? в системе, движущейся со скоростью ? по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени ??0 в неподвижной для наблюдателя системе соотношением

Зависимость массы m тела от скорости ? его движения дается уравнением

где m0 - масса покоя этого тела.

Зависимость кинетической энергии тела от скорости ? его движения дается уравнением

Изменение массы системы на ?m соответствует изменению энергии системы на

?W=c2 ?m

Релятивистский закон сложения скоростей для тела, движущегося вдоль оси OX, имеет вид

где ? - скорость движущейся системы отсчета K?, u? - скорость относительно системы K?, u - скорость относительно неподвижной.

6. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов

Концентрация частиц (молекул, атомов и т.п.) однородной системы

где V-объём системы

Основное уравнение кинетической теории газов

где p -- давление газа; <Ek>-средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия:

приходящаяся на одну степень свободы молекулы

приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы)

поступательное движение молекулы

где k-постоянная Больцмана; T-термодинамическая температура; i-число степеней свободы молекулы;

Энергия вращательного движения молекулы

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

Скорость молекулы:

средняя квадратичная

, или

средняя арифметическая

, или

наиболее вероятная

, или

где m1 - масса одной молекулы.

Барометрическая формула

где ph и p0 - давление газа на высоте h и h0.

Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

где n и n0 - концентрация молекул на высоте h и h=0; П=m0gh - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с

,

где d - эффективный диаметр молекулы; n - концентрация молекул; <?> - средняя арифметическая скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега молекул газа

.

Закон теплопроводности Фурье

,

где Q - теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t; dT/dx - градиент температуры; ? - теплопроводность:

где cV - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ? - плотность газа; <?> - средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул; <l> - средняя длина свободного пробега молекул.

Закон диффузии Фика

где M - масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время t; d?/dx - градиент плотности; D - диффузия:

.

Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

,

где F - сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S; d?/dx - градиент скорости; ? - динамическая вязкость:

.

7. Основы термодинамики

Связь между молярной (Cm) и удельной (c) теплоёмкостями газа

где M-молярная масса газа.

Молярные теплоёмкости * при постоянном объёме и постоянном давлении соответственно равны

;

где i-число степеней свободы; R-молярная газовая постоянная.

Удельные теплоемкостью при постоянном объёме и постоянном давлении соответственно равны

;

Уравнение Майера

Показатель адиабаты

, или .

Внутренняя энергия идеального газа

, или ,

где <Ek>-средняя кинетическая энергия молекулы; N-число молекул газа; k-количество вещества, .

Работа, связанная с изменением объёма газа, в общем случае вычисляется по формуле

где - V1 начальный объём газа; V2 - его конечныё объём.

Работа газа;

а) при изобарном процессе (p=const)

б) при изотермическом процессе (T=const)

в) при адиабатном процессе

где T1 -начальная температура газа; T2 -ого конечная температура.

Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатном процессе)



Связь между начальным и конечным значениями параметров состояния газа при адиабатном процессе:

Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

где Q-количество теплоты, сообщение газу; ?U-изменение его внутренней энергии; A-работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики:

а) при изобарном процессе

б) при изохорном процессе (A=0)

в) при изотермическом процессе (?U=0)

г) при адиабатном процессе (Q=0)

Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае

где Q1 - количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q2 - количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно

где T1 - температура нагревателя; T2 - температура охладителя.

Изменение энтропии

где А и В - пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состоянию системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.

· Формула Больцмана

где S - энтропия системы; W - термодинамическая вероятность её состояния; k - постоянная Больцмана.

8. Реальные газы, жидкости и твердые тела

Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа

для произвольного количества вещества ? газа

,

где а и b - постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль газа); V - объём, занимаемый газом; Vm - молярный объём;

p - давление газа на стенки сосуда.

Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул,

, или .

Связь критических параметров - объёма, давления и температуры газа - с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:

;

;

Внутренняя энергия реального газа

где СV -молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме.

Поверхностное натяжение

где F - сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкость, или

,

где ?E - изменение свободной энергии поверхностной плёнки жидкости, связанное с изменением площади ?S - поверхности этой плёнки.

Формула Лапласа в общем случае записывается в виде

где p-давление, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости; ? - поверхностное натяжение; R1 и R2 - радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений жидкости, а в случае сферической поверхности

Размещено на Allbest.ur